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2027 届高考数学一轮复习单元检测卷
单元3 函数的概念及其基本性质 B 卷
参考答案与解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
D
B
C
B
C
B
AC
CD
BCD
1．A
【解析】由于集合
表示函数
的定义域，可知
，
集合
表示函数
的值域，可知
，
因此
，故A 正确.
2．C
【解析】由表可知：
，
故选：C.
3．D
【解析】函数
的定义域为
，
，
所以函数
为奇函数，又
，
因为
在
上是增函数且
，所以
在
上是增函数，
所以
在
上是减函数，所以
在
上是减函数，
4．B
【解析】A 选项，取
，则令
，解得：
，其中
，即：y = f (x)和
轴有无
数个交点，所以A 错误；
B 选项，取
，则
，令
，得x>1或x<−1，令
，得
，
故
在(−∞,−1)和
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，所以当
时，
，当
时，
，所以B 正确；
C 选项，取
，则函数定义域为
，且
，所以
是偶
函数，所以C 错误；
D 选项，
，由
可得
，由图知，D 错误.
5．C
【解析】对于A，因为随机变量
，所以正态分布曲线关于x = 4对称，
根据正态分布曲线的性质，可得
，所以A 不正确；
对于B，根据正态分布曲线的性质，当
增大时，
逐渐减小，
所以函数
为单调递减函数，所以B 错误；
对于C，因为随机变量
，所以正态分布曲线关于x = 4对称，
所以
，
则
，
所以
的图象关于点
中心对称，所以C 正确；
对于D，由选项B 知：函数
为单调递减函数，
所以
的图象不关于x = 4对称，所以D 错误.
6．B
【解析】函数
的定义域为R，
且满足
，故
为偶函数；
当x ≥0时，
，其中
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增；
由偶函数性质，
等价于
，
结合函数的单调性得
两边均非负，平方后不等号方向不变，
得
，展开整理得
，
即
，解得
，即
的解集为
.
7．C
【解析】令y =1，则
，
则
，与上式相加可得
，
即f ( x +2)=−f ( x−1)，所以f ( x +3)=−f ( x)，
则f ( x +6)=−f ( x +3)= f ( x)，
所以f (x)是以周期为6 的函数，
所以f (2027)= f (6×337+5)= f (5)，
因为
，
，
所以令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，所以
.
令x =3, y =2，可得f (5)+ f (1)= 1
2 f (3)×f (2)= 4，所以f (5)=2.
故选：C
8．B
【解析】由
，得
，
则
，令函数
，
当
时，求导得
，函数f (t )在
上单调递减，
因此
，而
，则
，
所以
.
故选：B
9．AC
【解析】当a>1时，
是增函数，
所以在区间
上，
，
，
故此时
，解得a=2；
当
时，
是减函数，
所以在区间
上，
，
，
故
，解得
．
综上，a=2或
．
故选：AC.
10．CD
【解析】对于A，
，
，所以
，故A 错误；
对于B，当
时，
，解得x =−3，符合题意，
当x ≥1时，
，解得
或x =−2（舍去），
所以若
，则x =−3或
，故B 错误；
对于C，当
时，
，解得
，
当x ≥1时，
，解得x>1或x<−1（舍去），
所以
的解集为
，故C 正确；
对于D，当
时，
在
上单调递增，则
，
当x ≥1时，
在
上单调递减，则
，
综上，
，
若
，则
，故D 正确.
故选：CD.
11．BCD
【解析】选项A：
，
所以
的叠加函数的一个周期为
，故A 错误；
选项B：当f (x)=|sin x)时，最小正周期T =π，
则
，
所以
，
因为
，所以
，则
，所以
，故B 正确；
选项C：
的最小正周期T =π，则
，
当
时，
，
，则
，
此时方程
在
上的根为
，共13 个；
当
时，
，
，
所以
，
令
，则
，
所以
，则
，
此时方程
在
上的根为
，共12 个，
所以方程
在
上有25 个实根，故C 正确；
选项D：由题意
的最小正周期为2，则
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
，综上
在
上的值域为
，
则方程
在
有实根的充要条件为
，故D 正确.
12．
或
【解析】设
，则
.
又
，所以
.
即
，解得
，或
.
所以
或
．
13．
【解析】定义在
上的奇函数
与偶函数
满足
，将
换为−x可得
，
又
，
，代入得
，联立方程组
，
解得
，
，故
，
，则
，
将
代入原不等式
得
，又
，
故
,故原不等式等价于
，即
，
令
，则
，不等式等价于
，
故等价于
，
，易知
，则只需
，即t >2，
也即
，
，
．所以不等式的解集为
．
故答案为:
．
14．2027
【解析】∵
，
，
∴ 归纳可得
的性质：
1. 基本属性
∵ 所有迭代均为绝对值变换，∴
定义域为
，值域为
，图像连续无间断.
