文档文本内容
第05 讲 古典概型与概率的基本性质
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................ 2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 古典概型 ............................................................................................................................... 3
知识点2 古典概型的概率公式 ........................................................................................................ 4
知识点3 概率的性质 ........................................................................................................................... 4
题型破译......................................................................................................................................................4
题型1 古典概型的特征.........................................................................................................................4
【方法技巧】古典概型特征
题型2 几何中的古典概型问题...........................................................................................................5
题型3 数列中的古典概型.................................................................................................................... 7
题型4 统计中的古典概型.................................................................................................................... 7
题型5 有放回与无放回中的古典概型..........................................................................................11
题型6 根据古典概型的概率求参数...............................................................................................12
题型7 概率的基本性质......................................................................................................................14
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................ 15
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................ 15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）古典概型
（2）概率的基本性质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
17 题（2），4 分
2024 年甲卷（文）第4
题，5 分
2024 年甲卷（理）第12
题，5 分
2023 年北京卷第13 题
（1），4 分
2023 年甲卷（理）第9
题，5 分
2023 年甲卷（文）第4
题，5 分
2023 年天津卷第13 题，5
分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．经常出应用型题目，与
生活实际相结合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关系，找到适
合的公式计算概率．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．
复习目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式．
（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．
知识点1 古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为 ，简称古典概型．
自主检测下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10 环，命中9 环，
，命中
…
0 环
知识点2 古典概型的概率公式
一般地，设试验
是古典概型，样本空间
包含
个样本点，事件
包含其中的
个样本点，则定义事
件
的概率
.
其中，
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数．
自主检测从大于1 且小于50 的整数中任意选取1 个，则被选取的整数是质数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 概率的性质
1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件
，都有
；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
，
；
性质5：如果
，那么
，由该性质可得，对于任意事件
，因为
，
所以
2：互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件
与事件
，那么
；
注意：只有事件
与事件
互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
3：对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件
与事件
互为 ，那么 ，
；
4：概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设
，
是一个随机试验中的两个事件，有
自主检测假设
，
，且A 与B 相互独立，则
．
题型1 古典概型的特征
例1-1 下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2 个白球和3 个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
例1-2(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人作典型发言，甲被选中的概率
方法技巧
古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
【变式训练1-1】下列是古典概型的个数有（ ）
已知
①
且
，从
中任取一个数，则满足
的概率
同时掷两颗骰子，点数和为
②
11 的概率；
近一周中有一天降雨的概率；
③
10
④
个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-2】（多选）下列是古典概型的为（ ）
A．从6 名同学中随机选出4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．在区间
上任取一数，求这个数大于2 的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【变式训练1-3】（多选）下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为
，若随机事件
包含
个样本点，则事件
发生的概率
题型2 几何中的古典概型问题
例2-1 如图，从正六边形ABCDEF 的顶点和该正六边形的中心O 这七个点中任意选取三个点，若选出的三
个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 河图的排列结构如图，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五
“
与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于
”
5
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】如图，平面内有A，B，C，D4 个区域，随机在这4 个区域之间画3 道连线，且任意两个
区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D 任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H 八个顶点，每个相邻的两顶点间称为
1 步（例如：A 到B 为1 步）.现有一小球起始位置在点A 处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则
为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为
，则小球按顺时针方向前进i 步到达另
一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A 处的概率为 .
【变式训练2-3】有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有
共八个点，一枚棋子起始位
置在点
处，每个相邻的两点间称为1 步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为
，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点
处的概率为 ．
题型3 数列中的古典概型
例3-1 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月
能生1 对小兔子（一雄一雌），而每1 对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1 对小兔子，假定在不
发生死亡的情况下，从第1 个月1 对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，
8，13，21，
，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
…
，其中
，
．若从该数列的前2025 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 已知
满足
，则使一次函数
的图象经过一、二、四象限的
的概率是 .
【变式训练3-1】在排列
中，任取两个数
且
如果
，则称
这两个数
为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列
中任
取两数，则这组数是逆序的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】如图所示，正实数
标在正方体相应的顶点处，满足每个点处所写的数字等
于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数.记
，
，则
.
题型4 统计中的古典概型
例4-1 这么近，那么美，周末到河北.“五一小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区
”
的工作人员随机选择100 名游客对景区进行满意度评分（满分100 分），将评分绘制成频率分布直方图，
请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
(1)根据频率分布直方图，求
的值；
(2)估计这100 名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这100 名游客中随机抽取了5 名，其中评分在
内的有2 人，评分在
内的有3
人.现从这5 人中随机抽取2 人进行个别交流，求选取的2 人评分均在
内的概率.
