文档文本内容
第04 讲 幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：幂函数的定义.......................................................................................................................2
角度1：求幂函数的值........................................................................................................................ 2
角度2：求幂函数的解析式.................................................................................................................3
角度3：由幂函数求参数.....................................................................................................................3
高频考点二：幂函数的值域.......................................................................................................................4
高频考点三：幂函数图象...........................................................................................................................4
角度1：判断幂函数图象.....................................................................................................................4
角度2：幂函数图象过定点问题.........................................................................................................5
高频考点四：幂函数单调性.......................................................................................................................6
角度1：判断幂函数的单调性.............................................................................................................6
角度2：由幂函数单调性求参数.........................................................................................................6
角度3：由幂函数单调性解不等式......................................................................................................7
高频考点五：幂函数的奇偶性...................................................................................................................7
高频考点六：二次函数...............................................................................................................................8
角度1：二次函数值域问题.................................................................................................................8
角度2：求二次函数解析式.................................................................................................................8
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数.......................................................................................9
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数.....................................................................................10
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.................................................................................10
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中
是自变量，
是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
性
定义域
质
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上单
调递增
在
上
单调递减；
在
上
单调递增
在
上单调
递增
在
上单
调递增
在
和
上单
调递减
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数
，在
①当
时，
在
单调递增；
②当
时，
在
单调递减；
2、二次函数
形如
的函数叫做二次函数.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（23-24 高三上·贵州黔南）已知幂函数
的图象过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·辽宁抚顺·开学考试）若函数
是幂函数，且
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
精练高频考点
1．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）已知幂函数
的图象过点
，则
.
2．（24-25 高三上·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数
的图象过点
，则
.
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广西柳州·开学考试）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·新疆·模拟预测）幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件
的一个函数解析式 ．
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）若幂函数的图像过点
，则此函数的解析式是
.
2．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数
的图象经过点
，则
．
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
是幂函数，则实数
的值是
（ ）
A．1 或
B．
C．2
D．
或2
例题2．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）“
或
”是“幂函数
为偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
精练高频考点
1．（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
2．（24-25 高三·广东湛江·阶段练习）已知幂函数
在定义域内单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是
．
精练高频考点
1．（23-24 高一上·河北石家庄·期中）若幂函数
的图象过点
，则
的值域为 ．
2．（23-24 高二上·北京延庆·期末）函数
的值域为 ．
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）图中
、
、
为三个幂函数
在第一象限内的图象，则指
数
的值依次可以是（ ）
A．
，3，
B．
，3，
C．
，
，3
D．
，
，3
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（23-24 高一上·四川凉山·期末）函数
的图象恒过点 .
精练高频考点
1．（24-25 高一上·上海·期中）函数
（
是有理数）的图象过一定点
，则
的坐标为 .
2．（23-24 高一上·福建莆田·期中）已知函数
的图象恒过定点
，若点
在一次函数
的图
象上，其中
，
，则
的最小值为 .
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（24-25 高二下·江西南昌·期中）下列函数中，在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一上·广东·期中）幂函数
的图象经过点
，则
是（ ）
A．偶函数，且在
上是减函数
B．偶函数，且在
上是增函数
C．奇函数，且在
上是减函数
D．非奇非偶函数，且在
上是增函数
精练高频考点
1．（24-25 高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）幂函数
在
上为减函数，则实数
的值为（ ）
A．2 或
B．0
C．1
D．2
例题2．（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知幂函数
在定义域内单调递增，则
．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·上海·阶段练习）幂函数
在
上是严格增函数，且经过
，则a 的值可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·云南昭通·期中）使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（24-25 高一上·安徽合肥·期末）若幂函数
，且在
上是增函数，则
实数
．
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知幂函数
的图象关于y 轴对称，且在
上单调递增，则满足
的a 的取值范围是 ．
例题2．（24-25 高三上·北京·期中）已知幂函数
在定义域上不单调．
(1)求函数
的解析式；
(2)函数
是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若
，求实数
的取值范围．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知幂函数
的图象关于
轴对称，且
，则
；若
，则实数
的取值范围是 ．
2．（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知幂函数
是偶函数，则不等式
的解集为 ．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（24-25 高三上·重庆九龙坡·期末）若幂函数
的图象关于原点对称，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
例题2．（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
是幂函数，且
是奇函数，则
．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·云南昭通·期中）使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）当
时，函数
的最大值和最小值分别是（ ）
A．5，1
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·北京·期末）函数
的值域为
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山西忻州·开学考试）二次函数
在
上的最大值为 ，对应的
的值为 .
2．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，
，则
的值域为
.
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知某二次函数的图象与
轴交于点
，点
，且过点
，则该二次函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知
为二次函数，满足
，则函数
．
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，
函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为 .
2．（23-24 高三上·湖北武汉·开学考试）根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式.
(1)已知抛物线的顶点是
，且过点
；
(2)已知抛物线过三点：
，
，
.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）若函数
的单调递增区间是
，则实数
的取值范围是 ；
（2）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围
为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）若
是函数
的单调递增区间，则实数a 的值为
.
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·上海）已知函数
在区间
上的值域为
，则
的取值范围
是 .
例题2．（24-25 高三上·上海静安·阶段练习）若函数
的值域是
，则实数m
的取值范围是 .
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
时的最小值为
，则实数的取值范
围是 ．
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上的最大值为5，最小值为
，
则
的取值范围是 ．
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江西宜春·期中）已知函数
，不等式
的解集
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
在
上的最小值为
，求
的表达式及
的最小值．
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）已知二次函数
，在
上有最小值
，求
的解析式．
精练高频考点
1．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
2．（24-25 高三上·上海长宁·阶段练习）已知常数
，求函数
的最小值：
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知二次函数
，在
上有最大值
，求
的
解析式．
.