∵
关于直线
对称，迭代操作不改变对称轴，∴
关于直线
对称.
2. 零点分布
令
，得
，逐层递推得
，
∴ 零点为
，即
，共
个零点，相邻零点
间距为
，均关于
对称.
3. 分段表达式与图像形态
① 当
时，迭代后绝对值均可直接展开，
，为斜率为的射线，过点
向
右上方无限延伸；
② 当
时，迭代后绝对值均直接展开，
，为斜率为−1的射线，过点
向左上方无限延伸；
③ 当
时，任意相邻零点构成区间
（a为偶数），区间内
为开口向下的V
形折线，顶点为区间中点x =a+1，纵坐标恒为.
4. 整数点函数值
当
为整数时，若
为偶数，则
；若
为奇数，则
.
要求
的零点个数，即求
与
的交点个数，其中
，
对数底数为
，分区间讨论：
① 当
时，
∵
，单调递减，值域为
，
在
内单调，值域为
，
∴ 两函数在
内有且仅有个交点.
② 当
时，
∵
，单调递增，值域为
，
在
内为分段线性函数，值域为
，每一段斜率交替为±1，与单调递增的对数函数共有
2025个交点.
③ 当
时，
∵
，单调递增，斜率为，
，单调递增，且导数为
，
当
时，
，
当
足够大时，线性函数增长速度远快于对数函数，故
，
∴ 两函数在
内有且仅有个交点.
综上，交点总个数为
，即
的零点个数为
.
15．【解析】（1）
函数定义域为R，
∴−a x
2+2 x +5⩾0对任意x∈R都成立，
当a=0时，2 x +5⩾0显然不恒成立，不合题意；
当a≠0时，由二次函数的性质可知，需满足{
−a>0
Δ= 4 +20a⩽0)，解得a⩽−1
5，
综上，实数a的取值范围为
.
（2）
函数值域为
，
能取遍所有正数，
1：{
−a>0
Δ= 4 +20a⩾0)，解得−1
5 ⩽a<0，
2：
，
符合题意
实数a的取值范围为
.
16．【解析】（1）由函数
是R上的偶函数，得
，
则
，
整理得
，
因此
，解得
，所以实数
的值为
.
（2）由（1）知
，
函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
，由对任意的
，存在
，使得
，
得函数g(x)在
上的最小值不小于函数h(x)在
上的最小值，
因此存在
，使得
，
即存在
，
成立，令
，
，
函数
，
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
函数
在
上的最小值为
，则
，
所以实数m的取值范围是
.
17．【解析】（1）由函数
，
可得
，
所以
，
即
，即
，
所以函数
的图象关于点(1,0)中心对称.
（2）由
，其定义域为
，且
，
因为函数
是减函数，所以
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，
因为
，不等式可化为
，
即
，
当
时，
恒成立，此时
；
当
时，
，
令
，则
，因为
且
，即
且
，
则
，
令
，
令
，则0<m<1，
，
当
时，
取得最大值
，此时
，
所以
的最大值为
，则
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，即实数a的取值范围为
.
18．【解析】（1）当a=1时，
，
当x>1时，
，当且仅当
时取等，
故当x>1时，
最小值为2．
（2）（ⅰ）由
，或
，
即
，
，当且仅当
时取等号，
即当
时，函数
的最小值为2，
所以当
时，方程
有解，
即方程
，或
有解，
即
或
有解，当
有解时，
，
当
有解，
，
所以
；
（ⅱ）由题意得当
时，
，
，
①当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，
解得
，
；
②当
时，
在
上单调递减，
单调递增．
，设
表示m,n中最大的数，
，
且
，即
，解得
；
③当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，
；
④当
时，
，符合题意；
⑤当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，解得
．
综上所述：
．
19．【解析】（1）因为
， 由定义可得：
，
因为
是定义域上的减函数，所以x ≤( 1
2 )
−2= 4，
又因为x>0，所以
.
（2）因为函数y = f ( x)是偶函数，所以对任意
，
，
对任意
，若
，即
，则
，
所以
，所以对任意
，
是对称集，必要性成立，
若对任意
，
是对称集，因为对任意
，
，
所以
，即
①，又
，所以
，
即
②，由①②可得，对任意
，
，
所以函数y = f ( x)是偶函数，充分性成立，综上所述，
函数y = f ( x)是偶函数的充要条件是对任意
，
是对称集，得证.
（3）因为对于任意
，都有
，所以若
，
则
，对任意
，因为
，所以
，
又因为
，所以
，即若
，
则
，所以
，
所以
在
上单调不减，所以对任意
，
恒成立，
当
时，
，对任意
成立，
当x>0时，
恒成立，令
，
，
令
，则
，所以
在(0,1)单调递减，
上单调递增，
在
处取得最小值
，所以
，
当x<0时，
恒成立，若
，不等式恒成立，
若m<0，当
时，
，
，
不满足条件，
综上所述：
.
