文档内容
第 04 讲 解三角形
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：基本定理公式.....................................................................................................................4
知识点2：相关应用.............................................................................................................................5
知识点3：实际应用.............................................................................................................................6
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：正弦定理的应用....................................................................................................................8
题型二：余弦定理的应用..................................................................................................................11
题型三：判断三角形的形状..............................................................................................................14
题型四：正、余弦定理的综合运用..................................................................................................17
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用......................................................................20
题型六：解三角形的实际应用..........................................................................................................27
题型七：倍角关系..............................................................................................................................32
题型八：三角形解的个数..................................................................................................................36
题型九：三角形中的面积与周长问题..............................................................................................38
04 真题练习·命题洞见.......................................................................................................................43
05 课本典例·高考素材.......................................................................................................................46
06 易错分析·答题模板.......................................................................................................................49
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制..............................................................................49
答题模板：利用边角关系解三角形..................................................................................................50考点要求 考题统计 考情分析
2024年I卷第15题，13分
2024年II卷第15题，13分
（1）正弦定理、 2024年甲卷第11题，5分 高考对本节的考查不会有大的变化，
余弦定理及其变形 2023年I卷II卷第17题，10 仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积
（2）三角形的面 分 公式的应用为主．从近五年的全国卷的考
积公式并能应用 2023年甲卷第16题，5分 查情况来看，本节是高考的热点，主要以
（3）实际应用 2023年乙卷第18题，12分 考查正余弦定理的应用和面积公式为主．
2022年I卷II卷第18题，12
分
复习目标：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识点1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
；
公式 ；
．
（1） ， ， ； ；
常见变形
（2） ， ， ； ；
．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
【诊断自测】在 ABC中，若 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得 ，即 ，解得 .故选：A.知识点2：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2） 内角和定理：
①
同理有： ， ．
② ；
③斜三角形中，
④ ；
⑤在 中，内角 成等差数列 ．
【诊断自测】（2024·四川眉山·三模）在 中， 分别是角 所对的边，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，又由题知 ，
所以 ，整理得到， ，
又由余弦定理 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
知识点3：实际应用
1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
3、方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
4、坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【诊断自测】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 通过路口 后转向西北
方向 ，围绕道路 打造了一个半径为 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，设切点为 ，连接 ．由题意得 ，
设 ，
在 中，
,
当且仅当 时取等号．
设 ，则 ，
所以 ，
故
（当且仅当 时取等号），所以 ，
解得 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： .
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 ．
3、三角形中的射影定理
在 中， ； ； ．题型一：正弦定理的应用
【典例1-1】（2024·浙江·模拟预测）在 中， 分别为角 的对边，若 ， ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，根据 进而求出 ， ，
由 可得 ， ，
则 ，
由正弦定理可知 ，
又因为 ，解得 ， ，
由正弦定理可得 ．
故选：B．
【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
由正弦定理，
因为 ，
展开化简 ，
又 .
故选:B.【方法技巧】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；
（3）两边一对角，求第三边．
【变式1-1】（2024·广东东莞·模拟预测）在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的值为 ．
【答案】 /
【解析】由 ，可得 ，
解得 ，所以 为等边三角形，
故 外接圆直径为
所以 ．
故答案为： .
【变式1-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知 中， 对应边分别是 ，若 ，
则 .
【答案】2
【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以，由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，所以 或 ，即 或 （舍）
所以 .
故答案为：
【变式1-3】（2024·湖北黄石·三模）若 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】在 中， ，所以 ，所以 ，
由正弦定理以及比例的性质可得： .
故选：B
【变式1-4】（2024·高三·江西赣州·期中）在 中，角 所对的边分别为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：C.
【变式1-5】在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
题型二：余弦定理的应用
【典例2-1】在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 ．若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ，
，
， ．
，即 ．
， ，即 ．
故选：D
【典例2-2】在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
△
其中， ，角B= .
