文档文本内容
第05 讲 三角函数的图象与性质
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：三角函数的定义域................................................................................................................4
高频考点二：三角函数的值域...................................................................................................................4
高频考点三：三角函数的周期性................................................................................................................5
高频考点四：三角函数的奇偶性................................................................................................................5
高频考点五：三角函数的对称性................................................................................................................6
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）...................................................................7
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）....................................................8
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）.......................................................9
高频考点九：三角函数中
的求解（
的取值范围与单调性相结合）.................................................10
高频考点十：三角函数中
的求解（
的取值范围与对称性相结合）.................................................11
高频考点十一：三角函数中
的求解（
的取值范围与三角函数的最值相结合）..............................11
第一部分：基础知识
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中
)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
(
)
(
)
(
)
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1) 函数
的最小正周期
．应特别注意函数
的周期为
，函数
(
)的最小正周期
．
(2) 函数
的最小正周期
．应特别注意函数
的周期为
．函数
(
)的最小正周期均为
．
(3)函数
的最小正周期
．应特别注意函数
|的周期为
，函数
(
) 的最小正周期均为
．
3、三角函数的奇偶性
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(1)函数
是奇函数⇔
(
)，是偶函数⇔
(
)；
(2)函数
是奇函数⇔
(
)，是偶函数⇔
(
)；
(3)函数
是奇函数⇔
(
)．
4、三角函数的对称性
(1)函数
的图象的对称轴由
(
)解得，对称中心的横坐标由
(
)解得；
(2) 函数
的图象的对称轴由
(
) 解得，对称中心的横坐标由
(
)解得；
(3)函数
的图象的对称中心由
)解得．
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·天津·高考真题）
，在
上单调递增，且
为它
的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
2．（2024·北京·高考真题）设函数
.已知
，
，且
的最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数
的定义域为 ．
例题2．（23-24 高一下·辽宁本溪·期中）函数
的定义域为 ．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·辽宁沈阳·期中）函数
的定义域为
2．（24-25 高一下·北京·期中）函数
的定义域为
3．（24-25 高一上·山东烟台·期末）函数
的定义域为 .
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（23-24 高一下·上海奉贤·期中）函数
的值域为 ．
例题2．（23-24 高一下·上海长宁·期中）函数
，
的值域为 ．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·浙江·阶段练习）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数
的最小值为 ．
3．（24-25 高三·全国·阶段练习）已知函数
，
，则其值域为 .
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·阶段练习）下列函数中，最小正周期不等于
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高三上·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以
为周期的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·阶段练习）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为
的奇函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的最小正周期．
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知函数
，若函数
为
偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数
为奇函数，则
．
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）已知函数
为奇函数，则m＝（ ）
A．5
B．4
C．
D．1
2．（25-26 高三上·全国·阶段练习）函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
3．（24-25 高一下·上海·期末）已知常数
，函数
为偶函数，则
.
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南·期末）函数
的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·广东中山·阶段练习）写出函数
的一个对称中心
．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·安徽滁州·期末）已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长
度后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·湖南·期末）函数
图象的对称中心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·江西南昌·期末）若点
是函数
图象的一个对称中心，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）
典型例题
例题1．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数
单调递减的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·江西九江·期末）已知函数
的最小正周期为
是曲线
的一条对称轴.
(1)求
；
(2)求
的单调递增区间.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·上海浦东新·期末）函数
的单调递增区间是 ．
2．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）函数
的单调增区间为 .
3．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）已知函数
（
，
）的周期为
，且过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求函数
在
上的单调递减区间.
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河南驻马店·阶段练习）设
，
则有（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·北京西城·期中）已知
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·陕西汉中·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·北京海淀·期中）已知，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）
典型例题
例题1．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为 .
精练高频考点
1．（24-25 高一下·山西临汾·期末）已知函数
（其中
）在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·广东佛山·期中）已知函数
在
上单调递增，则
的
取值范围是 ．
高频考点九：三角函数中
的求解（
的取值范围与单调性相结合）
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江舟山·期末）已知函数
在
上单调
递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·江苏苏州·期末）若函数
在区间
上单调递增，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
，若f（x）在区间
上不单调，且
曲线
的一个对称中心是
，则ω 的最小值是（ ）
A．20
B．16
C．13
D．7
2．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）函数
在
上单调递减，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点十：三角函数中
的求解（
的取值范围与对称性相结合）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江西九江·期末）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象关于
轴对称，则
的值可能是（ ）
A．11
B．13
C．14
D．15
例题2．（24-25 高一下·四川泸州·期末）已知函数
在
上是增函数，则符合条件的
整数
的值为 .
精练高频考点
1．（24-25 高二下·云南·期末）已知函数
的图象关于点
对称，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广西梧州·阶段练习）已知函数
的图象关于直线
对
称，则
的取值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（24-25 高一下·重庆·期中）已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为
.
高频考点十一：三角函数中
的求解（
的取值范围与三角函数的最值相结合）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川成都·期末）函数
在
上有且仅有3 个零点和2 个最小
值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·全国·模拟预测）若函数
在
上单调递减，且在
上的最大
值为
，则
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·四川达州·期末）已知函数
在区间
上的最小值为
，则所
有满足条件的正整数
之和为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．4
2．（24-25 高三·全国·阶段练习）已知
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·湖北荆门·期末）若函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为 .
4．（24-25 高三上·河南·阶段练习）已知函数
在区间
内既有最大值也有最小
值，则
的取值范围是 .
