第01 讲 函数的概念及其表示
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知识解构
知识点1 函数的概念及其判断 知识点2 函数的定义域 知识点3 同一个函数
知识点4 函数的表示方法 知识点5 分段函数
题型破译 (含超链接）
题型
1 函数的概念及其判断
题型
2 相同函数的判定
【方法技巧】利用函数概念判断 【方法技巧】判断两个函数为同一函数
题型
3 已知函数解析式求定义域
题型
4 求抽象函数的定义域
【方法技巧】抽象函数的定义域求法
题型
5 已知函数的定义域求参数
题型
6 配方法求函数的值域
题型
7 判别式法求函数的值域
题型
8 基本不等式法求函数的值域
题型
9 分离常数法求函数的值域
题型
10
换元法求函数的值域
题型
11
图象法求函数的值域
题型
12
待定系数法求解析式
题型
13
换元法求解析式
题型
14
方程组法求解析式
题型
15
求函数的值
题型
16
已知函数值求参数
题型
17
求分段函数的函数值
题型
18
利用分段函数的值求参数
【方法技巧】分段函数值的求法
题型
19
解分段函数不等式
【方法技巧】求解分段函数不等式的方法
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
求函数值
全国一卷T5（5 分）
分段函数求参数
全国Ⅰ卷T6（5 分）
抽象函数的关系
全国Ⅰ卷T8（5 分）
考情分析
高考中函数的概念及其表示主要考查函数定义域、值域求解、解析式求法与分段
函数求值问题，题型以单选题为主，分值5 分，难度较低，属于基础送分题。
近三年考情显示，考查频次平稳，保持基础常态化考查，常融合不等式运算综合
考查，侧重分段函数实际应用与抽象函数基础辨析，注重结合生活情境命题，强
化概念理解与基础运算，侧重夯实函数的核心知识.
复习目标
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 函数的概念及其判断
函数的概念
非空性
一般地，设A，B 是非空的实数集
唯一性
对于集合A 中的任意一个数
x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数
y 和它对应
名称
称f ：
A →
B 为从集合A 到集合B 的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
自主检测已知集合
，下列对应关系不能视作函数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数的定义得，设A，B 为非空数集，如果A 中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B 中都
有唯一确定的元素y 与之对应，则能视作函数
.
选项A：
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，满足函数定义，不符合题意；
选项B：
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，满
足函数定义，不符合题意；选项C：
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，满足函数定义，不符合题意；选项D：
，当
时，
无意义，
不满足函数定义，符合题意.
故选：D
知识点2 函数的定义域
函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函
数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
必记结论
几种特殊函数的定义域：
（1）分式函数：
y= f (x)
g(x) ,
定义域是g(x)≠0 ，分母不为0.
（2）0 次幂类型：y=[f (x)]
0,定义域是f (x)≠0 ，底数不为0.
（3）根式类型：
{
y=
2n√f (x),定义域为f (x)≥0，偶次根式被开方数为非负数.
y=
2n+1√f (x)，定义域为R，奇次根式被开方数为R.
（4）对数函数：真数大于0.
✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”
连接。
自主检测（2026·北京模拟预测）函数
的定义域为__________.
【答案】
【详解】由函数
有意义，则满足
，解得
且
，所以函数
的定义
域为
.
故答案为：
.
知识点3 同一个函数
（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
（2）结论：这两个函数为同一个函数.
自主检测下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
答案：C
【详解】A 中，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，则两函数的定义域
不同，所以两个函数不是同一函数，所以A 不正确；B 中，函数
的定义域为
，函数
的
定义域为
，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B 不正确；
C 中，函数
和
，则两函数的定义域相同且对应关系也相同，
所以两个函数是同一函数，所以C 正确；D 中，函数
的定义域为
，函数
的定义
域为
，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D 不正确.
故选：C
知识点4 函数的表示方法
解析法
用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域)
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征)
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x 轴垂直的直线与函数
图象最多有一个公共点)
自主检测若函数
，且
，则实数a 的值为 .
【答案】
2
3
1
f
x
x
x
1,0
0,
2
3
1
f
x
x
x
2
1
0
0
x
x
1
x
0
x
f x
1,0
0,
1,0
0,
2
2
1
1
f
x
x
x
x
( )
8
f a
6
【详解】
函数
，又
的值域为
，
，
，可得
，解得
.
故答案为：
.
知识点5 分段函数
（1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表
示，这种函数称为分段函数.
