文档文本内容
知识解构
知识点1 对数与对数运算 知识点2 对数函数的图象及其性质
题型破译 (含超链接）
题型
1 对数与对数运算
题型
2 换底公式的应用
题型
3 对数函数的概念、定义域和解析式
题型
4 对数型函数过定点问题
题型
5 对数函数的图象
题型
6 对数（型）函数的单调性
【方法技巧】对数函数图象的识别及应用方法
题型
7 利用对数（型）函数的单调性求参数数
题型
8 对数函数的最值（值域）
题型
9 根据对数型函数最值（值域）求参数数
题型
10
比较对数大小
题型
11
解对数方程及不等式
【方法技巧】解对数不等式的两种类型及方法
题型
12
对数函数性质的综合应用
【方法技巧】对数函数性质的综合应用求解策略
题型
13
指（对）
函数的实际应用
题型
14
反函数
第05 讲 对数与对数函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
对数函数的单调性
全国I 卷T8（5 分）
全国I 卷T6（5 分）
对数函数的性质应用
全国Ⅱ卷T8（5 分）
考情分析
对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，主要
考查对数函数及其图象和性质，以选择题、填空题为主，分值5 分，难度中档。
近三年考情显示，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本
函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象
与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选
题的形式考查.
复习目标
1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成
自然对数或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调
性与特殊点
3.熟练掌握对数函数y=loga x(a>0 且a≠1)与指数函数y=ax(a>0 且a≠1)
的图象关系
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果
，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作
其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .
（2）对数式与指数式的互化：
.
（3）两个重要对数：常用对数，以10 为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数
______.
2．对数的性质
（1）1 的对数等于0，即
；（2）底数的对数等于1，即
；
（3）对数恒等式
.
3．对数的运算性质
如果
，那么：（1）
；
（2）
； （3）
.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：
.
换底公式的变形及推广：
（1）
；（2）
；
自主检测（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数
叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 .
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数
的图象与性质如下表所示：
底数
图象
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
性质
定义域
值域
定点
函数图象恒过点
，即
时，
.
函数值的正负
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
单调性
在
上为增函数
在
上为减函数
对称性
函数
与
的图象关于
轴对称.
必记结论
底数
对对数函数函数图象的影响
(1)底数
与1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当
时，对数函数的图象“上升”；
当
时，对数函数的图象“下降”.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是
还是
，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
①上下比较：在直线
的右侧，
时，
越大，图象越靠近
轴；
时，
越小，图象越靠
近
轴；
②左右比较：比较图象与直线
的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数
且
）与对数函数
且
）互为反函数，其图象关于直线
对称.
自主检测（多选）已知
的定义域为
，值域为
，则（ ）
A．若
，则
B．对任意
，使得
C．对任意
的图象恒过一定点
D．若
在
上单调递减，则
的取值范围是
思维拓展
拓展1 与对数函数有关的函数定义域
(1)对数函数
的定义域为
(2)形如
的函数，定义域由
来确定.
(3)形如
的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.
拓展2 与对数函数有关的函数值域
(1)对数函数
的值域利用函数的单调性求解.
(2) 求形如
的复合函数的值域，先求
的值域，然后结合函数
的性质确定函数
的值域.
(3)求形如
的复合函数的值域，其中复合函数
一般是关于
的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.
拓展3 与对数函数有关的函数单调性
对数型复合函数一般分为两类：
型和
型.
(1)对于
型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令
，则只
需研究
及
的单调性即可.
(2)对于
型复合函数的单调性，首先由
确定函数的定义域，然
后判断
在定义域上的单调性，然后结合底数
或
再来确定
的单调性，
其核心是同增异减.
拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性
由于对数函数的定义域为
，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数
却屡见不鲜.例如：
(1)函数
和函数
均为奇函数.
(2)函数
是奇函数.
(3)函数
是偶函数.
题●型●破●译
题型1 对数与对数运算
例1-1 若
则
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
例1-2（2026·新疆喀什·模拟）已知
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
例1-3（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，
，则
____________.
方法技巧 对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
（2）对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①
loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM
(n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】已知
，且
，则
（ ）
A．2 或8
B．
或8
C．8
D．64
【变式训练1-2·变考法】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】计算
的值为____________.
【变式训练1-4】方程
的解集为____________.
题型2 换底公式的应用
例2-1 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 若
，则
的值为 .
【变式训练2-1】若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【变式训练2-2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3·变题型】．（2026·浙江杭州·3 月质检）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“
”的否定为“
” B．“
”是“
”的必要条件
C．若
，则
D．
题型3 对数函数的概念、定义域和解析式
例3-1（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-3 已知对数函数
过点
，则
的解析式为___________；
在
的最大值是
___________．
【变式训练3-1】已知
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【变式训练3-3·变载体】（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【变式训练3-4·原创题】已知函数
是对数函数，则
__________．
【变式训练3-5·变考法】定义在R 上的奇函数
，当
时，
，则
____________.
题型4 对数型函数图象过定点问题
例4-1 函数
的图象经过的定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 函数
，且
恒过点
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式训练4-1·变考法】已知函数
（
，
）的图象恒过定点
，若点
也在函数
的图象上，则
．
【变式训练4-2·变设问】函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在
上，其中
，则
的最小值为______．
题型5 对数函数的图象
例5-1 函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 已知函数
为常数，其中
的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-3【新思维】（多选）如图，这是函数
和
的大致图象，其中
，图象中在
点
处形成了4 条曲线，从左至右分别记为
，则（ ）
A．
是函数
的图象
B．
是函数
的图象
C．
是函数
的图象
D．
是函数
的图象
方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项．
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）函数
的大致图象不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2·变考法】如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3·变载体】已知函数
，若正实数
互不相等，且
，则
的取值范围为____________.
