文档文本内容
第01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 函数的概念及其判断
型
题
02 函数的定
域
义
型
题
03 已知解析式求定
域
义
型
题
04 求抽象函数的定
域
义
型
题
05 已知函数的定
域求参数
义
型
题
06 待定系数法求解析式
型
题
07
元法求解析式
换
型
题
08 方程
法求解析式
组
型
题
09 求分段函数的函数值
型
题
10 利用分段函数的
求参
值
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数的概念及其判断
1．下列各解析式能够表示函数的是（
为自变量）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在选项A 中，
，在实数范围内定义域不存在，不能表示函数，A 错误；在选项B 中，
当
时，
或
，不符合对应法则中“一对一”或“多对一”，B 错误；在选项D 中，一个
值
对应2 个
值，也不符合函数三要素的对应法则，D 错误．
2．已知
，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论.
【详解】对于A，函数的值域为
，不符合题意；
对于B，函数的值域为
，不符合题意；
对于C，函数的定义域为
，值域为
，符合题意；
对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．
故选：C．
3．设集合
，
．下列四个图象中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的
有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】B
【分析】根据集合
到集合
的函数定义即可求解.
【详解】A 中
中的x 没有对应的象，不符合；
B 符合函数定义，
C 也符合函数定义，
D 中对于
的x 有两个象与之对应，不符合．
所以有2 个满足．
故选：B
02 函数的定义域
4．（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，函数
的定义域为R，函数
的定义域为
，所以这两个函数不是同一个函
数；
对于B，因为
，且
，
的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，
，
和
的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数
的定义域为{
，且
}，函数
的定义域为R，所以这两个函数不是同一个
函数．
故选：ACD．
5．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】对两函数的定义域、值域、对应关系分别进行逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，易知
的定义域为
，而
的定义域为
，
两函数定义域不同，可知A 错误；
对于B，显然
的定义域为
，
而函数
的定义域为
，两函数定义域不同，可知B 错误；
对于C，两函数定义域均为
，但
的值域为
，
而
的值域为
，两函数值域不同，即C 错误；
对于D，易知
与
的定义域、值域、对应关系均相同，即D 正确.
故选：D
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由函数
的定义为
，
函数
的定义域为
，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B 错误；
对于C，函数
与
，两个函数的定义域与对应关系都相同，
所以两个函数是同一函数，故C 正确；
对于D，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D 错误.
故选：C.
03 已知解析式求定义域
7．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由偶次方根的被开方数非负得到一元二次不等式，解得即可求出集合
，再根据交集的定义计算
可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：C
8．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案.
【详解】函数
要有意义，需满足
，
解得
且
，即函数
的定义域是
，
故选：D
9．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得
，得
且
．
即函数
的定义域为
，
故选：D
04 求抽象函数的定义域
10．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过中间函数
过渡，即求出
的定义域后可求．
【详解】在
中，
，∴
，
∴
的定义域是
，
故在
中
，解得
，
∴
的定义域是
.
故选：A.
11．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数
，可得出关于
的不
等式，即可解得函数
的定义域.
【详解】对于函数
，
，则
，
所以，函数
的定义域
，
对于函数
，有
，即
，解得
.
因此，函数
的定义域为
.
故选：D.
12．（1）已知
的定义域为
，求
的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①
；
②
．
【答案】（1）
；（2）①
；②
．
【详解】解：（1）在函数
中，
，则
．因此在函数
中，
，
解得
，所以函数
的定义域为
．
（2）①函数
的定义域为
，
，当且仅当
时，等号成立，所以函
数
的值域为
．
②函数
的定义域为
，
，当且仅当
时，等号成立，所以函数
的值域为
．
05 已知函数的定义域求参数
13．“函数
的定义域为R”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由函数
的定义域为R，即
对任意
恒成立，可得a 的范围，
则可得 “函数
的定义域为R” 是“
”的必要不充分条件.
【详解】因为函数
的定义域为R，
所以
对任意
恒成立，
①当
时，
对任意
恒成立；
②当
时，只需
，解得：
；
所以
.
记集合
，
.
因为A⫋B，所以 “函数
的定义域为R” 是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
14．已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】函数
的定义域是
，等价于不等式
对任意
恒成立，分
和
两种情况求出实数
的取值范围即可.
【详解】因为函数
的定义域是
，
所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
，即
，解得：
，
综上，实数
的取值范围是
;
故选：D
15．已知函数
的定义域为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据函数定义域求出
，利用基本不等式可求答案.
【详解】由题可知
，且
，即
，所以
，
当且仅当
，
时，等号成立，所以
的最小值为4.
故选：C.
16．已知函数
的定义域为R，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将
的定义域为R 转化为
的解集为R.分
和
两种情况进行讨论，从
而得到结果.
【详解】
的定义域为R，
的解集为R.
即
的解集为R.
①当
时，
恒成立，满足题意；
②当
时，
，解得：
.
实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
17．已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析可知
对任意实数
都成立，分
和
两种情况，结合
判别式列式求解.
【详解】由题意得
对任意实数
都成立，
当
时，
，符合题意；
当
时，满足
，解得
；
综上所述，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
18．若函数
的定义域和值域都为
，则
的值是 ．
【答案】
【分析】根据
为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知
为一次函数，则
所以
.
