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第01 讲 三角函数的概念与诱导公式
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念
知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式
题型破译 (含超链接）
题型
1 象限角与弧度制的应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2
三角函数的定义与坐标运算
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3
同角三角函数基本关系的应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4 诱导公式的化简与求值
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5
同角关系与诱导公式的综合应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6 三角函数的化简与证明
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
任意角与弧度制
——
——
——
三角函数的定义
——
——
——
同角三角函数基本关
系
——
——
全国Ⅰ卷T4（5 分）
诱导公式化简求值
全国一卷T3（5 分）
——
三角函数线与象限符
号
——
——
——
综合应用（与恒等变
换结合）
——
——
——
考情分析
三角函数的概念与诱导公式是高中三角函数模块的核心基础，是后续学习三角恒
等变换、三角函数图象与性质、解三角形的必备工具。新高考弱化纯记忆性考
查，强化定义理解与转化化归思想，突出数学运算与逻辑推理素养。
1、题型：单选 / 多选第 3～8 题（5 分），填空题第 13～14 题（5 分），解
答题常作为第 1 问穿插于三角恒等变换、解三角形中（3～5 分），总分 5～10
分；整体难度中等偏易，属于高频必考基础内容。
2、四大考查方向：
象限角判断、弧度制换算与扇形公式应用；
三角函数定义及象限符号判断；
同角三角函数基本关系的求值与变形；
诱导公式的化简、求值及综合应用。
3、综合融合：常与三角恒等变换、三角函数图象性质、平面向量、解三角形结
合，作为工具性知识考查，也常与集合运算、充分必要条件结合命题。
复习目标
1、理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算，熟练运用弧长与扇形面积
公式；
2、掌握三角函数的定义，能准确判断三角函数在各象限的符号，了解三角函数
线；
3、牢记同角三角函数的基本关系式，熟练掌握 “知一求二”、齐次式求值等常
规题型；
4、熟记六组诱导公式，掌握 “奇变偶不变，符号看象限” 的记忆方法，能熟
练进行化简与求值；
5、能综合运用同角关系与诱导公式解决三角式化简、求值、证明问题。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
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知●识●解●构
知识点1 任意角与弧度制
一、角的概念推广
1.
按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。
2.
按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。
3.
终边相同的角：所有与角α
终边相同的角，连同α
在内，可构成集合
（角
度制）或
（弧度制）。
二、弧度制换算关系：
1.
180
∘= π rad，1
∘= π
180 rad，1rad=( 180
π )
∘
。
2.
弧长公式：l =|α |⋅r（α为弧度数，r为半径）。
3.
扇形面积公式：S = 1
2 lr = 1
2 |α |r
2。
自主检测（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．24
25
【答案】C
【详解】由题设
，同理
，
所以
.
知识点2 三角函数的概念
1.
坐标定义
设角α终边上任意一点P( x , y)（不与原点重合），r =|OP|=
❑√x
2+ y
2>0，则：
sin α = y
r ,cos α = x
r ,tan α = y
x ( x≠0)
2.
单位圆定义
角α的终边与单位圆交于点P( x , y)，则sin α = y，cos α = x，tan α = y
x ( x≠0)。
3.
三角函数在各象限的符号
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
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r
y
叫做α 的正弦，记作sinα
x
r 叫做α 的余弦，记作cosα
叫做α 的正切，记作tanα
各
象
限
符
号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
口诀
Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c)
补充：只需要了解的其他三角函数。
4.
特殊角的三角函数值
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
15°
75°
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
π
12
5 π
12
sinα
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
6
2
4
6
2
4
cosα
1
2
3
2
2
2
1
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
－1
6
2
4
6
2
4
tanα
0
3
3
1
3
−√3
-
1
−√3
3
0
2- 3
2+ 3
自主检测（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若
为第一象限角，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于A，虽然
是第一象限角，但
，故A 错误；
对于B，由
，得
，所以
，所以
，故B 正确；
对于C，由
，得
，
r
y 叫做α 的正割，记作scsα
r
x 叫做α 的余割，记作secα
x
y 叫做α 的余切，记作cotα
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所以
，即
，故C 正确；
对于D，因为
，故D 错误．
知识点3 同角三角函数的基本关系式
1.
