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重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题
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题型一：球与截面面积问题
例1．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上，
， 是边长为 的正三角形， ， ， ，过点E作球O的
截面，截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， 为边长为 的等边三角形，∴ 为正三棱锥，取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，∴ ，∴ ，又 ， ，
平面PAC，∴ 平面PAC， 平面PAC，
∴ ，∴ ，
∴ 为正方体 的一部分，
可得外接球的半径为 ，
取 的中点 ，连接 ，
可得 ， ，所以 ，
过点E作球O的截面，设截面与棱 的交点分别为 ，
当OE垂直 时截面面积最小，此时 即为截面圆的圆心，
截面圆半径为 ，截面面积为 .
故选：A．
例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球 的球
面上， ， ，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下
结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为 ；
③过 作球 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【解析】选项①中，如图（1）所示，找 的中点 ，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面
，
则 , ，所以四边形 为平行四边形，
找 的中点 ,连接 ，因为 ，所以
平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 为矩形， ， ，
所以截面的面积 ，故①正确；
选项②中， 中，由勾股定理得： ，
同理 ，过点 作 ,则 ，所以由勾股定理得：
，
所以 ，
由选项①可得： 平面 ,
所以 ， ，故②错误；
选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得， ，
所以外接球的半径 ，截面面积的最大值为 ；平面 截得的面积为最小面积，
半径 ，截面积最小为 ，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故
③正确.
图（1）图（2）
例3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球 是正三棱锥 （底面是正三
角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点 是线段 的中点，过点
作球 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图， 是A在底面的射影，
由正弦定理得， 的外接圆半径 ，
由勾股定理得棱锥的高 ，
设球O的半径为R，则 即 ，解得 ，
所以 ，即点O与 重合，
在 中，点 是线段 的中点， ，
所以 ，当截面垂直于OE时，截面面积最小，
此时半径为 ，截面面积为 .
故选：A变式1．（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是
1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆
等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、
踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第
一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为 的某鞠（球）的表面上有四个点 ， ， ， ， ，
， ，则该鞠（球）被平面 所截的截面圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为三棱锥 的外接球的半径 ，而 ，所以 为外接球的直径，
如图，将三棱锥 放入如图所示的长方体，则 ，
设长方体的另一棱长为 ，所以 ，解得 ，即 ，
设外接球的球心为 ，所以 ， ，
设 的外接圆的半径为 ，则 ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以该鞠（球）被平面 所截的截面圆面积 ．
故选：D
变式2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中， 分别为 的中点，
该正方体的外接球为球 ，则平面 截球 得到的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ，由题意易知 ，
，故四边形 为平行四边形.设 ，取 的中点 ，连接 ，
在Rt 中， ，
故点 到 的距离为 ，故点 到 的距离为 ，
因此圆心 到平面 的距离为 .由题易知球 的半径 ，
故平面 截球 得到的截面圆的半径 ，故截面圆的面积 .
故选：D
变式3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体 ，P，Q，M，
N分别是 的中点，则该正方体及其内切球被平面 所截得的截面面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，易知正方体 的内切球的球心O为 的中点，
设球O切上下底面中心于点E，F，则球O的半径 ，
又易知球心O到平面 的距离等于E到平面 的距离，
设 交 于点G，则易证 平面 ，
∴球心O到平面 的距离 ，
设正方体 的棱长为 ，
则 ， ，
∴球O被平面 所截的小圆半径 ，
∴球O被平面 所截的小圆面积为 ，
又易知 ， ，
∴该正方体被平面 所截得的截面面积为 ，∴该正方体及其内切球被平面 所截得的截面面积之比为 ，
故选：A
变式4．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为
O的球面上，点E在AB上， ，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是 的中心，
取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且 ，
所以 ， ， ，则 ．
设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则OP＝OA＝R，
在 中， ，解得 ．
因为 ，所以AE＝2，取AB的中点F，则EF＝1，且 ，
所以 ．
当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小，
设截面圆的半径为r，则 ，
所以截面面积为 ．
故选：A．题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
例4．（2023·福建三明·高一校考阶段练习）如图，在正方体 中， ， ， 分别
为 ， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥 的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与 ， 的位置有关
【答案】C
【解析】如下图，连接 ，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，可得
， ，所以当 在棱 移动时， 到平面 的距离为定值，当 在棱
移动时， 到 的距离为定值，所以 为定值，则三棱锥 的体积为定值.平面 即平面
，作 ，由于 ，可得 平面MABN，由 ，可得
，而 ，
.
