文档文本内容
第04 讲 简单的三角恒等变换
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：三角函数式的化简................................................................................................................3
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）.....................................................................................6
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）.....................................................................................8
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）....................................................................................11
高频考点五：半角公式.............................................................................................................................15
高频考点六：万能公式.............................................................................................................................18
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................21
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1）
.
（2）
.
（3）
.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）
其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）设
，
，
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】
，
，
，
由于
在
上单调递增，所以
，
即
，
故选：D
例题2．（23-24 高一下·全国·课后作业）（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，试求
的值；
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）先用和差化积公式分别将
进行变形，求出
，再用万能公式
求得
的值；
（2）先用和差化积公式分别将
进行变形，求出
，再用万能公式求得
的值；
【详解】（1）
.
又
.
由①②，得
，即
.
；
（2）因为
，所以
.①
又因为
，所以
. ②
因为
，
所以由①②，得
，即
.
所以
.
例题3．（23-24 高一·全国·课后作业）已知
，求
，
，
的值．
【答案】
；
；
【分析】用半角公式计算．
【详解】解
，
，
．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
，
，求
、
、
的值.
【答案】
，
，
.
【分析】由
的范围可得
，进而利用半角公式即可求解.
【详解】∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
.
2．（2024 高一上·全国·专题练习）化简
，其中
．
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可.
【详解】由
，可得
，
所以
，
由
，可知
，
得原式
．
3．（24-25 高一上·陕西西安·期末）（1）化简：
；
（2）求值：
．
【答案】（1）
；（2）1
【分析】（1）化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；
（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.
【详解】（1）
；
（2）
.
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
例题1．（23-24 高一下·安徽芜湖·开学考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.
【详解】
.
故选：A
例题2．（2025·湖南永州·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】先将
进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】
.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
2．（23-24 高一·全国·课后作业）
．
【答案】
【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行
化简，由此可求结果.
【详解】原式
，
故答案为：
.
3．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）计算求值：
(1)计算
的值；
(2)已知
、
均为锐角，
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果；
（2）利用同角三角函数的基本关系可求得
、
的值，再利用两角差的正弦公式可求得
的值.
【详解】（1）解：
．
（2）解：
、
都为锐角，则
，
，
，
．
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·湖北咸宁·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案.
【详解】
，故
，故
，
所以
.
故选：D
例题2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知
，则
.
【答案】
【分析】以
为整体，利用诱导公式可得
，再根据倍角公式结合齐次式问题运算
求解.
【详解】因为
由
.
故答案为：
.
例题3．（24-25 高一下·江西南昌·期中）已知
，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角范围分析依次求得
、
即可由
结合两角和余
弦公式求解；
（2）由（1）和
结合两角差的正切公式求解.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
又因
，
， 故
，
因为
，
，则
，
则
．
又因为
，
所以
（2）由1 知：
，
，
因为
，所以
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山东淄博·期末）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意切化弦可得
，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为
，可得
，
又因为
，可得
，
所以
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·山东烟台·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将
用
表示为
，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得.
【详解】因
，
则
.
故选：A.
3．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出
，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得
的值；
（2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】（1）因为
，
所以，
，
故
.
（2）
.
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川内江·期中）已知
，
，且
、
是方程
的两根，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解
，结合角的范围，即可求解.
【详解】由条件可知，
，
，且
，
所以不妨设
，则
，
，则
，所以
.
故选：C
例题2．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知锐角
，
满足
，
(1)求
的值．
(2)求
的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角关系可得
，再结合倍角公式运算求解；
（2）先根据同角三角关系求
，再利用两家和差公式可求
，即可得结果.
【详解】（1）因为
，
，则
，
，
所以
.
（2）因为
，
，则
，
则
，
且
，所以
.
例题3．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）已知
，
.
(1)求
和
的值；
(2)若
，
为锐角，求
的值；
(3)若
，
为锐角，求角
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）先利用同角基本关系式和
的范围求
，接着利用二倍角公式求
；
（2）先求
，再利用
得解；
（3）利用二倍角正切公式得
，再求
，结合角的范围得解.
