第01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
0
1 考情解码・命题预警...............................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视......................................................................................................................... 3
03 核心突破·靶向攻坚......................................................................................................................... 3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 平均变化率 ................................................................................................................3
知识点2 导数的概念 ................................................................................................................4
知识点3 导数的几何意义 ........................................................................................................5
知识点4 基本初等函数的导数公式 .......................................................................................5
知识点5 导数的运算法则 ........................................................................................................6
知识点6 曲线的切线问题 ........................................................................................................6
题型破译.........................................................................................................................................7
题型1 导数的概念......................................................................................................................7
题型2 导数的运算......................................................................................................................8
题型3 在点P 处的切线
.....................................................................................................10
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
题型4 过点P 处的切线
.....................................................................................................11
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
题型5 已知切线或切点求参数
........................................................................................13
题型6 公切线问题
.............................................................................................................15
【方法技巧】公切线求解关键点
题型7 已知切线条数求参数...................................................................................................17
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
题型8 距离最值转化为相切问题
....................................................................................20
【方法技巧】平移切线法
题型9 奇偶函数切线问题.......................................................................................................22
04 真题溯源·考向感知......................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材......................................................................................................................25
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）导数的定义
（2）导数的运算
（3）导数的几何意义
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T12（5
分）
天津卷T20（1）
（4 分）
全国甲卷（理）T6（5
分）
全国 II 卷T16（1）（5
分）
全国 I 卷T13（5 分）
天津卷T20 （1 ）（4
分）
全国乙卷（文）T20（1）
（5 分）
全国甲卷（文）T8 （5
分）
全国乙卷（理）T21（1）
（4 分）
天津卷T20（1）（4 分）
考情分析：高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、
四则运算法则的应用和求切线方程为主，也涉及到公切线问题．
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数
在区间
上的平均变化率为：
.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
和
②作商：对所求得的差作商，即
.
自主检测函数f ( x)= x
2在区间[1,3)上的平均变化率为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．4
【答案】D
【详解】f ( x)= x
2在区间[1,3)上的平均变化率为f (3)−f (1)
3−1
= 9−1
2
= 4.
故选：D
知识点2 导数的概念
1．定义：函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数,记作
.
2．定义法求导数步骤：
①
求函数的增量：
；
②
求平均变化率：
；
③
求极限，得导数：
.
自主检测设函数f (x)的导函数为f
' (x)，且f
'(x0)=2，则
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0)
Δ x
=（ ）
A．1
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【详解】因为f
'(x0)=2，所以
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0)
Δ x
=2f
'(x0)= 4
故选：B
知识点3 导数的几何意义
函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
自主检测若曲线y = x
2−ln x在x =0.5处的切线的斜率为（ ）
A．1
B．−1
C．
❑√2
2
D．e
【答案】B
【详解】定义域为(0,+ ∞)，f (x)= x
2−ln x，则f
' (x)=2 x−1
x = 2 x
2−1
x
，
则f
' (0.5)=−1，即f (x)在x =0.5处的切线的斜率为−1.
故选：B
知识点4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
(
为常数)
(
)
(
)
(
，
)
自主检测已知 f (x)=−1
x
3 ，则 f
′ (x)=（ ）
A．−3
x
3
B．3
x
4
C．1
x
D．−1
x
2
【答案】B
【详解】因为f (x)=−1
x
3 =−x
−3，则f
′ (x)=3 x
−4= 3
x
4 .
故选：B
知识点5 导数的运算法则
若
，
存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数f (x)= x ln x，则f
′ (π)= ．
【答案】lnπ +1
【详解】由f (x)= x ln x，f
′ (x)= ln x +1，则f
' (π)=lnπ +1.
故答案为：lnπ +1.
知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
2．过型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
自主检测已知函数f (x)= x
3−x +1，则f (x)的图象在点(1,1)处的切线方程是（ ）
A．4 x + y −5=0
B．4 x−y −3=0
C．2 x + y −3=0
D．2 x−y −1=0
【答案】D
【详解】对f ( x)= x
3−x +1求导：f
′( x)=( x
3−x +1)
′ =( x
3)
′−( x)
′ +(1)
′ =3 x
2−1.
将x =1代入f
′( x)中，可得切线的斜率k = f
′(1)=3×1
2−1=2.
已知切线过点(1,1)，斜率为2，根据点斜式方程，可得切线方程为y −1=2( x−1).
将其化简为一般式： 2 x−y −1=0，
f ( x)的图象在点(1,1)处的切线方程是2 x−y −1=0.
故选：D.
题型1 导数的概念
例1-1 已知函数f (x)= log2 x，则lim
x→2
f (x)−f (2)
x−2
= .
【答案】
1
2ln 2
【详解】f
′ (x)=
1
x ln 2，则lim
x→2
f (x)−f (2)
x−2
= f
′ (2)=
1
2ln 2
.
故答案为：
1
2ln2.
例1-2 已知函数f ( x)= x
2+ 1
x ，则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
2 Δ x
=（ ）
A．1
B．1
2
C．2
D．4
【答案】B
【详解】由题意知，f
′( x)=2 x−1
x
2，则f
′(1)=1.
所以
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
2 Δ x
= 1
2
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
= 1
2 f
′(1)= 1
2
.
