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限时跟踪检测(六十六) 古典概型
一、单项选择题
1．为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，
则选择的2天恰好是连续2天的概率是( )
A． B．
C． D．
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的
概率等于( )
A． B．
C． D．
3．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成
(“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线
数目相同的概率为( )
A． B． C． D．
4．在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，
2点和5点，3点和4点)．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如
图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为( )
图1 图2
A． B． C． D．
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想
是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A． B． C． D．
6．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发
现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同
时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫作一对“亲和数”，
“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284,1 184和1 210，2
924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组 2个数，另一组4个数，
则220和284在同一组的概率为( )
A． B． C． D．7．(2024·河南新乡高三模拟)连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么
点P(x，y，z)到原点O的距离不超过3的概率为( )
A． B． C． D．
8．2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口
博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人们生活息息相关的科技专区．现从“高
档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专
区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是(
)
A． B． C． D．
9．(2024·福建南安侨光中学第一次阶段考)如图所示的图形中，每个三角形上各有一个
数字，若六个三角形上的数字之和为21，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角
形上的数字之和为14，现从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰
好使该图形为“和谐图形”的概率为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
10．(2024·山东师大附中模拟)济南市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球
队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022
年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8
支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M ，“乙队分在第一小组”为
1
事件M，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M，则( )
2 3
A．P(M)＝
1
B．P(M)＝
3
C．P(M)＋P(M)＝P(M)
1 2 3
D．事件M 与事件M 相互独立
1 3
11．(2024·山东泰安模拟)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．
下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……上面一粒
珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上
珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字 15.现将算盘的
个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3
整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则( )A．P(A)＝ B．P(B)＝
C．P(A∪B)＝ D．P(AB)＝
三、填空题与解答题
12．如图，从A(1,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，B(0，2,0)，C (0,0,1)，C (0,0,2)这6个点
1 2 1 2 1 2
中随机选取3个点，则这3个点与原点O共面的概率为________．
13．(2024·北京海淀区模拟)现有7名数理化成绩优秀者，分别用 A ，A ，A ，B ，
1 2 3 1
B ，C ，C 表示，其中A ，A ，A 的数学成绩优秀，B ，B 的物理成绩优秀，C ，C 的化
2 1 2 1 2 3 1 2 1 2
学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加
竞赛，则A 和B 不全被选中的概率为________．
1 1
14．近几年来，首都经济社会发展取得新成就.2014年以来，北京城乡居民收入稳步增
长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化
升级，城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示．(例如2014年北京城镇居民收
入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%)
(1)从2014～2018这五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；
(2)从2014～2018这五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均
超过7%的概率；
(3)由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？(不需证明)高分推荐题
15．(多选)(2024·江苏常州模拟)在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，以8个顶点中
1 1 1 1
的任意3个顶点作为顶点的三角形叫作K－三角形，12条棱中的任意2条叫作棱对，则(
)
A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，又是等腰直角三角形的概率为
B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，又是等边三角形的概率为
C．一组棱对中2条棱所在的直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为
D．一组棱对中2条棱所在的直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为
解析版
一、单项选择题
1．为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，
则选择的2天恰好是连续2天的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，可得
样本点的总数为n＝C＝10，其中选择的2天恰好为连续2天包含的样本点个数为m＝4，
所以选择的2天恰好是连续2天的概率是P＝＝＝.故选A．
答案：A
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的
概率等于( )
A． B．
C． D．
解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有
对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，∴所求概率为＝.
答案：D
3．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成
(“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线
数目相同的概率为( )A． B． C． D．
解析：从八卦中任取两卦，样本点总数n＝C＝28，这两卦的阳线数目相同的样本点有
6种，分别为(兑，巽)，(兑，离)，(巽，离)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴这两卦的
阳线数目相同的概率为P＝＝.
答案：C
4．在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，
2点和5点，3点和4点)．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如
图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为( )
图1 图2
A． B． C． D．
解析：翻转的路径有4种：①右→右→右→下，最后朝上的是4；②右→右→下→右，
最后朝上的是1；③右→下→右→右，最后朝上的是3；④下→右→右→右，最后朝上的是
1.故最后骰子朝上的点数为1的概率为.
答案：D
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想
是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A． B． C． D．
解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，
共有C＝45(种)方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其
和等于30的有3种方法，故所求概率为＝.故选C．
答案：C
6．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发
现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同
时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫作一对“亲和数”，
“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284,1 184和1 210，2
924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组 2个数，另一组4个数，
则220和284在同一组的概率为( )
A． B． C． D．
解析：由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法，②220和284在4个数这一组
中，有C种分组方法．
故所求概率P＝＝.
答案：C
7．(2024·河南新乡高三模拟)连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么
点P(x，y，z)到原点O的距离不超过3的概率为( )
A． B． C． D．
解析：点P(x，y，z)到原点O的距离不超过3，则≤3，即x2＋y2＋z2≤9，
连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有 6×6×6＝216(个)，其中(1,1,1)，(1,1,2)，
(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)满足条件，
则点P(x，y，z)到原点O的距离不超过3的概率为P＝.故选B．
答案：B
8．2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口
博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人们生活息息相关的科技专区．现从“高
档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专
区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是(
)
A． B． C． D．
解析：分别记“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智
能及软件技术” 五个专区为A，B，C，D，E；从这五个专区中选择两个专区参观，所包
含的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10个基本事件；选
择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区(即E专区)，所对应的基本事件有AE，
BE，CE，DE，共4个基本事件．因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”
专区的概率是P＝＝.
