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专题06 三角函数的图象变换
情解读考点
一、考点总结与提升
1.正弦函数y=sin x ,x∈R 的性质.(1).定义域:
.
(2).值域:
.
(3).周期性: 周期函数，周期是
,最小正周期为
.
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：
减区间：
(6).对称性: 对称轴：
， 对称中心：
2.正弦型函数y=A sin(ωx+ϕ), A>0, x∈R 的性质.
(1).定义域:
.
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是
.
(4).奇偶性: 当
时为奇函数；当
时为偶函数.
(5).单调性: 当
时：令
，求解增区间.
令
，求解减区间.
当
时：注意单调区间的转化
.
(6).对称性: 对称轴：令
，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令
，求解对称中心坐标.
余弦型类似推导，此处不再赘述，请读者自行填补.可以看到，处理复合型函数性质的妙招就在于换元，
令
，换成标准的正弦（余弦函数来处理）.
3.一些复杂的性质
①.零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍；
②.对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍；
③.若
在区间
上单调,则必要条件是：区间长度不超过半个周期,即
,
充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即
综上可得,
④.对称轴公式：(1).
(2).
⑤.中心对称公式：(1).
，(2).
⑥.最值表示：
二、典例精讲
核心考点01 三角函数的图象变换
1 如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)在区间上的图象，将该图象向右平移m(m＞0)个单位后，所
得图象关于直线x＝对称，则m 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】令f(x)＝sin(ωx＋φ)，由三角函数图象知，T＝＋＝π，ω＝＝2.∵函数f(x)过点，且0＜φ
＜，∴－×2＋φ＝0，得φ＝，∴f(x)＝sin.将该函数图象向右平移m 个单位后，得g(x)＝sin，∵函数
g(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)，又m＞0，∴m 的最小值为.
故选B.
2（多选）把函数y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数
图象向左平移个单位，下列说法错误的是( )
A．得到的函数图象的解析式是y＝cos 2x
B．得到的函数图象的解析式是y＝－sin 2x
C．得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x－)
D．得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x＋)
【解析】由y＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y
＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin2(x＋)，即y＝cos 2x.故选BCD。
3 把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个
单位长度，得到函数
的图像，则
A.
B.
C.
D.
解析：函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
的图象，
再把所得曲线向右平移
个单位长度，应当得到
的图象，根据已知得到了函数
的图象，所以
，
令
,则
,所以
,所以
.
注：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变为同名
三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.
核心考点02.识图与做图
4．函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与
直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，而
显然过
与
两点，作出
与
的部分大致图像如
下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；所以由图可知，
与
的交点
个数为.故选：C.
5．（2024 年新高考1 卷）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，所以在
上函数
有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.故选：C
核心考点03.由图象的基本性质求参数
6.设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：由图可得：函数图象过点
，又它是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，所以
，解得：
，故
的最小正周期为
，故选：C.
7
已
知
函
数
的
部
分
图
像
如
图
所
示
，
则
满
足
条
件
的最小正整数x 为________．（凌晨讲数学）
解析：由图可知
，即
，所以
；由降零点可得
，即
；所以
.
因为
，
；
所以由
可得
或
；
因为
，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足
，
即
，解得
，令
，可得
，可得
的最小正整
数为2.
核心考点04.由图像的几何性质求解析式
8．若函数
与
图象的任意连续三个交点构成等腰直角三角形，则正实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：作出函数
和
的图象，设两图象相邻的3 个交点分别为A，B，C，如图所示，
作
，垂足为D，易知
，又
为等腰直角三角形，所以
，所以
的最小正周期
，即
，所以
.故选:A.
核心考点05.图像对称轴（中心），周期公式的综合应用
9.记函数
的最小正周期为
．若
，且
的函数图象关于点
中心对称，则
A．
B．
C．
D．
解析：
，
的函数图象关于点
中心对称，则有
，且
，所以
，则
；解得
，由
得
，
，故
．
10.记函数f ( x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π )的最小正周期为
，若f (T )=√3
2 ，x= π
9 为f ( x)的零
点，则
的最小值为_________.
解析：由于
，故
，且0<ϕ<π ，故ϕ= π
6 ，
f(
π
9)=cos(
π
9 ω+ π
6)=0⇒π
9 ω+ π
6 = π
2 +kπ (k ∈Z)⇒ω=3+9k (k ∈Z)，故ω 的最小值为3.
核心考点06.三角函数求w
11. 已知函数
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
解析：方法1：由正弦函数的单调性，令
，解得
，
又
在
单调，所以当
时，
，即
，解得
，所以
的最
大值为3.
