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第03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系..................................................................................3
高频考点二：求已知函数的极值（点）....................................................................................................4
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数.............................................................................................5
高频考点四：求函数的最值（不含参）....................................................................................................5
高频考点五：求函数的最值（含参）........................................................................................................6
高频考点六：根据函数的最值求参数........................................................................................................8
第四部分：典型易错题型..................................................................................................................................9
第一部分：基础知识
1、函数的极值
一般地，对于函数
，
（1）若在点
处有
，且在点
附近的左侧有
，右侧有
，则称
为
的极小值点，
叫做函数
的极小值.
（2）若在点
处有
，且在点
附近的左侧有
，右侧有
，则称
为
的极大值点，
叫做函数
的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数
在
上连续，在
内可导，求
在
上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求
在
内的极值；
（2）将函数
的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间
的整体而言；
（2）在函数的定义区间
内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数
的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
3．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系
典型例题
例题1．（24-25 高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数
的导函数
的图象，对于下列四个判断，
其中正确的是（ ）
A．当
时，
取得最小值
B．
在上单调递增
C．当
时，
取得极大值
D．
在
上不具备单调性
例题2．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知函数
及其导函数
均为
上的连续函数，且函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．0 是
的极大值点
C．
是
的最大值
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江西·阶段练习）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
处取得极小值
C．
有2 个极值点
D．
有极大值，没有极小值
2．（23-24 高二上·陕西咸阳·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是函数
的极大值点
B．
是函数
的最小值点
C．函数
在区间
上单调递增
D．曲线
在
处切线的斜率小于零
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（24-25 高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数
是奇函数，则
的极小值是（ ）
A．
B．0
C．2
D．
例题2．（24-25 高二下·北京·期中）设函数
，则（ ）．
A．
为
的极大值点
B．
为
的极小值点
C．
为
的极大值点
D．
为
的极小值点
例题3．（24-25 高三下·内蒙古包头·阶段练习）已知函数
在
处取得极值，其中b 为
常数，则
的极大值点为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）函数
的极小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则
的极大值点为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·重庆·期中）函数
的极大值点为 ．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数
在
上无极值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·四川遂宁·期中）已知函数
在
处取得极大值6，则
（ ）
A．
B．8
C．
D．12
例题3．（24-25 高二下·山东潍坊·期中）已知函数
在
处取得极值
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．9
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江西·阶段练习）若函数
存在极值点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·浙江·期中）若
，
，且函数
在
处有极值，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
存在唯一极值点，则实数a 的取值范围为
.
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东·阶段练习）函数
的最小值为 ．
例题2．（24-25 高二下·福建·期中）设函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
精练高频考点
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·江苏扬州·期中）已知函数
，且满足
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的最大值与最小值．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2025·辽宁·三模）已知函数
．
(1)当
时，判断过点
且与曲线
相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求
的最值．
例题2．（24-25 高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数
；
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·上海徐汇·期中）已知
，
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)设
，若
，求
时函数
的最大值．
2．（24-25 高二下·山东青岛·期中）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值．
高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（24-25 高二下·福建福州·期中）已知函数
在
上的最大值为，则实数
的
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·福建·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
例题3．（24-25 高二下·上海·期中）已知函数
．
(1)当
时，判断
在定义域上的单调性；
(2)若函数
在
上的最小值为
，求实数
的值．
精练高频考点
1．（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
2．（2025·河北·三模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
3．（24-25 高二下·江苏常州·期中）已知函数
（其中
为常数）在
处取得极值.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
在
上的最大值为2，求
的值.
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案
1．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）已知函数
，当
时，
有极大值，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
或1
2．（24-25 高二下·北京·期中）已知函数
在
处取得极小值，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．
或2
