文档文本内容
第04 讲 幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：幂函数的定义.......................................................................................................................2
角度1：求幂函数的值........................................................................................................................ 2
角度2：求幂函数的解析式.................................................................................................................3
角度3：由幂函数求参数.....................................................................................................................5
高频考点二：幂函数的值域.......................................................................................................................6
高频考点三：幂函数图象...........................................................................................................................7
角度1：判断幂函数图象.....................................................................................................................7
角度2：幂函数图象过定点问题.......................................................................................................10
高频考点四：幂函数单调性..................................................................................................................... 11
角度1：判断幂函数的单调性...........................................................................................................11
角度2：由幂函数单调性求参数.......................................................................................................12
角度3：由幂函数单调性解不等式....................................................................................................14
高频考点五：幂函数的奇偶性..................................................................................................................16
高频考点六：二次函数.............................................................................................................................18
角度1：二次函数值域问题...............................................................................................................18
角度2：求二次函数解析式...............................................................................................................19
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数.....................................................................................21
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数.....................................................................................23
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.................................................................................25
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中
是自变量，
是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
性
定义域
质
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上单
调递增
在
上
单调递减；
在
上
单调递增
在
上单调
递增
在
上单
调递增
在
和
上单
调递减
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数
，在
①当
时，
在
单调递增；
②当
时，
在
单调递减；
2、二次函数
形如
的函数叫做二次函数.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（23-24 高三上·贵州黔南）已知幂函数
的图象过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求幂函数的值
【分析】设
，结合
可求得
的值，可得出函数
的解析式，代值计算可得出
的值.
【详解】设
，则
，所以
，故
，
因此
.
故选：A.
例题2．（24-25 高三上·辽宁抚顺·开学考试）若函数
是幂函数，且
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式
【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出
，代入求值.
【详解】设
，由
得
，解得
，所以
，
所以
．
故选：C
精练高频考点
1．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）已知幂函数
的图象过点
，则
.
【答案】27
【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式
【分析】将点代入幂函数解析式（含参），求得参数值，即得函数表达式，由此即可求解.
【详解】设
，将点
代入得
，解得
，
所以
.
故答案为：27
2．（24-25 高三上·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数
的图象过点
，则
.
【答案】
【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式
【分析】利用幂函数过点计算求参，再计算求出函数值.
【详解】幂函数
的图象过点
，
，解得
，
，则
故答案为：
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广西柳州·开学考试）下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式
【分析】首先通过该幂函数为奇函数排除A、B，由定义域可排除C，再分析D 可得答案.
【详解】由于幂函数为奇函数，而AB 选项的解析式非奇函数，故可排除，
对于C，
为奇函数，但是
，故可排除，
对于D，
为奇函数，且经过
两点，满足题意，
故选：D.
例题2．（2025·新疆·模拟预测）幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件
的一个函数解析式 ．
【答案】
或
(答案不唯一)
【知识点】求幂函数的解析式
【分析】设出幂函数解析式，将
代入即可求得结果.
【详解】幂函数
在
上是减函数，设
，则
，
因为
有很多解，如
、
、
、
等均符合题意.
故答案为：
或
(答案不唯一)．
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）若幂函数的图像过点
，则此函数的解析式是
.
【答案】
【知识点】求幂函数的解析式
【分析】待定系数法，设幂函数的解析式
，代点可得.
【详解】设幂函数
，代入点
，得
，所以
，
所以函数的解析式
.
故答案为：
2．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数
的图象经过点
，则
．
【答案】
/
【知识点】求幂函数的解析式
【分析】由待定系数法即可代入求解.
【详解】设
，则
，故
，则
，
故答案为：
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
是幂函数，则实数
的值是
（ ）
A．1 或
B．
C．2
D．
或2
【答案】D
【知识点】根据函数是幂函数求参数值
【详解】由幂函数的定义知
，解得
或
．
例题2．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）“
或
”是“幂函数
为偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件的证明、根据函数是幂函数求参数值
【分析】运用幂函数定义及充要条件的定义判断.
【详解】由
为幂函数，可得
，解得
或
，
且
时，
为偶函数，
当
时，
也为偶函数
，故“
或
”是“幂函数
为偶函数”的充要条件．
故选：C．
精练高频考点
1．（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【答案】A
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于
的方程和不等式即可求解.
【详解】由题意可得
.
故选：A
2．（24-25 高三·广东湛江·阶段练习）已知幂函数
在定义域内单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为
为幂函数，且在定义域内单调递增，
所以
，解得
.
故选：C
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是
．
【答案】
【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值域
【分析】根据幂函数定义代入点可得
，即可得函数值域.
【详解】设幂函数
，
代入点
可得
，即
，
可得
，
因为
，可得
，所以该幂函数的值域是
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（23-24 高一上·河北石家庄·期中）若幂函数
的图象过点
，则
的值域为 ．
【答案】
【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值域
【分析】设
，根据条件求出
，然后可得答案.
