文档文本内容
第04 讲 解三角形
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
.........................................................2
题型02 三角形面积与周长问题.........................................................................................10
题型03 三角形形状的判断.................................................................................................19
题型04 三角形中的最值与范围问题
...........................................................................28
题型05 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
...........................................38
题型06 解三角形的实际应用与综合交汇.........................................................................46
重难·创新演练.....................................................................................................................................53
真题·实战演练.....................................................................................................................................64
模拟·基础演练
考查重点：正余弦定理的应用
题型01 正、余弦定理的基本应用（解三角形）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
的内角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东潍坊·三模）设
的内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广东广州·模拟预测）在钝角
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．2
B．3 或5
C．5
D．3
二、多选题
4．（2026·四川广安·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
则使此三角形只有唯一解的
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
三、填空题
5．（2026·河南新乡·模拟预测）在等边
中，
为
内一动点，
，则
的最小值
是_____．
6．（2026·上海虹口·三模）在
中，若
，
在
上的投影向量为
，则
_____________．
【新题型】7．（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
四、解答题
8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
和的值；
9．（2026·湖南·模拟预测）在
中，内角
,
,
的对边分别为
,
, ,
的面积为S，且
．
(1)求
的大小；
(2)已知点
在
边上，
，且
．证明：
．
10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形
中，
，
，
，
(1)若
，求
的长．
(2)若
，当四边形
面积最大时，求
的长．
题型02 三角形面积与周长问题
一、单选题
1．（2026·山东德州·三模）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，三角
形面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南岳阳·三模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，且
，
若
的面积为
，则
的值为（ ）
A．6
B．8
C．
D．
3．（2026·广东广州·模拟预测）在
中，
，点
在线段
上，
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）设
的内角
的对边分别为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积可以是1
D．
的周长可以是3
【新思维】5．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
，则
的外接圆的面积为
B．若
，且
有两解，则
的取值范围为
C．若
，且
为锐角三角形，则的取值范围为
D．若
，且
，
为
的内心，则
的面积为
三、填空题
6．在
中，
的面积为___________
四、解答题
7．（2026·贵州遵义·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
， ，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，
，求
的面积．
8．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在
中，
，
.
(1)求证：
；
(2)若
边上的中线
的长为1，求
的面积.
9．（2026·贵州毕节·三模）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求B；
(2)若
，______，求
的面积.
在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题（2）
中，并求解.
10．（2026·江西·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
．
(1)求A；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
题型03 三角形形状的判断
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·三模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定的
2．在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3．（2026·湖北·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，
的面积记为，若
且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形C．等边三角形
D．钝角三角形
二、多选题
【新思维】4．（2026·江西南昌·三模）已知
内角
所对的边分别为
.则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
为钝角三角形.
B．若
，则
为等腰三角形
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
，则
的取值范围为
5．（2026·河北邯郸·三模）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
不是锐角三角形
B．若
，则
是锐角三角形
C．若
，则
D．若
，则
6．（2026·新疆·二模）设
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
一定是锐角三角形
B．若
，则
一定是钝角三角形
C．若
，则
一定是等边三角形
D．若
，则
一定是等腰三角形
7．设
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的
是（ ）．
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
是等边三角形
C．若
，则
是等边三角形
D．若
，则
是等边三角形
三、填空题
8．（2016·上海浦东新·二模）在
中，边
所对角分别为
，若
，则
的形状为___________.
9．若
，内角
的对边分别为
，则三角形
的形状为________．
四、解答题
【新思维】10．（2026·福建漳州·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)判断
的形状；
(2)若
边上的两条中线
相交于点
，求
．
题型04 三角形中的最值与范围问题
一、单选题
1．（2026·湖南浙江·模拟预测）制造一个三角形支架
（如图），要求
，
的长度大于2 米，
且
比
长1 米，为了增加稳定性，要求
尽可能短，则
最短为（ ）
A．
米
B．4 米
C．
米
D．
米
2．在锐角
中，角
的对边分别为
，
且
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
中，角
所对的边分别为
，且
．若点
为边
的中点，边
上
的中线
的长为
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若三角形ABC 为锐角三角形，则
的取值范围是
D．若
，则三角形ABC 为直角三角形
5．（2026·重庆九龙坡·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的周长的取值范围是
D．
的最大值为
6．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．AC 的中点为D，
，若
，则（ ）
A．
`
B．b 取值范围为
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为6
7．设
中，
.下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
的周长的取值范围是
B．若
，则
的面积的最大值是
C．若
，则
的周长的取值范围是
D．若
，则
的面积的最大值是
三、填空题
8．（2026·河北沧州·一模）已知在
中，角
所对的边分别为
，且
，
则
_____．若
为锐角三角形，则
的取值范围为_____．
9．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形
中，若
，
，
，则四边形
的面积的最大值为________.