平方关系：sin
2α +cos
2α =1
2.
商数关系：tan α = sin α
cosα (α ≠π
2 +kπ ,k ∈Z )
常用变形
•
sin
2 α =1-cos
2 α，cos
2 α =1-sin
2 α；
•
(sin α ±cos α )
2=1±2sin α cos α；
•
sin α = tan α ⋅cos α。
自主检测（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，
都是锐角，
，
，则
的值
是（ ）
A．
B．
C．
D．9
14
【答案】C
【分析】根据
，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可.
【详解】因为
，
都是锐角，所以
,
因为
，
，
所以
，
，
所以
.
知识点4 三角函数的诱导公式
1.
六组核心诱导公式
组数
角的形式
正弦
余弦
正切
一
α +2kπ(k ∈Z ) sin α
cos α
tan α
二
π +α
-sin α
-cos α
tan α
三
-α
-sin α
cos α
- tan α
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四
π -α
sin α
-cos α
- tan α
五
π
2 -α
cos α
sin α
—
六
π
2 +α
cos α
-sin α
—
2.
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
•
奇变偶不变：π
2 的奇数倍加α，函数名变名（正弦
余弦）；偶数倍加
↔
α，函数名不变。
•
符号看象限：将α视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。
3.
化简原则
负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。
自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位长度后所得图象的解
析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将
的图象向右平移
个单位长度，得到
，
根据诱导公式可得
.
题●型●破●译
题型1 象限角与弧度制的应用
例1-1（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合
，
是第一象限角，则
元
素的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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【答案】C
【详解】集合
，
是第一象限角，
，该角为第一象限角，
为第一象限角，
为第二象限角，
则
，即
元素的个数为3.
例1-2（2026·天津·模拟预测）“角β与30°终边相同”是“角
是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若角β与30°终边相同，则
，
.
当
为偶数（设
）时，
，此时
是第一象限角；
当
为奇数（设
）时，
，此时
是第三象限角.
充分性不成立.
若角
是第三象限角，则
，
，
此时角β的终边落在第一、第二象限或与90°终边相同，不一定与30°终边相同；
必要性不成立.
综上，“角β与30°终边相同”是“角
是第三象限角”的既不充分也不必要条件.
方法技巧
1.
判断α
n 所在象限：先写出α的范围，再除以n，对k分n类讨论；
2.
扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θr，面积S=
；
3.
终边相同角问题，统一表示为
，再根据范围确定k 值。
易错分析
1.
混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误；
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2.
判断象限角时忽略轴线角的特殊情况；
3.
扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。
【变式训练1-1】（多选题）（2025·江西赣州·一模）设D 是含数1 的有限实数集，
是定义在D 上的函
数，若
的图像绕原点逆时针
旋转后与原图像重合，则下列选项中
的取值可能为（ ）
A．
❑√3
3
B．1
C．
D．2
【答案】BD
【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有6 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下
一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可．
【详解】由题意可得，问题相当于圆上由6 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个点会
重合；
设
处的点为
，
∵f ( x)的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，
∴旋转后
的对应点
也在f ( x)的图象上，
同理
旋转后的对应点
也在图象上，
以此类推，f ( x)对应的图象可以为一个圆周上6 等分的6 个点；
对于A，当
时，O A1与
正半轴夹角为π
6 ，
所以
，此时
，
，此时
，不满足函数定义，故A 错误；
对于B，
当
时，O A1与
正半轴夹角的正切值为2，此时每个
只对应一个y，满足函数定义，故B 正确；
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对于C，当
时，O A1与
正半轴夹角为
，
即
，此时
，
，此时
，不满足函数定义，故C 错误；
对于D，
当
时，O A1与
正半轴夹角为
，此时每个
只对应一个y，满足函数定义，故D 正确；
故选：BD．
【变式训练1-2】（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1 的弧长为2；②扇形2 的
面积为4；③扇形3 卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为α，β，γ，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断角度的范围，进而判断大小关系.