【变式训练5-4 变考法】已知函数
，
，若
有一个零点，则m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 对数（型）函数的单调性
例6-1 函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 函数
的单调递减区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1·变考法】对于实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练6-2 变考法】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【变式训练6-3 变考法】函数
的图像如图所示，则函数
的单调递减
区间是____________.
【变式训练6-4·变考法】
的单调递减区间为____________.
题型7 利用对数（型）函数的单调性求参数
例7-1 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2（函数
，若
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-3（【新载体】多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数
在区间
上单调递增，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1 变考法】“函数
在区间
上单调递增”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-2】已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3·变载体】已知函数
在区间
上单调递增，则参数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4 变角度】已知函数
对任意的
，都满足
，则实数a 的取值范围是____________.
题型8 对数函数的最值（值域）
例8-1 函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2【新思维】已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【变式训练8-1 变考法】函数
的最小值为 .
【变式训练8-2 变考法】（多选）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增
D．
没有最小值
【变式训练8-3 变考法】已知函数
（
，且
），若函数
在区间
上的最大
值与最小值之差为1．
(1)求函数
解析式；
(2)当
，求函数
的最值，并求出取得最值时对应的x 的值；
题型9 根据对数型函数的最值（值域）求参数
例9-1【新思维】已知函数
且
在
上的值域为
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
例9-2【新角度】若函数
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-1·变考法】已知函数
存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】已知函数
且
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3】已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-4·变考法】已知函数
在
上的最小值是1，则
____________.
【变式训练9-5·变载体】（2026 安徽合肥·模式）已知函数
（
且
）， 若
有最小值， 则实数a 的取值范围是____________.
题型10 比较对数的大小
例10-1 已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-2【新思维】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-1】设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-3·变载体】已知函数
，若
，则
的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4·变角度】三个数
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-5·变考法】函数
的定义域为
，满足：①
，②任意
，
都有
.设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 解对数方程及不等式
例11-1 若实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11-2（2026·陕西西安·模拟）已知
，则满足
的实数m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11-3 解不等式：
（1）
；
（2）
（
且
）．
方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
logax＞logab
借助y＝logax 的
性求解，如果
单调
a 的取
不确定，需分
值
a＞1 与0＜a＜1 两种情况
讨论
logax＞b
需先将b 化
以
为
a
底的
数式的形式，再借助
为
对
y＝logax 的
性求解
单调
【变式训练11-1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-2】若函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-3】（2026·江苏苏州·阶段考试）设函数
，则满足
的
的取值范
围是__________.
【变式训练11-4 变载体】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知
是奇函数，则不等式
的解集是____________.
【变式训练11-5·变角度】设函数
，若
且
，则
的取值范围为__________．
题型12 对数函数性质的综合应用
例12-1（2026·河北保定·阶段检测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间是
B．函数
的值域是
C．函数
的图象关于
对称
D．不等式
的解集是
例12-2【新思维】已知定义在
上的奇函数
满足：
，且当
时，
（
为常数），则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
例12-3 已知函数
，且
．
(1)证明：
是奇函数；
(2)判断
的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
方法技巧 对数函数性质的综合应用求解策略
1.奇偶性：判断
与
的关系，注意定义域需关于原点对称．
若
，则
非奇非偶（定义域
不关于原点对称）．
复合函数如
，需先求定义域，再验证
（奇函数）．
2.对称性：
若
，则图象关于直线
对称；
若
，则图象关于点
对称．
【变式训练12-1 变考法】（2026·河南郑州·模拟检测）（多选题）关于函数
，下列说法
正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的函数图象关于y 轴对称
C．
的函数图象关于原点对称
D．
在
上单调递增
【变式训练12-2 变载体】（2026·湖南长沙·模拟）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-3】
，若存在
使得
成等差数列，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-4】已知函数
方程
有四个不相等的实数根
，则
的取值范围为_______________.
题型13 指（对）函数的实际应用
例13【新情境】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升
倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模
型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，
要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-1·变情境】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，
在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），其中
表示每一轮优化时使用的学
习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减
的学习率模型中
，当
时，学习率为0.25；当
时，学习率为0.0625，则学习率衰减到
0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：
）
A．33
B．34
C．35
D．36
【变式训练13-2·变考法】数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式
结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等
混合式子结构的等式或不等式问题.如
与
（将
化为
）可以同构为
.若
已知关于a 的方程
和关于b 的方程
可化为同构方程，则
，
.
题型14 反函数
例14-1 函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例14-2 若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【变式训练14-1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于（ ）
A．log2x B． C．log
\f(1,2
x
D．2x-2
【变式训练14-2】已知函数
（
且
）的图像过点
，其反函数的图像过点
，求
a，b 的值．
【变式训练14-3·变考法】（多选）（2026·江苏南京·3 月检测）已知函数
的零点为
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （2026·天津·高考真题）已知函数
，若
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关
系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
____________.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.使式子
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，且
3.已知
与
互为相反数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量
随时间变化的图象
是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．求满足下列条件的各式的值：
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
7．求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
.
8．比较下列各题中三个值的大小：
（1）
；
（2）
.
9．已知
，
，
，求实数a 的取值范围.
10．声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中I 为声强（单位：
）.
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为
，能听到的最低声强为
.求人
听觉的声强级范围.
（2）平时常人交谈时的声强约为
，求其声强级.
11．已知函数
，
（
，且
）．
（1）求函数
的定义域；
（2）判断函数
的奇偶性，并说明理由．
12．如图，函数
的图象由曲线段OA 和直线段AB 构成.
（1）写出函数
的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数
图象变化规律的实际问题.
