文档文本内容
第01
讲三角函数的概念与诱导公式
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 象限角与弧度制的应用.........................................................................................2
题型02 三角函数的定义与坐标运算...................................................................................9
题型03 同角三角函数基本关系的应用...........................................................................14
题型04 诱导公式的化简与求值
..................................................................................20
题型05 同角关系与诱导公式的综合应用.......................................................................25
题型06 三角函数的化简与证明
..................................................................................29
重难·创新演练.....................................................................................................................................33
真题·实战演练.....................................................................................................................................43
模拟·基础演练
考查重点：三角函数的化简与证明
题型01 象限角与弧度制的应用
一、单选题
1．已知角
的终边绕原点O 逆时针旋转
后与角
的终边重合，且
，则
的取值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知弧长为1cm 的扇形面积是
，则其圆心角大小为（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．将时钟拨慢15 分钟，分针转过的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为
内部剪掉一个小半圆形（圆心为
，将剩
余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，
，
，
扇形圆心角
，
，则扇形区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．【新思维】（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与
终边相反的有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大
圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为
、圆心角为
的扇形，则下列结论正确的是
（ ）
A．小圆锥的高为1
B．大圆锥的体积为
C．圆台的母线长为
D．圆台的表面积为
9．【新考法】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，勒洛四面体就是其中之一
“
”
.勒洛四面体是分
别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体
中，正四面体
的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．记勒洛四面体
表面上以
，
为球心的两球球面交线为弧
，其长度为
B．平面
截勒洛四面体
所得截面的面积为
C．过棱
的中点和
的平面截勒洛四面体
所得的截面的周长小于
D．勒洛四面体
的内切球半径是
三、填空题
10．【新情境】（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的蚊香．画法如下：在水平直
“
”
线上取长度为1 的线段
，作一个等边
，然后以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
（第一段圆弧），再以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
，
再以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧
以此类推，当得到的蚊香恰好有
……
“
”
7 段圆弧时，蚊香的长
“
”
度为______．
题型02 三角函数的定义与坐标运算
一、单选题
1．（2026·甘肃白银·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．【新情境】（2026·河北保定·模拟预测）在信号处理领域，简谐信号是最基础的信号形式之一，其波动
规律可通过三角函数描述．已知某简谐信号关于时间x 的原始波动函数为
，为适配传
输需求，对该函数依次进行两次图象变换：①将
的图像向左平移
个单位长度；②将所得图像上所
有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到目标信号函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知角
的终边与圆
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知
，且
为关于t 的方程
的
一个根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．【新思维】（2025·河南许昌·三模）如图，点
是以
为顶点的正方形边上的
动点，角
以Ox 为始边，OP 为终边，定义
．则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
的图象与
轴围成封闭图形的面积为
三、填空题
7．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，角
的终边经过点
，则
_________．
8．（2026·河南周口·二模）已知函数
，则
____________.
9．【新题型】（2026·北京·三模）已知
，
，且
，
．则满足
条件的一组
，
的值可以是
________，
________．
10．（2026·云南·模拟预测）若角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点
，
则
________．
题型03 同角三角函数基本关系的应用
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·三模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
2．（2026·河南信阳·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3.已知
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
4．（2026·陕西咸阳·三模）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·安徽阜阳·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2026·山东日照·模拟预测）已知
，
，则
________.
8．（2026·湖南湘潭·二模）已知
，
，则
______.
三、解答题
9．【新考法】（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
10．【新角度】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若a2n+1-a2n-1<2，求证：
；
(3)已知
，求
的值.（结果用
表示）
题型04 诱导公式的化简与求值
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为4，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．（2026·北京东城·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·上海·三模）下列函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
6．【新思维】（2026·安徽合肥·模拟预测）计算：
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2026·云南玉溪·二模）已知角θ的终边过点
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
8．（2025·上海·模拟预测）已知
，则
________．
9．（2026·北京通州·一模）函数
，则
________．
10．【新考法】（2026·江西·模拟预测）已知函数
关于点
对称，则
______．
题型05 同角关系与诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2026·湖北·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·西藏林芝·二模）设△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，△ABC的
面积
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
4．（2026·河南·模拟预测）设
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·陕西延安·三模）“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2026·山东济南·二模）已知函数
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·宁夏银川·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（2026·山东聊城·一模）若函数
满足对任意
，都有
，
则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
在
上单调递减
三、填空题
9．（2026·浙江·三模）已知
，
，则
______.
10．（2026·江西抚州·二模）已知
，且
，则
__________.
题型06 三角函数的化简与证明
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，且
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知
，则
__________.
4．【新考法】设
，则
__________．（用含
的式子表示）
5．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若
，则
___________．
6．化简：
________.
7．化简：
___________.
8．写出满足
的一组
和
，
______，
______．
9．设
，则
________（结果用含
的式子表示）.
10．已知
，则
________．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·山东菏泽·二模）已知
，曲线
与曲线
相邻的四个交点构成一个菱
形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河南开封·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2026·云南·模拟预测）若
，则
＝
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2026·河北保定·三模）在△ABC 中，若
则（ ）
A．△ABC 为锐角三角形
B．
C．
D．若
的面积为1，则
6．【新角度】（2026·山东日照·一模）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．曲线
关于直线
对称
B．
C．
D．记
的最小值为
，则
7．已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线
关于原点对称
D．若
在
上恰有两个实根，则实数
的取值范围为
三、填空题
8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y 满足
，则
的最大值为__________．
9．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知
，若
在
内的解为
，则
__________.
10．【新思维】（2025·安徽·二模）已知等差数列
的公差为
，若集合
，则
_____．
四、解答题
11．（2026·江苏南通·一模）已知函数
，且
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，并求
的取值范围．
①函数
在区间
上只有最大值，没有最小值；
②函数
在区间
上恰有4 个零点：
③函数
在区间
上单调递增．
真题·实战演练
高频考点：诱导公式的应用
一、单选题
1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的会圆术，如图，
“
”
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．
会圆术给出
“
”
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2023·北京·高考真题）已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明p 为假
命题的一组
的值为
__________，
_________．
5．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，
则这个圆锥的底面半径（单位：
）是_______．
6．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点
对称.若
，则
的最大值为________．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）若
，则
________．
8．（2025·上海·高考真题）已知
，则
__________．
9．（2025·北京·高考真题）关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
________．
三、解答题
11．（2018·上海·高考真题）设常数
R，函数
.
(1)若
为偶函数，求
的值；
(2)若
，求方程
在区间
上的解.
12．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