【答案】
【解析】根据余弦定理：得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，得 ，
故答案为：
【方法技巧】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【变式2-1】已知 分别为 的内角 的对边，且 .角
.
【答案】
【解析】在 中，由余弦定理得， ，代入得 ，
则 ，即 ，
即 ，因为 ，但 时上式不成立，
所以 ，所以 ，则 .
故答案为：
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则 .
【答案】
【解析】
，
由余弦定理有： ，
又 ，所以原式 .故答案为：
【变式2-3】（2024·江西宜春·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
，
， 或 ，
可得 或 ．
故选：D．
【变式2-4】在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，若
，则角 = .
【答案】
【解析】因为 ，所以
所以 ， ，
， ． ， ．
故答案为：
题型三：判断三角形的形状
【典例3-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，则（ ）
A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
则 ，，
，
即 ，
由 ，故 只能为锐角，可得 ，
因为 ，所以 ， .
故选：A.
【典例3-2】在 中，内角 的对边分别为 若满足 ，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】在 中，已知
由正弦定理得 ，
所以 即
又 ，则 ，则 ，
所以 所以该三角形为等腰三角形.
故选：B.
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判断 是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．
【变式3-1】在 中，若 ，则这个三角形是 ．
【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形
【解析】因为 ，
所以， ，
，则 ，所以， ，
即 ，所以， ，
，即 ，
整理可得 ，即 或 ，
因此， 为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【变式3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】 ，
即 ，故 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 为等腰直角三角形.
故选：D
【变式3-3】在△ABC中， ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】原式可化为 ，然后利用正弦定理、
余弦定理进行边角互化，得出 ， ， 的关系.由 得：
，且 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，即 ，
∴ 或 ，又 ，
ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故选：C.
∴△
【变式3-4】在 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 ，则 的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在 中，由 及正弦定理得 ，而 ，
整理得 ，即 ，而 ，
则 ，因此 或 ，即 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
【变式3-5】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满
足 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 .所以 ，
所以 的形状为顶角为 的等腰三角形.
故选：B.题型四：正、余弦定理的综合运用
【典例4-1】在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
【典例4-2】（2024·山东·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
【方法技巧】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·一模） 中，角 、 、 的对边分别为a、b、c，若，则 的周长为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
即 .，
由正弦定理可得： ，
由余弦定理可得： ，整理得： .
因为 ，
所以 ，整理得： ，
则 ，
所以 ，
故答案为： .
【变式4-2】（2024·新疆·一模）在 中，角 的对应边是 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以由余弦定理可得 ，
利用正弦定理边化角得 ，
因为 ，所以 ，且 ，
由 得 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B
【变式4-3】 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，
则角
【答案】
【解析】 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
因为 ，所以 ，
或 （舍）， ，
因为 ，
即 ， ，
， ，
， .
故答案为： .
【变式4-4】（2024·四川攀枝花·二模） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
，则 ．
【答案】
【解析】由 ，
由余弦定理得 ，由正弦定理得 ，
因为 ，
即 ，
即 ，
因为 ，则 ，
因为 ，故 .
故答案为：
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
【典例5-1】已知向量 .
(1)求 的取值范围；
(2)记 ，在 中，角 的对边分别为 且满足 ，求函数
的值域.
【解析】（1）（1）因为 ，
可得
，
因为 ，所以 .
（2）由题意得
，可得 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，则 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
则 ，所以函数 的值域是 .
【典例5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ．
（1）当 时，求 的取值范围；
（2）已知锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，且满足 ，求
的面积．
【解析】（1）由题意得， ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
故当 时， 的取值范围是 ．
（2）∵ ，
∴由（1）得 ，∴ ．
又 ，∴ ，∴ ．
∵ ，且 ，∴ ，
∴ ，
∴由正弦定理得， ，
∴ ．
【方法技巧】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦
定理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可
以进一步简化计算过程，提高解题效率。【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，将 的图象横坐标变为
原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值
为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）将函数 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单
位后得到 的图象，
则 ，
， ，
当 ，即 时， 最大值 ，所以， ；
（2） ，
，则 ，所以， ，所以， ，
，
是锐角三角形，由 ，解得 ，
所以， ， ，则 .
