第 18 讲 平面几何托勒密定理
1. 托勒密定理
若四边形 ABCD 有外接圆,则 AB⋅CD + AD⋅BC = AC ⋅BD .
2. 推论: 三弦定理
若
四
边
形
ABCD
有
外
接
圆
,
则
AC ⋅sin ∠BAD = AB⋅sin ∠CAD + AD⋅sin ∠BAC .
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【例 1 】在圆周上逆时针摆放了 A ,B ,C , D 四个点, 已知
BA =1,BC =2,BD =3 , ∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为( )
A. 2❑√5 B. 2❑√6 C. 2❑√7 D. 前三个答案都不对
【分析】从四点共圆出发, 借助托勒密定理可获得边的关系.
解法一: (托勒密定理)
由 ∠ABD =∠DBC 得 AD = DC ,
而 A ,B ,C , D 四点共圆,
故 AB⋅CD + BC ⋅AD = BD⋅AC ,
所以 CD+2 AD =3 AC ，
所以 AC =CD = AD ，
所以 ∠ABD =∠CBD =60
∘ .
在 △ABC 中,由余弦定理可得 AC =
❑√A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos120
∘= ❑√7
,
再由正弦定理得直径 2 R =
AC
sin120
∘= 2❑√21
3
.
解法二: (三弦定理)
如图，设 ∠ABD =∠DBC =θ ，
由三弦定理得 BD⋅sin∠ABC = AB⋅sin∠DBC + BC ⋅sin∠ABD ,
所以 3sin 2θ =3sinθ ,
所以 cosθ = 1
2 ,解得 θ =60
∘ ,
在 △ABC 中,由余弦定理可得 AC =
❑√A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos120
∘= ❑√7
,
再由正弦定理得直径 2 R =
AC
sin120
∘= 2❑√21
3
.
【解答】D
【例 2】如图,在锐角 △ABC 中, ∠B =60
∘, P 为 AB 的中点, Q 为外接圆
上弧 AC (不包含点 B ) 的中点, H 为 △ABC 的垂心,如果 P , H ,Q 三点共
线,求 ∠A 的度数.
【分析】直接求 ∠A 存在困难,可以考虑转化为求 ∠A 的余角 ∠HBA ,
从圆心出发添辅助线.
【解答】如图，取圆心 O ，连结 CO 并延长交圆于 D 点，连结
BD , DA , AH ,BH , PD ,OB ,则由 H 为垂心得 BH ⊥AC ,
由 CD 为直径得 ∠CAD =90
∘ ,即 DA ⊥CA ,
得 BH // DA ,同理得 BD // AH ,
即得四边形 BHAD 为平行四边形,则 D , P , H 三点共线,
进而 D , P , H ,Q 四点共线.
因为 ∠B =60
∘ ,所以 ∠CDA =60
∘ ,
所以 AD = 1
2 CD = R ,所以 OQ = AD = BH .
又因为 BH ,OQ 均与 AC 垂直,得 OQ // BH ,
所以四边形 OBHQ 为平行四边形.
又因为 OQ =OB ,所以四边形 OBHQ 为菱形,所以 ∠OBQ =∠HBQ .
因为 ∠OBQ =∠BQD =∠BCD =∠BAD =∠ABH ,且 ∠BCO=∠CBO ,
可得 ∠CBO=∠OBQ =∠QBH =∠HBA = 1
4 ∠CBA =15
∘ ,
所以 ∠A =90
∘−∠HBA =75
∘ .
【例 3】如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 M , E 是 CD 延长
线上一点, AB =10,CD =8,3 ED = 4OM , EF 切圆 O 于点 F ,BF 交 CD 于点
G .
(1) 求线段 EG 的长；
(2) 连结 DF ,判断 DF 与 AB 是否平行,并加以证明.
【分析】要求 EG ,根据圆的性质,可以将求 EG 转化为求 EF ,再通过切
割线定理求得 EF 的长度.
