文档文本内容
第05 讲 椭圆及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 椭圆的定义...........................................................................................................4
知识点2 椭圆的简单几何性质...........................................................................................4
题型破译................................................................................................................................................5
题型1 椭圆的定义及其应用...............................................................................................5
【方法技巧】定义结合焦点三角形
题型2 椭圆的标准方程.......................................................................................................7
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
................................................................................8
题型4 椭圆中的焦点三角形
........................................................................................9
题型5 离心率
..............................................................................................................10
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
...............................................................................11
题型7 椭圆的实际应用
...............................................................................................12
04
题
真
溯源·考向
知
感
........................................................................................................................15
05 课本典例·
考
高
素材........................................................................................................................17
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.理解
的定
、几何
椭圆
义
形、
准方程
图
标
；
2.掌握
的
几何
椭圆
简单
性质（范
、
称性、
围对
顶
点、离心率）；
3.掌握
的
用
椭圆
简单应
.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，18
题，17 分
全国二卷，16
题，15 分
北京卷，19 题，
15 分
新课标I 卷，第16 题，
15 分
新课标Ⅱ卷，第5 题，
5 分
新课标I 卷，第5 题，5
分
全国甲卷（理数），第12
题，5 分
北京卷，第19 题，15 分
考情分析：
椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方
程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.
例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特
征，进而得出椭圆的定义.
2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会
数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得
到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化.
3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标
准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从
方程到曲线性质的推理逻辑.
知识点1 椭圆的定义
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭
圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
注意：(1)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M 的轨迹为椭圆；
(2)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M 的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M 满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M 的轨迹不存在.
自主检测（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：
上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则
．
知识点2 椭圆的简单几何性质
1..椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
范围
顶点
A1
，
A2
，
B1
，
B2
A1
，
A2
，
B1
，
B2
，
轴长
短轴长为 ，长轴长为
焦点
F1
，
F2
，
F1
，
F2
，
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴： ，对称中心：
离心率
.
a，b，c 的关系
.
2.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，
当椭圆为x
2
a
2 + y
2
b
2 ＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|+|P F2|
2
)
2
＝a2.
(2)当PF2⊥x 轴时，点P 的坐标为(c，± b
2
a )．
(3)|PF1|＝a ＋
ex
0，|PF2|＝a －
ex
0．
(4)|PF1|max＝a ＋
c ，|PF1|min＝a －
c ．
(5)4c2＝| PF
1| 2 ＋
| PF
2| 2 －
2| PF
1|| PF
2|cos
θ ．
(6)S△F1P F2＝b 2 tan
θ
2＝c | y 0|，当|y0|＝b，即点
P 的位置为短轴端点时
，θ 最大，S 取最大值，最
大值为bc.
(7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4 a ．
自主检测（多选）已知椭圆
，则（ ）
A．C 的长轴长为8
B．C 的焦点坐标为
C．C 的离心率为
D．C 上的点到焦点的最大距离为
题型1 椭圆的定义及其应用
例1-1 如图，把椭圆
的长轴
分成8 等份，过每个等分点作
轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点，
是椭圆的左焦点，则
.
例1-2 给定点
，已知点
是椭圆
上的动点，
是左焦点.
(1)当
取最小值时，求
点的坐标；
(2)求
的最大值和最小值.
方法技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率
等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【变式训练1-1】（多选）已知
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，
点
在
上，
，且
为
上一个动点，则（ ）
A．
B．
的长轴长为4
C．
的最小值为
D．
的最大值是
【变式训练1-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
【变式训练1-3】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
题型2 椭圆的标准方程
例2-1 “
”是曲线
“
表示椭圆的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例2-2（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆
上任意一点
到
的两个焦点
的距离之和为
.
(1)求
的方程；
(2)已知直线
与
相交于A，B 两点，若
，求
的值.
方法技巧
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x
2
a
2＋m
＋y
2
b
2＋m
＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝λ 或y
2
a
2 ＋x
2
b
2 ＝λ(a>b>0，λ>0).
【变式训练2-1】方程
表示的曲线是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
【变式训练2-2·变考法】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过右焦点的直线交
于
两点，且
，
，则椭圆
的标准方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知点
是椭圆
上的三点，其中点
是椭
圆的右顶点，直线
过椭圆的中心
，且
，
，如图所示.
(1)求点
的坐标及椭圆
的方程；
(2)若椭圆
上存在两点
，使得直线
与直线
关于直线
对称，求直线
的斜率.
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
例3-1 已知椭圆
的焦距为4，则离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2025·河南·三模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 为BC 边上一点，且
，
，当
在变化时，点
总在椭圆
上，则该椭圆的长轴
长为（ ）
A．6
B．
C．
D．3
例3-3（多选）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
方法技巧
以椭圆的标准方程
(a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=
b；令y=0，得x=
a.
