文档文本内容
第01 讲 三角函数的概念与诱导公式
目录
01
考情解码・命题预警
2
03 体系构建·思维可视.............................................................................................................3
03 核心突破・靶向攻坚...........................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................. 3
知识点1 任意角.................................................................................................................................... 3
知识点2 弧度制.................................................................................................................................... 4
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式..........................................................................................5
知识点4 三角函数的概念................................................................................................................. 5
知识点5 同角三角函数的基本关系式..........................................................................................6
知识点6 三角函数的诱导公式........................................................................................................7
题型破译.............................................................................................................................. 7
题型1 任意角与弧度制......................................................................................................................7
题型2 扇形的弧长与面积................................................................................................................. 8
题型3 扇形中的最值问题................................................................................................................. 9
【方法技巧】最值问题的处理
题型4 三角函数的定义...................................................................................................................10
【易错分析】终边在直线上时需讨论
题型5 三角函数值的符号判定.....................................................................................................11
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值
.......................................................................11
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型7 求
齐次式的值...................................................................................................12
【方法技巧】齐次式的处理
题型8
知一求二.......................................................................................13
题型9 诱导公式的简单运用..........................................................................................................13
题型10 互余型、互补型互化求值
.......................................................................................14
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合
.........................................................................15
04 真题溯源・考向感知.........................................................................................................16
05 课本典例·高考素材...........................................................................................................17
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）三角函数的基本
概念
（2）任意角的三角函
数
（3）同角三角函数的
基本关系
（4）诱导公式
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷T8 （5
分）
北京卷T13 （5
分）
全国甲卷（理）T8 （5
分）
全国甲卷（文）T9 （5
分）
北京卷T12（5 分）
全国甲卷（理）T7（5
分）
全国乙卷（文）T14（5
分）
考情分析：
新高考卷中该专题为高频内容，考察的时候保持“重基础，强综合”的基调，注重公式的变形能力及跨模块融
合，一般会考察三角函数化简求值或特殊值求三家函数值，且考察较为灵活，需加强复习备考，熟练运用公式
复习目标：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念；
2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
4.理解同角三角函数的基本关系式：
；
5.能利用单位圆中的对称性推导出
的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识点1 任意角
1.任意角
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示
如图，射线的端点是圆心
，它从起始位置
按逆时针方向旋转到终止位置
，形成一个角
，射线
分别是角
的________和终边．
“角
”或“
”可以简记成“
”．
（3）角的分类
正角：一条射线绕其端点按________旋转形成的角
负角: 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角
（4）相等角与相反角
①设角
由射线
绕端点
旋转而成，角
由射线
绕端点
旋转而成．如果它们的旋转方向
________且旋转量________，那么就称
.
②我们把射线OA 绕端点O 按________方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角
的相反角记
为
.
③设
是任意两个角．我们规定，把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是
.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
轴的非负半轴重合，那么，角的终边
在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在________上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角
终边相同的角，连同角
在内，可构成一个集合
________，即任一与角
终边相同的角，
都可以表示成角
与整数个周角的和．
温馨提示：（1）
为任意角，“
”这一条件不能漏；
（2）
与
中间用“
”连接，如
可理解成
．
自主检测下列与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 弧度制
1．角的单位制
（1）角度制：规定1 度的角等于周角的
，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad 表示，
读作弧度．
2．角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
________
弧度数
度数
自主检测（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式
弧长公式
面积公式
角度制
弧度制
________
温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意
它的前提是
为弧度制．
（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①
自主检测已知一个扇形的圆心角为
，且所对应的弧长为
，则该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前
提
如图，设
是一个任意角，
，它的终边
与________交于点
定
义
正弦
点
的纵坐标
叫做
的正弦，记作
，即
余弦
点
的横坐标
叫做
的正弦，记作
，即
正切
把点
的纵坐标与横坐标的比值
叫做
的正切，记作
，即
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数
值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数
；余弦函数
正切函数
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确
是一个任意角．
（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和
所在终边上的位置无关，而由角
的
终边位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：________
自主检测若点
是角
终边上一点，则
的值是 .
知识点5 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:
.
（2）商数关系:
________
这就是说,同一个角
的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角
的正切
.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有
意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如
成立,但是
就不一
定成立.
自主检测已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点6 三角函数的诱导公式
诱导公式一：
，
________，
，其中
诱导公式二：
，
，
________
诱导公式三：
________，
，
，其中
诱导公式四：
，
，
________，
知识点诠释：（1）要化的角的形式为
（
为常整数）；
（2）记忆方法：________；
（3）常见变形：
；
．
自主检测已知角
的终边经过点
，则
（1）
的值为 ；
（2）
的值为 ．
题型1 任意角与弧度制
例1-1（多选）下列结论错误的是（ ）
A．第一象限角是锐角
B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等
D．不相等的角，它们终边必不相同
例1-2 已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式1-1】下列说法正确的是 .
①两个角的终边相同，则它们的大小相等；
②若角
为第二象限角，则
是第三象限角；
③第一象限角都是锐角；
④终边在直线
上的角的集合是
.
【变式1-2】如图所示，终边落在阴影部分内的角α 的取值集合为 .
【变式1-3】如图所示，半径为1 的圆的圆心位于坐标原点，点P 从
出发，以逆时针方问等速沿单
位圆周旋转，已知点P 在
内转过的角度为
，经过
到达第三象限，经过
后又回到了
出发点A 处，则
．
题型2 扇形的弧长与面积
例2-1 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ．
例2-2 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 .