故选：C.例5．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面 为正方形，
底面 ， ， ､ 分别是棱 ､ 上的动点，且 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．直线 与直线 可能异面
B．三棱锥 的体积保持不变
C．直线 与直线 所成角的大小与点 的位置有关
D．直线 与直线 所成角的最大值为
【答案】B
【解析】连接NC，MC，因为四棱柱 中，
，底面 为正方形， 底面
显然四边形 为平行四边形，
所以直线 与直线 一定相交，A错误；连接 ，取 的中点O，连接NO，MO，
因为 ， ，由三线合一可知： ， ，
因为 ，所以 平面MON，
，
设四边形 的面积为S，则 为定值，
故 为定值，
三棱锥 的体积保持不变，B正确；
连接BD， ，
因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
因为 ，所以AC⊥ ，
因为MN 平面 ，
所以AC⊥MN，
直线 与直线 所成角的大小与点 的位置无关，C错误；
过点N作NH∥AD交 于点H，连接HM，
则 为直线 与直线 的夹角，且 ，
其中 ，其中 为定值，
故要想直线 与直线 所成角的最大，只需HM最大，
设正方形边长为a，则HN=a，
显然当N与点 重合，M与B重合时，HM最大，最大值为 ，
此时 ，故D错误.故选：B
例6．（多选题）（2023·福建三明·统考三模）如图，正方体 的棱长为 ，点 是 的中
点，点 是侧面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当 在 上时，三棱锥 的体积为定值
B． 与 所成角正弦的最小值为
C．过 作垂直于 的平面 截正方体 所得截面图形的周长为
D．当 时， 面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，连接 、 ，如下图所示：
在正方体 中， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
当 在 上时，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以， ，A对；
对于B选项，连接 ，
因为 平面 ，所以， 与 所成的最小角为直线 与平面 所成的角，
因为 平面 ，所以， 与平面 所成角为 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， ，
所以， ，
所以， ，故 与 所成角正弦的最小值为 ，B对；
对于C选项，分别取线段 、 的中点 、 ，连接 、 、 、
、 、 、 ，
因为四边形A B C D 为正方形，则 ，
1 1 1 1
又因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
在 和 中， ， ， ，
所以， ，则 ，所以， ，则 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
所以， ，则 、 、 、 四点共面，
因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
过 作垂直于 的平面 截正方体 所得截面，则截面为梯形 ，
由勾股定理可得 ，
同理可得 ， ， ，
所以，截面周长为 ，C错；
对于D选项，由C选项可知， 平面 ，则点 的轨迹为线段 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
则 ，
当 时，即当点 与点 重合时， 的长取最小值，
此时， ，
所以， ，D对.
故选：ABD.
变式5．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体 的棱长为2， 为四边形
A B C D 的中心， 为线段 上的一个动点， 为线段 上一点，若三棱锥 的体积为定值，则
1 1 1 1
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】连接 ，交 于点 ，连接 ，因为 为四边形A B C D 的中心，所以 ，
1 1 1 1
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，且为定值，
所以 平面 ，所以平面 与平面 为同一平面，
所以 为 与 的交点，所以 ，故A错误，B正确；
因为正方体的棱长为2，所以 ．故C正确，D错误．
故选：BC．
变式6．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）如图，正方体 的棱长为2，线
段 上有两个动点 ，且 ，以下结论正确的有（ ）
A．
B．
C．正方体 的体积是三棱锥 的体积的12倍
D．异面直线 所成的角为定值
【答案】ABC
【解析】A：易知 ， ，所以 ，正确；
B：建立如图空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，正确;
C：连接 ，交于 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，又
，
所以正方体 的体积是三棱锥 的体积的12倍，正确;
D：当点 在 处， 为 的中点时，由正方体性质易知 ，异面直线 所成的角是
，
由 面A B C D ， 面A B C D ，则 ，正方形中显然 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
，且 、 面 ，故 面 ， 面 ，
所以 ，故 ，
当 在 的中点时， 在 的位置，由正方体性质易知 ，异面直线 所成的角是 ，
由 面 ， 面 ，则 ，故 ，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
综上， ， ，即 ，即两个角不相等，错误.故选：ABC.
变式7．（多选题）（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC﹣ABC 的底面边长为
1 1 1
1，AA=1，点P满足 ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确的是（ ）
1
A．当λ=1时，△ABP的周长为定值
1
B．当μ=1时，三棱锥P﹣ABC的体积为定值
1
C．当 时，有且仅有两个点P，使得AP⊥BP
1
D．当 时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP
1 1
【答案】BCD
【解析】因为点P满足 ，其中 ，
所以点 在矩形 内部（含边界）．
对于A项，当 时， ．
即此时 线段 ，
因为 为变值，
故 的周长不是定值，故A项错误；
对于B项，当 时， ，
故此时 点的轨迹为线段 ，而 ，所以 平面 ，
则点 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B项正确；
对于C项，当 时， ，取 ， 的中点分别为 ， ，则 ，
所以 点的轨迹为线段 ，
不妨建系解决，以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 或 ，故H，Q均满足，故C项正确；
对于D项，当 时， ，
取 ， 的中点为M，N， ，
所以 点的轨迹为线段 ，
设 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
此时点 与 重合，故D项正确．
故选：BCD
变式8．（多选题）（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，点
满足 ，其中 ，则（ ）A．
B．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，三棱锥 的体积为定值
【答案】AD
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则
因为 ， ，所以
所以 ，
对于选项A，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故A答案正确；
对于选项B，
当 时， ， ,设面 的法向量为 ，
则 ，令 ，所以 ，若 平面 ，则 ， 无解，所以不存在点 ，使得 平面 ,故选项
B错误；
对于选项C，当 时， ,
若 ，则 ， ，无解，所以不存在点 ，使得 ，故C错误；
对于选项D， 为边长为 的等边三角形，所以 ,
点P到平面 的距离为 ，当 时，
点P到平面 的距离为定值，则三棱锥 的体积为定值，故D选项正确.
故选：AD.
变式9．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）如图， 为正方体.任作平面 与对角线
垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则
（ ）
A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值
【答案】BC
【解析】将正方体切去两个正三棱锥 与 后，得到一个以平行平面 与 为上、
下底面的几何体V，
在 上取一点 ，作 ， ，再作 ， ， ，
则六边形 即为平面 ，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，
将V的侧面沿棱 剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形 ，
而多边形W的周界展开后便成为一条与 平行的线段（如图中 ），显然 ，故 为定值.