答案：C
9．(2024·福建南安侨光中学第一次阶段考)如图所示的图形中，每个三角形上各有一个
数字，若六个三角形上的数字之和为21，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角
形上的数字之和为14，现从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰
好使该图形为“和谐图形”的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从1,2,3,4,5这五个数中任取两个
数，这两个数的和是7.这五个数中任选两个数包含(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)
(4,5)，共有10种情况，其中和为7的有(2,5)，(3,4)两种情况，所以恰好使该图形为“和谐
图形”的概率P＝＝.答案：B
二、多项选择题
10．(2024·山东师大附中模拟)济南市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球
队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022
年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8
支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M ，“乙队分在第一小组”为
1
事件M，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M，则( )
2 3
A．P(M)＝
1
B．P(M)＝
3
C．P(M)＋P(M)＝P(M)
1 2 3
D．事件M 与事件M 相互独立
1 3
解析：对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，
所以P(M)＝，故正确；对于B,8支球队抽签分组共有C＝70(种)不同方法，甲、乙两队分
1
在同一小组共有C×A＝30(种)不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率 P(M)＝＝，
3
故正确；对于C，因为P(M)＝P(M)＝，所以P(M)＋P(M)＝1≠P(M)，故错误；对于D，
1 2 1 2 3
因为P(MM)＝＝，P(M)·P(M)＝×＝，所以P(MM)＝P(M)·P(M)，所以事件M 与事件
1 3 1 3 1 3 1 3 1
M 相互独立，故正确．故选ABD．
3
答案：ABD
11．(2024·山东泰安模拟)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．
下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……上面一粒
珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上
珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字 15.现将算盘的
个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3
整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则( )
A．P(A)＝ B．P(B)＝
C．P(A∪B)＝ D．P(AB)＝
解析：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是24＝16，能
被3整除的四位数中数字1和5各出现2次，因此满足条件的四位数的个数是C＝6，所以
P(A)＝＝.能被5整除的四位数的个数为23＝8，P(B)＝＝，能被5整除且能被3整除的四位
数的个位是5，因此满足这个条件的四位数的个数是 C＝3，概率为P(AB)＝，P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．如图，从A(1,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，B(0，2,0)，C (0,0,1)，C (0,0,2)这6个点
1 2 1 2 1 2
中随机选取3个点，则这3个点与原点O共面的概率为________．解析：从6个点中随机选取3个点，共有C＝20(种)，在平面Oxy上有C＝4(种)情况与
原点O共面，在平面Ozx上有C＝4(种)情况与原点O共面，在平面Oyz上有C＝4(种)情况
与原点O共面，所以这3个点与原点O共面的共有4＋4＋4＝12(种)情况，所以这3个点与
原点O共面的概率为＝.
答案：
13．(2024·北京海淀区模拟)现有7名数理化成绩优秀者，分别用 A ，A ，A ，B ，
1 2 3 1
B ，C ，C 表示，其中A ，A ，A 的数学成绩优秀，B ，B 的物理成绩优秀，C ，C 的化
2 1 2 1 2 3 1 2 1 2
学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加
竞赛，则A 和B 不全被选中的概率为________．
1 1
解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的
12个基本事件为(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1
(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，(A ，B ，C )，
2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 1 1 3 1 2 3 2 1
(A，B，C )．
3 2 2
设“A 和B 不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A 和B 全被选中”，由于＝
1 1 1 1
{(A ，B，C )，(A，B，C )}，
1 1 1 1 1 2
所以P()＝＝，
由对立事件的概率计算公式，得
P(N)＝1－P()＝1－＝.
答案：
14．近几年来，首都经济社会发展取得新成就.2014年以来，北京城乡居民收入稳步增
长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化
升级，城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示．(例如2014年北京城镇居民收
入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%)
(1)从2014～2018这五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；(2)从2014～2018这五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均
超过7%的概率；
(3)由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？(不需证明)
解：(1)设“城镇居民收入实际增速大于7%”为事件A，由题图可知，
这五年中2014,2015,2016这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以P(A)＝.
(2)设“至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%”为事件B，这五年中任选
两年，有(2014,2015)，(2014,2016)，(2014,2017)，(2014,2018)，(2015,2016)，(2015,2017)，
(2015,2018)，(2016,2017)，(2016,2018)，(2017,2018)，共10种情况，其中至少有一年农村
和城镇居民收入实际增速均超过7%的为前9种情况，所以P(B)＝.
(3)从2016年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大．
高分推荐题
15．(多选)(2024·江苏常州模拟)在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，以8个顶点中
1 1 1 1
的任意3个顶点作为顶点的三角形叫作K－三角形，12条棱中的任意2条叫作棱对，则(
)
A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，又是等腰直角三角形的概率为
B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，又是等边三角形的概率为
C．一组棱对中2条棱所在的直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为
D．一组棱对中2条棱所在的直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为
解析：对于A，从8个顶点中任取3个顶点构成的直角三角形共有6C＋12×2＝48(个)，
其中等腰直角三角形有24个，所以一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，又是等腰
直角三角形的概率为＝，故A错误．
对于B，从8个顶点中任取3个顶点构成的等腰三角形共有C－12×2＝32(个)，其中的
等边三角形有8个，所以一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，又是等边三角形的
概率为＝，故B正确．
对于C，相互平行的棱对有3C＝18(对)，其中距离为的棱对有6对，所以一组棱对中2
条棱所在的直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为＝，故C正确．
对于D，相互垂直的棱对有48对，其中相互异面的棱对有24对，所以一组棱对中2
条棱所在的直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为＝，故D正确．
答案：BCD