故选：B
【变式训练1-1】已知f
′( x0)= 4，
lim
△x→0 f ( x0+2△x)−f ( x0)
△x
的值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．16
【答案】C
【详解】因为f
′( x0)= 4，
则
lim
△x→0 f ( x0+2△x)−f ( x0)
△x
=2
lim
△x→0 f ( x0+2△x)−f ( x0)
2⋅△x
=2f
′( x0)=8.
故选：C.
【变式训练1-2】设函数f (x)满足
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
2 Δ x
=1，则f
′(x0)=（ ）
A．1
B．2
C．1
2
D．3
【答案】B
【详解】由
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
2 Δ x
=1，得1
2
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
=1，
所以f
′(x0)=
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
=2.
故选：B
【变式训练1-3】已知函数f (x)=−1
2 x
2+ln x，则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
的值为（ ）
A．e
B．−2
C．−1
2
D．0
【答案】D
【详解】因为f
′ (x)=−x + 1
x ，
所以f
′(1)=−1+1=0，
所以
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
=0.
故选：D
题型2 导数的运算
例2-1 求下列函数的导数：
(1)y = x
2sin x；
(2)y =ln x + 1
x ；
(3)y =cos x
e
x
；
(4)y = ln(x
2+1)；
【详解】（1）y
′ =(x
2)
′ sin x + x
2(sin x)
′ =2 x sin x + x
2cos x.
（2）y
′ =(ln x + 1
x)
′
=(ln x)
′ +(
1
x)
′
= 1
x −1
x
2.
（3）y
′ =(
cos x
e
x )
′
= (cos x)
′e
x−cos x (e
x)
′
(e
x)
2
=−sin x +cos x
e
x
.
（4）y
′ =
1
x
2+1
⋅(x
2+1)
′ = 2 x
x
2+1
例2-2 求下列函数的导数
(1)y =−3 x
2−5 x +6；
(2)y = x⋅sin x +e
x
(3)y =ln x
x
2+1
【详解】（1）因为y =−3 x
2−5 x +6，所以y
′ =(−3 x
2)
′−(5 x)
′ +(6)
′ =−6 x −5；
（2）因为y = x⋅sin x +e
x，
所以y
′ =( x)
′⋅sin x + x⋅(sin x)
′ +(e
x)
′ =sin x + x cos x +e
x；
（3）因为y =ln x
x
2+1，
所以y
′ = (ln x)
′(x
2+1)−ln x⋅(x
2+1)
′
(x
2+1)
2
=
1
x (x
2+1)−(ln x)⋅2 x
(x
2+1)
2
= x
2(1−2ln x)+1
x(x
2+1)
2
.
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)y = x
2cos x
(2)y = ln x + 1
x
2
(3)y =tan x
2
x
−log3 x
【详解】（1）y
′ =(x
2)
′·cos x + x
2⋅(cos x)
′ =2 x cos x−x
2sin x.
（2）y
′ =（ln x + 1
x
2 ）
′ = 1
x −2 x
x
4 = x
2−2
x
3
.
（3）y
′ = 1
2
x(
1
cos
2 x
−ln2⋅tan x)−
1
xln3.
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)f (x)= x⋅cos x
(2)f (x)=e
x
x
(3)y =ln x + 1
x
(4)y =(2 x
2−1)(3 x +1)
(5)y = x−sin x
2 cos x
2
(6)y = tanx
【详解】（1）f
′ (x)=1⋅cos x + x⋅(−sin x)=cos x−xsin x；
（2）f
′ (x)=e
x⋅x−e
x⋅1
x
2
=e
x(x−1)
x
2
；
（3）y
′ =(ln x + 1
x)
′
=(ln x)
′ +(
1
x)
′
= 1
x −1
x
2 ．
（4）因为y =(2 x
2−1)(3 x +1)=6 x
3+2 x
2−3 x −1，
所以y
′ =(6 x
3+2 x
2−3 x−1)
′
=(6 x
3)
′ +(2 x
2)
′−(3 x)
′−(1)
′ =18 x
2+ 4 x −3. ．
（5）因为y = x−sin x
2 cos x
2 = x−1
2 sin x，
所以y
′ =(x−1
2 sin x)
′
= x
′−(
1
2 sin x)
′
=1−1
2 cos x．
（6）y
' = cos x⋅cos x−sin x⋅(−sin x)
cos
2 x
= cos
2 x +sin
2 x
cos
2 x
=
1
cos
2 x
.
题型3 在点P 处的切线
例3-1 曲线y =sin xcos x−1在点(0,−1)处的切线方程为（ ）
A．x−2 y +2=0
B．x +2 y −2=0
C．x−y −1=0
D．x−y +1=0
【答案】C
【详解】由y =sin xcos x−1，得y
′ =cos
2 x−sin
2 x =cos2 x，
∴y
′)x =0=cos0=1，
∴曲线y =sin xcos x−1在点(0,−1)处的切线方程为y = x−1，即x−y −1=0.
故选：C.
例3-2 曲线y =e
x +1
x +2在x =0处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =3e
4 x
C．y =e
4 x +e
2
D．y =3e
4 x +e
2
【答案】C
【详解】因为y = e
x +1
x +2，所以y
' = e
x +1·(x +2)−e
x +1·1
(x +2)
2
= (x +1)e
x +1
(x +2)
2
.
所以切线的斜率为k = y
' (0)= 1×e
1
2
2
= e
4 .又y (0)= e
2，
所以切线方程为y −e
2 = e
4
(x−0)，即y = e
4 x + e
2.
