专题8导数的概念及其运算（学生版）_高考一二三轮复习_数学_2026年_62026届高三数学一轮复习（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）人教A版新高考专用

2026 年高考数学一轮复习
专题8：导数的概念及其运算
知识点一 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)
或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应
地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
知识点二  导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0 且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0 且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝lnx (x>0)
f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点




0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x

第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x




第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为




0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x

在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x

；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k


，解出
0x 及
0
(
)
f
x

；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x




．
二、复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
( )
y
f u

和
( )
u
g x

，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这
个函数为
( )
y
f u

和
( )
u
g x

的复合函数，记作
( ( ))
y
f g x

.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数
( ( ))
y
f g x

的导数和函数
( )
y
f u

，
( )
u
g x

的导数间的关系为
x
u
x
y '
y ' u '


，即y
对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
3、求复合函数导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
4、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
考点一 导数的定义及应用
【例1】设函数
在
处存在导数为
，则
（    ）
A．
        B．
        C．
        D．
【变式1-1】已知函数
，则
的值为（       ）
A．
B．
C．10
D．20
【变式1-2】函数
的图象如图所示，
是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是（   
）
A．
        B．
C．
        D．
考点二 求函数的导数
【例2】（多选题）下列求导运算正确的是（    ）
A．
        B．
C．
        D．
【变式2-1】已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．4
【变式2-2】求下列各函数的导数：
(1)
；        (2)
；           (3)
(4)
；     (5)
       (6)
；      (7)
．
考点三 “在”曲线上一点的切线
【例3】曲线
在点
处的切线方程为（    ）
A．
        B．
        C．
        D．
【变式3-1】函数
在
处的切线方程为        ．
【变式3-2】曲线
在点
处的切线方程为      ．
考点四 “过”曲线上一点的切线
【例4】若曲线
的一条切线经过点
，则此切线的斜率为        .
【变式4】过点
与曲线
相切的直线方程为      ．
考点五 根据切线求参数
【例5】若直线kx－y－k＝0 与曲线y＝ex(e 是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．
【变式5-1】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y＝f(x)相切，则k
－b 的值为_______．
【变式5-2】 若函数
为奇函数，其图象的一条切线方程为
，则b 的值为  
．
  
考点六 与切线有关的最值问题
【例6】曲线
上的点到直线
的距离的最小值为 
【变式6】若点
在曲线
上运动，点
在直线
上运动，
两点距离的最小值为 
 
1.曲线
在
处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0
B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0
D．3x+y+6＝0
2.曲线
在
处的切线的倾斜角为
，则
（       ）
A．-
B．
C．1
D．-1
3.已知曲线y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　 　)
A．a＝e，b＝－1     B．a＝e，b＝1        C．a＝e－1，b＝1  
   D．a＝e－1，b＝－1
4.已知函数
，
，若经过点
存在一条直线与
图象和
图象
都相切，则
（       ）
A．0
B．
C．3
D．
或3
5.若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的距离的最小值为（       ）
A．
B．
C．
D．
6.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1 处的切线为，则点(2，－1) 到直线的距离的
最大值为_______．