【解答】(1) 由 AB =10,CD =8 ，得 OM =
❑√5
2−4
2=3 ，
所以 ED = 4
3 OM = 4 .
连结 AF ,因为 EF 为切线,所以 ∠EFB =∠BAF .
由 ∠AMG=∠AFG=90
∘ 可得 A , M ,G , F 四点共圆,所以 ∠FGE =∠MAF
,
所以 ∠FGE =∠GFE ,即 EF = EG ,
再由切割线定理可得 E F
2= ED⋅EC = 4×12 ,所以 EF = 4 ❑√3 ,
所以 EG = 4 ❑√3 .
(3) 假设 DF 与 AB 平行，则 FD⊥CD ，所以 CF 为直径，
可得 D F
2=10
2−8
2=36 ，
在 Rt △EFD 中,由 E F
2= D E
2+ D F
2 可得 D F
2= 48−4
2=32 ,
显然 36≠32 ,矛盾,假设不成立,故 DF 与 AB 不平行.
【例 4 】在菱形 ABCD 中, ∠BAD =60
∘, P 是 BC 延长线上一点,
AP∩CD = E ,BE∩PD =Q ， AP 与 △ABD 外接圆交于点 F ，则()
A. E , F , D ,Q 四点共圆 B. B , F , P ,Q 四点共圆
B. B , F ,C , E 四点共圆 D. C , P , F , D 四点共圆
【分析】从四点共圆的条件出发来考虑.
如图， ∠ADB =∠AFB =∠ECB =60
∘ ，
则 B , F ,C , E 四点共圆，故 C 正确.
同时 ∠DFP=∠DCP=120
∘ ,则 C , P , F , D 四点共圆,故 D 正确.
因为 B , F ,C , E 四点共圆,所以 ∠EBC =∠EFC .
又因为 C , P , F , D 四点共圆,所以 ∠PDC =∠PFC =∠EFC ,
因此 ∠EBC =∠PDC ,所以 D ,B ,C ,Q 四点共圆,
则 ∠DQB =∠DFA =∠DCB =60
∘ ,则 E , F , D ,Q 四点共圆,故 A 正确.
则 ∠BFP=∠BQP=120
∘ ,则 B , F , P ,Q 四点共圆,故 B 正确.
【解答】 ABCD
【例 5】设 AB ,CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径,弦 DF 交 AB 于点
E , DE =24 , EF =18 ,则 OE = ( )
A. 4 ❑√6 B. 5 ❑√3
C. 6 ❑√2 D. 前三个答案都不对
【分析】 OE 的长度显然和 DE 有关,根据相交弦定理可得 OE 和半径
R 的关系.
记圆 O 的半径为 R ,
因为 AE⋅EB = DE⋅EF =(R+OE)⋅(R−OE) ,
所以 R
2−O E
2=24×18= 432 .
在 Rt △DOE 中, R
2+O E
2= D E
2=576 ,
则 2O E
2=576−432=144 ,解得 OE =6 ❑√2 .
【解答】C
【例 6】如图, △ABC 内接于 ⊙O ,过 BC 的中点 D 作平行于边 AC
的直线 l ,l 交 AB 于点 E ,交 ⊙O 于点 G , F ,与 ⊙O 在点 A 处的切线交
于点 P ，若 PE =3, ED =2, EF =3 ，则 PA = _____.
【分析】因为 l // AC 且 D 为 BC 的中点,
故 ED 是 △ABC 的中位线,所以 AE = BE .
又因为 PA 为切线,可得 ∠PAE =∠ACB =∠EDB ,
且 ∠AEP=∠BED ,故 △PAE∽△BDE ,
于是 PE
AE = BE
ED ,且 AE = BE ,
所以 A E
2= PE⋅ED =3×2=6 .
由相交弦定理可得 AE⋅EB =GE⋅EF =6 ,解得 GE=2 ,
再由切割线定理可得 P A
2= PG⋅PF =1×6 ,则 PA = ❑√6 .
【解答】 ❑√6
