文档文本内容
第04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................1
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：分离变量法...........................................................................................................................4
高频考点二：分类讨论法...........................................................................................................................9
高频考点三：等价转化法.........................................................................................................................15
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为
，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就
、
、
分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令
,讨论导数的符号即可;
（2）构造
,计算
的最大值,然后与0 比较大小,得出
的分界点,再对
讨论即可.
【详解】（1）
令
,则
则
当
当
,即
.
当
,即
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减
（2）设
设
所以
.
若
,
即
在
上单调递减,所以
.
所以当
,符合题意.
若
当
,所以
.
.
所以
,使得
,即
,使得
.
当
,即当
单调递增.
所以当
,不合题意.
综上,
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性
在定义域内是减函数,若
,当
,对应当
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江苏宿迁·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的极值点；
(3)若对任意
，
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)极小值点为
，无极大值点；
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）求导，确定函数单调性即可求解；
（3）参变分离
，设
，求其最值即可求解.
【详解】（1）由题设
的定义域是
，
，
则
，
，
所以
，即
，
即
在
处的切线方程为
.
（2）当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，
由
，得
，当
时，
；当
时，
，
即
在
单调递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，无极大值点.
（3）当
时，
不等式
，
设
，
依题意，
，
，
求导得
，
由
，得
；
由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
例题2．（24-25 高二下·山西长治·期中）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，t 为整数，且当
时，不等式
恒成立，求t 的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)4
【分析】（1）求出导数，再按
分类求出单调区间.
（2）把
代入，等价变形不等式并构造函数
。利用导数探讨其最小值取值情况
即可得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
的单调递减区间是
；
当
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）当
时，
，
当
时，不等式
，
令
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
，则存在
，使得
，
当
时，
，即
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
依题意，
，而是整数，因此
，
所以t 的最大值为4.
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·三模）设函数
在
处的切线经过坐标原点，
(1)求
；
(2)是否存在实数
使得函数
关于直线
对称，若存在，求出
的值，若不存
在，说明理由；
(3)若
恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
，
(3)
【分析】（1）利用导数求得
，进而可求切线方程；
（2）存在
，
满足题意，计算可得
；
（3）当
时，由题意可得
恒成立，令
，求得最大值，再证明
且
时，
恒成立即可.
【详解】（1）
，
，
，
切线方程为
，代入
得
；
（2）存在
，
满足题意，证明如下：
，
，
故函数
关于直线
对称；
（3）当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
故
在
上单调递减，注意到
，
所以
时，
，
，
单调递增，
时，
，
，
单调递减，
故
，故
，得
；
下证
且
时，
恒成立，
即证
恒成立，只需证
恒成立，
构造函数
，则
，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
故
，所以
，
所以
，证毕；
综上所述，的取值范围为
．
2．（24-25 高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
对任意
恒成立，求正实数
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
(2)
【分析】（1）求出
，在定义域内，令
求得
的范围，可得函数
增区间，令
求得
的范围，可得函数
的减区间；
（2）对一切
，
恒成立等价于
对一切
恒成立，利用导数
可得
的最小值为
，从而可得结果；
【详解】（1）
，
，
.
令
，解得
；令
，解得
，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
（2）由
，即
，
又
，整理得
，
所以 “
对任意
成立”等价于“
对任意
恒成立”.
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增.
，
又
是正实数，即
，
.
即所求实数
的取值范围是
.