故选：C.
方法技巧 （在型切线求解步骤）
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数f (x)= 2
3 x
3−2 x的图象在点(3,f (3))处的切线方程为
.
【答案】y =16 x−36
【详解】求导得f
′ (x)=2 x
2−2，则有k = f
′ (3)=2×9−2=16，
又因为f (3)= 2
3 ×27−2×3=12，
所以在点(3,f (3))处的切线方程为：y −12=16(x−3)，
整理得：y =16 x−36，
故答案为：y =16 x−36
【变式训练3-2·变考法】已知函数f ( x)={
x
2−3 x , x∈[0,2)
2f (x−2), x∈(2,+∞))，则f (x)在点(3,f (3))处的切线方程
为（ ）
A．8 x + y −40=0
B．2 x + y −10=0
C．2 x−y −10=0
D．2 x + y −2=0
【答案】D
【详解】由题意可得f (3)=2f (3−2)=2f (1)=2(1−3)=−4，
当x =3时，x−2∈[0,2)，此时f (x−2)=(x−2)
2−3(x−2)，
所以f (x)=2f (x −2)=2[(x −2)
2−3(x −2))=2 x
2−14 x +20，
求导可得f
′ (x)= 4 x−14，
所以f
′ (3)=−2，
所以切线方程为y −(−4)=−2(x−3)，即2 x + y −2=0.
故选：D.
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数f (x)=sin x + f
′ (0)cos x，则f (x)
在点(
π
2 ,f(
π
2 ))处的切线方程为 .
【答案】x + y −π
2 −1=0
【详解】f
′ (x)=cos x−f
′ (0)sin x，故f
′ (0)=1，
故f
′ (x)=cos x−sin x且f (x)=sin x +cos x，
f
′(
π
2 )=cosπ
2 −sinπ
2 =−1，f(
π
2 )=sinπ
2 +cosπ
2 =1，
故切线方程为：y −1=−(x−π
2)，化简得x + y −π
2 −1=0.
故答案为：x + y −π
2 −1=0.
题型4 过点P 处的切线
例4-1 过点(0,−4)作函数f (x)= x−4
x 图像的切线，则切线方程为（ ）
A．y =5 x−4
B．y = 4 x−4
C．y =3 x−4
D．y =2 x−4
【答案】D
【详解】设切点为(x0, x0−4
x0)(x0≠0)，
对函数求导可得f
′ (x)=1+ 4
x
2 (x≠0)，
则切点处的斜率为f
′(x0)=1+ 4
x0
2，所以切线方程为y −(x0−4
x0)=(1+ 4
x0
2)(x−x0)，
因为切线过点(0,−4)，代入切线方程，可得−4−x0+ 4
x0
=(1+ 4
x0
2)(−x0)，
整理得x0=2，则所求切线方程为y =2 x−4.
故选：D.
例4-2 已知f (x)= x
2−2 x +3，则过点A (2,−6)且与f (x)相切的直线方程为 .
【答案】4 x + y −2=0或8 x−y −22=0
【详解】方法1：f
′ (x)=2 x−2，设切点为(x0, y0)，切线的斜率k = f
′(x0)=2 x0−2，
得2 x0−2= y0+6
x0−2，y0= x0
2−2 x0+3，两式联立方程解得x0=−1或5，
x0=−1时，k = f
′ (−1)=−2−2=−4，
此时切线方程y +6=−4 (x−2)，
x0=5时，k = f
′ (5)=2×5−2=8，
此时切线方程y +6=8(x−2)，
即4 x + y −2=0或8 x−y −22=0.
方法2：由题意切线的斜率存在，设为k，
切线方程为y +6=k (x−2)，
与抛物线方程联立，{
y +6=k (x−2)
y = x
2−2 x +3)，整理得
x
2+(−2−k ) x +2k +9=0，
由Δ=(−2−k )
2−4 (2k +9)=0得k =−4或k =8，
切线方程为y +6=−4 (x−2)或y +6=8(x−2)，
即4 x + y −2=0或8 x−y −22=0.
故答案为：4 x + y −2=0或8 x−y −22=0.
方法技巧 “过”型切线求解步骤
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
【变式训练4-1】（多选）过点(0,1)向曲线y = x
3−3 x
2作切线，切线方程可能是（ ）
A．4 x−15 y +15=0
B．3 x + y −1=0
C．x +3 y −3=0
D．15 x−4 y + 4 =0
【答案】BD
【详解】设切点P(x0, y0)，因为y = x
3−3 x
2，则y
′ =3 x
2−6 x，
则切线方程为y −y0=(3 x0
2−6 x0)(x−x0)，又y0= x0
3−3 x0
2，
所以y −(x0
3−3 x0
2)=(3 x0
2−6 x0)(x−x0)，又切线过点(0,1)，
所以1−(x0
3−3 x0
2)=(3 x0
2−6 x0)(−x0)，整理得到2 x0
3−3 x0
2+1=0，
即(x0−1)(2 x0
2−x0−1)=(x0−1)
2(2 x0+1)=0，所以x0=1或x0=−1
2，
当x0=1时，切线方程为y −(1−3)=(3−6)(x−1)，即3 x + y −1=0，
当x0=−1
2时，切线方程为y −[(−1
2)
3
−3(−1
2)
2
)=[3(−1
2)
2
−6(−1
2))(x + 1
2)，即15 x−4 y + 4 =0，
故选：BD.
