文档文本内容
专题06 平面解析几何
7 大考点概览
考点01 直线方程与圆的方程
考点02 椭圆方程及其性质
考点03 双曲线方程及其性质
考点04 抛物线方程及其性质
考点05 圆锥曲线弦长面积问题
考点06 圆锥曲线定点定值问题
考点07 圆锥曲线证明，最值与探索问题
一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P 是直线
上一点，过点P 作圆
的两条切
线，切点分别为A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南·二模）过点
且倾斜角为
的直线l 交圆
于
、
两点，则弦
的
长为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
3．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖南岳阳·二模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在
平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点
是阴影区域(含边
考点1
直线方程与圆的方程
界)上的一个动点，则
的值不可能是（ ）
A．0
B．6
C．8
D．10
二、填空题
5．（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
，动点
满足
.当
取最大值时，
______.
6．（2026·湖南常德·二模）已知曲线
在
处的切线与圆
相交于
两点，则
___________．
一、单选题
1．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
考点2
椭圆方程及其性质
两点，则下列结论成立的是（ ）
A．
的周长为8
B．
C．
的最小值为
D．存在直线，使得
3．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是曲线
上的动点，点
，
内切圆的圆心记为
，直线
与直线
交于点
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．存在点
，使得
（
为坐标原点）
C．
为定值
D．
4．（2026·湖南郴州·三模）已知二次曲线
表示一个椭圆，则（ ）
A．
的对称中心为
B．
上的点到原点距离的取值范围是
C．当点
在
上时，
D．
的离心率为
三、填空题
5．（2026·湖南长沙·二模）已知点
在椭圆
上，
的左焦点为
，若线段
的中点在以原
点
为圆心，
为半径的圆上，则
的值为_______.
6．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是椭圆
和抛物线
的公共焦点，
是
的另一个焦点，
是
与
的交点，若
是等腰直角三角形，则
的离心率为
__________．
7．（2026·湖南永州·三模）已知椭圆
，
，
为
的左、右焦点，过
的直线交
于
，
两点，
的面积为
，
的内切圆与
相切于点
，若
，则
的离心率为__________．
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
且斜
率为
的直线与双曲线E 的右支交于
两点，若
则双曲线E 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．2 或
D．
或
2．（2026·湖南常德·二模）已知圆
与双曲线
的渐近线相切，则
椭圆
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
考点3
双曲线方程及其性质
3．（2026·湖南怀化·二模）已知双曲线C：
，则下列结论正确的是（ ）
A．m 的取值范围是
B．C 的焦距与m 的取值无关
C．若C 的离心率不小于2，则m 的取值范围为
D．存在实数
，使得点
在C 上
4．（2026·湖南永州·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
是
的渐近线上一点（
在
轴上方），直线
与圆
相切，且与
的左、右两支分别交于
两点，若
，则（ ）
A．以
为直径的圆与圆
相切
B．
的离心率
C．线段
的中点在直线
上
D．
的面积为
5．（2026·湖南湘潭·二模）已知
，
是双曲线
上两个不同的点，
是
的左顶点，则（ ）
A．
的焦距为
B．当
轴时，
与
可能垂直
C．当
时，
，
的横坐标之和的取值集合为
D．当
，
的纵坐标异号时，对任意的点
，都存在点
，使得
三、填空题
6．（2026·湖南衡阳·二模）已知双曲线
的右焦点为F，过F 作双曲线C 的渐近线
的垂线，垂足为P，若
，则C 的离心率为_______．
四、解答题
7．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线
，我们称
与
互为“交
换双曲线”；对于椭圆
，我们称
与
互为“交换椭圆”.
(1)若双曲线E 的“交换双曲线”为自己本身，且过点
，求双曲线E 的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设双曲线E 的左顶点为A，斜率为2 的直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，且
B，C 均不在x 轴上.试判断
的垂心是否在双曲线E 上，并说明理由；
(3)已知椭圆W 的焦点在x 轴上，长轴长为
，离心率为
.封闭曲线
上任一点
满足：当
时，点D 在椭圆W 上；当
时，点D 在椭圆W 的“交换椭圆”上.若矩形
关于直线
对称且
各顶点均在曲线
上，求证：矩形
的面积小于5.20.（注：
）
一、单选题
考点4
抛物线方程及其性质
1．（2026·湖南衡阳·二模）已知抛物线
上的点
到抛物线焦点F 的距离为5，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
2．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线
的焦点为
，点
在
轴上且位于
右侧，点
在
上，
若
为等边三角形，则
（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4
3．（2026·湖南张家界·三模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
上一点
作的垂
线，垂足为
，则直线
的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖南永州·三模）已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，直线
交
轴于点
．
若
为
的中点，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．
5．（2026·湖南郴州·三模）已知点
，抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一动点，
则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、多选题
6．（2026·湖南·二模）设抛物线
的焦点为
，
到准线的距离为
，过
的直线交
于
、
（
在第一象限）两点，过点
作准线的垂线，垂足为
，直线
交
轴于点
，则（ ）
A．抛物线
的方程为
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则直线AB 的方程为
三、填空题
7．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是椭圆
和抛物线
的公共焦点，
是
的另一个焦点，
是
与
的交点，若
是等腰直角三角形，则
的离心率为
__________．
四、解答题
8．（2026·湖南常德·二模）抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知直线交抛物线
于
两点，直线
交抛物线的准线于点
，且
轴．
（i）证明：直线过定点；
（i）点
为抛物线
的准线与
轴的交点，若
的面积与
的面积相等，求直线的方程．
一、解答题
1．（2026·湖南常德·二模）抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线
上的一点
到焦点
的距离为
．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知直线交抛物线
于
两点，直线
交抛物线的准线于点
，且
轴．
（i）证明：直线过定点；
（i）点
为抛物线
的准线与
轴的交点，若
的面积与
的面积相等，求直线的方程．
2．（2026·湖南·三模）已知椭圆
的上、下焦点分别为
，
，右顶点为
，
为锐角三角形且面积为
．
(1)求椭圆
的离心率．
(2)过
的直线交椭圆
于
，
两点（
在
的左侧），且
的面积与
的面积相等．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）若
，求椭圆
的方程．
考点5
圆锥曲线弦长面积问题
3．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆
的离心率为
，椭圆
经过点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若椭圆
的左、右顶点分别为
，直线交椭圆
于
两点（与
不重合）．设直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，且
．
（i）求证：
；
（ii）设弦
的中点为
，
为坐标原点，直线
与椭圆交于
两点，求四边形
面积的取值
范围．
4．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆
的离心率为
分别是椭圆的左，右焦
点，点
为椭圆上任意一点，且
面积的最大值为
所在的直线经过椭圆的中心
，现将坐标
平面沿
轴折成一个直二面角，如图1､2 所示.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)当
不在
轴上时，如图2，求
面积的最大值.