故答案为：
.
06 待定系数法求解析式
19．已知
是一次函数，且
，求
的解析式 ．
【答案】
或
【分析】设
，得到
，对照系数，得到方程组，求出答案.
【详解】设
，则
，
故
，所以
，
解得
或
，
故
或
.
故答案为：
或
.
20．已知
是二次函数，且
，
，则
．
【答案】
【分析】根据题意，利用待定系数，设
，准确运算，即可求解.
【详解】设
，
因为
，可得
，
又因为
，可得
，
即
，所以
,
解得
，所以
．
故答案为：
.
21．（1）已知
是一次函数，且满足
；
（2）已知
，求
的解析式.
【答案】（1）
，（2）
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）由换元法求解即可.
【详解】（1）设
，
，
，即
，
可得
，解得
，
所以
.
（2）设
，则
，
，化简得
，
.
07 换元法求解析式
22．若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域.
【详解】因为
，
且
，所以
．
故选：D.
23．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，通过换元法即可求解.
【详解】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
．
故选：B．
08 方程组法求解析式
24．已知函数
满足
，则
（ ）．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】分别令
联立方程组，求得答案.
【详解】因为
，分别令
，
联立得
，解得
，
故选：C.
25．已知函数
满足
，则函数
．
【答案】
【分析】构造关于
的方程组后可解得.
【详解】由题知用
代换
得到，
，
与
两式联立，消去
，
解得
．
故答案为：
.
26．定义在
上的函数
满足
，则
．
【答案】1344
【详解】解法1 在已知等式中，用
替换x，并与已知等式联立得
解得
，则
．
解法2 由题意可知，当
时，
①，当
时，
②，
得
，所以
．
09 求分段函数的函数值
27．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，依次判断代入求值.
【详解】函数
，则
，
所以
.
故选：A
28．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．因此函数
的图象为选项B．
29．设函数
，
．若
则函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，即
，解得
或
，作出
的图象（实线）如图，由
图象可知
．
10 利用分段函数的值求参
30．已知函数
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式，当
时m 无解，当
时解得
，即可求解.
【详解】由题意知，当
时，
，
得
，又
，所以方程无解；
当
时，
，
得
，即
，解得
，
所以
.
故选：D
31．已知函数
，且
，则实数
．
【答案】
或4 或
【详解】令
，则
，解得
或0．由
，得
，解得
．由
得
，解得
或
．
故答案为：
或4 或
32．已知
，函数
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，代入即可逐层求解.
【详解】
，所以
，
所以
，
故答案为：
33．已知
，函数
有最大值，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
,
【分析】要使
有最大值，只需
且
，然后求出
的取值范围即可．
【详解】当
时，
无最大值，
当
时，要使函数存在最大值，则
且
，
即
，所以
，
所以
的取值范围为
,
．
故答案为：
,
．
1．
已知定义在
上的函数
满足对任意的
. 则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【分析】赋值分别令
、
可得
，再令
即可得解.
【详解】因为对任意的
，
令
，则
，即
；
令
，则
，即
；
可得
，
令
，则
，解得
.
故选：C.
2．
设函数
，若
，则函数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】作出函数
的图象如图所示，当
时，即
，解得
或
，则
由图象可知
．
3．
定义
设函数
，记函数
，
且函数
在区间
上的值域为
，则区间
的长度的最大值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．2
【答案】D
【详解】令
，则
，解得
，所以
则
的图象如图：
又
，且函数
在区间
上的值域为
，当
时，
；当
时，
，所以当
时，区间
的长度取得最大值，最大值为2．
4．已知定义在
上的函数
满足
，则
，
．
【答案】
1
【详解】因为
，令
，得
，所以
．令
，得
①，令
，得
②，
，得
，解得
．
1．（1989·全国·高考真题）与函数
有相同图象的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
，其中
D．
，其中
【答案】D
【分析】选项A 图象为折线判断错误；选项B 图象上无原点
判断错误；选项图象为无端点射线判断
错误；选项D 可化为
与函数
有相同图象判断正确.
【详解】选项A：
，图象为折线.判断错误；
选项B：
，图象上无原点
.判断错误；
选项C：
，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：
，与函数
有相同图象.判断正确.
故选：D
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（2014·江西·高考真题）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算即可.
【详解】
，
，解得
.
故选：A.
4．（2004·安徽·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出
，再利用二倍角变形即可求得
.
【详解】
，
故选：D
5．（2002·上海·高考真题）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据分母不为零可求得定义域.
【详解】由已知
，得
且
故函数
的定义域为
.
故答案为：
6．（2012·广东·高考真题）函数
的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.
【详解】由
，
得
，解得
且
，
所以函数的定义域为
.
故答案为：
.
7．（2006·辽宁·高考真题）设
，则
．
【答案】
/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出
的值，再求
的值．
【详解】∵
，∴
，
∴
．
故答案为：
．
8．（2002·江苏·高考真题）已知
，则
.
【答案】
【分析】由已知得
，又
，则将所求分组为
，即可求解.
【详解】因为
，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
.