【变式训练4-2】已知曲线y =2e
x，过点(0,2)作切线l，则l的方程为 ．
【答案】y =2 x +2
【详解】因为y =2e
x，所以y
′ =2e
x，则y
′|x =0=2，显然点(0,2)在y =2e
x上，
所以过点(0,2)作切线l的方程为y −2=2(x−0)，即y =2 x +2.
故答案为：y =2 x +2
【变式训练4-3·变题型】若曲线y =(x +a)e
x存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(−∞,−4 ]∪[0,+∞)
【详解】∵y =( x +a)e
x，∴y
′ =( x +1+a)e
x，
设切点为(x0, y0),则y0=(x0+a)e
x0,切线斜率k =(x0+1+a)e
x0,
切线方程为：y −(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(x −x0),
∵切线过原点，∴−(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(−x0),
整理得：x0
2+a x0−a=0,
∵存在过原点的切线，∴Δ=a
2+ 4 a≥0,解得a≤−4或a≥0,
∴a的取值范围是(−∞,−4 ]∪[0,+ ∞),
故答案为：(−∞,−4 ]∪[0,+∞)
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1 若曲线f (x)= x
2−3
2 a ln (2 x +1)在点P(1，f (1))处的切线与直线y = x−2垂直，则实数a 的值为
（ ）
A．3
B．❑√5
C．2
D．1
【答案】A
【详解】由题意有f
' (x)=2 x−3
2 a·
2
2 x +1 =2 x−
3a
2 x +1，所以f
′ (1)=2−3a
3 =2−a，
因为在点P(1，f (1))处的切线与直线y = x−2垂直，
所以f
′ (1)=2−a=−1⇒a=3，
故选：A.
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线y = x为曲线y =e
ax +b的一条切线，则b
a的最小值为 ．
【答案】−1
【详解】y
′ =ae
ax +b，
设直线y = x与曲线y =e
ax +b相切于点(x , x)，则x =e
ax +b且ae
ax +b=1，
解得e
ax+b= 1
a，所以x = 1
a，从而得b=−1−ln a，所以b
a = −1−ln a
a
，
设g(a)= −1−ln a
a
(a>0)，g
′ (a)=
−1
a ×a−(−1−ln a)
a
2
= ln a
a
2
，
令g
′ (a)<0得0<a<1，令g
′ (a)>0得a>1，
所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(a)min= g(1)=−1，即b
a的最小值为−1.
故答案为：−1.
【变式训练5-1】函数f ( x)=e
x+ax在x =0处的切线与直线3 x−2 y −5=0平行，则实数a=（ ）
A．−1
B．1
C．1
2
D．1
4
【答案】C
【详解】函数f (x)=e
x+ax的导函数为f
′( x)=e
x+a ，
函数在x =0处的切线的导数即为切线的斜率为f
′(0)=e
0+a=1+a，
且切线与直线3 x−2 y −5=0平行，
则有1+a= 3
2 ，可得a= 1
2 .
故选：C
【变式训练5-2】设曲线y =e
ax在点(0,1)处的切线斜率为2，则a 的值是（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．−2
【答案】C
【详解】由题意可得y
′ =ae
ax , y
′)x =0=a，又在(0,1)处的切线斜率为2
根据导数的几何意义得a=2.
故选：C.
【变式训练5-3】（2025·河北张家口·三模）已知曲线C : y =(2a+ln x)e
−x在x =1处的切线与y轴垂直，则
实数a的值为 .
【答案】1
2/0.5
【详解】对函数y = f (x)=(2a+ln x)e
−x求导得，f
′ (x)=e
−x
x −(2a+ln x)e
−x，
因为曲线C : y =(2a+ln x)e
−x在x =1处的切线与y轴垂直，
所以f
′ (1)=e
−1−2ae
−1=0，解得a= 1
2.
故答案为：1
2.
题型6 公切线问题
例6-1 若直线l是曲线y = ln x−1与y = ln( x−1)的公切线，则直线l的方程为 .
【答案】y = x−2
【详解】求导：y = ln x−1导数y
′ = 1
x ；y = ln( x−1)导数y
′ =
1
x−1.
设切点写切线方程：
设与y = ln x−1切点A( x1,ln x1−1)，切线方程y = 1
x1
x + ln x1−2.
设与y = ln( x−1)切点B( x2,ln( x2−1))，切线方程y =
1
x2−1 x + ln( x2−1)−
x2
x2−1.
列方程组求解：由公切线性质得{
1
x1
=
1
x2−1
ln x1−2= ln( x2−1)−
x2
x2−1)
.
由1
x1
=
1
x2−1得x1= x2−1，代入另一式解得x2=2，x1=1.
求直线方程：把x1=1代入y = 1
x1
x + ln x1−2，得y = x−2.
故答案为：y = x−2.
例6-2（2025·辽宁·模拟预测）曲线y =e
x与曲线y = ❑√2e x的公切线方程为 .
【答案】2❑√e x−2 y + ❑√e=0
【详解】设公切线与曲线y =e
x切于点A(x1,e
x1)，与曲线y = ❑√2e x切于点B(x2,❑√2e x2)，
易知公切线的斜率存在，对y =e
x求导得y
′ =e
x，
可得公切线的斜率k =e
x1，
所以公切线方程为y =e
x1(x −x1)+e
x1，即y =e
x1 x +e
x1(1−x1)①.