例4-2 某校从高一年级学生中随机抽取40 名，将他们的期中考试数学成绩（满分100 分，所有成绩均为不
低于40 分的整数）分为6 组：
，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有学生640 名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80 分的人数；
(3)若从成绩来自
和
两组的学生中随机选取两名学生：
（
）写出该试验的样本空间；
ⅰ
（
）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
ⅱ
【变式训练4-1】为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了学党
“
史、育文化暨喜迎党的生日党史知识竞赛，并将
”
“
”
名师生的竞赛成绩（满分
分）整理成如图所示
的频率直方图．
(1)求频率直方图中
的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数
(2)从竞赛成绩在
，
的师生中，采用分层抽样的方法抽取
人，再从抽取的
人中随机抽取
人，求
人的成绩来自同一区间的概率．
【变式训练4-2】某市为庆祝北京夺得2022 年冬奥会举办权，围绕全民健身促健康、同心共筑中国梦主
“
”
题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120 人，按他们的年龄分组：第1 组
，
第2 组
，第3 组
，第4 组
，第5 组
，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1 人进行采访，请估计被采访人恰好在第1 组或第4 组的概率；
(2)已知第1 组中男性有3 人，组织方要从第1 组中随机抽取2 人组成志愿者服务队，求至少有1 名女性的
概率.
【变式训练4-3】庐江县某中学高一年级有1500 名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽
取了一个容量为50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：
(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120 分的人数和这1500 名学生的数学
平均分（保留到整数）；
(2)已知样本中成绩在
内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2 人做学习交
流，求选取的两人中至少有一名女生的概率．
题型5 有放回与无放回中的古典概型
例5-1 抽取某车床生产的8 个零件，编号为
，
，
，
…
，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，
1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间
内的零件为一等品．
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2 个，求至少包含一个直径为1.48 的零件的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2 个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2
个零件直径相等的概率．
例5-2 设有6 个白球和4 个红球混合后装入袋中，从这10 个球中任取5 个.
(1)在有放回的情况下，求这5 个球中恰有3 个白球的概率；
(2)在不放回的情况下，求这5 个球中恰有3 个白球的概率；
(3)在不放回的情况下，求第3 个球为白球的概率.
【变式训练5-1】一个盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若第一次抽取1 张卡片，放回后再抽取1 张卡片，事件
表示两次抽取的卡片上数字之和大于
“
，求
”
；
(2)若一次抽取1 张卡片，不放回并再抽取1 张卡片，事件
表示“2 张卡片上数字之和是3 的倍数，事件
”
表示“2 张卡片上数字之积是4 的倍数，验证
”
是独立的，并说明理由.
【变式训练5-2】有4 张面值相同的债券，其中有2 张是中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张都是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张都是中奖债券的概率；
(3)有放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张中至少有1 张是中奖债券的概率；
(4)无放回地从债券中任取2 次，每次取出1 张，计算取出的2 张中至少有1 张是中奖债券的概率
【变式训练5-3】在一个盒子中有2 个白球，3 个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙
后取，然后甲再取，
，每次取
……
1 个，取后不放回，直到2 个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求2 个白球都被乙取出的概率；
(2)求2 个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
题型6 根据古典概型的概率求参数
例6-1 某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器
件，其中甲工厂生产了
件，乙工厂生产了
件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取
件样品，已知该精密仪器按照质量可分为
四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检
测，恰好抽到甲工厂生产的
等级产品的概率为
，则抽取的
三个等级中甲工厂生产的产品共有
件．
例6-2 一个袋子中有2 个红球（记为
），3 个绿球（记为
），从中任意抽取两个球．
(1)写出试验的样本空间；
(2)求取出的两个球颜色不同的概率；
(3)如果是
个红球，3 个绿球，已知取出的两个球颜色相同的概率为
，那么
是多少？
【变式训练6-1】一个袋子中有3 个红球，4 个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3 个红球，n 个白球，已知第二次取到红球的概率为
，求n 的值．
【变式训练6-2】一个袋子中有5 个球，其中
个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中
依次随机地取出2 个球．
(1)若
，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2 个球都是红球的概率为
，求
．
【变式训练6-3】一个袋子中有4 个红球,6 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球.
(1)求第二次取到绿球的概率；
(2)如果是
个红球, 6 个绿球, 已知取出的2 个球都是绿球的概率为
，那么
是多少?
题型7 概率的基本性质
例7-1 设随机事件A，B 相互独立，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 设样本空间
含有等可能的样本点，若事件
是
的子集，且
互相独立，其中
则
= .
【变式训练7-1】抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用
表示红色骰子
的点数，用
表示绿色骰子的点数，用
表示一次试验的结果.设
两个点数之积是偶数，
“
”
至少
“
有一颗骰子的点数为5”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件
为第一
“
次朝上的面的点数为质数，事件
”
为两次朝上的面的点数之和为奇数，则
“
”
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】已知某样本空间中共有18 个样本点，其中事件
有10 个样本点，事件
有8 个样本点，
事件
有16 个样本点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出
场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题
准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随
机选2 名组织校文艺汇演，则这2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1 项，球类3 项，田径类4 项共8 项
项目中随机抽取4 项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
5．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为
．
1．已知
.
（1）如果
，那么
，
；
（2）如果A，B 互斥，那么
，
.
2．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5 的5 张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的
数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
3．一个盒子中装有6 支圆珠笔，其中3 支一等品，2 支二等品和1 支三等品，若从中任取2 支，那么下列
事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1 支一等品；
”
（2）B=“两支都是一等品；
”
（3）C=“没有三等品”.
4．某人有4 把钥匙，其中2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么
第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3 次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6 点；
（2）至少出现一次6 点；
（3）三个点数之和为9.