当 位于 中点时，多边形W为正六边形，而当 移至 处时，W为正三角形，
易知周长为定值 的正六边形与正三角形面积分别为 与 ，故S不为定值.
故选：BC
变式10．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥 ，
， 为棱 上一点，且 ，过点 作平行于直线 和
的平面 ，分别交棱 于 ．下列说法正确的是（ ）
A．四边形 为矩形
B．四边形 的周长为定值
C．四边形的 面积为定值
D．当 时，平面 分三棱锥 所得的两部分体积相等
【答案】ABD
【解析】取 的中点 ，连 ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，平面 ，
所以 ，同理可得 ， ， ，
又因为 ，所以 ， ， ， ，
所以四边形 为矩形，故A正确；
因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，同理可得
，
所以四边形 的周长为 为定值，故B正确；
四边形的 面积为 不是定值，故C不正确；
当 时， 分别为棱 的中点，
多面体 的体积为 ，
多面体 的体积为 ，
因为 ， ，
多面体 的体积等于多面体 的体积，即平面 分三棱锥 所得的两部分体积相等，
故D正确.
故选：ABD
变式11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）在正方体 中，点P满足
，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，△PBD的面积为定值
D．当 时，直线 与 所成角的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，如下图，当 时， 点在面对角线 上运动，
又 平面 ，所以 平面 ，在正方体 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
平面 ，所以， 平面 ，A正确；
对于B选项，当 时，如下图， 点在棱 上运动，
三棱锥 的体积 为定值，B正确；
对于C选项，当 时，如图， 点在棱 上运动，过 作 于 点，
则 ，其大小随着 的变化而变化，C错误；
对于D选项，如图所示，当 时， ， ， 三点共线，
因为 且 ,所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 或其补角是直线 与 所成角，在正 中， 的取值范围为 ，D正确.
故选：ABD.
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
例7．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
的边长均为2，活动弹子 在线段 上移动（包含端点），弹子 分别固定在线段 的中点处，
且 平面 ，则当 取最大值时，多面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为直角三角形，所以当 最短时， 取最大值，
即 时， 取最大值，
因为 分别固定在线段 的中点处，
所以 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 ，
所以多面体 的体积为 ，
故选：A
例8．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为 ，则该
正四棱锥的体积最大值为（ ）A．18 B． C． D．27
【答案】B
【解析】如图，设正四棱锥的底面边长 ，高 ，外接球的球心为 ，则 ，
因为球的体积为 ，所以球的半径为 ，
在 中， ，即 ，
所以正四棱锥的体积为
整理得 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时，函数取得最大值 ，
故选：B
例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为 是
正方形 （含边界）内的动点，点 到平面 的距离等于 ，则 两点间距离的最大值为
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知： ，
设三棱锥 的高为 ，
因为 ，则 ，
解得 ，即点 到平面 的距离等于 ，又因为 ∥ ，且 ，则四边形 为平行四边形，则 ∥ ，
平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
即点 的轨迹为线段 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中， 两点间距离的最大值为 .
故选：D.
变式12．（2023·河南·校联考模拟预测）点 是圆柱上底面圆周上一动点， 是圆柱下底面圆的内接
三角形，已知在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，三棱锥
的体积最大值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
设圆柱的高为 ，则 ，
因为三棱锥的 体积的最大值为 ，则 ，所以， ，
圆柱底面圆半径 ，设三棱锥 的外接球的半径为 ，则该三棱锥的外接球和圆柱的外接球为同一个球，
则 ，因此，三棱锥外接球的表面积为 .
故选：B.
变式13．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图， 是半球的直径， 为球心， 为此半球大圆
弧上的任意一点（异于 在水平大圆面 内的射影为 ，过 作 于 ，连接 ，若
二面角 的大小为 ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ， , 平面 ，于是 平面 ，
平面 ，有 ，因此 为二面角 的平面角，即 ，
设 ，则 ，在 中， ， ，在 中，
，
则 ，
显然 ，令 ， ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
因此当 时， ，即当 时， 取得最大值 ，
所以当 时，三棱锥 的体积取得最大值 .
故选：A
变式14．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ， 是圆锥 的轴截
面， 是 的中点， 为底面圆周上的一个动点（异于 、 两点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得C．三棱锥 体积最大值为 D．三棱锥 体积最大值为
【答案】C
【解析】根据题意可知，如下图所示：
对于A，因为 圆 是直径，所以 ，假设存在点 ，使得 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 、 都是圆锥 的母线，即 ，所以 不成立，
所以不存在点 ，使得 ，即A错误；
对于B，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，
若存在点 ，使得 ，所以 ，这与 矛盾，所以B错误；
对于C，易知三棱锥 的高为 ，
所以当底面积 最大时，其体积最大，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即三棱锥 的体积 ，
即三棱锥 的体积的最大值为 ，所以，C正确；
对于D，因为 、 分别为 、 的中点，
则 ，即三棱锥 体积最大值为 ，所以，D错误.