（2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域
的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
自主检测（2026·重庆渝中模拟）已知函数
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】已知函数
， 因为
.所以
， 又
所以
.
题●型●破●译
题型1 函数的概念及其判断
例1-1 下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】选项A，C，D 的函数图象中存在
，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B 正确.
故选：B.
例1-2 下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 选项：当x 为负数时，B 中没有元素与之对应，故A 选项不正确；
B 选项：当x 为零时，B 中没有元素与之对应，故B 选项不正确；
C 选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C 选项不正确；
2
2
2
1
1
1
2
f
x
x
x
x
x
x
1
y
x
x
R
2
( )
2
R
f x
x
x
( )
8
f a
2
2
8
a
6
a
6
R,
0 ,
:
A
B
y y
f
x
y
x
∣
R,
0 ,
:
|
|
A
B
y y
f
x
y
x
∣
2
0 ,
R,
:
A
x x
B
f
x
y
x
∣
R,
1 ,
:
1
A
B
f
x
y
D 选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D 选项正确．
故选：D
方法技巧 利用函数概念判断
（1）A，B 是非空的实数集.
（2）数集A 中的任何一个元素在数集B 中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而
数集B 中有可能存在与数集A 中元素不对应的元素.
【变式训练1-1】设集合
，则下列图象能表示集合
到集合Q 的函数关系
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：由图象可知定义域不是
，不满足；
对于B：定义域为
，值域为
的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合
中有的元素在集合
中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D：
时，有两个
值与之对应，由函数定义可知D 不满足．
故选：B．
【变式训练1-2】下列从集合
到集合
的对应关系
中，
是
的函数的是（ ）
A．
，对应关系
B．
，对应关系
C．
，对应关系
D．
，对应关系
【答案】B
【详解】A，当
时，函数
没有意义，所以
不是
的函数，不符合；
B，当
时，对于
，任意
，都有唯一的
与之相对应，所以
是
的函
数，符合；
C，当
时，函数
没有意义，所以
不是
的函数，不符合；
D，令
，由
，得
，不符合函数的定义，所以
不是
的函数，不符合.
故选：B
【变式训练1-3 变考法】（2026·浙江宁波模拟）已知集合
，
是
的函数，且满
足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
1 2 3 4 5
M
，，，，
M
M
1
f
f x
f x
【答案】C
【详解】因为
，若
，则
，所以
，
若仅
，设
，则
，
所以函数不能仅有
，在
中至少还要有1 个函数值等于1，具体分类如下：
①若5 个函数值都为1，此时共有1 种情况；
②若仅有4 个函数值为1,又
，4 个中取3 个函数值为1 有
种，另一个的取值有3 种情况，此
时共有
种；
③若仅有3 个函数值为1，4 个中取2 个函数值为1 有
种，另外2 个的取值有
种，此时共有
种；
④若仅有2 个函数值为1，4 个中取1 个函数值为1 有
种，另3 个的取值有1 种，此时有种情况；
综上共有
.
故选：C.
【变式训练1-4 变载体】存在函数
满足：对任意
都有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，A 不是；
对于B，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，B 不是；
对于C，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，C 不是；
对于D，
为R 上的增函数，对任意
都有唯一的
满足，则存在函数
满足，
D 是.
故选：D
题型2 相同函数的判定
例2-1 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【详解】对于A，易知
的定义域为
，而
的定义域为
，
两函数定义域不同，可知A 错误；
1
f
f x
1,
1 2,3,4,5
f a
a
，
1
1
f
f a
f
1
1
f
1
1
f
1, ,
2,3,4,5
f a
b
a b
1
f
f a
f b
1
1
f
2
3
4
5
f
f
f
f
、
、
、
1
1
f
3
4
C
4
4 3
12
2
4
C
6
2 2
4
24
4
6
1
4
C
4
4
1 12
24
4
41
f x
xR
2
f x
x
sin
f
x
x
e
e
x
x
f
x
e
e
x
x
f
x
1
x
(1)
1
f
1
x
(1)
1
f
( )
f x
0
x
(0)
0
f
π
x
(0)
π
f
( )
f x
1
x
1
(e
e )
1
f
1
x
1
(e
e )
1
f
( )
f x
e
e
x
x
t
0x R
0
0
0
e
e
x
x
t
( )
f x
2
2
2
x
f x
x
2
f x
x
2
3
1 log
2
f
x
x
3
log
f x
x
2
f x
x
f x
x
3
3
1
f x
x
1
f x
x
2
2
2
x
x
x
f
|
2
x x
2
f x
x
R
对于B，显然
的定义域为
，
而函数
的定义域为
，两函数定义域不同，可知B 错误；
对于C，两函数定义域均为
，但
的值域为
，
而
的值域为
，两函数值域不同，即C 错误；
对于D，易知
与
的定义域、值域、对应关系均相同，即D 正确.