这说明
(-a,0)，
(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点，
(0,-b),
(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴、
y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段
，
分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长
=2a，短轴长
=2b，a 和b 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
【变式训练3-1】（2025·重庆·三模）已知椭圆
的焦点在圆
上，则此椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（多选）如图所示，将椭圆
绕着坐标原点旋转一定角度，得到
斜椭圆的方程为
“
”
，则椭圆
的（ ）
A．长半轴长为
B．短半轴长为
C．焦距为4
D．离心率为
题型4 椭圆中的焦点三角形
例4-1（2025·福建福州·三模）设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，
为
的平分线与
轴的交点.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（多选）已知
是椭圆
上一点，
、
为其左、右焦点，且
的面积为，则下
列说法正确的是（ ）
A．
点纵坐标为
B．
的周长为
C．
D．
的内切圆半径为
方法技巧
P 为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P 为短轴端点时，θ 最大，S△F1P F2最大；当点P 为长轴端点时，θ 最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|＋|P F2|
2
)
2
＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【变式训练4-1】（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 为椭圆C 上一点，则下
列说法正确的有（ ）．
A．
的面积的最大值为12
B．
的平分线必过椭圆的中心
C．若
，则
D．设
，椭圆C 上存在点P，使得
【变式训练4-2·变载体】已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，
是
上在第二象限内的
一点，且
，则直线
的斜率为 ．
题型5 离心率
例5-1 设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为A，直线
交M 于另一点
B，
的内切圆与
相切于点C，若
，则椭圆M 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（多选）已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点
是
他们的一个公共点，且
则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
方法技巧
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝c
a 求解.
(2)由a 与b 的关系，利用变形公式e＝❑√
1- b
2
a
2 求解.
(3)构造a，c 的方程.可以不求出a，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e.
【变式训练5-1】已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在
上，点
在
轴上，
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
.若直线 与椭圆相
切于点
，且
（
为坐标原点），则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知
为椭圆
的左顶点，
、
是
椭圆上的点.若四边形
满足
，
，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆
上存在一点
，使
得
为等腰三角形，且
为钝角，则椭圆
的离心率的取值范围为 .
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
例6-1（多选）已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，P 是C 上任意一点，则（ ）
A．C 的离心率为
B．
的周长为12
C．
的最小值为3
D．
的最大值为16
例6-2（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点A，B 均在C 上，其中
，则
（ ）
A．椭圆C 的长轴长为
B．椭圆C 的离心率为
C．点
在椭圆C 内
D．
的值可以是6
方法技巧
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
【变式训练6-1】（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
）是椭圆E 上的
一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E 的长轴长为5
B．椭圆E 的离心率为
C．
D．恰好存在两个点P 使得
【变式训练6-2】（多选）椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
在
上，双曲线
与椭圆
有
相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点
，使得
B．若
，则
C．若
是等腰三角形，则满足条件的
点有4 个
D．若
是椭圆
与双曲线
的交点，且
在第二象限，
交
轴于
点，
平分
，则双
曲线的离心率为
题型7 椭圆的实际应用
例7-1（多选）已知
，
是椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，是椭圆的一条切
线，切点为
，
，
在直线上的投影分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心
且与太
阳平行光线垂直的平面为
，地面所在平面为
，篮球与地面的切点为
，球心为
，球心
在地面的影
子为点
；已知太阳光线与地面的夹角为
；如图，
为球
的一条直径，
为
在地面的影子，
点
在线段
上，小明经过研究资料发现，当
时，篮球的影子为一椭圆，且点
为椭圆的焦点，线
段
为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（ ）（用
表示）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5 世纪末提出了下面的体积计算原理：幂势既同，
“
则积不容异．这就是祖暅原理．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，
”
“
”
被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置
在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几
何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由
此得到新几何体与半球的体积相等，即
．现将椭圆
绕
轴旋转一
周后得到如图3 所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北
京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿
是一个半径为2 的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为
时，在地面形成了一个椭圆形影
子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】如图，在一个高为20，底面半径为2 的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓
球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度
均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭
圆的一个标准方程 .
1．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 与C 交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求
．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点
为B，
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求
的坐标（用m，n 表示）；
（
）设
ⅱ
O 为坐标原点，
是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、下顶
点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
1.椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
2.若椭圆
上一点
到焦点
的距离为6，则点
到另一个焦点
的距离 ．
3.如图，一动圆与圆
外切，与圆
内切，求动圆圆心的轨迹方程．
4.求椭圆
的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
5.如图，在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段
的中点M 的轨迹是什么？为什么？
6.根据下列条件判断方程
表示什么曲线.
(1)
；
(2)
.
7.已知椭圆C 的焦点为
，短轴的一个端点为B，且
是一个等边三角形，求椭圆C 的离心率．