【变式2-1】已知扇形的圆心角为
，面积为6，则该扇形的周长为 .
【变式2-2】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为
，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的
比是 ．
【变式2-3】
（多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一
个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为
，其圆心角为
，圆面中剩余部分的面积为
，
当
与
的比值为
时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
（参考数据：
）
A．
B．若
，且扇形的半径
，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径
，则此时的扇形面积为
题型3 扇形中的最值问题
例3-1 已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S 的最大值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
例3-2 如图，
是半径为2 的圆周上的定点，
为圆周上的动点，
.图中阴影区域的面积的最
大值为 .
方法技巧 最值问题的处理
求扇形面积、周长最大值的问题时，常转化为二次函数或基本不等式的最值问题
【变式3-1】在面积为定值S 的扇形中，扇形的周长最小时半径是 .
【变式3-2】小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圆形，要求窗架
围成的总面积为3 平方米．设窗架的周长为
米，矩形下缘为
米．
(1)建立
关于
的函数表达式；
(2)现有10 米的铝合金材料是否够用?（不计算损耗）
（参考数据：
，精确到0.1）
题型4 三角函数的定义
例4-1 若角
的顶点是坐标原点
，始边与
轴非负半轴重合，点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 已知角
的终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
易错分析 终边在直线上时需讨论
若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）
进行分析．
【变式4-1·变考法】如图，单位圆被点
分为12 等份，其中
．角
的始边与x 轴的非负半
轴重合，若
的终边经过点
，则
；若
，则角
的终边与单位圆交于点
（从
中选择，写出所有满足要求的点）．
【变式4-2】已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边上有两点
，
，
且
，则
【变式4-3】已知角
的终边上的点
与
关于
轴对称
，角
的终边上的点
与A 关于直线
对称，则
的值为 .
题型5 三角函数值的符号判定
例5-1 若
，则
的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例5-2 点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式5-1】
0（填“
”或“<”）
【变式5-2】“
”是“
为第二或四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式5-3】若
是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值
例6-1 已知
为第三象限角，且
，则
的值为 ．
例6-2 已知
是第二象限角，且满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错分析 求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式6-1】已知集合
，且A=B，则
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．±1
【变式6-2】若实数
，
满足方程组
，则
的一个值可以是 .（写出满足
条件的一个值即可）
【变式6-3】已知
是三角形的内角，
是方程
的两根.
(1)求角
；
(2)若
，求
.
【变式6-4】如图，在平面直角坐标系
中，锐角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，过
作单位圆
的切线，与
轴和
轴分别交于
，
两点.
(1)若
，求
的周长；
(2)若
，求
的面积.
题型7 求
齐次式的值
例7-1 若
，则
（ ）
A．1
B．
C．9
D．
例7-2 已知
是关于
的方程
的两个实根，且
，则
.
方法技巧 齐次式的处理
（1）对于
或
的求值,将分子分母同除以
或
,化成关于
的式子,从而达到求值的目的.
（2）对于
的求值,可看成分母是1,利用
进行代替后分
子分母同时除以
,得到关于
的式子,从而可以求值.
【变式7-1】已知角
的终边落在射线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（ 2025·安徽·模拟预测）计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式7-3】已知关于
的二次方程
对
恒成立.
(1)求
的取值范围；
(2)当
取得最小值时，求
的值.
题型8
知一求二
例8-1（多选）已知在
中，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2 已知
是方程
的两根，则
.
【变式8-1】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】设
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 诱导公式的简单运用
例9-1 若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2（ 2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，始边与
轴
的非负半轴重合，终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【变式9-1】
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式9-2】黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出
来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数
的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复
出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则
．
【变式9-3】已知
.
(1)已知角
的终边过点
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
题型10 互余型、互补型互化求值
例10-1 已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-2 若
, 则
．
【变式10-1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】设
，则
.（用m 表示）.
【变式10-3】已知函数
．
(1)化简
；
(2)若
，求
的值．
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合
例11-1 已知角
的终边经过点
，将角
的终边绕原点
顺时针旋转
得到角
的终边，则
.
例11-2 若
，且
，则
.
【变式11-1】化简求值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式11-2】如图，在平面直角坐标系
中，以原点
为顶点，
轴非负半轴为始边作角
与
，它们的终边分别与以
为圆心的单位圆相交于点
，且点
的坐标为
，
单位圆与
轴的非负半轴交于点
，
的面积是
面积的
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·浙江·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
3．（2020·山东·高考真题）已知直线
的图像如图所示，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．（2025·北京·高考真题）已知
，且
，
.写出满足
条件的一组
的值
，
．
5．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点
对称.若
，则
的最大值为 ．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若
，则
．
1．若角
与角
的终边相同，则
的终边在（ ）
A．
轴的非负半轴上
B．
轴的非负半轴上
C．
轴的非正半轴上
D．
轴的非正半轴上
2．已知角
是第四象限角，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是第一象限角，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．单位圆上一点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24 齿，小轮有16 齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是
（转/分）时，大轮上每1s 转过的弧长是
，求大轮的半径．
7．已知角
的终边经过点
，且满足
．
(1)若
为第二象限角，求
的值；
(2)求
的值．
8．已知
．
(1)化简
；
(2)若
，求
的值．
