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第05 讲 对数与对数函数
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 指数与
数的互化及
数运算
对
对
型
题
02
底公式
换
型
题
03 定
域
义
和解析式
型
题
04 指
运算的
用
对
应
型
题
05
数函数的概念与
对
图象
型
题
06 比较
数式的大小
对
型
题
07 解
数方程和不等式
对
型
题
08
数复合函数的
性
对
单调
型
题
09
数
对
函数性
的
合
用
质
综
应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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01 指数与对数的互化及对数运算
1．已知
，且
，则
（ ）
A．2 或8
B．
或8
C．8
D．64
2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
3．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
4．将下列指数式与对数式互化：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
5．计算：
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(1)
；
(2)
02 换底公式
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“
”的否定为“
”
B．“
”是“
”的必要条件
C．若
，则
D．
8．若
，则
的值为 .
03 定义域和解析式
9．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在对数式
中，实数
的取值范围应该是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
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11．若对数函数
经过点
，则它的反函数
的解析式为 ．
12．已知函数
（
，且
）的图象过点
．
(1)求a 的值；
(2)若
，求
的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若
，求实数x 的值．
04 指对运算的应用
13．（多选）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于y 轴对称
B．函数
的值域是
C．对任意
D．若
，且
，则
14．若关于
的不等式
对任意的正实数
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．7
B．9
C．10
D．
15．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．
小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，
然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的
，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片
的弹跳次数为 ．（参考数据：
16．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R＝
(lgE－11.4).2011 年3 月11 日，日本东海岸发生了
9.级特大地震，2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么2011 年地震的能量是2008 年地震能量的
倍．
17．某服装店对原价分别为175 元和200 元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其
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售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10 天内均没有售完， 天后甲服装
的售价将高于乙服装的售价.
05 对数函数的概念与图象
18．函数
的图象经过的定点是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．函数
与
的图象只可能是下图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
20．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知
且
，则函数
与函数
的图象可能的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
22．已知函数
（
，
）的图象恒过定点
，若点
也在函数
的图象
上，则
．
06 比较对数式的大小
23．设
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．比较下列各组值的大小．
(1)
，
；
(2)
，
，
；
(3)
，
，
．
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07 解对数方程和不等式
27．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知全集
，集合
，若
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．若
且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
31．已知函数
，
，若
，
，使得
成立，
则实数
的取值范围是 .
08 对数复合函数的单调性
32．已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
33．（多选）函数
，则下列关于
的说法正确的是（ ）
A．定义域为
B．值域为
C．
为增函数
D．
为非奇非偶函数
34．已知函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的增区间为
，减区间为
C．函数
的值域为
D．若
，则实数
的取值范围为
09 对数函数性质的综合应用
36．设函数
．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．设
，命题
的定义域是R，命
题
的值域是R，设命题
中至少有一个是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
38．已知函数
且
在
上的最大值与最小值之和为
，则a 的值为（ ）
A．4
B．
C．3
D．
39．已知函数
，若不等式
与
的解集相同，则
.
1．
深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网
络优化中指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习
率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学
习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2 以下（不
含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
2．
（多选）已知函数
，若
有三个不等实根
，
，
，且
，则（ ）
A．
的单调递增区间为
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B．a 的取值范围是
C．
的取值范围是
D．函数
有4 个零点
3．已知
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
设
、
、
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．
（多选）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
若函数
为偶函数，则实数
.
1．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
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定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是 .