对y = ❑√2e x求导得y
′ =e
❑√2e x ，
所以公切线方程为y =e
❑√2e x2
(x−x2)+ ❑√2e x2，
即y =e
❑√2e x2
x +
❑√2e x2
2
②.
由①②得{
e
x1=e
❑√2e x2
,
e
x1(1−x1)=
❑√2e x2
2
,)
所以e
2 x1(x1−1)+e
2 =0，
令f (x)=(x−1)e
2 x+e
2，x<1，所以f
′ (x)=(2 x−1)e
2 x，
当x∈(−∞, 1
2)时，f
′ (x)<0，f (x)单调递减，当x∈(
1
2 ,1)时，f
′ (x)>0，f (x)单调递增，所以
f (x)≥f(
1
2)=0，所以x1= 1
2，
所以公切线方程为y = ❑√e x +
❑√e
2 ，即2❑√e x−2 y + ❑√e=0.
故答案为：2❑√e x−2 y + ❑√e=0
方法技巧 公切线求解关键点
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切
点
横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式训练6-1·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线y = ln x在x =1处的切线与曲线y =e
x+a
相切，则a= ．
【答案】−2
【详解】由y = ln x，则y
′ = 1
x ，则y
′|x =1=1，又当x =1时y = ln1=0，
所以曲线y = ln x在x =1处的切线为y = x−1；
对于y =e
x+a，可得y
′ =e
x，设切点为(x0, y0)，
则{
e
x0=1
y0= x0−1
y0=e
x0+a)
，解得{
a=−2
x0=0
y0=−1)
.
故答案为：−2.
【变式训练6-2·变考法】已知曲线f (x)= ln x +1与g(x)=a x
2+ 3
2
(a>0)有公共切线，求实数a 的取值范
围是
【答案】[
1
2e
2 ,+∞)
【详解】由题意可知在f (x),g(x)上分别存在两个点x1, x2，使得f (x)在x1处的切线与g(x)在x2处的切线为
同一条直线，
因为f
′ (x)= 1
x ,g
′ (x)=2ax，由同一条切线的斜率相等可得1
x1
=2a x2⇒x2=
1
2a x1
，
由同一条切线的截距相等，可得f (x1)−f
′(x1)x1= g(x2)−g
′(x2)x2，
即ln x1+1−1=a x2
2+ 3
2 −2a x2
2⇒ln x1=−a x2
2+ 3
2，
将斜率相等的表达式代入可得ln x1=−
1
4 a x1
2 + 3
2，
即方程1
2a = x
2(3−2ln x)在(0,+ ∞)上有解，
令ℎ(x)= x
2(3−2ln x), x>0，则ℎ
′ (x)=2 x (3−2ln x)+ x
2(−2
x)= 4 x (1−ln x)，
令ℎ
′ (x)=0，得x =e，当x∈(0,e)时，f
′ (x)>0；当x∈(e,+∞)时，f
′ (x)<0，
且当x→0时，ℎ(x)→0；当x→+ ∞时，ℎ(x)→−∞，
所以ℎ(x)存在极大值同时也是最大值ℎ(e)=e
2，所以ℎ(x)的值域为(−∞,e
2)，
若方程1
2a = x
2(3−2ln x)在(0,+ ∞)上有解，则1
2a ∈(−∞,e
2)，
又a>0，所以a∈[
1
2e
2 ,+∞).
故答案为：[
1
2e
2 ,+ ∞).
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线f ( x)= ❑√x与曲线g( x)=a+ ln x存在公切线，则a的
取值范围是 ．
【答案】[2−2ln 2,+ ∞)
【详解】由题意知f
'( x)=
1
2❑√x ，g
'( x)= 1
x ，
设公切线分别与曲线f ( x)，g( x)相切于点(x1,❑√x1)，(x2,a+ ln x2)，则f
'(x1)=
1
2❑√x1
，g
'(x2)= 1
x2
，
所以公切线方程为y −❑√x1=
1
2❑√x1
(x−x1)，y −a−ln x2= 1
x2
(x−x2)，
即y =
1
2❑√x1
x +
❑√x1
2 ，y = 1
x2
x−1+a+ ln x2，所以1
x2
=
1
2❑√x1
，−1+a+ ln x2=
❑√x1
2
，
所以a=
❑√x1
2 +1−ln x2=
❑√x1
2 +1−ln(2❑√x1)=
❑√x1
2 −ln ❑√x1+1−ln 2，
令t = ❑√x1，t >0，ℎ(t )= t
2 −lnt，
所以ℎ
'(t )= 1
2 −1
t = t −2
2t ，由ℎ
'(t )<0，得0<t <2,由ℎ
'(t )>0，得t >2，
所以ℎ(t )在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增，
所以ℎ(t )min=ℎ(2) =1−ln 2，且t →0时，ℎ(t )→+∞，t →+ ∞时，ℎ(t )→+∞，
所以a≥1−ln2+1−ln2=2−2ln2．
故答案为：[2−2ln 2,+ ∞).