【变式5-2】已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范
围.
【解析】（1）
令 ，则
所以，单调减区间是 .
（2）由 得：
，即 ，
由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
，所以 .
【变式5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
【解析】（1）
．
的最小正周期为： ；
当 时，即当 时，函数 单调递减，
所以函数 单调递减区间为： ；
（2）因为 ，所以
， ，
， ．
设 边上的高为 ，所以有 ，
由余弦定理可知： ，
， ，
（当用仅当 时，取等号），所以 ，
因此 边上的高的最大值 .
【变式5-4】（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条件
②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；条
件②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择多
个条件分别解答，按第一个条件计分.
【解析】（1）由题意可知：
，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，
因为 ，则 ，可知当 ，即 时， 取到最大值3，即 .
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
即 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 .题型六：解三角形的实际应用
【典例6-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作
《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物
，高约为 ，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分
别为 和 ，在 处测得楼顶部 的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为 ．
【答案】74
【解析】由题设及图知： ，则 ，
在 中 m.
故答案为：74
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，为测量山高 ，选择A和另一座山的山顶C为测量观测
点，从点A测得点M的仰角 ，点C的仰角 ，以及 .从点C测得
,已知山高 ，则山高 m.
【答案】
【解析】在 中，因为 ，所以 ，
在 中，因为 ， ，可得 ，
因为 ，所以 ，
在直角 中，可得 .
故答案为： .
【方法技巧】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．【变式6-1】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度 ，选取了与塔底B在同一水平面内的
两个测量基点 与 ，现测得 在点 测得塔顶A的仰角为 ，则塔
高 m.
【答案】
【解析】因为在 中， ， ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
在 中， ，所以 ，
故塔高 .
故答案为： .
【变式6-2】（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚 测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向
上走 米到 ，在 出测得山顶 得仰角为 ，
(1)若 ，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
【解析】（1）坡面的坡比为
（2）在 中,在 中,根据正弦定理
所以山高为
【变式6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在 高的楼顶 处，测得正西方向地面上 两点
与楼底在同一水平面上）的俯角分别是 和 ，则 两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
而 ，
所以 .
故选：D
【变式6-4】如图所示， 在同一个铅垂面，在山脚 测得山顶 的仰角 为
，斜坡 长为 ，在 处测得山顶 的仰角 为 ，则山的高度 为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】如图所示：
因为 ， ，
所以 ，
则 ，
在 中，由正弦定理得，
，
则 ，
得 ，
在直角三角形 中， ，
得 .
故选：D
【变式6-5】如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的
距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点A观察点 的
仰角 的大小(仰角 为直线 与平面 所成角)．若 ， ， ，则 的
最大值（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由勾股定理可得， ，过 作 ，交 于 ，连结 ，
则 ，设 ，则 ，
在 中， ， ，所以 ，
则 ，可得 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最大值为 .
故选：D.
【变式6-6】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.
如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜
子的距离为 ，之后将小镜子前移 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，已知人的眼睛距离地面的高度为 ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图，设钟楼的高度为 ，由 ，可得： ，
由 ，可得： ，
故 ，
故 ，
故选：D.
题型七：倍角关系
【典例7-1】记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积.
【解析】（1）证明：由 及正弦定理得： ，
整理得 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 （舍），
所以 .
（2）由 及余弦定理得: ，
整理得 ，
又因为 ，可解得 ，
则 ，所以△ 是直角三角形，所以△ 的面积为 .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不
相等），且满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 .
【解析】（1）证明：因为 ，由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 .
又因为 ， ，所以 或 .
若 ，又 ，所以 ，与a，b，c互不相等矛盾，
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
因为 ，所以 ，则 ，
可得 .