故选：C.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 ，
高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：
①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥 体积的最大值为 ；
③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为 ．
以上所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①如图，由条件可知， ，点 是直径的两个端点，
，所以 是钝角，
，当 时， 的面积最大，最大值是 ，故①错
误；
② ，
，当 时， 的最大值是 ，
所有三棱锥 的最大值是 ，故②正确；
③设 外接圆的半径为 ，四面体SOPQ外接球的半径 ，
中，根据正弦定理可得， ，得 ，
，所以 ，则外接球的半径 也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，
故③错误.
故选：B
变式16．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体 中， 为 的中点，点 在以 为球心的球上
运动， ，且恒有 ，已知三棱锥 的体积的最大值为 ，则正四面体
外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题知，
为 的中点，点 在以 为球心的球上运动， ，
所以 都在以 为球心的球上，
又因 ，则 在 的中垂面上，如图，
连接 ，
都为正三角形，且 为 的中点，
，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 是 的中垂面，即 在平面 上，
所以点 在平面 与以 为球心， 为半径的球的交线上，
即 在以 为圆心， 为半径的平面 内的圆上，
取 中点 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，
作在平面 内，以 为圆心， 为半径的圆，
则圆 上的点 到平面 的距离最远，故 在 处，
设 ，则 ， ，
平面 ， 平面 ，
,
,
,
在 中， ，
点 到平面 的距离 ，
所以 ，解得 ，
如图则其外接正方体的边长为 ，
所以正四面体 外接球即为边长为 正方体的外接球，
故外接球半径 ，
所以外接球体积 .
故选：A
变式17．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且
，现将 沿AE向上翻折，使 点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是
（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为4π
【答案】A
【解析】如图所示：连接 ， 为 中点，连接 ， ，
连接 ， ， ， ，
，故 ，故 ，对选项A： ，若 ，又 ，则 ， 重合，不成立，错误；
对选项B：当 平面 时， 平面 ，则 ，又 ，
， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
故 ，正确；
对选项C：当 平面 时，三棱锥 体积最大，
最大值为 ，正确；
对选项D： 平面 ， 平面 ，故 ，
，故 ，
故 是三棱锥 外接球球心，半径为 ，
故外接球表面积为 ，正确.
故选：A.
变式18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，圆台 的上、下底面圆半径分
别为1、2，高 ，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线 所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线 与平面 所成角正切值的最大值为
【答案】B
【解析】对于A选项， ，则A选项正确．对于B选项，如图（1），过 作 垂直于下底面于点 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成角，即 为所求，
而 ，由圆的性质得， ，
所以 ，
因为 ，则B选项错误．
对于C选，设上底面半径为 ，下底面半径为 ，若圆台存在内切球，
则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，
高为 ，易得等腰梯形的腰为 ，假设等腰梯形有内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为 ，所以圆台存在内切球，
且内切球的半径为 ，则C选项正确；
对于D选项，如图（3），平面 即平面 ，
过点 做 交 于点 ，因为 垂直于下底面，而 含于下底面，
所以 ，又 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以直线 与平面 所成角即为 ，
且 ．设 ，则 ，
所以 ，其中 ，所以 ，
当 时， ，当 时，
．根据复合函数的单调性，
可知函数 ，在 上单调递增，
所以当 时， 有最大值，最大值为 ，所以D选项正确．
故选：B.
变式19．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱 中， ， 为底面
A B C D 的中心， 是棱 的中点，正四棱柱的高 ，点 到平面 的距离的最大值为
1 1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设底面四边形 的中心为 ，连接 ，则 ，设点 到平面 的距离为 ，
， ，
则 中， 边上的高为 ，
则 ，
由 ，
得 ，
所以 ，由 ，得 ，则 ，则 ，
所以 ，
即点 到平面 的距离的取值范围是 ，
所以点 到平面 的距离的最大值为 .
故选：C.
变式20．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为 的球体表面上四点，
若 ， ， ，且三棱锥A－BCD的体积为 ，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为球的体积为 ，故球的半径R满足 ，故 ，
而 ， ， ，故 ，故 ，
故 ，
设点D到平面ABC的距离为h，则 ，故 ，
点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为 ，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为 ，则 ，
故球心到平面α的距离为 ，故截面圆的半径为 ，
设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，
当CE最长时CD最长，此时 ，故CD长度的最大值为 .
故选：B．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形 的中心为正方形 的中心， ，
截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥 （ ， ， ， 四点重合于点 ），则此四
棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则所得的棱锥侧面的高为 ，
棱锥的高为 其体积为：，
当且仅当 时等号成立，
即体积的最大值为 ，
故选：B.
变式22．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片 剪去四个全等的等腰
三角形 ， ，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥 ，使 与 重
合， 与 重合， 与 重合， 与 重合，点 重合于点 ，如图2.则正四棱锥 体
积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，
设 ，则有 ， ，
四棱锥的高 ，
底正方形 的面积 ，四棱锥P-EFGH的体积 ，
令 ，则 ， ，
则 ，
当 时， ，V单调递减；当 时，V单调递增，
∴当 时，V取最大值，
.
故选：D.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为 ，半径为5，该纸片上的正方形
的中心为 ． ， ， ， 为圆 上的点， ， ， ， 分别是以 ，
， ， 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起，使得 ，
， ， 重合于一点，记为 ，得到四棱锥 ．当底面 的边长变化时，四棱锥
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
设正方形 的边长为 （ ），则 ， ，所以 ，
所以四棱锥 的体积
．
设 ，得 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以当 时， 取得最大值，即体积 取得最大值，为 ．
故选：D．
题型四：立体几何中的交线问题
例10．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知正方体 是半径为 的球 的内接正方体
（八个顶点全部在球面上），则正方体六个面所在的平面与球面的交线总长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由图可知，正方体的每一个面与球面相交，所得的交线是一个圆，共有6个圆，故六个面所在的平面与球
面的交线总长度为6个圆的周长之和，
设正方体的棱长为a，在直角三角形 中， ， ， ，
所以有： ，解得 ，所以 ，
所以每个圆的周长为 ，6个圆的周长之和为 .