方
法
2
：
在
单
调
，
故
，所以
的最大值为3.故选：B
12．已知函数
的图象经过点
，若
在
上有且只有两个
最值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由函数
的图象经过点
，所以
，由于
，则
，则
．由
，可得
，因为
在
上有且只有两个最值点，则
，
所以
.故选：A
13．函数
，其中
，若
，使得
，求
的取值
范围 _________．
解析：由题可知，函数
的最大值是，若
，使得
，
则
在
的图象上至少有2 个最大值，即
在
上至少有两个解，因为
，所以
，所以
，解得
．综上，
的取值范围是
．
14．已知函数
在
内有且仅有三条对称轴，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
当
时，
，函数
在
内有且仅有三条对称轴，则有
，解得
，故选：B.
15 已知
区间在
上恰有三个极值点，两个零
点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：设
，则
，有两个零点可得
，即
。又因为有三个
极值点，
，所以
，所以
，综上得
，即选C．
16 ．已知函数
在
内有且仅有两个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由
得
，而当
，
时，
，
又
，函数
在
内有且仅有两个零点，于是得
，解得
，所以
的取值范围是
.故选：D
17．已知函数
，若
在
上无零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意得
，得
，由
，得
，因为
在
上无零点，所以
（
），解得
（
），当
时，
，当
时，
，当
时，无解，因为
，所以
或
，
所以
的取值范围是
，故选：B
核心考点07 求参数综合问题
18 设函数
=sin（
）(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，下述四个结论：
①
在（
）有且仅有3 个极大值点 ②
在（
）有且仅有2 个极小值点
③
在（
）单调递增 ④
的取值范围是[
)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③
D．①③④
解析：当
时，
，∵
在
有且仅有5 个零点，∴
，∴
，故④正确，由
，知
时，令
时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2 个也可能是3 个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答
案，当
时，
，若
在
单调递增，则
，即
，∵
，故③正确．故选D
19．若函数
在
上恰有3 个零点，则符合条件的
的个
数是（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
解析：令
，则
或
，由
，
当
时，
在
上没有零点，则
在
上应有3 个零点，因为
，所以
，即
，与
联立得
，因为
，所以m 的值依次为9，10；
当
时，
在
上有1 个零点
，
在
上有3 个零点
，
不满足题意；
当
时，
在
上有2 个零点，故
在
上应有1 个零点，因
为
，所以该零点与
的零点不相同，所以
，即
，与
联立得
，因为
，所以
的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的
的个
数是5．故选：B．
20. 已知函数
，且
在
内恰有2 个极值点，且
，求
的取值集合_____________.
解析：依题
，欲使得
在
内恰有2 个极值点，则需满足：
，故
.
21．已知函数
在区间
上单调，且
，
，则
的最大
值为
A．7
B．9
C．11
D．13
解析：由题意，函数
在区间
上单调，则
，解得
，
所
，即
，又由
，则
，即
，解得
.
当
时，此时
，则
，又由
，即
，解得
，
即
，此时函数
在区间
上不单调，不满足题意.当
时，此时
，则
，又由
，即
，解得
，即
，此时函
数
在区间
上是单调函数，满足题意，所以
的最大值为，故选B.
22．已知函数
，如图
是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
__________
解析：设
，由
可得
，由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．因为
，所以
，即
，
．
所以
，所以
或
，又
因为
，所以
，
．故答案为：
．
23.已知直线
与函数
的图象相交，若自左至右的三个相邻交点
满足
，则实数
=_______
解
析
：
由
题
意
设
，
，
因
为
，
所
以
, 所以
，所以
，点
和点
的中点坐标为
，所以
，所以
，即
解得
，所以
，
所以
，所以
，故答案为：
核心考点08.对三角函数图像的综合
24.如图，在函数
的部分图象中，若
，则点
的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：（方法1）由题意
，则
，所以
，设
，因为
，所以
，解得
，
所以
，所以
，又由图可知
，所以
.
故选：B.
（方法2）考虑到伸缩变换不改变中点的特征，考虑令
,取
，
,则
,有
,
，所以
，解
得
.
核心考点09.实际应用中的三角函数图像建构
25．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的
噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所
示），已知噪音的声波曲线是
，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是
（其
中
，
，
），则
（ ）.
A．
B．
C．π D．
解析：由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即
，所以
，要想抵消噪音，需要主
动降噪芯片生成的声波曲线是
，即
，因为
，所以令
，即
，故选：D.