又因为
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，得 .
【方法技巧】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已
知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息
和灵活性。
【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测） 的内角 所对的边分别为
，则 （ ）
A．2 B． C． D．1【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
故
由勾股定理可得 ，
所以 ，
故选：A.
【变式7-2】在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，点 为边 上一点， ， ，求边长 ．
【解析】（1） ，
，
或
当 时， ， ， 即 ，
综上
（2） ， ， ，
，
，
设 ， ， ， ，
在 中：，
【变式7-3】（2024·福建三明·高三统考期末）非等腰 的内角 、 、 的对应边分别为 、 、
，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .
【解析】（1）由正弦定理 ，得 ，
，由 ，
则 .
（2）由 ，则 为锐角， ，
则 ，去分母得 ，
则 ，由 则 .
由（1）有 ，得 .
解方程组 ，消元 ，
则 ，可得 ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，由 ，此不等式成立，得证.
另令 ， ，又 ，
求导得 ，则 在 递增，
则 ，得证.题型八：三角形解的个数
【典例8-1】设在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足 的
不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理 ，即 ，所以 ，
因为 不唯一，即 有两解，所以 且 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ；
故选：A
【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 ，且 有唯一解，
则 的取值范围是 .
【答案】 或
【解析】由正弦定理得 ，
因为 有唯一解，当 时，即 ，
唯一，符合题意，得 ；
当 时， 有两个值， 不唯一，不合题意；
当 时， ，
所以 ， 唯一，符合题意，得 .
所以 的取值范围为 或 .
故答案为： 或 .
【方法技巧】三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的
对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【变式8-1】在 中，已知 ， ，若 有两解，则边 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
由图可得，要使 有两解，则 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【变式8-2】在 中， ，若该三角形有两解，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得
因为 ，所以
要使三角形有两解，所以 且
所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：
【变式8-3】在 中，已知 ， ， ，若存在两个这样的三角形 ，则 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】由正弦定理，要使 有两解，则 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
法二：由正弦定理 可得 ，
由题意可知：关于 的方程： 在 有两解，在同一坐标系内分别作出曲线 ， 和水平直线 ，
因为它们有两个不同的交点，所以 ，所以 .
故答案为：
【变式8-4】若满足 ， ， 的 恰有一个，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】已知 ，则由正弦定理 ，则 ，
又 ，当 时， 有两解；
当 或 时， 有唯一解，故 ．
故答案为：
题型九：三角形中的面积与周长问题
【典例9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，满足
， ，且 ，则边 ．
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理可得： ，
所以 ，由余弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，由正弦定理可得： ， ，
所以 ，即
故答案为：
【典例9-2】记 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长
【解析】（1）由
又 得
其中
化简得
又 得 .
即
因为 是三角形的内角，所以 .
（2）由 ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
得 ，得 ，
所以 的周长为 ．
【方法技巧】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正
弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式9-1】（2024·山东青岛·三模）设三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 边上的高为 ，求三角形 的周长．【解析】（1）因为 ， ， 为 的内角，所以 ，
因为 ，所以 可化为： ，
即 ，即 ，
因为 ，解得： ，即 ．
（2）由三角形面积公式得 ， 代入得： ，
所以 ，由余弦定理 得： ，
解得： 或 舍去，即 ，
所以 的周长为 .
【变式9-2】（2024·重庆·三模）已知函数 的最小正周期为
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)已知 的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且 ， ， ，
求该三角形的周长.
【解析】（1）由函数 的最小正周期为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，可得 ，
所以 ，所以 ，则 的周长为
【变式9-3】（2024·西藏·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 的平分线交 于点 ，且 ， ，求 的面积．
【解析】（1）由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
整理，得 ．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 为 的平分线，所以 ，
即 ，
化简，得 ，
由 ，得 ，
所以
．
【变式9-4】（2024·安徽滁州·三模）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，且 边上的中线长为 ，求 的面积．
【解析】（1） ，
由余弦定理得 ，
化简得 ．
；（2）由（1）可得 ①，
又 ②，
取 的中点 ，连接 ，
在 中， ③，
由②③得 ④，
由①④得 ，解得 或 （舍去），
，
.