故选：D.
例11．（2023·上海·高三专题练习）直三棱柱 中， ， ， ， ，
设平面 与平面 的交线为 ，则 与 的距离为（ ）．
A．1 B． C．17 D．2.6
【答案】D
【解析】如图，将直三棱柱 补成直四棱柱 ，且四边形 为平行四边形，
则平面 即为平面 ，所以直线 为 ，则 与 的距离即为则 与 的距离，设为 ，
由已知可得：在三角形 中，
， ，
，
，
则 ，
，
，
得 .
故选：D.例12．（2023·浙江·校联考三模）正四面体 ， 为棱 的中点，过点 作平面 的平行平面，
该平面与平面 、平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设所作的平面为 ，则由 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，得 ，同理可得 ，
所以 所成的角等于 与 所成的角，即 （或补角）．
设正四面体 的棱长为2，则 ， ，
在 中由余弦定理，得 ，
则 .
故选：A
变式24．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 分别是棱
， 的中点若经过点 的平面与平面 的交线为 ，则 与直线 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由线面平行的性质及面面平行的性质定理，可得经过点 的的截面为边长为 的正六边形
,连接 , ,如图所示，
则易知若经过点 的平面与平面 的交线为 ,即为直线 ，又 ,
所以 即为 与直线 所成角，
在 中，可得 ， ,
由余弦定理可得： ,
故选：B.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别是 ，
， 的中点，设过 ， ， 的截面与面 ，以及面 的交线分别为 ， ，则 ， 所
成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先取 ， ， 的中点分别为 ， ， ，连接 ， ， ， ， ， ，根据
题意，证明 ， ， ， ， ， 六点共面，即为过 ， ， 的截面；得到 即为直线 ， 即为
直线 ；连接 ， ， ，根据异面直线所成角的概念，得到 即为异面直线 与 所成的
角，根据题中条件，即可得出结果.因为，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ，
的中点，
取 ， ， 的中点分别为 ， ， ，连接 ， ， ， ， ， ，
根据正方体的特征，易知，若连接 ， ， ，则这三条线必相交于正方体的中心，
又 ，所以 ， ， ， ， ， 六点必共面，即为过 ， ， 的截面；
所以 即为直线 ， 即为直线 ；连接 ， ， ，
因为 ， ，
所以 即为异面直线 与 所成的角，
又因为正方体的各面对角线都相等，所以 为等边三角形，
因此 .
故选：D.
变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体 中， 为 中点，
过 的截面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，如下图，连接 ，
因为 ，所以 四点共面，
所以过 的截面 即为平面 ，
截面 与平面 的交线为 即为 ，
取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 （或其补角）为异面直线 与 所成角，
设正方体的棱长为 ，所以 ，
所以 .
则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.变式27．（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的
1
一点， ，点D是BC的中点，l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的大
小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，因为 ，D分别是 ，BC的中点，所以 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
因为 为直径，所以 ，因为 ，即 ，
又因为 平面 ，
平面 ，所以 ， 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为交线l与平面 所成角，
因为 ， ，.
所以，结合图知 .
故选：B.
变式28．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中， ，BC＝6，M，N，Q，D分
别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ，由题意可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 四点共面，
所以平面MQN与平面PBC的交线为l即为 ，
直线QD与直线l所成角即为直线QD与直线 所成角即为 ，
因为正三棱锥P-ABC中， ，BC＝6，
所以 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：C.变式29．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体 中， 为线段 的中点，设平面
与平面 的交线为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体 的棱长为2，
以点A为坐标原点，AB、AD、 所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示：
则 、 、 、 、 ．
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ，
取 可得 ；
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ，
取 可得 ，
设直线 的方向向量为 ，∵直线 平面 ，直线 平面 ，
， ，
∴ ，
取 可得 ，
已知 ，设直线 与 所成角为 ，
，
即直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：B．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中， ， ，
， ，点 ､ 分别为棱 ､ 的中点，则平面 与直四棱柱各侧面矩形的
交线所围成的图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为在直四棱柱 中， ，所以平面 平面 ，设平面
线段 ，连接 ，又因为平面 平面 ，所以 ，延长 ，交
的延长线于点 ，则 ，连接 ， ，则平面 平面 ，易知四边形
为直角梯形，且 .如图，再将直四棱柱补成一个长方体 ，
由图及题中数据可得 ， ， ，
所以 ，所以 ，
故交线围成的图形的面积为 .
故选: .
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 的底面边长为 ，外接球表面积为 ，
，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，解得 ，
由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ，
设点S到平面ABC的距离为h，故 ，解得 或 ，
则 或 （舍去），
故 ，则 ,而 ，故 为等腰直角三角形， ，
故 为等腰直角三角形， ,则 ,
又 ,故 平面SCM，
取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ,则 平面SCM,
故 平面SCM，则 ，
要求 最小，首先需PQ最小，此时可得 平面SCM，则 ；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置，
当 共线且 时， 的最小值即为 的长，
由 为等腰直角三角形，
故 ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
可得 ， ，
故选：B.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，如图正三棱锥 中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为
AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则 最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 中点 ,连接 交 于点 ,易证得 面 ,要求 最小,即求MN最小,可得
，又可证明 ,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,又可证得 .