故选：D
例2-2【新情境】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的
原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下
列选项中是同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】B
【详解】对于A，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系不同，
和
不是同一个函数，故A 错误；
对于B，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系相同，
和
是同一个函数，故B 正确；
对于C，
定义域为
定义域为
，
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故C 错误；
对于D，
定义域为
定义域为
,
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故D 错误；
故选：B.
方法技巧 判断两个函数为同一函数的关注点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一
定是同一个函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
2
3
1 log
2
f
x
x
|
0
x x
3
log
f x
x
0,
R
2
f x
x
0,
f x
x
R
3
3
1
1
f x
x
x
1
f x
x
【变式训练2-1】（多选）下列函数中，与函数
是同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】由题意知
的定义域为R，
的定义域为
，故与函数
不是同一个函数，A 错误；
的定义域为R，且
，与函数
是同一个函数，B 正确；
，函数定义域为R，则
，与
对应关系不一样，
故与函数
不是同一个函数，C 错误；
，函数定义域为R，且
，
与函数
是同一个函数，D 正确.
故选：BD
【变式训练2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A，
，与
的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A 错误；
对于B，
，与
的对应关系不同，不是同一函数，B 错误；
对于C，
，与
的定义域不同，不是同一函数，C 错误；
对于D，
，与
的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D 正确．
故选：D．
【变式训练2-3】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
2
( )
1
x
x
f x
x
与( )
1
g x
x
B．
( )
2 |
|
f x
x
与
2
( )
4
g x
x
C．
2
( )
f x
x
与
2
( )
(
)
g x
x
D．
1
1
y
x
x
与
2
1
y
x
【答案】B
【详解】选项A 中，
( )
f x 的定义域为{
1}
x x
∣
，( )
g x 的定义域为R ，故A 错误；
选项B 中，
2
( )
4
2 |
|
( )
g x
x
x
f x
，B 正确；
选项C 中，
( )
f x 的定义域为R ，( )
g x 的定义域为[0,
)
，故C 错误；
选项D 中，
1
1
y
x
x
的定义域为[1,
)
，由
2
1
0
x
可得
2
1
y
x
的定义域为(
, 1]
[1,
)
，
D 错误．
故选：B.
【变式训练2-4·变载体】（25-26 高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解.
【详解】对于A，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，且
，故D 正确.
【变式训练2-5·变载体】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【详解】对于选项A，因为
而
一个x 对多个y，不是函数，所以它们不是同
一函数．对于选项B，因为
的定义域为
，而
的定义
域为
，所以它们不是同一函数．对于选项C，因为
，所以
，所以两个函数的定义
域均为
，又
，所以它们是同一函数．对于选项D，因为
的定义域为
，而
的定义域为
，所以它们不是同一函数．
故选:C
题型3 已知函数解析式求定义域
例3-1 下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域.
【详解】选项A，函数
的定义为
，故A 错误；
选项B，由
得
，故
的定义域为
，故B 错误；
选项C，由
得
，故
的定义域为
，故C 错误；
选项D，由
得
，故
的定义域为
，故D 正确，
故选：D
例3-2（2026·北京模拟）函数
的定义域为______________.
【答案】
【详解】由函数
有意义，则满足
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
例3-3（25-26 高三上·北京期中测试）函数
的定义域为 ______________.
【答案】
【详解】函数
的定义域满足
，解得
或
，
故答案为：
例3-4（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
，解得
，所以函数
的定义域是
.
故选：C
【变式训练3-1·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】集合
，
由
，解得
且
，所以
，
所以
.
【变式训练3-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则需
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
【变式训练3-3】（2026·北京朝阳·一模）函数
的定义域为______________.
【答案】
【详解】对于函数
，有
，解得
，
故函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式训练3-4】函数
的定义域为______________.
【答案】
【详解】由题意可得
,故
，即
.
故函数
的定义域为
.
故答案为:
.
【变式训练3-5】函数
的定义域为______________.
【答案】
【详解】令
，则
或
，解得
或
，所以函数
的定义域为
.
题型4 求抽象函数的定义域
例4-1 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为______________.