3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
单调递减，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用给定单调性建立恒成立不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由
在
上单调递减，得
对
恒成立，
则
对
恒成立，设
，
求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
因此
，函数
在
上单调递减，则
，
，
所以实数
的取值范围是
.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
(1)
时，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）将
代入解析式，求出
，
，进一步求出
，再利用点斜式即可
求出切线方程；
（2）求导后，进行分类讨论，分
和
来讨论函数的单调性；
（3）将恒成立问题转化为最值问题，分
和
进行讨论，结合函数的单调性，当
时，
在
上单调递增，且
，不合题意，当
时，把问题转化为
，得到不等式
，令
，利用导数来研究即可．
【详解】（1）当
时，
，
，
，
，
，
；
（2）函数
的定义域为
．
当
时，
恒成立，
在R 上单调递增；
当
时，由
，解得：
；由
，解得：
．
在
上单调递减，
上单调递增．
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
上单调递增．
（3）要使
恒成立，只需
恒成立．
由（2）可知，当
时，
在
上单调递增，且
，
当
时，
，不合题意，舍去．
当
时，
在
上单调递减，
上单调递增，
，
只需
，即
在
时恒成立．
记
，则
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
，
只有
符合题意．
综上所述，实数
的取值范围为
．
例题2．（24-25 高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求证：
在
上单调递减；
(2)若
在
上恒成立，求a 的取值范围；
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而可求最值，进而可证明；
（2）构造函数
，求出导数，对参数
分类讨论即可.
【详解】（1）若
，则
，所以
，
令
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，所以
在
上单调递减；
（2）若
在
上恒成立，即为
在
上恒成立，
令
，
所以
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
当
时，
，所以
在
上单调递减，所以
，符合题意；
当
时，令
，所以
，设方程的解为
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
则当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
时，
，不符合题意；
当
时，
，故
在
上单调递增，所以
，不符合题意；
综上，
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（山东省东明县第一中学等校联考2024-2025 学年高二下学期第二次月考数学试题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
时，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程；
（2）由题可得当
时，可得
，据此可得答案.
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由
，得
.
当
时，
，所以当
，即
时，
，
单调递增，
所以
在区间
上的最小值为
.
令
，得
，所以
.
当
，即
时，若
，则
，
单调递减；
若
，则
，
单调递增，
所以
在区间
上的最小值为
.
令
，
解得
.综上，
的取值范围为
.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即得切线方程；
（2）解法一：将函数求导，根据参数
的取值，判断函数的单调性，验证是否满足条件，可发现在
时，需使
，用
换元后，讨论函数的单调性和零点即得参数
的范围；解法
二：将
进行整理，通过
换元，从而将不等式
化简为
恒成立，继
而利用其单调性推得
，即得
，通过求函数
的最小值即得参数
的范围.
【详解】（1）当
时，
，函数定义域为
，
则
，
所以
，
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：
，
，
，∵
，∴
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，
不满足
恒成立，故舍去；
当
时，当
时，
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减，
则
的最大值为
，
依题意
恒成立，
令
，
，
，
则
，则
在
上单调递增，
又
，故
等价于
，
所以
且
，
即
，则
的取值范围是
.
解法二：由题意得
，
设
，则
恒成立，
又因为
恒成立，即函数
在
上为增函数，
又
，所以要使
恒成立，需使
，
即
，得
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
从而
，即
的取值范围是
.
3．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
，
对
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
和
；
(2)
【分析】（1）先求出函数
的定义域，再求导，令
，即可求出
的单调递增区间；
（2）分
，
，
三种情况讨论
在
上的单调性，借助导数及单调性分别求出
在
上的最小值，令
，即可求出实数a 的取值范围．
【详解】（1）函数
的定义域为
．
当
时，
，
，
令
，解得
或
，
所以
的单调递增区间为
和
；
（2）
，
，
令
，解得
或
，
当
时，
当
时，
，
在
单调递增；
因为
对
恒成立，所以
，
即
，移项可得
，
因为
，所以
满足条件；
当
时，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
所以当
时，
取到最小值，即
，
因为
对
恒成立，所以
，
即
，
令
，所以
，
令
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，所以
在
上单调递减，
又因为
，且
，所以
．
综上，实数a 的取值范围为
．
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出函数在某点处的导数，再结合该点的坐标，求出切线方程.
（2）构造一个新函数，通过研究新函数的单调性和最值来确定参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
又
，则
，
所以曲线
在
处的切线方程为
.