， ，
，即 ，
，可得 ，
.
故选:B.
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为 的正方体 中，点 是线段 上的
动点， 是 上的动点， 是 上的动点，则 长度的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
作 关于 的对称点 ，连接 ，如左图所示，
根据正方体的结构特征以及对称性，可知， ，
故 ，要使 长度最小，则 三点共线，
如右图，在边长为 的菱形 中， 时， 三点共线，
此时 ，在 中，由余弦定理可得，
.所以
则 ，故 长度的最小值为 ．
故选:C
变式31．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）如图所示，在直三棱柱 中，棱柱的侧
面均为矩形， ， ， ， 是线段 上的一动点，则 最小值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，
设点 的新位置为 ，连接 ，则有 ，如图，
当 三点共线时，则 即为 的最小值.
在三角形ABC中， ， ，
由余弦定理得： ,
所以 ，即 ,
在 中， ， ，
由勾股定理可得： ,且 .
同理可求： ，因为 ，
所以 为等边三角形，所以 ，所以在 中， , ,
由余弦定理得： .
故选：B.
变式32．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在三棱锥 中， ， 在
底面 上的投影为 的中点 ， .有下列结论：
①三棱锥 的三条侧棱长均相等；
② 的取值范围是 ；
③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，则球 的体积为 ；
④若 ， 是线段 上一动点，则 的最小值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】如图1， ， 是 的中点， ，
又 平面 ， ， ，故①正确；
， ，又 ， ，
过 作 ， 为垂足，如图2，则 ，
又 ， ， ，故②正确；
， 为平面 截三棱锥外接球的截面圆心，
设外接球球心为 ，则 在直线 上，如图3，
设 ，则 ，解得 ，故 为外接球的球心．
外接球的体积为 ，故③错误．
若 ，则 ，又 ，故 是等边三角形，
将平面 沿 翻折到平面 上，如图4，图5.
则 的最短距离为线段 的长．， ， ，
，故④正确．
故选： ．
变式33．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，
．点 分别为平面 ，平面 和平面 内的动点，点 为棱 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意得 均最小时，平方和最小，
过点 分别作平面 ，平面 ，平面 的垂线，垂足分别为 ，
连接 ，因为 面 ， 平面 ，所以 ，
因为底面 为正方形，所以 ，又因为 ， 平面 ，
所以 面 ，因为 平面 ，则 ，又因为点 在 上，则点 应在 上，
同理可证 分别位于 上，
从而补出长方体 ，
则 是以 为共点的长方体的对角线，则 ，
则题目转化为求 的最小值，显然当 时， 的最小值，
因为四边形 为正方形，且 ，则 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
所以 ，
则直角三角形 斜边 的高 ，此时 ，
则 的最小值为 ，
故选：B.变式34．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ，
且 分别为 和 的中点， 为线段 （包括端点）上一动点， 为侧面 上一动点，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 为某确定点时，要使 取得最小值，则 必须为最小值，此时， 为点 在侧面
的投影.
取 的中点 .
因为 分别为 的中点，所以 为 的中位线，所以 .
因为 所以 ，所以 .
在直三棱柱 中， 面 ，所以 .
因为 面 ， 面 ， ,
所以 侧面 ，故 在侧面 的投影为 .
作 于点 ，此时 满足题意..
在 中， ， .
在 中，
因为 ,所以 ，所以 为直角三角形.
所以 ， .
将平面 与平面 展开到同一平面，如图所示，
所以 .
作 于点 ，交 于点 ,此时 达到最小值，
则
故选：B
题型六：空间角问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分
别是侧棱 上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面
与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面
EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得
.
过A作 面EFG，垂足为P，过A作 ，垂足为Q，连接 ，易得 即为直线 与
平面 所成的角 ，
则 ，又 面EFG， 面EFG，则 ，又 ， 面 ，
，
所以 面 ， 面 ，则 ，则 即为平面 与底面 所成的锐二面角 ，则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，则
，
又由
，
，
则 ，
故 ，A，C错误；
故 ，由 可知 ，所以 ，
即 ，整理可得
，
即 ，即 ，
故 ，又 ，故 ，
B正确，D错误.
故选：B.
例17．（2023·浙江·高考真题）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点
（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的
平面角为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及
各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图
形特征，则可事倍功半.方法1：如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段
上，过 作 垂直 ，易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，则 ，则 ，即 ，
，即 ，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理 ，记 的平面角为 （显然 ）
由最大角定理 ，故选B.
方法3：（特殊位置）取 为正四面体， 为 中点，易得
，故选B.
例18．（2023·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
变式35．（2023·浙江温州·高二温州中学校考期末）斜三棱柱 中，底面 是正三角形，侧
面 是矩形， 是线段 上的动点，记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】根据直线和平面的最小角定理，结合线面角和二面角的定义，即可得解.根据最小角定理，可得
，当 在线段 上的移动时，
和 重合时，
与平面 所成角最大，(因为ABB A 为矩形）
1 1
作 平面 于 ，
作 的延长线于 ，
连接 和 ，则 ， ，
由于 为直角，
所以 ，可得 ，
故选：B.
