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第14 题 空间几何体的分割问题（一题多变）
【浙江省宁波中学2025 届高三下学期4 月月考T8】如图，一个体积为1 的四面体
靠
在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点
在底面上，现向该正方体缓慢注水，已
知液面经过
时的高度分别为，
，
，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体
分割成的几何体中，表面积最大的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】
根据题意分别作出液面经过
时的截面
和
，两截面把四面体分成上，中，下
3 个几何体，结合条件分析可得中间几何体的表面积最大，根据分割法即可求出中间几何
体的体积.
【详解】如图，当液面经过
，且与
分别交于点
，当液面经过点
，且与
分别交于点
，由于液面经过
时的高度分别为，
，
，
容易知道
，
，
，
，
，
，所以
.
记三棱锥
，三棱锥
，几何体
，的表面积分别为
.
则
.
.
.
所以三个几何体中，易知几何体
的表面积
最大，设
点到平面
的距离
为，则
点到平面
的距离为
，根据分割法可得几何体
的体积为：
由题意知
，所以
.
故选C.
【题后反思】
此题是一道空间几何体的分割问题，难点一是需要准确作出对应的截面，找到表面积最大
的几何体；二是需要结合已知条件利用分割法求几何体的体积，并且在求体积的过程中需
要准确利用截得的锥体底面积和高与原来四面体的底面积和高的关系求解.
变背景，仍用分割法求体积
【变化角度】改变原题中的背景条件，仍利用分割法解决几何体的体积问题，
如下：
例：已知三棱锥
如图所示，
两两垂直，且
，点
分别是棱
的中点，点
是棱
上靠近点
的三等分点，则空间几何体
的体积为 .
【思路分析】
过点
作
，交
于点
，证明
平面
，分别求出三棱锥
的体积，再根据
即可得解.
【详解】如图，过点
作
，交
于点
，
因为
，
，
，
，
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，且
，
因此
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
【举一反三】
1．如图，三棱锥P-ABC 的体积为V，E，F 分别是棱PB，PC 上靠近点P 的三等分点，G
是棱AB 上靠近点B 的三等分点，H 是棱AC 上靠近点C 的三等分点，则多面体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1 角楼的顶部即为
十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三
棱柱有一个公共侧面
，且四边形
为正方形．在底面
中，若
，
，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变为求分割后体积的比值问题
【变换角度】改变问题角度，将求体积变为求截面分割后的几何体体积的比值
问题，如下：
例：如图，在体积为
的正四棱锥
中，
，
，设平面
与直
线
交于点
，记四棱锥
的体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】
利用四点共面中的向量关系来求解
，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解
答问题.
【详解】如图所示，
由
四点共面，且四边形
为正方形，
可得
，
由
，
，设
，
可得：
，即
，
根据
四点共面，可得
，
即
，
设
，
分别是点
到平面
和点
到平面
的距离，则
，
所以
，
，
，
同理，
，
，
，
则四棱锥
与四棱锥
的体积比为
.
故选：D.
【举一反三】
3．如图，三棱柱
中，
是
上靠近
的四等分点，平面
将三棱柱分
成体积为
，
两部分，则
（ ）
A．9：7
B．
C．
D．
4．如图，点
分别是正四棱锥
的棱
的中点，设
平面
，
则
与
长度之比为 ，四棱锥
被平面
分成上下两部分体积之比为
．
变为探究注水的高度，体积问题
【变换角度】改变问题角度，变求几何体的体积为求注水的高度、体积等问题，
如下：
例：一个正方体形状的容器，
是两个侧面的面对角线，且
，该容器如图
放置，点A 恰在水平面
上，使得矩形
恰与水平面
垂直．已知点B 到平面
的距
离为
，点C 到平面
的距离为
，点D 到平面
的距离为
．容器中装有水，
若水面到平面
的距离为
，则所装的水的体积为 ．
【思路分析】
不妨设正方体的边长为
，过点B 作
平面
，过点C 作
平面
，水面与
交于点M，与
交于点N，由
可求出
，再分别求出棱台上、下
底面积，由棱台和棱柱的体积公式即可得出答案.
【详解】不妨设正方体的边长为
，则
，
如图，过点B 作
平面
，过点C 作
平面
，
水面与
交于点M，与
交于点N，则
，
因为四边形
是矩形，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
则
，解得：
．
所以
，
同理可得，
．
因为容器内部剩余部分是一个棱台，如下图，连接
，
设水面与平面
交于直线
，
由正方体的性质知，
平面
，所以
平面
，
所以
，又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，又因为矩形
与平面
垂直，
所以
平面
，因为水面与平面
平行，所以
平面
，
假设
与
相交，而
，
平面
，
则平面
平面
，又平面
与平面
相交，故矛盾，
所以
，故侧棱台上底、下底为等腰直角三角形，
则侧棱台上底为等腰直角三角形，直角边长为
，
棱台下底也为等腰直角三角形，直角边长为
，
所以上底面面积
，
下底面面积
，高
，
所以剩余部分的体积为
．
所以水的体积为
．
故答案为：
.
【举一反三】
5．长方体
为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为
的水（未盛
满容器），已知
，
，
．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角
形，则
的取值范围是 ．
6．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱
容器中注
入了一定量的水，若将侧面
固定在地面上，如图2 所示，水面恰好为
（水面
与
，
，
，
分别相交于
，
，
，
），若将点
固定在地面上，如图3
所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为
，则在图2 中
=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，正三棱柱
的底面边长为1，高为3，已知
为棱
的中点，
分别在棱
上，
，记四棱锥
，三棱锥
与三棱锥
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平行六面体
中，
是线段
上的一点，且
，则
三棱锥
的体积与平行六面体
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．图1 是一个水平放置且高为6 的直三棱柱容器
，现往内灌进一些水，设水
深为.将容器底面的一边
固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面
形状恰好为
，如图2，则
（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
10．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中
“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两
个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”
中，
平面
，
分别为
、
、
、
的中点，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，
和
交于
，平面
、平面
、平面
将阳马
分割成一个
“仓”，2 个“堑堵”和2 个小“阳马”，那么分割后2 个小“阳马”的体积和与“阳马”
体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平
行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，
那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面
半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底
面半径为R，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面
去截
这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相
等．若用垂直于半径的平面
去截半径为R 的半球，且球心到平面
的距离为
，则平
面
所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ．
12．已知在直三棱柱
中，
，
，
，
，
分别是
，
上的点，且
，现沿平面
将该三棱柱截成两部分，则几何体
的体积为 ．
13．（如图甲）
是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料
厚度不算），底面
为平行四边形. 现将容器以棱
为轴向左侧倾斜（如图乙），这
时水面恰好经过
，且
分别为棱
的中点，设棱锥
的高为2，则
图甲中，容器内的水面高度为 .
14．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称
“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，
是一个水平放置的装有一定量水
的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面
为平行四边形，设棱锥高为h，体
积为V，现将容器以棱
为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过
，其中E，
F 分别为棱
，
的中点，设容器中水的体积为
，图甲中的水面高度为
，则
，
.