【详解】设
，因为幂函数
的图象过点
，所以
所以
，所以
故答案为：
2．（23-24 高二上·北京延庆·期末）函数
的值域为 ．
【答案】
/
【知识点】分段函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、求幂函数的值域
【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可
【详解】当
时，
在
上单调递减，
所以
；
当
时，
在
上单调递减，
所以
；
所以函数
的值域为
，
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】幂函数图象的判断及应用、幂函数的奇偶性的应用
【详解】当
时，
的图象如图所示，又知
为偶函数，所以图象关于
轴对称．
例题2．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数图象选择解析式
【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案.
【详解】对于A，
，定义域为
，当
时，
，不符合题意；
对于B，当
时，
，不符合题意；
对于C，
，定义域为
，函数为偶函数，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，符合题意；
对于D，
，当
时，
，不符合题意，
故选：C
精练高频考点
1．（24-25 高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】幂函数图象的判断及应用、由幂函数的单调性求参数
【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可.
【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为
，在第一象限内单调递增，
且图象呈现上凸趋势，则指数
的值满足
，排除选项AD；
又
的定义域为R，
的定义域为
，
故
符合题意.
故选：C
2．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）图中
、
、
为三个幂函数
在第一象限内的图象，则指
数
的值依次可以是（ ）
A．
，3，
B．
，3，
C．
，
，3
D．
，
，3
【答案】D
【知识点】幂函数图象的判断及应用
【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可.
【详解】由图可知，
：在第一象限内单调递减，则指数
的值满足
；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数
的值满足
；
：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数
的值满足
.
故选：D.
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（23-24 高一上·四川凉山·期末）函数
的图象恒过点 .
【答案】
【知识点】幂函数图象过定点问题
【分析】根据幂函数的图象过定点求解.
【详解】令
，
此时，无论
取何值，都有
.
所以函数图象恒过点
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一上·上海·期中）函数
（
是有理数）的图象过一定点
，则
的坐标为 .
【答案】
【知识点】幂函数图象过定点问题
【分析】根据幂函数恒过定点
求解.
【详解】由幂函数的性质可知，
恒过定点
，
故答案为：
2．（23-24 高一上·福建莆田·期中）已知函数
的图象恒过定点
，若点
在一次函数
的图
象上，其中
，
，则
的最小值为 .
【答案】4
【知识点】幂函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】求出函数
的图象恒过定点
，得到
，使用基本不等式求
的最小值.
【详解】函数
的图象恒过定点
，所以
,
因为
，所以
，
当
时，
的最小值为4.
故答案为：4
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（24-25 高二下·江西南昌·期中）下列函数中，在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】判断一般幂函数的单调性
【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性直接判断即可.
【详解】函数
，
，
在
上都是单调递增的，BCD 不是；
函数
在
上单调递减，A 是.
故选：A
例题2．（24-25 高一上·广东·期中）幂函数
的图象经过点
，则
是（ ）
A．偶函数，且在
上是减函数
B．偶函数，且在
上是增函数
C．奇函数，且在
上是减函数
D．非奇非偶函数，且在
上是增函数
【答案】B
【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质逐项判断.
【详解】设幂函数
，由
，得
，解得
，则
，
函数
的定义域为R，且
，所以
是偶函数，
根据二次函数的性质可知，
在
上是增函数，故B 正确.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25 高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可.
【详解】根据幂函数奇偶性知
和
为奇函数，故BD 错误；
对C，
，当
时，
，此时单调递增，故C 错误；
对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在
上单调递减，故A 正确.
故选：A.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）幂函数
在
上为减函数，则实数
的值为（ ）
A．2 或
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据幂函数的单调性与定义，建立方程与不等式，可得答案.
【详解】由题意可得
且
，整理可得
且
，
解得
.
故选：D.
例题2．（24-25 高一下·广东·阶段练习）已知幂函数
在定义域内单调递增，则
．
【答案】
/
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【分析】利用幂函数的性质建立方程求解参数，再结合幂函数的单调性取舍即可.
【详解】因为幂函数
在定义域内单调递增，
所以
，解得
或
，
当
时，
，由幂函数性质得
在定义域内单调递减，不符合题意，
当
时，
，由幂函数性质得
在定义域内单调递增，符合题意.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·上海·阶段练习）幂函数
在
上是严格增函数，且经过
，则a 的值可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性
【分析】根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点
，可排除B 和 D.
【详解】因为幂函数
在
上是严格增函数，所以
，故A 错误.
对于B，若
，则
，当
时，
，
不经过
，故B 错误.
对于C ，若
，则
，当
时，
，
经过
，故C 正确.
对于D，若
，则
，定义域为
，不符合题意，故D 错误.