【答案】
【详解】因为
的定义域为
，则
，即
，所以
的定义域为
，
又
，所以函数
的定义域为
.
故答案为：
例4-2 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ，函数
的
定义域为 ．
【答案】
,
【详解】因为由
，得
，所以
的定义域为
．
由
，得
，所以函数
的定义域为
．
故答案为：
．
例4-3（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
的定义域为
，所以
中
，所以
，
在
中令
，解得
，所以
的定义域为
.
故选：B.
方法技巧 抽象函数的定义域求法
（1）若f ( x)的定义域为(a ，b)，求f [ g( x)]中a<g( x)<b 的解x 的范围，即为f [ g( x)]的定义域．
（2）已知f [ g(x)]的定义域，求f ( x)的定义域，则用换元法求解.
【变式训练4-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意：要使
有意义，则
解得
，所以
的定义域为
．
故选：C
【变式训练4-2·变载体】已知函数
的定义域为
，求函数
的定义域为
_______________.
【答案】
【分析】设
，根据
的范围求出
的范围即可.
【详解】
函数
的定义域为
，
，
，则令
，则
，解得
.
故
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式训练4-3·变载体】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是
______________.
【答案】
【详解】由题设
，可得
，则
.
故答案为：
【变式训练4-4·变载体】已知函数
的定义域为
，则
的定义域为______________.
【答案】
【详解】因为函数
的定义域为
，所以要使函数
有意义，
则
，所以
，所以函数定义域为
.
故答案为：
.
【变式训练4-5·变载体】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是__________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则
，解得
，取交集得
．
题型5 已知函数的定义域求参数
例5-1 已知函数
的定义域是R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0，1)
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域是
，即
恒成立；
当
时，
，满足题意；当
时，
，解得
；
综上知，实数
的取值范围是
，
．
故选：
．
例5-2（2026 高三上·广东梅州·模拟测试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的定义域是
，所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
即
解得
，综上，实数
的取值范围是
．
故选：D.
例5-3（25-26 高三上·江苏无锡·阶段测试）若函数
定义域为R，则k 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的定义域为R，所以
在R 上恒成立，
所以
在R 上恒成立.当
时，
符合题意；
当
时，
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
；
故选：D
【变式训练5-1·变题型】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意
对于
恒成立；
当
时，
显然成立，可得
符合题意；
当
时，若满足题意可得
，解得
；
当
时，若满足题意可得
，此时无解；
综上可得，
的取值范围是
.
故选：C
【变式训练5-2·变载体】已知函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意知
恒成立，所以
恒成立，所以
，又
且
，所
以
或
．所以实数a 的取值范围是
．
故答案为：
题型6 配方法求函数的值域
例6 函数
的值域是______________.
【答案】
【详解】因为
的图象对称轴为直线
，开口向下，
所以
，
，
故函数
的值域是
.
故答案为：
【变式6-1】函数
的值域______________.
【答案】
【详解】将函数化为顶点式：
,抛物线的二次项系数为
，所以开口向下.
对称轴为
.因为
，所以当
时，
，取得最大值
.
当
时，
，取得最小值
.函数的值域为
.
故答案为：
.
【变式6-2·变载体】函数
的最大值为______________.
【答案】1
【详解】函数
，定义域为
，令
，所以
，
所以
，函数
的图象为开口向下，对称轴方程为
的抛物线，
所以
时，函数
取最大值，最大值为
，
即函数
的最大值为1．
故答案为：1．
题型7 判别式法求函数的值域
例7【新思维】已知
，且
，则的取值范围是______________.
【答案】
【详解】因为
，所以
.又因为
，所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式7-1】函数
的最大值为 ．
【答案】
【详解】原函数可以化简为
在
时有解，当
时，
，
当
不等于0 时，
，解得
且
不等于0，故所求最大值为
.
故答案为：
.
【变式7-2·变考法】设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是 ；最小值是
．
【答案】8 ；
【详解】将
，整理得
，
故，
是
的两个根，由
，解得
，
所以
，
当
时，
的最大值为8，当
时，
的最小值为
．
故答案为：8；
题型8 基本不等式法求函数的值域
例8 函数
的最大值为______________.
【答案】
【详解】因为
，令
，则
，
令
，
，因为函数
在
上单调递增，所以
，
即
，则
，
即函数
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
【变式8-1】函数
的值域为 ．
【答案】
【详解】对于函数
，有
，可得
，所以函数
的定义域为
，
所以
，
当且仅当
即当
时等号成立，故函数
的值域为
.