题型7 已知切线条数求参数
例7-1．过点P(t ,−2t )作曲线y =−2 x
3的切线，若切线有3 条，则t的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)∪(1,+ ∞)B．(−1,1)
C．(−∞,1)
D．(−∞,−1)
【答案】A
【详解】设f (x)=−2 x
3，则f
′ (x)=−6 x
2，设切点为(s ,−2s
3)，则切线斜率k = f
′ (s)= −2s
3+2t
s−t
，
即−6 s
2= −2s
3+2t
s−t
，整理得4 s
3−6t s
2+2t =0，
设g(s)= 4 s
3−6t s
2+2t，由题意可知g(s)有3 个零点，g
′ (s)=12s
2−12ts，显然t ≠0，
由g
′ (s)=0，得s=0或s=t，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以g(0)g(t )=2t (−2t
3+2t)<0，所以t <−1，或t >1.
故选：A.
例7-2 若过点(1,m)可以作曲线y = x−2
x
(x>0)的两条切线，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(−1,1)
【详解】设切点为(x0, y0)，则y0= x0−2
x0
，所以y
′|❑x = x0)=1+ 2
x0
2，即y −y0=(1+ 2
x0
2)(x−x0)，
又(1,m)在切线上，所以m−y0=(1+ 2
x0
2)(1−x0)，化简整理有m=1+ 2
x0
2 −4
x0，
令ℎ(x)=1+ 2
x
2 −4
x
(x>0)，即y =m与ℎ(x)的图像有两个交点即可，
所以ℎ
′ (x)=−4
x
3 + 4
x
2 = 4 (x−1)
x
3
，令ℎ
′ (x)=0有x =1，
由ℎ
′ (x)>0有x>1，ℎ
′ (x)<0有0< x<1，
所以ℎ(x)在(0,1)单调递减，在(1，+ ∞)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(1)=−1，当x→+ ∞,ℎ(x)→1，
作出函数ℎ(x)的图像，
所以−1<m<1，
故答案为：(−1,1).
方法技巧 已知切线求参数关键点
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值，有多少个解对应有多少条切
线．
【变式训练7-1】过点(1,0)可以做三条直线与曲线f ( x)= x e
x−t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A．(−5
e
2 ,0)
B．(−5
e
2 ,e)
C．(−5
e ,e)
D．(−1
e ,0)
【答案】A
【详解】因为y = f ( x)= x e
x−t，所以f ′( x)=e
x( x +1)，
设过点(1,0)的切线切曲线f ( x)=e
x + ln x−t于点(m,me
m−t )，
则切线方程为y −(me
m−t )=e
m(m+1)]( x −m)，又其过点(1,0)，
所以0−(me
m−t )=[e
m(m+1)](1−m)，所以根据题意可得该关于m的方程有3 解，
即方程t =−e
m(m
2−m−1)有3 解，
所以y =t与y =−e
m(m
2−m−1)有3 个交点，
设g(m)=−e
m(m
2−m−1)，则g′(m)=−e
m(m+2)(m−1)，
所以当m∈(−∞,−2)时，g′(m)<0，g(m)单调递减；
当m∈(−2,1)时，g′(m)>0，g(m)单调递增；
当m∈(1,+ ∞)时，g′(m)<0，g(m)单调递减，
所以g(m)的极小值为g(−2)=−5
e
2 ，g(m)的极大值为g(1)=e，
且m<−2时，g(m)<0；m→+ ∞时，g(m)→−∞，
所以要使y =t与y =−e
m(m
2−m−1)有3 个交点，则需−5
e
2 <t <0．
故选：A
【变式训练7-2】已知过点P(t ,t )与曲线f (x)= x(1+ln x)相切的直线有两条，则实数t的取值范围是
【答案】(1,+ ∞)
【详解】定义域为(0,+∞)，且f
' (x)=2+ ln x，
设切点为(x0, x0(1+ ln x0))，则切线斜率为2+ ln x0，
则切线方程为y −x0(1+ ln x0)=(2+ ln x0)( x−x0)，即y =(2+ ln x0)x−x0，
将点P(t ,t )代入切线方程有：t(1+ ln x0)= x0，
若t =0，则x0=0，与定义域矛盾；则1
t = 1+ ln x0
x0
，
因过点P(t ,t )与曲线f (x)= x(1+ln x)相切的直线有两条，
所以1
t = 1+ ln x0
x0
在(0,+ ∞)上有两解，
设g( x)= 1+ ln x
x
⇒ g
' (x)=
1
x ⋅x−(1+ ln x)
x
2
= −ln x
x
2
，
则g
' (x)>0得0< x<1；g
' (x)<0得x>1；
则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则g(x)max = g(1)=1，
又0< x< 1
e 时，g(x)<0； g(
1
e)=0；x> 1
e 时，g(x)>0，且x→+∞时，g(x)→0，
所以1
t ∈(0,1)，则实数t的取值范围是(1,+ ∞).
故答案为：(1,+ ∞)
【变式训练7-3】已知f (x)=(a x
2+ x +1)e
x.若a=0，过点P(m,0)可作曲线y = f (x)的两条切线，求m的取
值范围.
【答案】(−∞,−5)∪(−1,+ ∞)
【详解】当a=0时，f (x)=(x +1)e
x，
f
′ (x)=(x +2)e
x，设切点为(x ,(x +1)e
x)，
∴(x +2)e
x = (x +1)e
x
x−m ，整理得x
2+(1−m) x−2m−1=0，
问题转化为方程x
2+(1−m) x−2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=(1−m)
2+ 4 (2m+1)=m
2+6m+5>0，
∴m<−5或m>−1.
