文档文本内容
第05 对数与对数函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 对数与对数运算.....................................................................................................................2
题型02 换底公式的应用.....................................................................................................................2
题型03 对数函数的概念、定义域和解析式................................................................................3
题型04 对数型函数图象过定点问题..............................................................................................3
题型05 对数函数的图象.....................................................................................................................4
题型06 对数（型）函数的单调性...................................................................................................5
题型07 利用对数（型）的单调性求参数
................................................................................5
题型08 对数型函数的最值（值域）..............................................................................................6
题型09 根据对数型函数的最值（值域）求参数
..................................................................6
题型10 比较对数的大小.....................................................................................................................6
题型11 解对数方程及不等式
......................................................................................................7
题型12 对数函数性质的综合应用
.............................................................................................7
题型13 指（对）函数的实际应用
.............................................................................................8
题型14 反函数.......................................................................................................................................9
重难·创新演练........................................................................................................................................................9
真题·实战演练......................................................................................................................................................11
模拟·基础演练
考查重点：聚焦对数运算、换底公式、对数函数解析式、定义域、图象、单调性、值域，结合复合
函数、参数求解、大小比较、对数方程与不等式，同时考查反函数及指对数综合应用。
题型01 对数与对数运算
1.已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
2．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
3.（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若设
，且
，则
D．若
，则
4．（2026·四川遂宁·一模）
__________.
5．（2026·湖北十堰·一模）已知
，
，用，表示
__________.
题型02 换底公式的应用
6．已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知：
，求证：
．
8.已知
.
（1）求
的值；
（2）设
，求证：
.
题型03 对数函数的概念、定义域和解析式
9．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为__________.
11.若函数
是以
为自变量的对数函数，则实数
__________.
12.若函数
定义域为
，则a 的取值范围是__________.
13．（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
14．已知函数
（
，且
）的图象过点
．
(1)求a 的值；
(2)若
，求
的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若
，求实数x 的值．
题型04 对数型函数图象过定点问题
15．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知
且
，则函数
的图象一定经
过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
16.已知函数
且
的图象过定点
，且点
在指数函数
图象上，则
___________.
17．已知函数
恒过定点
，则
__________.
18．函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在函数
（
，且
）的图象上，则
的最小值为 __________.
题型05 对数函数的图象
19.已知函数
（
且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
20.函数
与
的大致图象如图所示，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．3
21．函数
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
22.已知函数
，若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
23.已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围为__________.
题型06 对数（型）函数的单调性
24.（多选）下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
25.函数
的单调增区间是_____．
26.（多选）设函数
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数是增函数
C．函数的图象关于直线
对称
D．函数的值域是
题型07 利用对数（型）的单调性求参数
27．函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．若函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2026·河北保定·阶段检测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026·山西太原·质检）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是 ．
32．若函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是__________.
题型08 对数型函数的最值（值域）
33．函数
的定义域为 ，值域为 .
34．函数
的最大值为__________.
35．已知
，设
，则函数
的最大值为 .
题型09 根据对数型函数的最值（值域）求参数
36．设
且
，函数f（x）＝
的定义域为R．若
的值域为
，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1，则的值为______.
38．（2022·上海·模拟预测）若函数
（
且
）有最大值，则的取值范围
是 .
39．已知函数
的值域为R，关于a 的不等式
恒成立，则
实数k 的取值范围是__________.
40．（2026·河北秦皇岛·模拟）已知函数
的值域为
，则实数
的值为
.
题型10 比较对数的大小
41．（2026·天津河东·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
42．设
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
43．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
44.设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
45．已知函数
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
46．已知
，则正数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 解对数方程及不等式
47.若集合
，则
__________.
48．若
，则
的取值范围是________．
49．已知函数
，则
的解集为__________.
50．已知函数
，则不等式
的解集为__________.
题型12 对数函数性质的综合应用
51．设函数
．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的增区间为
，减区间为
C．函数
的值域为
D．若
，则实数
的取值范围为
53.已知函数
，若
存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
54．已知函数
．
（1）求函数
的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）；
（2）函数
，若对
，都
，使得
成立，求实数
的取值范围；
（3）函数
，若对
，都存在
，使得
成立，求实
数
的取值范围；
题型13 指（对）函数的实际应用
55．（2026·四川达州·二模）“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大
量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是
1,2,3,
,9
m m
的概率为
1
lg 1
m
，据此
可知，一个数的首位数字是3 的概率与首位数字是5 的概率之差约为（参考数据：
lg3
0.477
）（
）
A．0.046
B．0.023
C．0.262
D．0.131
56.石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，
散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量
与超声处理时间（单位：分钟）满足
，其中
为初始颗粒数量，
为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6 分钟后，团聚
体数量变为初始的100 倍，则团聚速率常数
约为（ ）（参考数据：
，
）
A．56.2%
B．77.8%
C．115.4%
D．118.4%
57.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽
的关系，即
其中
是信道容量，单位bps；
为信道带宽，单位Hz；
代表接收信号的
信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由
5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps 提高至593Mbps，
依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
，
）
A．5
B．6
C．7
D．8
题型14 反函数
58．设函数
且
，若其反函数的图象过点
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
59．定义在
上的函数
的反函数为
，若
为奇函数，则
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
60．已知函数
的零点为
、函数
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
61．已知实数
满足
，
，则
__________.
62．（2025·陕西宝鸡·二模）已知
分别是函数
，
的零点，则
的值为________.
重难·创新演练
设题创新: 结合生活场景、前沿科技、命制新情境题；融合函数奇偶性、周期性、对称性综合设问；
多题型结合、一题多考点，增设多选、分段函数、零点问题等新颖考法。
1．（2026·山西大同·一模）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东枣庄·二模）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．【新考法】（2026·贵州安顺·一模）设方程
的两个根为
，则
（
）
A．0
B．1
C．e
D．
5．【新考法】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的值域为R，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．【新情境】（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧
层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量
与时间（单位：年）的关系为
，其中
是臭氧的初
始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过
年将有一
半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的
，约为（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
7．【新角度】（2025·湖南·二模）若函数
与直线
恰有三个交点，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．【新考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数
，若存在不相等的实数
，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·宁夏银川·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知函数
，若
有三个不等实根
，
，
，且
，则
（ ）
A．
的单调递增区间为
B．a 的取值范围是
C．
的取值范围是
D．函数
有4 个零点
11．若函数
为偶函数，则实数
.
12．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知
，则的取值范围为___________.
13．（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，则
_____．
14．【新考法】（2026·山西朔州·一模）若
，且
，
，
则
__________.
真题·实战演练
高频考点：对数运算与换底公式、对数函数单调性与图象、比较对数大小、对数不等式求解、对数
型函数值域与参数问题、反函数、指对数综合应用。
1．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流
中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是___________.
