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第04 讲 幂函数与二次函数
A 夯实基础 B 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断函数是否是幂函数
【解析】略
2．（24-25 高一下·江西·期中）已知幂函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、比较函数值的大小关系
【分析】由幂函数的定义及单调性即可判断.
【详解】由幂函数的定义可知，
，解得
，所以
，则
为偶
函数，A 错误；
在
上单调递减，在
上单调递增，B 错误；
由单调性可知，当
时，
，
，C 正确，D 错误．
故选：C
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）幂函数
及直线
，
，
将平面直角坐
标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那
么幂函数
的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦
B．④⑧
C．③⑧
D．①⑤
【答案】D
【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性
【详解】取
得
，故在第⑤卦限；再取
得
，故在第①卦限．
4．（2025 高一上·河北保定·专题练习）将抛物线
先向上平移2 个单位，再
向左平移1 个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求二次函数的解析式、函数
【分析】根据函数平移规则得出解析式即可.
【详解】将抛物线
先向上平移2 个单位，再向左平移1 个单位，
则平移后所得抛物线表达式为
.
故选：B.
5．（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求二次函数的值域或最值
【分析】利用二次函数的性质求出指定区间上的值域.
【详解】函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
，
所以所求值域为
.
故选：C
6．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【答案】C
【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性、用导
数判断或证明已知函数的单调性
【分析】由幂函数的定义求出
，由函数奇偶性得到A 错误，求出定义域，求导得到函
数的单调性，从而判断BCD.
【详解】因为
是幂函数，根据幂函数的定义可知
，
当
时，
，等式成立，
因为
在R 上单调递增，故
为唯一解.
此时
，其定义域为
.
A 选项，
，所以
是偶函数，A 选项错误.
B 选项，对
求导，可得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在其定义域上不单调递减的，B 错误；
C 选项，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
，C 选项正确.
D 选项，
，
在
上单调递增，
，
所以
，即
，D 错误.
故选：C.
7．（24-25 高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数
在区间
上单调
递减，则函数
的图象过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值
【分析】由幂函数的性质求出
，再由指数函数的性质可得.
【详解】因为幂函数
在区间
上单调递减，
则
解得
，
所以，
，则
，即函数
的图象过定点
.
故选：A.
8．（24-25 高一下·湖南怀化·期末）函数
在区间
上是单调递减
的，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可.
【详解】由题意,
的图象开口向上，对称轴为直线
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，
解得
.
故选：C.
9．（24-25 高一上·陕西西安·期末）若函数
在区间
上不具有单调
性，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】讨论两种情况，
时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间
上不具
有单调性，可判断对称轴在区间
上，进而得到答案.
【详解】
时，
在
上递减，不合题意；
时，函数
图象的对称轴为直线
，
因为函数
在区间
上不具有单调性，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：A.
二、多选题
10．（24-25 高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数
的值域是
，则其定义
域可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的值域求定义域
【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答.
【详解】由
，得
，即
，得
．
由
，得
，即
或
．
故定义域内必须含有1，0 与2 至少含有一个，且定义域一定是
的子集．
设定义域为
，若
，则
，则A 成立；
若
，则
，则B，C 成立；
D 不可能为定义域．
故选：ABC.
三、填空题
11．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知幂函数
是
上的偶函
数，且函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值
【详解】由条件得
，解得
或
，当
时，
，该函数是
定义域为
的奇函数，不符合题意；当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，符合题意．所以
，则
，其对称轴方程为
，因为
在区间
上单调递减，则
，解得
．
12．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的最小值在
内取得，则
实数a 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】根据二次函数性质结合最小值计算求参.
【详解】
时函数
取得最小值，
所以由
的最小值在
内取得，得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
四、解答题
13．（24-25 高一上·吉林通化·阶段练习）（1）求函数
的值域.
（2）求二次函数
在区间
上的最小值.
【答案】（1）
；（2）
=
【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】（1）利用分离参数求值域即可；
（2）根据二次函数对称轴分类讨论即可求解.
【详解】（1）
，因为
0，所以2+
，
所以值域为
；
（2）函数
的图象对称轴是
，
所以当
时，f（x）在区间
上单调递增，
所以
最小值为
；
当
时，
在区间
单调递减，
所以
最小值为
；
当
时，f（x）最小值为
，
综上，
=
14．（24-25 高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的值；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)
【知识点】根据函数是幂函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、幂函数
的奇偶性的应用
【分析】（1）根据幂函数的定义可得
或
，再根据奇偶性可得
；
（2）利用二次函数单调性列不等式，可得解.
【详解】（1）由幂函数的定义，有
，解得
或
，
①当
时，
，函数
为奇函数，不合题意；
②当
时，
，函数
为偶函数，满足题意；
由上知，实数
的值为2.
（2）由（1）知，
，有
，
又由函数
的对称轴方程为
.
若函数
在区间
上单调，有
或
.
可得
或
.
故实数
的取值范围为
.
B 素养提升
1．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）幂函数
都有
成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
或
C．
是偶函数
D．
是奇函数
【答案】D
【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与
判断
【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到
的值，再根据奇偶性定义可得到结果.
【详解】解：因为
是幂函数，所以
，解得
或
，
因为
，都有
成立，所以该函数在
是减函数，
所以
，故A，B 错误；
，定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以
是奇函数，故D 正确，C 错误.
故选：D.
2．（24-25 高一下·广西贵港·期中）已知函数
在
上具有单调性，则
k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可.
【详解】由题意二次函数对称轴为：
，
要使得函数
在
上具有单调性，
需满足
或
，
得
或
，
则k 的取值范围为
．
故选：B
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）如图，二次函数
的图象经过点
，且与x 轴交点的横坐标分别为
，其中
，给出下列结论：
①
；②
；③
；④
．其中正确的结论有
（填写正确结论的序号）．
【答案】①②③
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、二次函数的图象分析与判断
【详解】设
，则
，所以
．由图可知
，①正确；由图可知
，对称轴为直线
，所
以
，②正确；由图可知
，联立
将
代
入上述不等式组得
两式相加得
，解得
，③正确；由图可知
，所以
，④错误．
4．（23-24 高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数
(1)当
，求函数
的值域
(2)解关于
的不等式
(3)当
时，
，使得
，求实数
的取值范围
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二
次不等式
【分析】（1）已知
，把
代入函数
，将函数化为顶点式
，因为完全平
方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域.
（2）先把
化简为
，通过求判别式
，根据
取
值不同分情况讨论.当
，求出对应方程两根，得到不等式解集；当
，不等式解集
为
；当
，求出对应方程根，得到不等式解集.
（3）先确定
对称轴，结合
范围得出
值域
，已知
值域
.根据
是
的子
集，列出不等式组求解，再结合
确定
范围.
【详解】（1）当
时，
所以
（2）
，得
，
时，
对应方程的两根为
当
或
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
综上：当
或
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
当
时，不等式
的解集为
（3）当
，
的对称轴方程为
，
由图可知，
的值域为
；
当
时，
的值域为
；
又因
，使得
，则
，
所以
，得
，又
，所以
5．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上有最
大值4 和最小值1．
(1)求
，
的值；
(2)若存在
，使
对任意的
都成立，求实数
的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最
值或值域求参数
【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可；
（2）根据存在性问题结合二次函数最值可得
对任意的
都成
立，结合一次函数性质分析求解.
【详解】（1）因为
，且
，
可知
的图象开口向上，对称轴为
，可知
在
上单调递增，
则
，解得
.
（2）由（1）得
，
因为存在
，使
对任意的
都成立，
由（1）可知：
在
内单调递增，则
，
可得
，即
对任意的
都成立，
可得
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
