文档文本内容
第01 讲 函数的概念及其表示
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 函数的概念及其判断 知识点2 函数的定义域 知识点3 同一个函数
知识点4 函数的表示方法 知识点5 分段函数
题型破译 (含超链接）
题型
1 函数的概念及其判断
题型
2 相同函数的判定
【方法技巧】利用函数概念判断 【方法技巧】判断两个函数为同一函数
题型
3 已知函数解析式求定义域
题型
4 求抽象函数的定义域
【方法技巧】抽象函数的定义域求法
题型
5 已知函数的定义域求参数
题型
6 配方法求函数的值域
题型
7 判别式法求函数的值域
题型
8 基本不等式法求函数的值域
题型
9 分离常数法求函数的值域
题型
10
换元法求函数的值域
题型
11
图象法求函数的值域
题型
12
待定系数法求解析式
题型
13
换元法求解析式
题型
14
方程组法求解析式
题型
15
求函数的值
题型
16
已知函数值求参数
题型
17
求分段函数的函数值
题型
18
利用分段函数的值求参数
【方法技巧】分段函数值的求法
题型
19
解分段函数不等式
【方法技巧】求解分段函数不等式的方法
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
求函数值
全国一卷T5（5 分）
分段函数求参数
全国Ⅰ卷T6（5 分）
抽象函数的关系
全国Ⅰ卷T8（5 分）
考情分析
高考中函数的概念及其表示主要考查函数定义域、值域求解、解析式求法与分段
函数求值问题，题型以单选题为主，分值5 分，年度较低，属于基础送分题。
近三年考情显示，考查频次平稳，保持基础常态化考查，常融合不等式运算综合
考查，侧重分段函数实际应用与抽象函数基础辨析，注重结合生活情境命题，强
化概念理解与基础运算，侧重夯实函数的核心知识.
复习目标
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 函数的概念及其判断
函数的概念
非空性
一般地，设A，B 是非空的实数集
唯一性
对于集合A 中的任意一个数
x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数
y 和它对应
名称
称f ：
A →
B 为从集合A 到集合B 的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
自主检测已知集合
，下列对应关系不能视作函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 函数的定义域
函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函
数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
必记结论
几种特殊函数的定义域：
（1）分式函数：
y= f (x)
g(x) ,
定义域是g(x)≠0 ，分母不为0.
（2）0 次幂类型：y=[f (x)]
0,定义域是f (x)≠0 ，底数不为0.
（3）根式类型：
{
y=
2n√f (x),定义域为f (x)≥0，偶次根式被开方数为非负数.
y=
2n+1√f (x)，定义域为R，奇次根式被开方数为R.
（4）对数函数：真数大于0.
✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”
连接。
自主检测（2026·北京模拟预测）函数
的定义域为__________.
知识点3 同一个函数
（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
（2）结论：这两个函数为同一个函数.
自主检测下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2
3
1
f
x
x
x
知识点4 函数的表示方法
解析法
用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域)
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征)
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x 轴垂直的直线与函数
图象最多有一个公共点)
自主检测若函数
，且
，则实数a 的值为 .
知识点5 分段函数
（1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表
示，这种函数称为分段函数.
（2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域
的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
自主检测（2026·重庆渝中模拟）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
题●型●破●译
题型1 函数的概念及其判断
例1-1 下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 利用函数概念判断
（1）A，B 是非空的实数集.
（2）数集A 中的任何一个元素在数集B 中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而
数集B 中有可能存在与数集A 中元素不对应的元素.