故答案为：
.
【变式8-2·原创题】已知
满足
，且
，则
的值域
为
【答案】
【详解】由函数
满足
，且
，
令
，可得
，因为
，可得
，
再令
，可得
，所以
，
令
，可得
，即
，
再令
，可得
，所以
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
题型9 分离常数法求函数的值域
例9
，
，则
的值域为______________.
【答案】
【详解】由题意得，
．
令
，则
，则
可化为
．∵函数
，
在
上均为增函数，
∴
在
上为增函数，∵
时，
，
时，
，
∴
的值域为
．
故答案为：
.
【变式9-1】函数
在
上的最大值为 ；最小值为 ．
【答案】
；
【详解】令
，则
，∵
，∴
，
∴
，令
，
，
由对勾函数的性质可知，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
∵
，
，
∴
，
，
∴函数
在
上的最大值和最小值分别为
和
．
故答案为：
；
.
【变式9-2】函数
的值域是______________.
【答案】
且
【详解】函数
中，
，则
且
，
于是
，由
，得
；由
，得
，
所以原函数的值域为
且
.
故答案为：
且
题型10 换元法求函数的值域
例10【新思维】若
，则
的取值范围是______________.
【答案】
【详解】因为
所以
解得
，令
，
则
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
故答案为：
【变式10-1】函数
的值域为______________.
【答案】
【详解】令
，
，则
，则
，即为
，
其图象对称轴为
，则该函数在
上单调递减，故
，
故函数
的值域为
，
故答案为：
【变式10-2】【新角度】已知
且
，则
的最小值为______________.
【答案】
/
【详解】
，则
，
，
令
，则
，
由
，
，知
，即
恒成立，
又由
，即当且仅当
时等号成立，
由
，故当
时等号取到，
所以
，
当
，即
时，
取最小值，且最小值为
.
故答案为：
.
【变式10-3·变考法】已知函数
，则函数
的值域为
______________.
【答案】
【详解】易得
是减函数，所以
．
令
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
，即
的值域为
．
故答案为：
.
题型11 图象法求函数的值域
例11-1【新思维】函数
的值域为______________.
【答案】
【详解】令
，则
，则半圆
与直线
存在
交点，半圆方程为：
，
画出图象如图：
当直线
过点
，即图中直线时，
；
当直线与半圆相切时，即图中直线时，
，得
（
舍），
故
，即值域为
.
故答案为：
例11-2【新角度】给定函数
，用
表示函数
中的较大者，即
，则
的最小值为______________.
【答案】
【详解】令
，解得
或
，
作出函数
的图象如图所示：
由图象可知，当
时，
取得最小值为
．
故答案为：
．
【变式11-1】函数
的最大值为______________.
【答案】3
【详解】当
时，
；当
时，
；
当
时，
.故函数
的最大值为3.
故答案为：3.
【变式11-2·原创题】定义
为
中的最小值，则
的最大值为 .
【答案】
【详解】令
，在同一坐标系内作出函数
，如图，
函数
的图象如图中实线部分，由
解得
，
由
解得
，于是
，
函数
的图象的最高点为
，而点
，
所以当
时，
取得最大值
.
故答案为：
题型12 待定系数法求解析式
例12-1 一次函数
在
上单调递增，且
，则
______________.
【答案】
【详解】设
，则
，
，
则
.又
在
上单调递增，即
，所以
，
，则
.
故答案为：
例12-2 已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为______________.
【答案】
【详解】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
【变式训练12-1】（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，
函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意可设
，
由
可得
，
因此可得
，解得
或
；
又因为
，所以
，即
，即A 正确，B 错误；
又
可得
，
令
，所以
，因此
，
所以
，可得C 错误，D 错误.
故选：A.
【变式训练12-2】已知函数
对任意满足：
，二次函数
满足：
且
．则
，
.
【答案】
，
【详解】（1）
①，用
代替上式中的，得
②，联立
①②，可得
；设
，所以
，即
，
所以
，解得
，
，又
，得
，所以
.
故答案为：
，
【变式训练12-3·变考法】设二次函数
满足
，且其图象在
轴上的截距为1，在
轴上截得的线段长为
，则
的解析式为______________.
【答案】
【详解】设
.由
，得
得
；①
设
的根为
，
则
，所以
②
又由已知得
.③由①②③解得
，所以
．
题型13 换元法求解析式
例13-1（2026·河北唐山模拟）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，因为
，所以
，
由
，可得
，
所以
．
故选：B
例13-2（2026 届·河南郑州·11 月检测）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
，因为
，可得
，
所以函数
．
故选：C．
【变式训练13-1】（2026 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，所以
．
故选：D.