【详解】（1）因为
，且
所以
，
又
，所以
，
因此
，
；
（2）因为
，
，所以
，
又
，则
，
则
，
则
，
所以
；
（3）因为
，
，则
，且
，
则
，
又
，所以
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）设
是方程
的两根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理求出
，再利用两角和的正切公式求出
，即可得解.
【详解】因为
是方程
的两根，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，
所以
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·四川德阳·阶段练习）已知
，
，
，
．
(1)求
；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出
的范围，即可求出
，
；
（2）首先求出
，再根据
利用两角和的余弦公式求出
，即可
得解.
【详解】（1）
，
，
，
又
，
，
则
．
（2）
，
，
，
所以
．
又
，
，
，
．
3．（24-25 高一下·四川成都·期末）已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解.
（2）利用同角公式及差角的正弦公式求出
即可.
【详解】（1）由
，得
，
所以
.
（2）由
，得
，由
，
得
，则
，
所以
.
高频考点五：半角公式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·陕西·阶段练习）如果
，
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先去绝对值，根据二倍角公式求
和
，即可求解
的值.
【详解】由条件可知，
，则
，
因为
，所以
，则
，
，
则
，则
，
，
所以
.
故选：B
例题2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
，且
，则
.
【答案】
【分析】由
，结合余弦二倍角公式求得
，再结合半角公式即可求解.
【详解】由
，得
，解得
或
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
例题3．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若
，且
，
是
的两个根，则
.
【答案】
/
【分析】先根据韦达定理得到
，再由
，然后结合同角的平方关系求得
，求出
，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为
、
为关于x 的方程
的两个根，
所以
，
又因为
，
所以
，
又
，所以
，
，
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·辽宁·期中）已知
是第四象限角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解.
【详解】因为
是第四象限角，又因为
，则
，
所以
.
故选：D.
2．（23-24 高一下·河北保定·开学考试）已知
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式可得出
的值，利用同角三角函数的基本关系可得出
的值，利用二倍
角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得
的值；
（2）方法一：求出
的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出
的正弦值和余弦值，即可得出
的正切
值；
方法二：由
代值计算即可得解；
方法三：计算出
的值，利用二倍角的正切公式可得出
的方程，求出
的取值范围，即可得出
的值.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
，
所以
．
（2）解：方法一：因为
，所以
，则
，
，
所以
，
，
则
．
方法二：
．
方法三：
，解得
或
，
因为
，所以
，则
，故
．
高频考点六：万能公式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得
，再由二倍角正切公式可得
，再
应用齐次式法求
.
【详解】由
，
得
，
则
，而
．
故选：B
例题2．（24-25 高一·全国·课后作业）已知
且
，求：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】先由同角的平方关系得到
的值，从而得到
，结合万能公式，分别代入（1）（2）中计
算即可.
【详解】（1）因为
，所以
，于是
．
设
．
．
（2）
．
精练高频考点
1．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】由万能公式可得
，根据已知得方程求
即可.
【详解】由
，
所以
，则
，
由
，则
.
故选：A
2．（2024·河北·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】将
用
替换后，解方程解出
即可.
【详解】因为
，
可得
，
可得
，
解得
，因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关
于直线
对称，若
，则
.
【答案】
/
【分析】首先根据对称轴求出
的关系，然后利用二倍角公式化简
并计算即可.
【详解】因为角
的终边关于直线
对称，
由已知得
，即
，
所以
，
所以
．
故答案为：
.
第四部分：典型易错题型
易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误
1．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得
、
，且
，再应用差角余弦公式
求
，即可得.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，则
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
2．（24-25 高三上·广东梅州·阶段练习）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出
，进而求出
，确定
的
范围即可得解.
【详解】由
，得
，
则
，而
，解得
，
因此
，由
，
，
得
或
，则
，
所以
.
故选：C
3．（24-25 高一下·上海·阶段练习）已知
，
，
，
，则
．
【答案】
【分析】首先分别求出
，
，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案.
【详解】由
得
，
因
，则
，则
，
因为
，
，则
，则
，
则
，则
，
则
，
，
则
.
故答案为：
.