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【详解】扇形1 的弧长为2，扇形1 的半径为2，则
，
扇形2 的面积为4，扇形2 的半径为2，则根据扇形面积公式：
，
得：
，
扇形3 卷成的圆锥底面周长为6，扇形3 的半径为2，则：
，
因为
，所以
，
因为
，且
，所以
，
因为
，所以
，
而
，所以
，
又因为
，所以
，则
，即：
.
【变式训练1-3·变载体】（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走
出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为
，
圆心角为
的扇形人工湖OAB，OM、ON 分别是由OA、OB 延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民
健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与
相切于点F，且与
、
ON分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB 垂直的
、
（垂足均不与O 重合），在
△OCD区域以内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则（ ）
A．
的范围是
B．新增步道CD 的长度可以为
C．新增步道FG、FH 长度之和不可能为
D．当点F 为
的中点时，草坪的面积为
【答案】BCD
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【分析】在三角形中把相应边长用
的三角函数表示，利用三角函数解决问题.
【详解】设
，
对于选项A，由题意可得
，解得
，A 选项错误；
对于选项B，
，则
，
，
所以
，
令
，则
，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以新增步道CD 的长度可以为
，B 选项正确；
对于选项C，则
，
，
所以
，
即得
，
由
,得
，即有
，
从而
.
故新增步道FG、FH 长度之和不可能为
. C 选项正确；
对于选项D，点F 为
的中点时，则
，则
题型2 三角函数的定义与坐标运算
例2-1 已知角
的终边经过点
，则
______．
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【答案】
/
【详解】因角
的终边经过点
，则该点到原点的距离
，
于是得
，所以
．
例2-2 已知角
的顶点在坐标原点，始边为
轴正半轴，终边经过点
，则
______．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求解即可.
【详解】由三角函数的定义可得
.
方法技巧
1.
已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意r >0恒成立；
2.
终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解；
3.
已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。
易错分析
1.
忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况；
2.
定义中分子分母记反，导致结果错误；
3.
忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。
【变式训练2-1·变载体】在平面直角坐标系
中，以
轴的非负半轴为始边，角
，
的终边分别经过
点
和点
．向量
，
，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】先根据题设结合平面向量的线性运算的坐标表示求得
，再根据三角函数的定义可得
，
，由
，
均为第一象限角可得
，且
，而
，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
则
，
，因为n>0，所以
，
均为第一象限角，
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则
，因为
，
所以当
取得最大值时，
取得最小值，
又因为
，
而
，当且仅当
，即
时等号成立，
此时
取最大值
，所以
的最小值为
．
故答案为：
．
【变式训练2-2】已知角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，角
的终边与圆
交于点
．动点
以
为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点
，点
运动的轨迹长为
，当角
的终边为射线OB时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出tan α、圆
的半径和
，再由
结合两角和正切公式即可求解．
【详解】由题得
，且圆
的半径为
，
所以
，
所以
．
【变式训练2-3】（多选题）函数f ( x)的定义域为
，f ( x)在区间
上单调递增，且满足
，函数
为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】BD
【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A 错误；
由对称性和单调性可得B 正确；由对称性和对数函数的运算可得C 错误；由函数的单调性结合对数函数的
运算和三角函数的单调性可得D 正确；
【详解】
为奇函数，则
关于点
中心对称，则
，
又因为
，令
则
，则
故
则
关于直线x =0轴对称.
又因为
，
故
，则
的周期为8.