【变式训练1-1】设集合
，则下列图象能表示集合
到集合Q 的函数关系
的有（ ）
2
2
1
1
f
x
x
x
x
( )
8
f a
R,
0 ,
:
A
B
y y
f
x
y
x
∣
R,
0 ,
:
|
|
A
B
y y
f
x
y
x
∣
2
0 ,
R,
:
A
x x
B
f
x
y
x
∣
R,
1 ,
:
1
A
B
f
x
y
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】下列从集合
到集合
的对应关系
中，
是
的函数的是（ ）
A．
，对应关系
B．
，对应关系
C．
，对应关系
D．
，对应关系
【变式训练1-3 变考法】（2026·浙江宁波模拟）已知集合
，
是
的函数，且满
足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
【变式训练1-4 变载体】存在函数
满足：对任意
都有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 相同函数的判定
例2-1 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
例2-2【新情境】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的
原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下
列选项中是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
和
方法技巧 判断两个函数为同一函数的关注点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一
定是同一个函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
1 2 3 4 5
M
，，，，
M
M
1
f
f x
f x
f x
xR
2
f x
x
sin
f
x
x
e
e
x
x
f
x
e
e
x
x
f
x
2
2
2
x
f x
x
2
f x
x
2
3
1 log
2
f
x
x
3
log
f x
x
2
f x
x
f x
x
3
3
1
f x
x
1
f x
x
【变式训练2-1】（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【变式训练2-3】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
2
( )
1
x
x
f x
x
与( )
1
g x
x
B．
( )
2 |
|
f x
x
与
2
( )
4
g x
x
C．
2
( )
f x
x
与
2
( )
(
)
g x
x
D．
1
1
y
x
x
与
2
1
y
x
【变式训练2-4·变载体】（25-26 高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5·变载体】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
题型3 已知函数解析式求定义域
例3-1 下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026·北京模拟）函数
的定义域为______________.
例3-3（25-26 高三上·北京期中测试）函数
的定义域为 ______________.
例3-4（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】（2026·北京朝阳·一模）函数
的定义域为______________.
【变式训练3-4】函数
的定义域为______________.
【变式训练3-5】函数
的定义域为______________.
题型4 求抽象函数的定义域
例4-1 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为______________.
例4-2 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ，函数
的
定义域为 ．
例4-3（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 抽象函数的定义域求法
（1）若f ( x)的定义域为(a ，b)，求f [ g(x)]中a<g( x)<b 的解x 的范围，即为f [ g(x)]的定义域．
（2）已知f [ g( x)]的定义域，求f ( x)的定义域，则用换元法求解.
【变式训练4-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域为
_______________.
【变式训练4-3·变载体】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是
______________.
【变式训练4-4·变载体】已知函数
的定义域为
，则
的定义域为______________.
【变式训练4-5·变载体】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是__________．
题型5 已知函数的定义域求参数
例5-1 已知函数
的定义域是R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0，1)
B．
C．
D．
例5-2（2026 高三上·广东梅州·模拟测试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-3（25-26 高三上·江苏无锡·阶段测试）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1·变题型】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2·变载体】已知函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
题型6 配方法求函数的值域
例6 函数
的值域是______________.
【变式6-1】函数
的值域______________.
【变式6-2·变载体】函数
的最大值为______________.
题型7 判别式法求函数的值域
例7【新思维】已知
，且
，则的取值范围是______________.
【变式7-1】函数
的最大值为 ．
【变式7-2·变考法】设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是 ；最小值是
．
题型8 基本不等式法求函数的值域
例8 函数
的最大值为______________.
【变式8-1】函数
的值域为 ．
【变式8-2·原创题】已知
满足
，且
，则
的值域
为
题型9 分离常数法求函数的值域
例9
，
，则
的值域为______________.
【变式9-1】函数
在
上的最大值为 ；最小值为 ．
【变式9-2】函数
的值域是______________.
题型10 换元法求函数的值域
例10【新思维】若
，则
的取值范围是______________.
【变式10-1】函数
的值域为______________.
【变式10-2】【新角度】已知
且
，则
的最小值为______________.
【变式10-3·变考法】已知函数
，则函数
的值域为
______________.
题型11 图象法求函数的值域
例11-1【新思维】函数
的值域为______________.
例11-2【新角度】给定函数
，用
表示函数
中的较大者，即
，则
的最小值为______________.
【变式11-1】函数
的最大值为______________.
【变式11-2·原创题】定义
为
中的最小值，则
的最大值为 .
题型12 待定系数法求解析式
例12-1 一次函数
在
上单调递增，且
，则
______________.
例12-2 已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为______________.
【变式训练12-1】（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，
函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-2】已知函数
对任意满足：
，二次函数
满足：
且
．则
，
.
【变式训练12-3·变考法】设二次函数
满足
，且其图象在
轴上的截距为1，在
轴上截得的线段长为
，则
的解析式为______________.