变式36．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）斜三棱柱 中，底面 是正三角形，侧面
是矩形，且 ， 是 的中点，记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】过点 作 面 交面 于点 ，连结 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，
则 ， ，表示出这些角然后比较大小即可.如图：过点 作 面 交面 于
点 ，连结 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，则 ， ，
因为直线 与平面 所成的角为直线 与平面 内所有直线所成的角中最小的，故 ，
又因为
，故 ，
故选：B.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知等边 ，点 分别是边 上的动点，且满足
，将 沿着 翻折至 点处，如图所示，记二面角 的平面角为 ，二面角
的平面角为 ，直线 与平面 所成角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等边 中，取BC边中点D，连接AD，交EF于O，连接PO，
则 ， ， 平面 ， 平面
故 平面 ，又 平面 ，则平面 平面
在 中，过P做PM垂直于OD于M，则 平面 ，连接MF，
在等边 中，过M做MN垂直于AC于N，连接PN.由 ，则 为二面角 的平面角即 ，
由 平面 ， ，则 为二面角 的平面角即
由 平面 ，则 直线 与平面 所成角，即 ，
设 ，则 ， ， ，
，
，
则有 ，
由
可得 ，则有 ，则
又
故 ，又
故
故选：A
变式38．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体 中， 是侧棱 上（端点除外）的一点，若异
面直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】正四面体 中，取 中点 ，连接 ， ，
过 作 于 ，连接 ， ，
过 作 的平行线交 于 ，则 ，
由 ， ， ， 平面 ， 平面可得 平面 ，则 ，则
由 平面 ，可得平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ， ，
则 平面 ，则 ，
因为 ，且 ，所以 .
设正四面体边长为1， ，有 .
，
因为
所以 ，又 ，则
综上：
故选：C
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O
在 内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ，
与底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 可能值为
D．当 取值最大时，
【答案】C
【解析】如图所示，连接延长 交 与 ，连接延长 交 与 ，设平面 平面
顶点P在底面的射影为 的垂心 ， 平面 ，平面 平面
则有：直线 与 平行
又 ，则
平面 ，则
又
则 平面
从而
故 为 与平面 的二面角，即
同理可得：
对选项A， ，又 ，则有：
可得： 与 全等，则
又根据 是 的垂心，则，
综上可得：直线 垂直并平分线段
可得： ，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：
又 ，则有：
可得：解得：
则 ，故选项B正确；
对选项C，若 ，则有：
则有：
化简后可得：
令 ，则有：
则有： ，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设 （ ），则有：
可化简为：
令 ，则有：
则有：
解得：
故 取得最大值时， ，此时
同理可得：
故 ，且
则有： ，故选项D正确；
故选：C
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是正方体 上底面 上的一个动点，
记面ADP与面BCP所成的锐二面角为 ，面ABP与面CDP所成的锐二面角为 ，若 ，则下列叙述
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
为解析方便，将正方体上下底面对调，如图，取正方体的下底面的各边中点E,F,G,H,上底面的中心为Q,下
底面的中心为O,
面ADP，面BCP所成的角为α，面ABP，面CDP所成的角为β，α>β，
等价于P到HF的距离比到EG的距离大，
所以P在如图所示的阴影范围内；
在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q为共同的中点，
∠APC,∠BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所决定，
所成角越小，则对应角越大，
显然PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定，当P在靠近A'时PQ与直线AC所成的角较小，与直线
BD所成的角则接近于90°，
此时∠BPD>∠APC，同样当P接近于D'时∠APC>∠BPD，故A、B错误；
∠APD与∠BPC的大小关系实际上是看P在EG的左侧还是右侧。
若P在EG左侧，则∠APD>∠BPC，若P在EG右侧，则∠APD<∠BPC，若是在EG上，
则∠APD=∠BPC；
同样，P在HF的前面，则∠APB>∠CPD，P在HF上，则∠APB=∠CPD，P在HF的后面，则
∠APB<∠CPD；
所以当P在A'OE内时，max{∠APD,∠BPC}=∠APD，min{∠APD，∠BPC}=∠BPC，
max{∠APB,∠CPD}=∠APB，min{∠APB,∠CPD}=∠CPD，
因为PH>PE，所以∠APD<∠APB，因为PG>PF，所以∠BPC>∠CPD，
因此max{∠APD,∠BPC}min{∠APB,∠CPD}，
根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论.
故D正确，C错误，
故选：D.
变式41．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知四面体 中，棱 ， 所在直线所成角为 ，且
， ， ，面 和面 所成的锐二面角为 ，面 和面 所成的锐二面角为 ，当四面体 的体积取得最大值时（ ）.
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】
，即 ，
整理得 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
所以，当 为等边三角形时， 的面积取到最大值.
过 作 ∥ ，且 ，连接 ， ，
则四边形 为菱形，
因为 ， 所在直线所成角为 ，所以 ，
当面 面 时，四面体 的高取得最大值，
，即 ，解得 ，
因为 ，即 ，所以 ，即 ，
又因为面 面 ，所以 面 ，过 作 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
连接 ， ，则 ， ，
所以 为面 和面 所成的二面角，
为面 和面 所成的锐二面角，
即 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：A.