对于A：则
，又因为f ( x)在区间
上单调递增，则
故A 错误；
对于B：
关于点
中心对称，则
，而
在
上也单调递增，故
，则
，故B 正确；
对于C：
在
上也单调递增，
故C 错误；
对于D：
则
而
在
上也单调递增，则
，故D 正确.
故选：BD.
题型3 同角三角函数基本关系的应用
例3-1（2026·江苏扬州·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．13
10
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，解得
，
原式
.
例3-2（2026·江苏无锡·三模）若
，且
为锐角，则
（ ）
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A．2
B．3
C．1
2
D．1
3
【答案】D
【分析】利用弦化切可得出关于
的方程，结合
可解得
的值.
【详解】因为
为锐角，则
，
，
，
，
整理可得
，
方法技巧
1.
齐次式求值：分子分母同除以cos
n α，化为tan α的表达式；
2.
知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果；
3.
sin α ±cos α与sin α cos α的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。
易错分析
1.
开平方时忽略象限符号，导致多解错误；
2.
二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补sin
2 α +cos
2 α）；
3.
平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。
【变式训练3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．1
2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据
及
求出
，同理求出
，
利用
即可求出答案.
【详解】
，
因为
，所以
，
易知
均不为
，所以
，
，
因为
，所以
，
即
，
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所以
.
【变式训练3-2】（2026·河北承德·模拟预测）已知
，
，且
，
，则
的值为_______．
【答案】24 或
【分析】先由
范围确定
、
的区间并判断三角函数符号,求出
与
,再把
通分化简为
,利用积化和差公式算出
,最后代
入数值计算得出结果.
【详解】
由角范围得：
,
.
由
,所以
得
,
.
由
,
,得
.
若
,则
.
代入目标式：
.
若
.
代入目标式：
.
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综上所述,
或
【变式训练3-3·变载体】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm 的密封透明正方体容器水平放置
在桌面上，水面高度
.将此正方体放在坡角为
的斜坡上，此时水面
恰好与点A齐平，其主
视图如图2 所示，则
= __________.
【答案】
/
【分析】延长
，交直线
于点
,设
,由水的体积不变可列式求出
，再求出tan α，由二
倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案.
【详解】如图，延长
，交直线
于点
，
由题意可得：
，
，
设
，则
，
因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为
的斜坡上，
容器里的水的体积不变，且放在坡角为
的斜坡上时，
水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为
的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为
的长
方体的体积的一半之和，
因为
，解得：
，即
，
因为
，所以
，
因为AD // BC，所以
，
所以
，
.
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题型4 诱导公式的化简与求值
例4-1（2026·湖南长沙·模拟预测）
的值为（ ）
A．
❑√2
2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
.
例4-2（2026·吉林延边·二模）在
中，角
、B、C的对边分别为
、
、，满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角
与角B的关系，
最后结合二倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，
，
根据正弦定理，可得
，
化简得
，
即
，
又
，所以
，
所以
，
所以①
，即
，不符合题意，
②
，即
，
所以
，
又
，所以
.
方法技巧
1.
诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值；
2.
互余、互补角的转化：若α + β = π
2 ，则sin α =cos β；若α + β = π，则sin α =sin β，
；
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3.
整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。
易错分析
1.
“奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错；
2.
符号判断时，未将α视为锐角，导致符号错误；
3.
化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。
【变式训练4-1】（多选题）（2026·河北雄安·三模）已知
，且
，则
的取值
可能在以下哪个区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】借助诱导公式计算可得
或
或
，结合正弦函数单调性结合三角恒等变换公式计
算即可确定
的取值区间.
【详解】
，
则
或
，
即
或
，
由
，故
或
或
，
当
时，
，故D 选项符合；
当
时，有
，故
，
令
，则
，有
，则
，
，
则
，
整理得
，
解得
或
或
，
由
，故
，即有
，
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故
，故B 选项符合；
，则
当
时，由
，故
，
及
，即有
，故C 选项符合；
综上可得：B、C、D 正确，A 错误.