5．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线
，我们称
与
互为“交
换双曲线”；对于椭圆
，我们称
与
互为“交换椭圆”.
(1)若双曲线E 的“交换双曲线”为自己本身，且过点
，求双曲线E 的标准方程；
(2)在（1）的条件下，设双曲线E 的左顶点为A，斜率为2 的直线与双曲线E 的右支交于B，C 两点，且
B，C 均不在x 轴上.试判断
的垂心是否在双曲线E 上，并说明理由；
(3)已知椭圆W 的焦点在x 轴上，长轴长为
，离心率为
.封闭曲线
上任一点
满足：当
时，点D 在椭圆W 上；当
时，点D 在椭圆W 的“交换椭圆”上.若矩形
关于直线
对称且
各顶点均在曲线
上，求证：矩形
的面积小于5.20.（注：
）
一、多选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
是曲线
上的动点，点
，
内切圆的圆心记为
，直线
与直线
交于点
，则（ ）
A．
关于直线
对称 B．存在点
，使得
（
为坐标原点）
C．
为定值 D．
二、解答题
2．（2026·湖南湘潭·三模）已知双曲线
的实轴长与虚轴长相等，且
的焦距为
．
(1)求
的方程．
(2)对于
上的任意两点
，定义：
．
①若
是
右支上两个不同的点，证明：
．
②若
是
右支上三个不同的点，且存在常数，使得
，证明
为定值，并求
该定值（用表示）．
3．（2026·湖南永州·二模）已知椭圆
经过点
为
的右焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点（的斜率存在且不为0），设点
关于
轴的对称点为
，
的外接圆圆心为
．
（i）求
面积的最大值；
考点6
圆锥曲线定点定值问题
（ii）直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
4．（25-26 高二下·湖北·月考）已知点
，圆
，P 为圆上的一个动点，线段PD 的
中垂线与PC 交于点Q，当点P 在圆上运动时，记点Q 的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若过定点
且斜率存在的直线l 与曲线
交于A，B 两点，试探究：
①在y 轴上是否存在定点M，使得直线MA，MB 的斜率之积为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
②若N 为平面内一动点，直线NA，NT，NB 斜率的倒数成等差数列，则点N 是否在某定直线上？若存在，
求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．
5．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系
中，点
，动点P 满足
，记点P 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)过点Q 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于两点E，F（E 在F 的左侧）．设直线AE，AF 的斜率分别为
．
①求证：
为定值；
②设直线AF，BE 相交于点M，求证：
为定值．
一、解答题
1．（2026·湖南·二模）已知动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)若曲线
与
轴的交点分别为
、
（
在
的左侧），过点
的直线交曲线
于点
（
位于第二象
限），
的角平分线交
于点
．
（i）求证：点
在定直线上；
（ii）连接直线
且与曲线
的另一个交点为
，求
的取值范围．
2．（2026·湖南怀化·二模）已知O 为坐标原点，椭圆E：
的右顶点为
，离心
率为
，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B，与直线
，
分别交于点C，D．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若
，求直线l 的方程；
(3)证明：
．
3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆
与抛物线
有相同的焦点，坐标原点
为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且
.
(1)求椭圆方程；
(2)若封闭曲线
围成的区域面积为S，证明：
(3)将封闭曲线
绕x 轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω 内部有一个以x 轴为轴的圆台，圆台体积为
，证明：
.
考点7
圆锥曲线证明，最值与探索问题
4．（2026·湖南湘潭·三模）已知双曲线
的实轴长与虚轴长相等，且
的焦距为
．
(1)求
的方程．
(2)对于
上的任意两点
，定义：
．
①若
是
右支上两个不同的点，证明：
．
②若
是
右支上三个不同的点，且存在常数，使得
，证明
为定值，并求
该定值（用表示）．
5．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，
、动点
满足
，
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程：
(2)已知点
，
，过点
作斜率为
的直线交
于
，
两点，设直线
，
的斜率分别为
，
，若
，
，
成等差数列，求．
6．（2026·湖南·三模）已知双曲线
的渐近线互相垂直，
分别为其左、右焦
点，双曲线与圆
的某个交点的横坐标为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过右焦点
的直线l 与
的右支交于P，Q 两点，其中点P 位于第一象限内，直线
分别与y 轴
交于M，N 两点.
（i）是否存在直线l 使得点
在以线段MN 为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，
请说明理由；
（ii）当
时，求出
的大小.