变式42．（2023·浙江·校联考二模）已知三棱柱 的所有棱长均相等，侧棱 平面 ，
过 作平面 与 平行，设平面 与平面 的交线为 ，记直线 与直线 所成锐角分别
为 ，则这三个角的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图， ，设 为 的中点， 为 的中点，
由图可知过 且与 平行的平面 为平面 ，所以直线 即为直线 ，
由题易知， 的补角， 分别为 ，
设三棱柱的棱长为2，
在 中， ，
；
在 中， ，
；
在 中， ，
，
.
故选：B
题型七：立体几何装液体问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱 容器，如图
1， 为正三角形， ， ，里面装有体积为 的液体，现将该棱柱绕 旋转至图2.在旋
转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）①液面刚好同时经过 ， ， 三点；
②当平面 与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为 ；
③当液面与水平桌面的距离为 时， 与液面所成角的正弦值为 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①若液面刚好同时经过 , , 三点,则液体的体积为四棱锥 ,
因为 ,所以①正确；
②当平面 与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱 的交点为 ,如
图所示,
因为直三棱柱 的体积为 ,
所以直棱柱 的体积为 ,
所以 ,即 ,则在 中 边上的高为 ,
因为在 中 边上的高为 ,所以液面与水平桌面的距离为 ,所以②正确；
③当液面刚好同时经过 , , 三点时,如图所示,此时 ,则 ,
易得 ,则 中 边上的高为 ,
所以 ,
设点 到平面 的距离为 ,则 ,即 ,
即液面与水平桌面的距离为 ,
由棱柱的对称性可得点 到平面 的距离为 ,设 与液面所成角为 ,
则 ,所以③正确,
所以①②③正确,
故选:D
例20．（2023·全国·高三专题练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长
为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，正方体 ，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面 平行于水平面放
置时，液面必须高于平面 ，且低于平面 .若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可
能为三角形.设液体的体积为 ，则 ，而 ，
，所以液体的体积的取值范围为 .
故选：B.例21．（2023·全国·高三专题练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长
为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥 的体积，
小于多面体 的体积.求解即可.如图正方体 ，连接 .
若要使液面的形状都不可能为三角形
则液体的体积应大于三棱锥 的体积，小于多面体 的体积.
设液体的体积为 ，则 .
因为 ， .
所以液体的体积的取值范围为 .
故选：D
变式43．（2023·全国·高三专题练习）已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，
现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆柱的轴截面是边长为2的正方形，可知圆柱底面半径为1，母线长为2，故圆柱体积为 ，
当小球与圆柱的侧面、上下底面都相切时所余液体容量最小，此时 ，小球的体积为 ，所余液体容量为 .
故选：B.
变式44．（多选题）（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，玻璃制成的长方体容器 内部灌进
一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，
忽略容器壁厚，则（ ）
A． 始终与水面EFGH平行
B．四边形EFGH面积不变
C．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱
D．AE+BF为定值
【答案】AC
【解析】可知 水面EFGH， 水面EFGH，所以 水面EFGH，所以AD 始终
1 1
与水面平行，故选项A正确．
由于 平面 ，所以 ,所以 ，又 ，平面 截两平行
平面 和 ，所以 ，所以四边形 是矩形，EH=FG 长度不变，但是EF改
变，水面所在四边形EFGH面积改变，选项B错误．
有水部分组成的几何体为棱柱，因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，选项C正确．
有水部分的棱柱体积不变，高BC也不变，所以底面面积不变，所以当且仅当E，F分别在棱AA，BB 上
1 1
时，AE+BF是定值，当E在 上， 在 上时， 是定值，即
是定值，即 是定值，而 不一定和 相等，所
以此时AE+BF不是定值.所以选项D错误．
故选：AC
变式45．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）透明塑料制成的正方体密闭容器 的体积
为64，注入体积为 的液体．如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再将容器倾斜．随着
倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终呈平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】液面始终是水平面，与地面平行，所以A正确
当 时，体积是正方体的一半，液面正好经过 的中点，此时液面是正六边
形，不是平行四边形，故B错误
正方体边长为4，液面经过 的中点时，有液体部分是正三棱锥，此时， ，所以C
正确
当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大时就是选项B中所列举的正六边形面积，面积为
，所以D正确
故选：ACD
变式46．（多选题）（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）透明塑料制成的正方体密闭容器
的体积为 注入体积为 的液体.如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再
将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终是平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】液面始终是水平面，与场面平行，A正确；
时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱 的中点，此时液面是正六边形，
不是平行四边形，B错；
液面过 的中点时，此时 ，有液体的部分是正三棱锥，C正确；
当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积的液面面积最大时就是B中所列举的正六边形（此时液体
体积是正方体体积的一半），面积为 ，D正确．
故选：ACD．
变式47．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（
）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
【答案】AC【解析】对于A，当 时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，
根据对称性知两部分完全相同，所以A正确；
对于B，取 ，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B错误；
对于C，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，
其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，
所以液面面积的最大值为 ，C正确；
对于D，当液面过 时，截面为 ，将 绕 旋转 ，如图所示；
A B C D
1 1 1 1
则 ，
当D、N、 三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为 ，D错误.
故选：AC.
【点晴】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任
意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平
面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积 ，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-
AFC体积
考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法
变式49．（2023·四川泸州·四川省泸州高级中学校校考一模）一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明
的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的
取值范围是 .
【答案】
【解析】长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，
则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；
而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，
液面的形状都不可能是三角形；
所以液体体积必须大于三棱锥G﹣EHD的体积，该棱锥的体积为长方体的 故体积为1.
并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积，该几何体的体积为长方体的 ，即为5.
故答案为 ．