【变式训练13-2】（25-26 高三上·重庆·期中测试）已知
，则函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，且
，所以
，
故选：B
【变式训练13-3】【新角度】已知函数
在
上具有单调性，且
，则
.
【答案】
【详解】令
，则
，
中，令
得
，故
，
显然
单调递增，且
，故
，所以
，
.
故答案为：
.
题型14 方程组法求解析式
例14-1 若函数
满足
，则
_______________.
【答案】
【详解】由
，可得
，
联立两式消去
，可得
．
故答案为：
.
例14-2 已知函数
满足
，则
_______________.
【答案】
【详解】由
①，得
②，
由①②得
，则
，
令
，则
，所以
，故
.
故答案为：
.
例14-3【新思维】（2026·辽宁锦州·二模）
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
①，
令
，则
②，
令
，则
③，
令
，则
④，
联立③④，解得
，
，将
代入②，解得
，
再将
代入①，解得
.
【变式训练14-1】已知
，则
_______________.
【答案】
【详解】因为
，①所以
，
所以
，②
②-①可得，
．
故答案为：
．
【变式训练14-2】已知函数
满足
，则
_______________.
【答案】
【详解】由
，①
将替换成
，可得：
，②
再将①中替换成：
，可得：
，③
①②相减可得：
，④
③④相加可得：
，
所以
，
故答案为：
【变式训练14-3】【新考法】设函数
的定义域为
，且满足
，则
的
最小值为_____.
【答案】1
【详解】由
得
，解方程组得
，
因为
的定义域为
，所以
等号成立时
.
所以
的最小值为1.
故答案为：
题型15 求函数的值
例15-1 已知
，则
（ ）
A．31
B．17
C．15
D．7
【答案】A
【分析】令
，求出
，然后代入解析式中即可求出
的值.
【详解】令
，则
，得
．
故选：A．
例15-2【新考法】已知函数
，则
（ ）
A．
B．5
C．9
D．10
【答案】C
【分析】用
代换
得
，即可求目标函数值.
【详解】由题设
，故
.
故选：C
例15-3【新思维】定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在
中，令
，可得
,
即
，所以
.又
，所以
,
所以
.因为
，所以
，
所以
.
因为
，当
时，
，所以
，
所以
，所以
.
故选:B.
【变式训练15-1·变考法】已知定义在
上函数
满足
，若
，则
（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
【答案】D
【分析】由题设可得
或
，结合已知排除
，再由
得
，结合
即可得.
【详解】由题设
，则
或
，
若
，令
，则对于任意
有
，而
，不符；
所以
，则
，故
，
由
.
故选：D
【变式训练15-2·原创题】已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．677
B．1354
C．2027
D．4054
【答案】D
【分析】根据赋值法，用x 替换y，y 替换x 得到
，故
是常函数，设
，再结合
可解
即可求
.
【详解】用x 替换y，y 替换x 可得
，当
，
时，，故可知
是常函数，
于是知当
时，
，其中c 为常数，故
，解得
，于是
.
故选：D.
【变式训练15-3·原创题】已知定义在正整数集上的函数
满足
，且有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】取
，得
，又
，故
．取
，得
，即
．对正整数x，
，累加，得
，
,
故选：D．
题型16 已知函数值求参数
例16-1 已知函数
，若
，则
．
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件
，将其代入解析式，得到
，从而得到
，从而求得
，得到答案.
详解：根据题意有
，可得
，所以
.
故答案是
.
例16-2【新考法】已知
是定义域为
的单调递增函数，且存在函数
，使
，若
分别为方程
和
的根，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，
，又
，所以
，
若
，则
，所以
由
是定义域为
的单调递增函数，可知有且只有
成立，所以
，
故选：B
【变式训练16-1】已知函数
，
，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．0 或1
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数
，再由给定函数值求出
.
【详解】令
，则
，由
，得
，
于是
，由
，得
，
，所以
.
故选：A
【变式训练16-2】设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
因为
，可得
，
解得
．
故选：C.
题型17 求分段函数的函数值
例17-1（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
，
.所以
故选D.
例17-2（2026·河北保定·二模）已知函数
，则
______________．
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.
【详解】
.
故答案为：2
方法技巧 分段函数值的求法
（1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
（2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练17-1】设
，则
的值为（ ）
A．9
B．11
C．28
D．14
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，
又
，故
，
，所以
.
