文档文本内容
第01 讲 函数的概念及其表示
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................................................3
知识点1 函数的概念 ........................................................................................................................3
知识点2 函数的定义域......................................................................................................................4
知识点3 函数的解析式 ....................................................................................................................4
知识点4 分段函数 ............................................................................................................................. 4
题型破译.............................................................................................................................................................5
题型1 函数的概念及其判断.............................................................................................................5
【方法技巧】可以对一，不能一对多
题型2 相同函数的判断......................................................................................................................5
【方法技巧】定义域相同，对应法则相同
题型3 已知解析式求定义域.............................................................................................................6
题型4 求抽象函数的定义域
.....................................................................................................7
题型5 已知函数定义域求参.............................................................................................................7
题型6 待定系数法求解析式
.....................................................................................................8
题型7 换元法求解析式......................................................................................................................8
题型8 方程组法求解析式
..........................................................................................................9
题型9 求分段函数的函数值.............................................................................................................9
题型10 利用分段函数的值求参
..............................................................................................10
【方法技巧】根据范围要求再代值
04 真题溯源·考向感知............................................................................................................10
05 课本典例·高考素材............................................................................................................11
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.了解构成函数的要
素，能求简单函数的
定义域与值域
2.在实际情境中，会
根据不同的需求选择
恰当的方法表示函数
3.了解简单的分段函
数，并能简单应用
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷，
12 题，4 分
2024 年新课标I 卷，第
6 题,5 分
2024 年新课标I 卷，第
8 题,5 分
2024 年新课标Ⅱ卷，第
6 题,5 分
2024 年新课标Ⅱ卷，第
11 题,6 分
2023 年新课标全国I 卷，第4
题,5 分
2023 年新课标全国I 卷，第
11 题,5 分
2023 年新课标全国Ⅱ卷，第
4 题,5 分
考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对
称性，是新高考一轮复习的重点内容.
复习目标：
1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
知识点1 函数的概念及其判断
1.函数的概念
两个集合A、B
设A、B 是两个非空数集
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数
x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f ：
A →
B 为从集合A 到集合B 的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
自主检测（多选）下列对应关系是集合
到集合
的函数的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
知识点2 函数的定义域
函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
自主检测函数
的定义域为 ．
知识点3 函数的解析式
1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是
的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注
明定义域往往导致错误.
自主检测若函数
，则
．
知识点4 分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为
分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
自主检测已知函数
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型1 函数的概念及其判断
例1-1（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
D．对于任何一个函数，如果x 的值不同，那么y 的值也不同
例1-2 下列从集合
到集合
的对应中不是函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法
技巧
只能多对一，不能一对多。
【变式训练1-1】函数
的图象与直线
最多有2 个交点.( )
【变式训练1-2】给定集合
，
，则下列不能表示从集合
到集合
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】已知函数
是从集合
到集合
上的函数，若
，则集合
不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 相同函数的判定
例2-1 下列四组函数中，
与
表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法
技巧
定义域相同且对应法则相同
【变式训练2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【变式训练2-2·变考法】中文函数一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给
“
”
出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，
“
”
下列选项中是同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
和
题型3 已知解析式求定义域
例3-1 函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】（2025·湖南·二模）已知集合
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（24-25 高一下·山东威海·期中）函数
的定义域为 .
【变式训练3-3】求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
．
题型4 求抽抽象函数的定义域
例4-1 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
例4-2 若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是
方法
技巧
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1 的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
分析
易错
(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x 的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.
【变式训练4-1】已知函数
的定义域和值域均为
，则下列说法错误的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的定义域为
C．函数
的值域为
D．函数
的值域为
【变式训练4-2·变载体】已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域．
题型5 已知函数定义域求参
例5-1 已知函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
例5-2 函数
在
上有意义，则实数a 的取值范围为 ．
【变式训练5-1】已知函数
的定义域为
，则实数m 的值构成的集合是 ；
若函数
在
上有意义，则实数m 的值构成的集合是 ．
【变式训练5-2】若函数
的定义域为
，则实数a 的取值范围是 ．
【变式训练5-3】已知函数
的定义域为R，则函数
的值域为
题型6 待定系数法求解析式
例6-1 若
是一次函数，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 已知
是二次函数，且对于任意的实数
、
，函数
满足函数方程
，如果
.下列选项错误的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
为偶函数
D．
为偶函数
【变式训练6-1】（多选）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】设二次函数
，集合
，且
，求函
数
的解析式.
题型7 换元法求解析式
例7-1 已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
例7-2 若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】已知
，则
．
【变式训练7-2】函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 方程组法求解析式
例8-1 已知
满足
．若
为增函数，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2（1）若函数
满足
，求
的解析式．
（2）若
满足
，求
的解析式．
（3）已知
的定义域为
，且
，求
的解析式．
方法
技巧
（1）配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法
【变式训练8-1】
的定义域为
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2·变考法】若函数
满足关系式
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 求分段函数的函数值
例9-1（2025·浙江杭州·模拟预测）（多选）已知定义在
上的函数
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
例9-2 已知函数
，则
．
【变式训练9-1】已知函数
则
；
【变式训练9-2】已知函数
则
；函数
的单调递增区间为 ．
题型10 利用分段函数的值求参
例10-1 已知函数
若
，则实数
（ ）
A．2
B．1
C．1 或2
D．
或2
例10-2 已知函数
，若
的值域为
，则实数的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-1·变考法】已知
的值域为
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2】（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
【变式训练10-3】已知实数
，函数
若
，则
的值为 ．
1．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
2．（2022·北京·高考真题）函数
的定义域是 ．
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数
则
；若当
时，
，则
的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真题）设函数
若
存在最小值，则a 的一个取值为
；a 的最大值为 ．
5．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
1．判断下列对应关系是否为集合A 到集合B 的函数．
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
；
(4)
，
.
2．下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；
(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；
(3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系；
(4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系；
(5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系；
(6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系．
3．求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
4．设
，求满足
的x 值．
5．设
，求证：
(1)
；
(2)
（
，且
）．