【变式9-5】（2024·安徽芜湖·三模）已知 分别为 三个内角 的对边，且
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，求 的长．
【解析】（1）由正弦定理有 ，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
由 有 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，则 ．
（2）由 有
又 可得 ，
联立 解得 ，所以 为正三角形，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ．
故 的长为 .
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.2．（2023年北京高考数学真题）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：B.
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中， ， 的角平
分线交BC于D，则 ．
【答案】
【解析】
如图所示：记 ，方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，
他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．
【答案】 .
【解析】因为 ，所以 ．
故答案为： .
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 .
(1)求A；(2)若a=2， 的面积为 ，求b，c的值.
【解析】（1）由 及正弦定理得
.
因为 ，
所以 .
由于 ，
所以 .
又 ，故 .
（2）由题得 的面积 ，故 ①.
而 ，且 ，故 ②，
由①②得 .
2．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需
要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
【解析】
要求长度，需要测量的数据有： 点到 ， 点的俯角 ，最后通过正弦定理得到最终结果.
①需要测量的数据有： 点到 ， 点的俯角 ；
点到 ， 的俯角 ； ， 的距离 ……….②第一步：计算 . 由正弦定理 ；
第二步：计算 . 由正弦定理 ；
第三步：计算 . 由余弦定理
3．已知 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ，求证：
（1）三角形的面积 ；
（2）若r为三角形的内切圈半径，则 ；
（3）把边BC，AC，AB上的高分别记为 ,则 ，
， .
【解析】证明：（1）根据余弦定理的推论得 ，
则 ，代入 ，
得
又 ，
所以 ，
代入可得 ；
（2）因为 ，所以三角形的周长 ，
又三角形的面积 ，其中r为内切圆半径，
所以 ；（3）根据三角形的面积公式 ，
得 .
同理可证 ， .
4． 的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为 ，利用余弦定理证明
， ，
【解析】证明：根据余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
同理可得 ， .
5．一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向东 .一艘小货船准备从河的这一
边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距 的码头
C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，求合速
度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
【解析】如图
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设小货船的速度为 ，水流速度为 ，合速度为 ，则 ，∴小船航行速度的大小为 .
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制
易错分析： 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路
受阻或解答出现增解现象.
【易错题1】在 中， ， ， ，则角A的大小为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【解析】
由正弦定理可得 ，
，
，
故 或 ，
则 或
故选
【易错题2】在 中，已知 ， ， ，则角 __________．
【答案】
【解析】 ， ， ，
由正弦定理 ，
可得： ，
，A为锐角，可得： ，
故答案为：
答题模板：利用边角关系解三角形
1、模板解决思路
如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一
次式，则考虑用正弦定理．
2、模板解决步骤
第一步：结合正弦定理、余弦定理将关系式中的角化边或者边化角．
第二步：化简上一步所得的式子，结合已知条件和余弦定理与正弦定理来进一步求解．
【经典例题1】 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ．
(1)求 ；
(2)若 且 的面积为 ，求边长 ．
【解析】（1） 中， ，
由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
由于 ， ，有 ，
所以 ，又 ，则 ，所以 .
（2）由（1） ，
而 ，
由正弦定理有 ，从而 ， ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为 ，由已知 的面积为 ，可得 ，所以 .
【经典例题2】 中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且
(1)求A；
(2)若 ， 求BC边上高的最大值.
【解析】（1）因为
由正弦定理得 ，
因为 ,
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为
所以 ， .
（2）因为 ， ，
由余弦定理得： ，即 ，
因为即 ，即 ，
，
设 中BC边上高为 ，则 ，所以 ，
即BC边上高的最大值为 .