题型13 换元法求解析式
例13-1（2026·河北唐山模拟）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例13-2（2026 届·河南郑州·11 月检测）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-1】（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-2】（25-26 高三上·重庆·期中测试）已知
，则函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-3】【新角度】已知函数
在
上具有单调性，且
，则
.
题型14 方程组法求解析式
例14-1 若函数
满足
，则
_______________.
例14-2 已知函数
满足
，则
_______________.
例14-3【新思维】（2026·辽宁锦州·二模）
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-1】已知
，则
_______________.
【变式训练14-2】已知函数
满足
，则
_______________.
【变式训练14-3】【新考法】设函数
的定义域为
，且满足
，则
的
最小值为_____.
题型15 求函数的值
例15-1 已知
，则
（ ）
A．31
B．17
C．15
D．7
例15-2【新考法】已知函数
，则
（ ）
A．
B．5
C．9
D．10
例15-3【新思维】定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-1·变考法】已知定义在
上函数
满足
，若
，则
（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
【变式训练15-2·原创题】已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．677
B．1354
C．2027
D．4054
【变式训练15-3·原创题】已知定义在正整数集上的函数
满足
，且有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型16 已知函数值求参数
例16-1 已知函数
，若
，则
．
例16-2【新考法】已知
是定义域为
的单调递增函数，且存在函数
，使
，若
分别为方程
和
的根，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．
【变式训练16-1】已知函数
，
，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．0 或1
【变式训练16-2】设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型17 求分段函数的函数值
例17-1（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
例17-2（2026·河北保定·二模）已知函数
，则
______________．
方法技巧 分段函数值的求法
（1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
（2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练17-1】设
，则
的值为（ ）
A．9
B．11
C．28
D．14
【变式训练17-2】已知函数
，则
.
【变式训练17-3】【新考法】（多选）已知定义在
上的函数
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
题型18 利用分段函数的值求参数
例18-1（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
例18-2 已知函数
，若
，则实数a 的值为__________．
【变式训练18-1】（2026·贵州毕节·二模）设函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练18-2·变考法】已知函数
若
，
，则
______.
【变式训练18-3·变题型】（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，不等式
的解集为
B．若函数
为
上的增函数，则实数的取值范围是
C．若函数
的值域为
，则实数的取值范围是
D．若函数
恰有两个零点，则实数的取值范围是
题型19 解分段函数不等式
例19-1（2026·河北承德模拟检测）已知函数
则
的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
例19-2（2026·湖北黄冈阶段性检测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 求解分段函数不等式的方法
（1）求解分段函数不等式，需要对
分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.
（2）在同一坐标轴中画
的图象，虚线y=a ，则函数
图象在虚线y=a 及以上的部分中
的取值
范围，即不等式f (x)≥a 的解集，从而得答案.
【变式训练19-1·原创题】已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练19-2·变考法】（多选）已知函数
，关于函数
的结论正确的是（
）
A．
B．
C．若
，则
D．
的解集为
【变式训练19-3·变题型】已知函数
则不等式
的解集为
．
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·北京·高考真题）函数
的定义域是 ．
3．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
4．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
5．（2022·浙江·高考真题）已知函数
则
；若当
时，
，则
的最大值是 ．
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．求下列函数的定义域：
（1）
； （2）
；
（3）
；（4）
.
2．若
，且
，
，求
的值.
3．已知函数
，
（1）点(3，14)在
的图象上吗？
（2）当x＝4 时，求
的值.
（3）当
时，求x 的值.
4．函数
的图象如图所示，
（1）函数
的定义域、值域各是什么？
（2）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？（图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交.）
5 ．函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，
，
. 当
时，写出函数
的解析式，并画出函数的图象.
6．画出定义域为
，且
，值域为
的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点
的坐标满足
，那么其中哪些点不能在图
象上？
7．一个圆柱形容器的底部直径是d cm，高是h cm.现在向容器内每秒注入某种溶液
，求容器内溶
液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
8．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km，从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为
，步行的速度是
，t（单位：h）表示他从小
岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离，请将t 表示为x 的函数.
（2）如果将船停在距点P 4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1 h）？