故答案为：C.
2．（23-24 高一上·云南昭通·期中）使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数
【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案.
【详解】因
为偶函数，则
不能为
，
，
可以为
，
.
又
在
上是减函数，则
.
故选：C
3．（24-25 高一上·安徽合肥·期末）若幂函数
，且在
上是增函数，则
实数
．
【答案】2
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，判断在
上是增函数即可．
【详解】若幂函数
在区间
上是增函数，
则由
解得：
或
，
时，
，是增函数，
时，
，在
上是减函数（不合题意，舍去），
故答案为：2．
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知幂函数
的图象关于y 轴对称，且在
上单调递增，则满足
的a 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式
【详解】因为幂函数
的图象关于y 轴对称，且在
上单调递增，所以
为正偶数，所以
，则不等式
，即
．因为函数
在
上单调递减，所以
或
或
解得
或
，所以满足
的a 的取值范围是
．
例题2．（24-25 高三上·北京·期中）已知幂函数
在定义域上不单调．
(1)求函数
的解析式；
(2)函数
是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)奇函数，理由见解析；
(3)
.
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由幂函数
的单调性解不等式
【分析】（1）由幂函数的定义可得
或
，结合函数
的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由幂函数
，得
，解得
或
，
若
，则
在定义域
内单调递增，不合题意；
若
，则
在定义域
内单调递减，
但
在定义域
内不单调，符合题意；
所以函数
的解析式为
.
（2）函数
为奇函数，理由如下：
函数
的定义域
关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数.
（3）由
及
为奇函数，
得
，
即
，
而
在
上递减且恒负，在
上递减且恒正，
所以
或
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围
.
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知幂函数
的图象关于
轴对称，且
，则
；若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】 2
或
【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解
不等式
【详解】由题意知函数
在区间
上单调递增，所以
，解得
，
由
得
．又
的图象关于
轴对称，所以
为偶数，所以
，所以
．不等式
等价于
，解得
或
．
2．（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知幂函数
是偶函数，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式
【分析】根据幂函数的定义，结合
是偶函数，可得
，再根据单调性解不等式
即可.
【详解】
幂函数
是偶函数，
，解得
或
，
当
时，
为奇函数，不符合题意，
当
时，
为偶函数，符合题意，
,
在
内单调递增，且为偶函数，
可化为
，
两边取平方可得：
，
整理的
，解得
，
的解集为
.
故答案为：
.
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（24-25 高三上·重庆九龙坡·期末）若幂函数
的图象关于原点对称，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】D
【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值
【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.
【详解】由幂函数的定义，得
，解得
或
.
若
，则
，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意；
若
，则
，定义域为
，且
，
所以
为偶函数，其图象关于y 轴对称，不符合题意，舍去.
故选：D
例题2．（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
是幂函数，且
是奇函数，则
．
【答案】
【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值
【分析】由幂函数由
求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m 即可.
【详解】由题设
，可得
，则
或
，
当
，则
为奇函数，满足题设；
当
，则
为偶函数，不满足题设.
所以
.
故答案为：
精练高频考点
1．（23-24 高三上·云南昭通·期中）使幂函数
为偶函数，且在
上是减函数的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数
【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案.
【详解】因
为偶函数，则
不能为
，
，
可以为
，
.
又
在
上是减函数，则
.
故选：C
2．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性
【分析】根据幂函数的性质得到
，则
，其对称轴方程为
，根据单调性得到不等
式，求出答案.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故选：A.
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）当
时，函数
的最大值和最小值分别是（ ）
A．5，1
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】配方后即可求解.
【详解】函数
，
当
时，函数
的最大值和最小值分别是
.
故选：C.
例题2．（23-24 高三上·北京·期末）函数
的值域为
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】根据给定条件，利用二次函数性质求出值域.
【详解】当
时，
，
，
当
，即
时，
，当
，即
时，
，
所以所求值域为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山西忻州·开学考试）二次函数
在
上的最大值为 ，对应的
的值为 .
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】由二次函数的性质求解即可.
【详解】
，
所以二次函数
对称轴为
，且开口向上，
当
时，二次函数
在
上取最大值且最大值为：
.
故答案为：
；
.
2．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，
，则
的值域为
.
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域
【分析】由题意，利用换元法（令
）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性
质即可求解.
【详解】令
，则
，
原函数可变形为
，
其图象为开口向上的抛物线，对称轴为
，
所以该二次函数在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，函数取到最小值，为
；
当
时，得
，
所以
在
的值域为
.
故答案为：
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知某二次函数的图象与
轴交于点
，点
，且过点
，则该二次函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求二次函数的解析式、函数
【分析】依题意设二次函数的解析式为
，代入点
的坐标即得.
【详解】因二次函数的图象与
轴交于点
，点
，
故可设二次函数的解析式为
，
把点
代入得
，解得
，
故
.