【变式训练4-2·变题型】（2026·广西桂林·模拟预测）已知
，
为曲线
上的两点，则
______．当
时，
，则
______；
【答案】
【详解】因为
的最大值为
，最小值为
，且
，
，
所以
，k为非负整数，解得
，k为非负整数，
又
，
，所以
，k为非负整数，
令
，得
，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，则
，
因为过点
，所以
，
，解得
，
，
令
，得
符合题意，k取其他整数时，均不符合题意，故
．
第二空：由
因为
，所以
所以
所以
所以
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【变式训练4-3·变载体】（2026·辽宁大连·模拟预测）设
，{an}是公差为
的等差数列，
且
，则
______．
【答案】
【分析】通过题目条件利用
表示求
，再将它们的值代入
即可.
【详解】由题目可得
，
则
，
又
，
所以
，令函数为
，
，
所以函数
单调递增，
故有唯一的a2使
，又
，
，则
，
，
故
.
题型5 同角关系与诱导公式的综合应用
例5-1（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数
的一个中心坐标是(-π
12 ,0)，
则
的值等于____________．
【答案】
【分析】由对称中心代入求得θ，再结合诱导公式即可求解.
【详解】由题意，
即
，解得
，
又
，则得
所以
.
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例5-2（2026·山东烟台·模拟预测）若
，
，则
的值为______．
【答案】3
5/
【详解】因为分子：
分母：
，
.
所以原式
.
已知
，两边同时平方可得：
，
所以
.
方法技巧
1.
综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值；
2.
已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联；
3.
含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。
易错分析
1.
诱导公式化简过程中符号连续出错；
2.
忽略角的象限，开方时符号判断错误；
3.
大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。
【变式训练5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知
，
均为锐角，且满足
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知
，由辅助角公式得：
，
其中
，
，
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已知等式左边等于
，因此
，得
，
即
，因此
，
所以
，又
，
所以
.
【变式训练5-2】（2026·山东临沂·一模）已知锐角
，
满足
，则
的
最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
3
【答案】D
【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得
含的表示，即可根据基本不等式求解最值.
【详解】由
得
，即
，
由于
，
为锐角，故
，
设
，则
，
令
，当且仅当
时取到等号.
故
的最大值为1
3.
【变式训练5-3】（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，
以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点
，
，定义
，
则（ ）
A．
B．
的最大值为2 C．
D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数的定义、诱导公式以及同角三角函数的关系求解即可.
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【详解】根据三角函数的定义：
，
，
因此
，
.
选项A.
，正确.
选项B.
，最大值为❑√2，不是2，错误.
选项C.
，正确.
选项D.
，
，
因为
，故错误.
题型6 三角函数的化简与证明
例6-1（2026·山东济南·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．2
5
C．
D．
【答案】D
【详解】
例6-2（2026·福建泉州·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．- 1
2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意：
①
②
得：
，
分子、分母同除以
，得
，
整理得
.
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方法技巧
1.
化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；
2.
证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题；
3.
常用技巧：1 的代换（1=sin
2 α +cos
2 α）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图
象分析。
易错分析
1.
变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；
2.
公式记错，平方差、完全平方公式应用错误；
3.
切割化弦时，正切换算遗漏分母。。
【变式训练6-1】（多选题）（2026·安徽滁州·三模）已知
，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据
可判断A；根据
及
即可判断B；根据两角和的
正弦公式可判断C；代入可判断D.
【详解】
，
解得
，又
，所以
，故A 正确；
联立
及
，解得
，
所以
，故B 错误；
同理根据
及
，解得
，
所以
，故C 正确；
因
，
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所以
.故D 错误.
【变式训练6-2】（2026·湖南怀化·三模）已知
，
，则
__________．
【答案】
【分析】由
，可得
，然后由
，可得
，据此可得
，最后由两角和的余弦公
式可得答案.
【详解】由
，可得
.
又
，
从而
，
则
.
