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第04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：分离变量法...........................................................................................................................3
高频考点二：分类讨论法...........................................................................................................................5
高频考点三：等价转化法...........................................................................................................................8
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江苏宿迁·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的极值点；
(3)若对任意
，
恒成立，求实数a 的取值范围.
例题2．（24-25 高二下·山西长治·期中）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，t 为整数，且当
时，不等式
恒成立，求t 的最大值．
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·三模）设函数
在
处的切线经过坐标原点，
(1)求
；
(2)是否存在实数
使得函数
关于直线
对称，若存在，求出
的值，若不存
在，说明理由；
(3)若
恒成立，求的取值范围．
2．（24-25 高三下·上海黄浦·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
对任意
恒成立，求正实数
的取值范围．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在
单调递减，求实数
的取值范围.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
(1)
时，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围．
例题2．（24-25 高三下·安徽安庆·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求证：
在
上单调递减；
(2)若
在
上恒成立，求a 的取值范围；
精练高频考点
1．（山东省东明县第一中学等校联考2024-2025 学年高二下学期第二次月考数学试题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
时，
，求
的取值范围.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
3．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
，
对
恒成立，求实数a 的取值范围．
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围.
例题2．（24-25 高二下·广东广州·期中）已知函数
，
，其中
为常数.
(1)若
时，求函数
图象在点
处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
精练高频考点
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，写出曲线
的两条相互垂直的切线方程，并说明理由．
(2)设
，当
时，
，求
的取值范围．
2．（24-25 高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数
．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)探究函数
的零点个数；
(3)证明：当
时，
；当
时，
.