故选：B
【变式训练17-2】已知函数
，则
.
【答案】
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
【变式训练17-3】【新考法】（多选）已知定义在
上的函数
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，根据题意，由
，故A 正确；
对于B，根据题意，由
，故B 正确；
对于C，根据题意，由
，故C 错误；
对于D，由于当
时，函数
，
满足
，
所以
图象关于直线
对称，
当
时，
，
所以
，
，即
；
当
时，
，故
，
；
当
时，由于
，所以此时
；
当
时，由于
，所以此时
，
以此类推，根据定义域为
，所以可得函数
的值域为
，故D 正确.
故选：ABD.
题型18 利用分段函数的值求参数
例18-1（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】若
，则
，因为函数
在
单调递增，
且
，所以方程
无解；
若
，
，则
，
得到
，即
，
整理得
，解得
（舍）或
；
若
，因为函数
在
单调递减，
且
，所以方程
无解；
综上，
，
，
所以
，
.
故选：B.
例18-2 已知函数
，若
，则实数a 的值为__________．
【答案】
或
【详解】若
，则
，得
或
；若
，则
，得
（舍），
故实数a 的值为
或
.
故答案为：
或
【变式训练18-1】（2026·贵州毕节·二模）设函数
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】对
分类讨论，解方程求得
，进而求解
即可.
【详解】当
时，
，即
，无解；
当
时，
，解得
，所以
.
故选：D
【变式训练18-2·变考法】已知函数
若
，
，则
______.
【答案】2
【详解】注意到
，
由
，得
或
，又
，故
.
故答案为：
.
【变式训练18-3·变题型】（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，不等式
的解集为
B．若函数
为
上的增函数，则实数的取值范围是
C．若函数
的值域为
，则实数的取值范围是
D．若函数
恰有两个零点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【详解】A：当
时，
，
令
，解得
；
令
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
，故A 正确；
B：易知
在
上单调递增，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线
，
因为
在R 上单调递增，所以
，解得
，故B 错误；
C：易知二次函数
的最小值为
，
由
，解得
或
，
要使
的值域为R，需
，解得
，故C 正确；
D：令
，解得
；
令
，解得
或
.
当
时，
与轴无交点，
与轴有2 个交点；
当
时，
与轴有1 个交点，
与轴有2 个交点；
当
时，
与轴有1 个交点，
与轴有1 个交点；
当
时，
与轴有1 个交点，
与轴无交点.
综上，若
有两个零点，则
或
，故D 正确.
故选：ACD
题型19 解分段函数不等式
例19-1（2026·河北承德模拟检测）已知函数
则
的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
且当
时，
，所以
为奇函数，易知
为
上的递减函数，
则
，所以原不等式的解集为
.
故选：A
例19-2（2026·湖北黄冈阶段性检测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，得
，解得
或
（舍去）；
当
时，令
，则
，
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，即当
时，
恒成立，
所以当
时，不等式
无解.
综上，所求不等式的解集为
.
故选：A.
方法技巧 求解分段函数不等式的方法
（1）求解分段函数不等式，需要对
分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.
（2）在同一坐标轴中画
的图象，虚线y=a ，则函数
图象在虚线y=a 及以上的部分中
的取值
范围，即不等式f (x)≥a 的解集，从而得答案.
【变式训练19-1·原创题】已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知当
时，
,故
，满足题意；
当
时，令
，即
，解得
，所以
.
综上，
.
故选：C
【变式训练19-2·变考法】（多选）已知函数
，关于函数
的结论正确的是（
）
A．
B．
C．若
，则
D．
的解集为
【答案】BD
【详解】
，故A 选项错误；
，故B 选项正确；
当
时，
，解得
，当
时，
，解得
，
即
的解集为
，故C 选项错误；
当
时，
，解得
，当
时，
，解得
，
综上，
的解集为
，故D 选项正确；
故选：BD.
【变式训练19-3·变题型】已知函数
则不等式
的解集为
．
【答案】
【详解】由函数
，
当
时，可得
且
，则
此时不等式
，即为
，
即
，
令
，可得函数
在
上为单调递增函数，
且
，所以
，所以
的解集为
；
当
时，不等式
，即为
，此时不等式不成立，舍去；
当
时，可得
且
，则
此时不等式
，可得
，
令
，可得函数
在
上为单调递减函数，
且
，所以
，所以
的解集为
，
综上可得，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）函数
的定义域是 ．
【答案】
【详解】解：因为
，所以
，解得
且
，
故函数的定义域为
；
故答案为：
3．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
【答案】
【详解】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
4．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
5．（2022·浙江·高考真题）已知函数
则
；若当
时，
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【详解】由已知
，
，
所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
等价于
，所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
，
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．求下列函数的定义域：
（1）
； （2）
；
（3）
；（4）
.
