文档文本内容
第04 讲 正弦定理和余弦定理
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形（三角形个数问题）...............................................................4
高频考点二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）............................................4
高频考点三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理综合应用）.......................................................5
高频考点四：判断三角形的形状................................................................................................................6
高频考点五：三角形面积相关问题（求三角形面积）..............................................................................6
高频考点六：三角形面积相关问题（三角形面积的最值（范围））.......................................................8
高频考点七：三角形周长（边）相关问题（求三角形周长（边长））..................................................10
高频考点八：三角形周长（边）相关问题（三角形周长（边长）的最值）..........................................11
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................14
备注：锐角三角形周长取值范围问题，注意考查角的取值范围.............................................................14
第五部分：新定义题........................................................................................................................................15
第一部分：基础知识
1、正弦定理
1.1 正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在
中， 若角
、
及
所对边的边长分别为
，
及
，则有
1.2 正弦定理的推广及常用变形公式
在
中， 若角
、
及
所对边的边长分别为
，
及
，其外接圆半径为
，则
①
②
；
；
；
③
④
⑤
，
，
（可实现边到角的转化）
⑥
，
，
（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1 余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在
中，内角
，所对的边分别是
,则：
；
2.2 余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
①
；
②
；
③
（其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的内切圆半径）；
④
(其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若
或
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形（三角形个数问题）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·河南·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，符合下列条件的三角
形有且只有一个的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一下·河南南阳·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，若三角形有两解，则边
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高一下·甘肃白银·期末）在
中，
，
．若
有两个解，则
的取值可能为（ ）
A．9
B．8
C．10
D．11
2．（多选）（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
.已知
，若角
有两解，则
的值可以是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
3．（多选）（24-25 高一下·陕西渭南·阶段练习）在
中，
，若该三角形有且只有一
解，则AC 的值可能为（ ）
A．6
B．2
C．4
D．8
高频考点二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例题
例题1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则角C 的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）设
的内角
的对边分别为
，且
，
，
，则
.
精练高频考点
1．（2025 高一·全国·专题练习）在
中，已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·重庆·期末）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
3．（24-25 高二下·内蒙古·期末）在锐角
中，角
的对边分别是
．若
，则
．
高频考点三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理综合应用）
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，
角
的大小为 ．
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，给出下列四
个结论：
①若
，则
； ②若
，则
；
③若
，则
； ④若
，则
.
其中正确结论的序号 .
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在
中，已知
，
，
边上的中线
，
则
．
2．（2025 高一·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
，
，则边长
．
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
．
高频考点四：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江苏南通·期中）在
中，已知
，则
的形状为
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，若
，则
一定是 三角
形．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·天津·阶段练习）在
中，已知
，且
，则该三角形
的形状是 ．
2．（23-24 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
中，角
的对边分别是a、b、c，若
，则
的形状是 .
3．（2010 高一·全国·竞赛）
的三边
满足
且
，则
的形状是 .
高频考点五：三角形面积相关问题（求三角形面积）
典型例题
例题1．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
的面积.
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
(1)求
；
(2)若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
2．（24-25 高二下·河北·期末）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求c；
(2)设D 为
边上一点，且
，求
的面积．
3．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
中，设A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
(1)求A 的值；
(2)若点D 在AC 上，
且
，求
的面积．
高频考点六：三角形面积相关问题（三角形面积的最值（范围））
典型例题
例题1．（24-25 高三上·天津·期中）已知
的内角
所对应的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
(3)若
，
的面积为，求的最大值．
例题2．（24-25 高一下·河南驻马店·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，已知
(1)化简上述等式，求出角B 的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·黑龙江绥化·期末）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
2．（24-25 高一下·四川眉山·期末）已知
分别为
三个内角
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
是
边的中点，
，求
面积的最大值．
3．（24-25 高一下·山东聊城·期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)若
的边c 上的高等于
.
（i）当
时，求
的值；
（ii）求
面积的最小值.
高频考点七：三角形周长（边）相关问题（求三角形周长（边长））
典型例题
例题1．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）在
中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
的面积为
且
，求
的周长．
例题2．（2025·江西萍乡·三模）已知
中，
，且
.
(1)若
，求
的外接圆面积；
(2)若
，
，
的面积为
，求
的周长.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)若
的面积为
，且
，求
的周长
．
2．（24-25 高一下·河北承德·期末）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
3．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
高频考点八：三角形周长（边）相关问题（三角形周长（边长）的最值）
典型例题
例题1．（2025·上海·三模）在
中，角
，
，
所对边的边长分别为
，
，，且满足
(1)求角
的值；
(2)若
，求
周长的最大值.
例题2．（2025·江西新余·模拟预测）已知
、
、分别为斜
中角
、
、
的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
的面积为
，求
的最小值．
例题3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
例题4．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
3．（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
4．（2025·新疆喀什·二模）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：锐角三角形周长取值范围问题，注意考查角的取值范围
1．（24-25 高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
对应的边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)求
的取值范围.
2．（24-25 高三下·全国·开学考试）在锐角三角形
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
第五部分：新定义题
1．（24-25 高一下·重庆江北·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马
点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当
的三个内角均小于120°时，满足
的点O 为费马点；
②当
有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点M 为
的费
马点，且
．
(1)判断
的形状；
(2)若
的周长为
，求
的最小值；
(3)若
，求实数t 的最小值．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，对任意两个向量
.作：
，
当
不共线时，记以OM，ON 为邻边的平行四边形的面积
为
当
共线时，规定
．
(1)分别根据下列已知条件求
；
①
；
②
；
(2)若向量
，求证：
；
(3)记
，且满足
，求
的最大值.
3．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）如图，设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别为
、
同向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
(1)在
仿射坐标系中，若
，求
；
(2)在
仿射坐标系中，若
，
，且
与
的夹角为
，求
；
(3)如图所示，在
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，
，
，
、
分
别为
、
中点，求
的最大值.