∴m的取值范围为(−∞,−5)∪(−1,+∞).
题型8 距离最值转化为相切问题
例8-1 点A是曲线y = 3
2 x
2−ln x上任意一点，则点A到直线y =2 x−2的最小距离为（ ）
A．
❑√5
10
B．
❑√5
5
C．3 ❑√5
10
D．❑√5
【答案】C
【详解】由题意可知，把直线y =2 x−2平移到与曲线y = 3
2 x
2−ln x首次相切时，切点到直线y =2 x−2的
距离最小，
求导得y
′ =3 x−1
x
(x>0)，令y
′ =3 x−1
x =2(x>0)，解得x =1或x =−1
3（舍去），
当x =1时，y = 3
2 ×1
2−ln1= 3
2，即A(1, 3
2)，
由点到直线的距离公式可求得点A到直线y =2 x +1的距离为|2×1−3
2 −2)
❑√2
2+1
2
= 3 ❑√5
10
.
故选：C.
例8-2（2025·陕西西安·二模）若M 是曲线f ( x)=2 x
2−ln x上任意一点，则点M 到直线y =3 x−6的最小
距离为 .
【答案】
❑√10
2
【详解】由f ( x)=2 x
2−ln x , x>0得f
′( x)= 4 x−1
x = 4 x
2−1
x
，
当0< x< 1
2时，f
′( x)<0，当x> 1
2时，f
′( x)>0，
则f ( x)在(0, 1
2)上单调递减，在(
1
2 ,+∞)上单调递增，且f ( x)min= f ( 1
2 )= 1
2 + ln 2，
则作出f ( x)=2 x
2−ln x , x>0和y =3 x−6图像如图：
则曲线f ( x)=2 x
2−ln x上任意一点M 到直线y =3 x−6的最小距离，
即为斜率为3 的切线的切点到直线y =3 x−6的距离；
设与直线y =3 x−6平行的直线y =3 x +m与曲线相切于点M (x0, y0)，
因为f
′ (x)= 4 x−1
x , x>0，所以4 x0−1
x0
=3，即4 x0
2−3 x0−1=0，
解得x0=1或−1
4 （舍去），
所以f (1)=2，即切点为M (1,2)，
所以切点到直线y =3 x−6的距离为|3−2−6)
❑√10
=
❑√10
2
.
故答案为：
❑√10
2
.
方法技巧 平移切线法
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式训练8-1】已知P是曲线y = ln x上的一个动点，则点P到直线x−y +2=0的最小距离为
．
【答案】3 ❑√2
2
【详解】因为y = ln x，所以y
′ = 1
x ，
设y = x +m(m≠0)与y = ln x相切与点Q(x0,ln x0)，
则y
'|x = x0= 1
x0
，令1
x0
=1，解得x0=1，则切点为Q (1,0)，
代入y = x +m(m≠0)，得m=−1，即直线方程为x−y −1=0，
所以直线x−y −1=0与直线x−y +2=0间的距离d =|−1−2)
❑√2
= 3 ❑√2
2
，
即为P到直线x−y +2=0的最小距离.
故答案为：3 ❑√2
2
.
【变式训练8-2·变考法】1．已知
ln x1−x1−y1+2=0, x2+2 y2−4−2ln2=0, M = ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2，则（ ）
A．M的最大值为2❑√5
5
B．M的最大值为4
5
C．M的最小值为4
5
D．M的最小值为2❑√5
5
【答案】D
【详解】解：由题意可知(x1, y1)在ln x−x−y +2=0的图象上，
(x2, y2)在x +2 y −4−2ln2=0的图象上，
由ln x−x−y +2=0，得y =ln x−x +2，
所以M = ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2可转化为函数y =ln x−x +2图象的点到直线x +2 y −4−2ln2=0上的点
的距离，
对于y =ln x−x +2, x>0，y
′ = 1
x −1= 1−x
x
，
当0< x<1时，y
′>0，当x>1时，y
′<0，
当x→0时，y →−∞；当x→+ ∞时，由于ln x增加的速度小于x 增加的速度，故y →−∞；
由此可作出y =ln x−x +2和x +2 y −4−2ln2=0的图象，如图：
结合图象可知M = ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2有最小值，无最大值，AB 错误；
又因为与直线x +2 y −4−2ln2=0平行的直线的斜率为−1
2，
令1
x −1=−1
2，解得x =2，
则y =ln x−x +2的与x +2 y −4−2ln2=0平行的切线的切点坐标为(2,ln2)，
所以(2,ln2)到直线x +2 y −4−2ln2=0的距离为d =|2+2ln2−4−2ln2)
❑√5
= 2❑√5
5
，
所以M = ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值为2❑√5
5
，此时x1=2，所以D 正确，C 错误，
故选：D
题型9 奇偶函数切线问题
例9-1 已知偶函数f (x)的定义域为R，且当x<0时，f (x)= ln (−3 x +1)+e
−x则曲线y = f (x)在点(1,f (1))
处的切线斜率为
A．1
4 +e
B．1
2 +e
C．3
4 +e
D．3
2 +e
【答案】C
【详解】由题意得，偶函数f (x)的图象关于y轴对称 ∴f
′ (1)=−f
′ (−1)
当x<0时，f
′ (x)=
−3
1−3 x −e
−x ∴f
′ (−1)=−3
4 −e，则f
′ (1)= 3
4 +e
本题正确选项：C
例9-2 已知f (x)是定义在R上的奇函数，若x>0时，f (x)=2ln x +2，则曲线y = f (x)在点(−1,−2)处的切
线斜率为 .