【答案】（1）
；（2）R；（3）
，且
；（4）
且
【详解】（1）
，
，定义域为
；
（2）不论x 取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；
（3）
，
，且
，定义域为
，且
；
（4）
且
.定义域为
且
.
【点睛】本题考查了函数定义域的求解，解题的关键是根据分式、二次根式的限制条件，列出对应的不等
式（组）并求解，同时要注意多个条件需同时满足时的取交集运算.
2．若
，且
，
，求
的值.
【答案】8
【详解】因为
，且
，
，
则
，解方程组可得
，则
，
所以
.
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解与函数值的计算，解题关键是利用已知的函数值建立方程组，求
出函数的系数，进而得到函数解析式并代入求值。
3．已知函数
，
（1）点(3，14)在
的图象上吗？
（2）当x＝4 时，求
的值.
（3）当
时，求x 的值.
【答案】（1）不在；（2）
；（3）
.
【详解】（1）
，故点
不在函数
的图象上.
（2）
.
（3）
.
【点睛】本题考查了函数的基本概念，包括判断点是否在函数图象上、已知自变量求函数值、已知函数值
求自变量的值，解题的核心是理解函数解析式的定义，通过代入或解方程完成计算。
4．函数
的图象如图所示，
（1）函数
的定义域、值域各是什么？
（2）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？（图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交.）
【答案】（1）
，
（2）
【详解】（1）由函数
的图象可得，函数
的定义域为：
，值域为：
；
（2）由已知中函数
的图象可得：当
时，只有唯一的p 值与之对应．
【点睛】本题考查函数的图象表示法，解题关键是能通过函数图象直观读取定义域、值域，并理解函数值
与自变量的对应关系，准确分析出只有唯一自变量对应的函数值的范围。
5 ．函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，
，
. 当
时，写出函数
的解析式，并画出函数的图象.
【答案】见详解
【详解】
，函数图象如图所示：
.
【点睛】本题考查取整函数（高斯函数）的分段解析式与图象，解题关键是理解 “不超过
的最大整
数” 的定义，对定义域区间进行分段讨论，注意分段区间的端点取值与函数值的对应关系，以及图象中
实心点、空心点的正确表示。
6．画出定义域为
，且
，值域为
的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点
的坐标满足
，那么其中哪些点不能在图
象上？
【答案】（1）答案不唯一；（2）在线段
，和线段
上的点不在图
象上.
【详解】（1）由题意可知：定义域为
，且
，值域为
，
图象可以是如下图所示：
；
（2）由题意可知：线段
，和线段
上的点不在图象上如
下图所示：
.
【点睛】本题考查函数的概念与图象绘制，解题关键是理解定义域、值域对函数图象的限制，明确：定义
域决定图象在
轴上的取值范围，值域决定图象在
轴上的取值范围，同时要注意排除题目中明确限制的
点或线段，函数图象不唯一，只要满足定义域、值域的要求即可。
7．一个圆柱形容器的底部直径是d cm，高是h cm.现在向容器内每秒注入某种溶液
，求容器内溶
液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
【答案】
，
，
【详解】∵容器内液体的体积
，
.定义域
，值域
.
【点睛】本题考查函数的实际应用，解题关键是结合圆柱体积公式建立溶液高度与注入时间的函数关系，
同时要结合容器的实际容量，确定函数的定义域和值域，体现了数学建模思想在实际问题中的应用。
8．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km，从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为
，步行的速度是
，t（单位：h）表示他从小
岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离，请将t 表示为x 的函数.
（2）如果将船停在距点P 4 km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1 h）？
【答案】（1）
（2）
.
【详解】（1）如图，
，此人坐船所用时间为
，步行所用时间为
.
（2）当
时，
.
【点睛】本题考查函数在实际问题中的建模应用，解题关键是结合勾股定理求出航行距离，再根据 “时
间 = 路程 ÷ 速度” 分别表示出乘船和步行的时间，进而得到总时间关于登岸点距离的函数关系，并利
用函数解析式计算具体值，体现了数学建模思想的实际运用。