故选：A.
例题2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知
为二次函数，满足
，则函数
．
【答案】
【知识点】求二次函数的解析式
【分析】设
，由题意可得
，解方程可得答案.
【详解】设
，
由
，得
，
则
，
∴
，解得
.
所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，
函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为 .
【答案】
【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式
【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点
代入即可得解.
【详解】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，
将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
2．（23-24 高三上·湖北武汉·开学考试）根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式.
(1)已知抛物线的顶点是
，且过点
；
(2)已知抛物线过三点：
，
，
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】待定系数法、求二次函数的解析式
【分析】（1）利用二次函数的顶点式即可求解；
（2）设所求二次函数关系为
，将三个点的坐标代入即可求解.
【详解】（1）∵抛物线顶点
，∴可设所求二次函数关系式为
，
把
代入上式，得
，∴
，
∴所求二次函数关系式为
，即
.
（2）设所求二次函数关系为
，
把
，
，
分别代入
，
得
，解得：
，
∴此抛物线的函数解析式为：
.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）若函数
的单调递增区间是
，则实数
的取值范围是 ；
（2）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【详解】（1）对称轴直线
恰好在直线
处，即
，即
．
（2）对称轴直线
应在直线
处或其左侧，即
，解得
．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围
为 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】函数
图象的对称轴为直线
，由
在
上不单调，得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
.
【答案】
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式即可求解.
【详解】由题意，
，得
.
所以
的取值范围是
，
故答案为：
2．（2025 高三·全国·专题练习）若
是函数
的单调递增区间，则实数a 的值为
.
【答案】0
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】求出函数的单调递增区间，进而求出
值.
【详解】函数
的单调递增区间是
，
依题意，
，所以
.
故答案为：0
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·上海）已知函数
在区间
上的值域为
，则
的取值范围
是 .
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】根据函数解析式作出函数
图象，求方程
的解，结合图象确定
的范围.
【详解】因为
，
又
，
，
所以函数
的图象为开口向下，对称轴为
，过点
的抛物线，
作函数
的图象如下：
结合对称性可得
，
因为函数
在区间
上的值域为
，
所以
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
例题2．（24-25 高三上·上海静安·阶段练习）若函数
的值域是
，则实数m
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】根据函数
的单调性，结合其最值和端点值即可得到
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上是增函数，在
上是减函数，
且
，
，
所以函数
在区间
上的值域是
，必有
．
故答案为：
．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
时的最小值为
，则实数的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】由对称轴求得最小值为
，确定
，求解即可.
【详解】由
，可得对称轴为
，
当
时，
，
也即
，
解得：
，
故答案为：
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上的最大值为5，最小值为
，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】根据题意结合二次函数性质和图象分析求解即可.
【详解】因为函数
，
可知函数
图象的对称轴为直线
，且函数
的最小值为
．
令
，解得
或4，
因为
在区间
上的最大值为5，最小值为
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江西宜春·期中）已知函数
，不等式
的解集
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
在
上的最小值为
，求
的表达式及
的最小值．
【答案】(1)
(2)
，
．
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求二次函数的解析式、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可；
（2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算
最小值即可.
【详解】（1）∵
，不等式
的解集
，
0
∴，5 为
的两个根，
∴
，
∴
.
（2）由（1）知，
，其对称轴是
，
i.当
时，易知
在
递增，
故
，
ii．当
即
时，
，
iii．当
即
时，函数
在
上单调递减，
，
综上，
，
所以，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
且
，则
．
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
的最大值为
；当
时，
的最大值为
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）
可得对称轴为
，根据开口向上即可求解；
（2）由（1）有对称轴为
，开口向上，根据
的范围分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意有函数
，可得二次函数的图象开口向上，且对称
轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
的最大值为
；
当
时，函数
的最大值为
；
综上，当
时，函数
的最大值为
；
当
时，
的最大值为
．
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）已知二次函数
，在
上有最小值
，求
的解析式．
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】根据二次函数的性质，讨论对称轴与区间
的位置求对应最小值，即可得
.
【详解】由
开口向上且对称轴为
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
当
时，
，
综上，
.
精练高频考点
1．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
【答案】(1)
．
(2)
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得
；
（2）讨论二次函数的对称轴
和区间
的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，所以
的最小值为
，
综上可得，
在
上的最小值为
2．（24-25 高三上·上海长宁·阶段练习）已知常数
，求函数
的最小值：
【答案】见解析
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】根据二次函数的性质即可分类求解.
【详解】
，
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，故
，
当
时，
在
单调递增，故
，
综上可得
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知二次函数
，在
上有最大值
，求
的
解析式．
【答案】
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】∵
，对称轴是
，开口向上，
当
，即
时，有
，
当
，即
时，有
，
∴
.