四、解答题
10．（2026·河南开封·三模）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 且
．
(1)求角C 的大小：
(2)若边
，求
的面积S 的取值范围．
题型05 解三角形的几何应用（中线、高、角平分线）
一、单选题
1．（2026·河北廊坊·一模）在
中，其所对的边分别为
，
为边
上靠近点A 的三等分点，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知
的三个内角
所对的边分别为
，
，
的
面积为
，角A 的平分线交边
于D，且
，则a 为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2025·甘肃武威·模拟预测）在
中，
，
是
的平分线，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，角
的对边分别为
，若
的平分线
的长为
，则
边上的高线
的长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
二、多选题
5．（2025·广西南宁·模拟预测）设
内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
的外接圆面积为
D．若M 为
中点，则
6．（2025·湖南·一模）
中，角
所对的边分别为
、
、，则“
是直角三角形”的
充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
7．（2026·江苏·二模）在
中，
，
是
的中点，若
，则
________．
8．（2026·四川·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且
为
的中点，则
的最大值为__________.
四、解答题
9．（2026·河南·模拟预测）如图，在
中，
，D，E 为线段
上两点，且
平分
，
（
在
的左侧）.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值.
10．（2026·河北邢台·二模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
(1)判断
的形状并证明；
(2)若
，M 为边AB 上一点，且
，求CM.
题型06 解三角形的实际应用与综合交汇
一、单选题
1．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的
八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底
B 所在的水平地面上选取C，D 两点，测得
米，
，
，在点
处测得塔
顶
的仰角为
，则龙辰塔的高度
约为（ ）（参考数据：取
，
）
A．46 米
B．48 米
C．50 米
D．52 米
2．（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，
令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十
七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高
3 丈（5 步），前后相距
步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行
步，人目着地观
测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行
步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ）
A．
步
B．
步
C．
步
D．
步
3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A 处出发，沿着正东方向行驶到B 处，再从B 处向北偏西
30°方向行驶
千米到达C 处，此时，C 处在A 处的东北方向，则A、C 两处之间的距离是（ ）
A．30 千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
二、填空题
4．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km 的A，B 两地各放置一个地动仪，B 在A 的东偏北
60°方向.若A 地正东方向的铜丸落下，B 地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C 在A 地正东________km.
【新角度】5．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完
全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底
同一水平
面内共线的三个点
，
，
，且在点
，
，
处测得塔顶端
的仰角分别为
，
，
，同时测
得
，
（如下图），则塔的高度为________
.
6．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔
的正西方向且相距50 海里的
处有一艘甲船，需要海上加油，
位于灯塔
的东北方向的
处有一艘乙船在甲船的北偏东
方向上，则乙船前往支援
处的甲船需要航
行的最短距离是______海里.
三、解答题
7．（2026·湖南郴州·三模）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的
处，此时
他测得山顶
的仰角为
.他沿着东偏南
的方向前行200 米后到达点
处，此时他测得山顶点
的仰角
为
.假设山顶在水平面上的投影为点
，且点
位于点
的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.
(1)求山高
；
(2)已知景区内点
处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为
，在行至
山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为
.求山脚下缆车上车点
到
点的距离.
8．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，测得小岛
在
的北偏
东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行
海里后到达
处，
测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上.
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
两座小岛之间的距离.
9．（2025·河南南阳·一模）如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A 处有一个水声监
测点，另两个监测点B，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一
个声波，8s 后监测点A，20s 后监测点C 相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度
是1.5km/s.
(1)设A 到P 的距离为xkm，求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km）.
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆
：
交于
两点，当
面
积取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2026·河北邢台·三模）已知抛物线
在
处的切线与圆
：
交于
两点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，若
，则
的相反数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【新思维】4．（2026·云南保山·二模）公园某处有一个半径为40 米的圆形水池，准备在水池中建两个喷
泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B 两点为喷泉，
为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B 三
点共线，且
.若在该水池边缘任意一点
处观察喷泉，观察角度
的最大值不小于
，则A，
B 这两个喷泉间距离的最小值为（ ）
A．
米
B．
米
C．80 米
D．40 米
二、多选题
5．（2026·河北秦皇岛·一模）在
中，角
所对的边分别为
，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
有两解
C．
是钝角三角形
D．若
，则
【新考法】6．（2026·江苏·模拟预测）在
中，设角
所对边分别为
．若
为锐角三
角形，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不存在
使得其边长为三个连续的正整数
C．存在
使得其三边长成等比数列
D．当
时，
的面积存在最大值
【新角度】7．（2026·山东青岛·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
平
面
，则（ ）
A．
外接圆直径为
B．
C．当
时，三棱锥
的体积取得最大值
D．三棱锥
的外接球半径的取值范围是
三、填空题
8．（2026·浙江·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
，
，
则
的面积为___________.
9．（2026·甘肃嘉峪关·三模）在
中，
，
，
，角C 为钝角，则
________．
10．（2026·北京顺义·二模）在
中，
.
①若
，则
__________.
②若
为锐角三角形，则的取值范围是__________.
四、解答题
11．（2026·福建泉州·模拟预测）在凸四边形
中，
，
，
，
，
，
，
交于点
.
(1)求
的值；
(2)设
，求
的值.
12．（2026·湖北·三模）
内角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
．
(1)求证：
；
(2)当角
取得最大值时，
的面积为
，求
．
真题·实战演练
高频考点：正余弦定理的应用
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
二、解答题
4．（2025·上海·高考真题）在
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
．
(1)若
，求a；
(2)若
，求
的面积的最大值．
5．（2024·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