【答案】2
【详解】因为当x>0时,f ' (x)= 2
x 故f ' (1)= 2
1 =2.根据奇函数的图像知, y = f (x)在点(−1,−2)处的切线斜
率等于y = f (x)在点(1,2)处的切线斜率为f ' (1)=2.
故答案为：2
【变式训练9-1】已知函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，当x<0时，f (x)= ln (1−2 x)，则曲线
y = f (x)在点(2,f (2))处的切线斜率为（ ）
A．2
5
B．−2
5
C．2
D．−2
【答案】A
【详解】函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数， 则f (x)= f (−x)，
两边同时求导可得：f
′ (x)=−f
′ (−x)，
当x<0时，f (x)=ln(1−2 x)，
求导可得f
′ (x)=
−2
1−2 x ，则有f
′ (−2)=−2
5，
又由f
′ (x)=−f
′ (−x)， 令x =2可得：f
′ (2)=−f
′ (−2)= 2
5，
则曲线y = f (x)在点(2,f (2))处的切线斜率为2
5.
故选：A
【变式训练9-2】已知f (x)为奇函数，当x＜0 时，f (x)=−x
2，则曲线y = f (x)在点(1,1)处的切线斜率是
（ ）
A．－2
B．2
C．－e
D．e
−2+1
【答案】B
【详解】当x>0时，因为f (x)为奇函数，
所以有f (x)=−f (−x)= x
2，则有f
′ (x)=2 x，所以有f
′ (1)=2，
故选：B
【变式训练9-3】已知奇函数f ( x)的定义域为R，且当x<0时，f ( x)= ln(1−3 x)，则曲线y = f ( x)在点
(1,f (1))处的切线斜率为 .
【答案】−3
4
【详解】因为函数f ( x)为奇函数，所以f (−x)=−f ( x)，
因为当x<0时，f ( x)= ln(1−3 x)，
所以当x>0时，f ( x)=−f (−x)=−ln(1+3 x)，
所以f
′( x)=−
3
1+3 x ，f
'(1)=−3
4 ，
所以曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线斜率为−3
4 .
故答案为：−3
4 .
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数f (x)=e
x+2sin x
1+ x
2
，则曲线y = f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】A
【详解】f
′ (x)= (e
x+2cos x)(1+ x
2)−(e
x+2sin x)⋅2 x
(1+ x
2)
2
，
则f
′ (0)= (e
0+2cos0)(1+0)−(e
0+2sin 0)×0
(1+0)
2
=3，
即该切线方程为y −1=3 x，即y =3 x +1，
令x =0，则y =1，令y =0，则x =−1
3，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S = 1
2 ×1×|−1
3)= 1
6 .
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y =e
x
x +1在点(1,e
2)处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =e
2 x
C．y =e
4 x +e
4
D．y =e
2 x + 3e
4
【答案】C
【详解】设曲线y = e
x
x +1在点(1, e
2)处的切线方程为y −e
2 =k (x−1)，
因为y = e
x
x +1，
所以y
′ = e
x(x +1)−e
x
(x +1)
2
=
x e
x
(x +1)
2，
所以k = y
′|x =1= e
4
所以y −e
2 = e
4
(x−1)
所以曲线y = e
x
x +1在点(1, e
2)处的切线方程为y = e
4 x + e
4 .
故选：C
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，
则a= .
【答案】ln2
【详解】由y =e
x+ x得y
′ =e
x+1，y
′|x =0=e
0+1=2，
故曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为y =2 x +1；
由y = ln (x +1)+a得y
′ =
1
x +1，
设切线与曲线y = ln (x +1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y
′ =
1
x0+1 =2，解得x0=−1
2，则切点为(−1
2 ,a+ ln 1
2)，
切线方程为y =2(x + 1
2)+a+ ln 1
2 =2 x +1+a−ln 2，
根据两切线重合,所以a−ln 2=0，解得a= ln 2.
故答案为：ln2
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
【答案】(1)(e−1) x−y −1=0
【详解】（1）当a=1时，则f ( x)=e
x−x −1，f
′( x)=e
x−1，
可得f (1)=e−2，f
′(1)=e−1，
即切点坐标为(1,e−2)，切线斜率k =e−1，
所以切线方程为y −(e−2)=(e−1)(x−1)，即(e−1) x−y −1=0.
1．( 人教A 版选择性必修第二册P81习题 5.2T ₅)求曲线y = sinx
x
在 点M(π,0)处的切线方程 .
【答案】
【详解】
所以
，所以切线方程为
，化简得
2.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 3)已知函数
，且
，求
【答案】
【详解】因为
，所以
，又因为
，所以
，解得
3.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 6)已知函数
满足
，求
在
【答案】
【详解】
，得
，则
从而：
解得
4.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 2)求下列函数的导数
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
（2）
化简得
5.( 人教A 版选择性必修第二册P81习题5.2T 7)设函数
的图像与
轴相交于点
，求该曲线
在点
处的切线方程
【答案】
【详解】令
，则
，因为
，所以
，所以切线方
程为