（2）令
，
，易得
在
单调递增，
故
，所以
，
令
，有
，
又
，
，
令
，则
，
所以
，
故
在
上单调递增，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
即
恒成立.
当
时，
，而
在
上单调递增，
且当
时，
，
故存在
，使得
，故当
时，
，
此时
在
单调递减，此时
，与题设矛盾.
综上所述，
.
所以实数
的取值范围为
.
例题2．（24-25 高二下·广东广州·期中）已知函数
，
，其中
为常数.
(1)若
时，求函数
图象在点
处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
(3)
【分析】（1）当
时，
，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方
程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解；
（2）将函数
，
代入
，对函数
求导得
.对
分
和
两类讨论
在
上的符号情况即可求解；
（3）令
，
.依题意，
在
恒成立，故
.结合（2）
中
在
上的单调性即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
∴
，
，∴
，
∴由点斜式方程可知函数
图象在点
处的切线方程为：
，即
.
令
得
，即该切线与
轴相交于点
；
令
得
，即该切线与
轴相交于点
，
∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为
.
即函数
图象在点
处的切线方程为
，与坐标轴围成的三角形的周长为
.
（2）∵
，
，
∴
，∴
.
∵
，
∴当
时，
，
，∴
，
此时
在
上单调递增；
当
时，∵
，令
，解得
；
令
，解得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）令
，
.
依题意，
在
恒成立，故
.
由（2）知：当
时，
在
上单调递增，
此时
，解得
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时显然当
时
，不符合题意.
综上，实数
的取值范围
.
精练高频考点
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，写出曲线
的两条相互垂直的切线方程，并说明理由．
(2)设
，当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求曲线
在点
处的切线方程，进而求得另一条切线方程；
（2）令
，即当
时，
即可，利用导数研究单调性，验证
即可求解.
【详解】（1）两条切线方程可以是
，
（答案不唯一）．
理由如下：当
时，函数
的定义域为
，
，
令
，
，
，曲线
在点
处的切线方程为
；
由题意，另一切线与直线
垂直，则其斜率为-1，
令
，解得
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，整理得
．
（2）令
，由题意，当
时，
．
，由
，得
或
，
若
，则
，当
时，
，
单调递增，
，不合题意；
若
，则
，
单调递减，
，不合题意；
若
，则
，当
时，
，
单调递减，此时只需
，解得
，
满足题意．
综上，
的取值范围为
．
2．（24-25 高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数
．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】(1)
时，
在
上单调递减，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间；
（2）由
，不等式
恒成立，转化为
，构造函数
，分类讨论求解单调性，求出
的范围.
【详解】（1）由
，求导得，
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，令
，则
，
当
，
，则
在
上单调递减，
当
，
，则
在
上单调递增，
故
时，
在
上单调递减，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由
，不等式
恒成立，
转化为
，
构造函数
，
求导
若
时，则
，所以
在
单调递减，
由于
对于
成立，
当
时，则
，
故
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，但是
，不满足题意.
故整数
的最大值为
.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)探究函数
的零点个数；
(3)证明：当
时，
；当
时，
.
【答案】(1)
(2)0
(3)证明见详解
【分析】(1)根据函数导数的实际意义,求切线方程即可.
(2)通过整体换元法，改变函数零点的求法，根据换元的范围求出方程的根，判断是否有零点.
(3)构造函数,通过函数导数证明函数单调递增且过
,即可证明原题.
【详解】（1）因为
,所以
.
得
,可得切线方程为
.
（2）由题意知
,化简得
令
，则
，且
，
所以
无零点.
（3）设函数
则
，
得
，
设函数
，可知
为单调增函数，当
时
，
则在
上，
，
，
，
单调递增，且
，
所以在
上，
，
，
则在
上，
，
，
，
，
单调递增，
所以在
上，
，
，综上原命题得证.