【变式训练6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知
，
，则cosα =
______.
【答案】- 1
2/
【分析】本题中的角
可以看成
，而所求角
可以看成
．令
，
，则已知条件变为
，
，所求为
．利用两角和与差的余弦公式，
并把
化为
，即可求出结果．
【详解】令
，
，则
，
．
因为
，所以
与
均有意义，从而
，
．
由两角和的余弦公式，得
．
又因为
，
，所以
．
因此
．
把
代入，得
．
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又因为
，所以
，解得
．
由两角差的余弦公式，得
．
同理，
，所以
．
于是
．
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
一、单选题
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
，
即集合
，且集合
，所以
.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
❑√2
10
B．
C．
D．7 ❑√2
10
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得
，则sin α = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】
，
因为
，则
，则
，
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则
.
故选：D.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
❑√3
2
D．
【答案】B
【分析】先将
弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B.
二、填空题
5．（2026·天津·高考真题）在
中，BC = 4，AC =3，
，则
__________．
【答案】
/
【详解】在
中，
，所以
，
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由正弦定理可得
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
一、解答题
1．（19-20 高一·全国·课后作业）在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象
限角：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
，第四象限角
(2)
，第一象限角
(3)
，第三象限角
【分析】（1）根据题意，通过对已知角加上或减去
的整数倍后得到的角在
范围内，即可求解；
（2）根据题意，通过对已知角加上或减去
的整数倍后得到的角在
范围内，即可求解；
（3）根据题意，通过对已知角加上或减去
的整数倍后得到的角在
范围内，即可求解；
【详解】（1）因为
，所以在
范围内，与角
终边相同的角为
，是第四象限角.
（2）因为
，所以在
范围内，与角
终边相同的角为
，是第一象限角.
（3）因为
，所以在
范围内，与角
终边相同的角为
，
是第三象限角.
2．（21-22 高一上·全国·课后作业）利用三角函数定义，求
的三个三角函数值．
【答案】
，
，
．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得
的三个三角函数值．
【详解】解：在
角的终边上任意取一点
，
，则
，
，
，
，
，
．
3．（22-23 高一·全国·课堂例题）利用公式求下列三角函数值：
(1)
：
(2)
；
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(3)
；
(4)
.
【答案】(1)
(2)
❑√3
2
(3)
❑√3
2
(4)
【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得出答案.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
4．（22-23 高一·全国·课堂例题）求下列三角函数值：
(1)
（精确到0.001）；
(2)
；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式(一)及特殊角三角函数值化简求值；
（2）根据诱导公式(一)及特殊角三角函数值化简求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
5．（19-20 高一·全国·课后作业）在△ABC中，
，
，求
的值.
【答案】
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【解析】利用平方关系以及商数关系得出
，
，结合两角和的正切公式得出
，利用二倍
角的正切公式求解即可.
【详解】在
中，由
，
，得
，
所以
.
又
，所以
，
所以
.
6．（19-20 高一·全国·课后作业）已知
，
是第三象限角，求
的值.
【答案】7 ❑√2
10
【解析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出
，根据平方关系得出
，结合两角
和的正弦公式求解即可.
【详解】∵
，∴
，
∴
，又
是第三象限角，∴
.
因此
.
7．（19-20 高一·全国·课后作业）（1）分别计算
和
的值，你有什么发现？
（2）任取一个
的值，分别计算
，你又有什么发现？
（3）证明：
.
【答案】（1）
， 发现：
.
（2）
，发现：
.
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（3）证明见解析
【解析】根据特殊角三角函数值求法,可解（1）（2）;根据同角三角函数式关系式,可证明（3）.
【详解】（1）根据特殊角三角函数值计算可知
所以
（2）取
则
所以
.
（3）证明:
所以
.
8．（19-20 高一·全国·课后作业）化简
，其中
为第二象限角.
【答案】
【解析】根据角
为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解.
【详解】
为第二象限角,
∴