核心考点10.三角函数新定义
26．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义
为角
的正矢，记作
；定义
为角
的余矢，记作
．给出下列结论，其中正确
的为（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．若
，则
C．若
，
，
，则
的最小值为0
D．若
，则
的最小值为
解析：对于
，因
，
当
时，
，
，由正弦函数的性质可知
在
，
上不单调，故错误；
对
于
B
，
由
，
可
得
，
而
，故正确；
对于C，
，
令
，因为
，所以
，则
，
则有
，所以
（1）
，所以
，故正确；
对
于
D
，
因
为
，所以当
时，
，故正确．故选：BCD．
三、高考练场
1. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x|
D．f(x)＝sin|x|
【解析】A 中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，A 正确；B 中，函数
f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，B 不正确；C 中，函数f(x)＝cos|x|＝
cos x 的周期为2π，C 不正确；D 中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0 和x<0 时，f(x)均以
2π 为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，D 不正确．故选A。
2. 若直线x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴，则f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【解析】因为直线x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z.又0<φ<，
所以φ＝.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
3. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，
需将函数g(x)＝Acos ωx 的图象至少向右平移( )
A.个单位长度
B.个单位长度
C.个单位长度
D.个单位长度
【解析】由图象可知A＝2，f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝2，
∴f ＝2sin＝2，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又－π<φ<0，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＝2sin.
∵g(x)＝2cos 2x＝2sin＝2sin，
∴将g(x)的图象至少向右平移＋＝个单位长度可得f(x)的图象．
4．（2025 安徽合肥二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图
象，则（ ）
A．
与
的图象关于直线
对称
B．
与
的图象关于点
对称
C．当
时，
D．当
时，
与
的图象恰有4 个交点
解析：由题得，
，
A：与
的图象关于直线
对称的函数为
，故A 正确；
B：当
时，
，
，所以
与
的图象不关于点
对称，故B 错误；
C：
，当
时，
，
令
，则
，
在
上恒小于0 ，所以
在
上恒大于0 ，即
，即
，故C 正确；
D：令
，即
，得
（无解）或
，
解得
，又
，所以
，解得
（
），所以
，即函数
图象共有4 个交点，故D 正确.故选：ACD
5. 已知函数f(x)＝sin(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则m 的
取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】因为f(x)＝sin(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π，则T＝2π，即T＝4π，则ω＝＝，则
f(x)＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，所以f(x)在上单调递增，由(－m，
m)⊆得0<m≤，所以m 的取值范围是.
6．（2025 河南郑州二模）函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
通过五点法
作出周期函数
的图象，再通过两点法
作出单调函数
的图象，因为
，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
7．（2025 广东一模）已知函数
的周期为
，且在
上单调递增，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：对于A，
，但
，
，
所以函数
在
上不单调递增，不符合题意；
对于B ，
，所以函数
的周期为
，当
时，
，因为
，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，同理可得函数
在
上单调递减，，所以函数
的最小正周期为
，B 正确；
对于C，因为
，
，所以函数
在
上不单调递增，不符
合题意；
对于D，函数
的定义域为
，
，所以结论函数
在
单调递增
错误，不符合题意；故选：B.
8．（2025 江苏宿迁二模）已知函数
的极值点与
的零点完全相同，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
解析：
，由
，得
①，
对于
，由
，得
，依题意
，所以
②，由于函数
的极值点与
的零点完全相同，
对比①②可得
.故选：B
9 已知函数
，
，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
解析：若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相
等，
对于A 选项，
，所以，函数
的振幅为
，函数
的振幅为，所以，这两个函数的振幅不相等，故
与
的图象不能通过平
移重合，A 错；
对于B 选项，
，
，
函数
的振幅为，函数
的振幅为
，所以，
与
的图象不能通过平移重合，B 错；
对于C 选项，因为
，
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度可与函数
的图象重合，C 对；
对于D 选项，
，函数
与
的图象不能通过平移
重合，D 错.故选：C.
10 函数
，则下列关于
的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是
B．最大值是2
C．是区间
上的减函数
D．图象关于点
中心对称
解析：
，则
的最小正周期是
，故选项A 正确；
由三角函数的性质可知
，即
的最大值是
，故选项B 错误；
时，
，因为
在
上单调递减，故
是区间
上的减
函数，故选项C 正确；
令
，解得
，故
的图象的对称中心为
，
，令
得
，所以
的图象不关于点
中心对称，故选项D 错误.故选：AC
11 已知直线
为函数
图象的一条对称轴，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
D．
的图象关于点
对称
解析：
，其中
，
则
的最小正周期为
，故选项A 错误；
，
因为直线
为函数
图象的一条对称轴，所以
，即
，解得
，故选项B 正确；
由B 可知，
，
因为
，所以
，故选项C 正确；
，故选项D 错误.故选：BC.
