文档文本内容
第06 讲 双曲线及其性质
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 双曲
的定
线
义
型
题
02 双曲
的
准方程
线
标
型
题
03 双曲
的焦点、焦距
线
型
题
04 双曲
的范
线
围
型
题
05 双曲
的
点、
、虚
线
顶
实轴
轴
型
题
06 等
双曲
轴
线
型
题
07 双曲
的
近
线
渐
线
型
题
08 双曲
的离心率
线
型
题
09 双曲
的
用
线
应
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 双曲线的定义
1．已知双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，双曲线
的两个焦点分别为
，点
为
上的一点，且
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线
与双曲线N 共渐近线设出双曲线M 的方程，分焦点在x
轴上与焦点在y 轴上两种情况进行分类讨论即可.
【详解】由题意易知
．
当焦点在
轴上时，可设双曲线
的方程为
，则
，解得
，所以
，双
曲线
的方程为
；
当焦点在
轴上时，可设双曲线
的方程为
，则
，解得
，所以
，双曲线
的方程为
．
故选：D
2．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
的右支上一点
满足
，且
与
的夹角的正切值为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
、
的夹角为
，根据同角三角函数的基本关系求出
的值，利用已知条件和双曲线
的定义求出
、
，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
设
、
的夹角为
，则
，解得
，
因为
，由双曲线的定义可得
，故
，
由余弦定理可得
，
即
，可得
，故
.
故选：D.
3．已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离心率互为倒数，设
分别
为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出
，根
据双曲线的定义可得
，将其代入
，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆
的焦点为
，离心率为
，
所以可知双曲线
，解得
.
因为
为双曲线右支上任意一点，
所以
，即
，
又因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为．
故选：C
4．已知双曲线
：
的左、右焦点分别是
是双曲线
上一点，若
，则
．
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程可得
，经分析点
只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可
得
，计算可得结果.
【详解】根据双曲线方程，
，
，
根据双曲线的定义，由已知
，
又
，
所以
．
故答案为：
.
5．已知圆
，圆
，动圆
与圆
都外切，则动圆圆心
的轨迹方
程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程.
【详解】对圆
，圆心为
；对圆
，圆心为
.
设动圆
的半径为，则
，所以点
的运动轨迹为以
为焦点的双曲线
的左支.
易知
，解得
；
又
，解得
；
，所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故答案为：
02 双曲线的标准方程
6．已知方程
表示双曲线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果.
【详解】因为方程
表示双曲线，所以
，解得
或
，
故
的取值范围为
．
故选：B.
【点睛】对于方程
，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n
进行讨论．只有
时，方程才表示双曲线，且当
时，焦点在
轴上；当
时，焦点在
轴
上．
7．已知点
在双曲线
上，点
满足
为坐标原点，且
，
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
得
，代入坐标，表示出点
的从标，代入双曲线中化简，结合已知条
件可得
，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，且
，
则有
，得
，
将点
代入双曲线中得
，所以
①．
因为
，即
同向，
所以
，所以
，
将①代入上式并整理得
，
即
，则
，等号能取到，
所以
．
故选：B．
8．在直角坐标系中，若方程
表示的曲线是双曲线，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形给定等式，利用双曲线的第二定义确定其离心率，再列式求解.
【详解】方程
变形为
，
即
，则
，
此方程表示双曲线上一点
到定点
与定直线
之比为常数
，
由
，得
，所以
的取值范围为
.
故选：C
9．(多选)已知曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则曲线
表示两条直线
B．若
，则曲线
是双曲线
C．若
，则曲线
是椭圆
D．若
，则曲线
的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据四种曲线的定义可得结果
【详解】A 选项：由题意，曲线
，若
，则
，
此时曲线
，表示两条直线，A 选项正确；
B 选项：若
，又
，则
，曲线
，可化为
，此
为双曲线方程，B 选项正确；
C 选项：若
，取
，则曲线
表示圆，C 选项错误；
D 选项：若
，又
，所以
，则
为
，则
为等轴双曲线，
其离心率为
，D 选项正确.
故选：ABD.
03 双曲线的焦点、焦距
10．已知双曲线
，则
的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【答案】B
【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】因为
，所以
，
可得右焦点坐标为
，其中一条渐近线方程为
，
右焦点到其渐近线的距离为
.
故选：B.
11．已知双曲线的标准方程为
，则该双曲线的焦距是（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程求出
，再计算
即可得出答案.
【详解】由双曲线方程可知
，
所以
，则
，
．
故选：C.
12．已知双曲线
的离心率为
，则双曲线
的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得双曲线
的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可
求解.
【详解】由双曲线
的离心率为
，
可得
，解得
，即双曲线
，
则双曲线
的右焦点为
，其中一条渐近线方程为
，即
，
所以双曲线
的焦点到渐近线的距离为
.
故选：A.
13．（多选）已知双曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚轴长为6
B．
的离心率为
C．
的渐近线方程为
D．
的焦点坐标为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线标准方程
，结合题给双曲线方程得出
的值，代入各
选项逐一进行判断.
【详解】由双曲线
可知：
，
由双曲线的方程可知其虚轴长为
，故A 对.
离心率
，故B 对.
令
，即双曲线的渐近线方程为
，故C 错.
因为
，所以双曲线的焦点坐标为
，故D 对.
故选：ABD.
14．（多选）已知椭圆
，双曲线
的离心率分别为
，
，则（ ）
A．
的焦距小于
的焦距
B．
可能为等轴双曲线
C．
D．
与
恰有四个公共点
【答案】AC
【分析】求出
与
的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中
的取值范
围判断D.
【详解】根据题意，椭圆
，半焦距
，
的焦距为
，
双曲线
，半焦距
，
的焦距为
，显然
，A 正确；
因为
，所以
不可能为等轴双曲线，B 错误；
，则
，C 正确；
因为椭圆
中
，
双曲线
中
，
则
与
只有
和
两个交点，D 错误.
故选：AC
04 双曲线的范围
15．双曲线
的右焦点为
，设A、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的
中点为M，BF 的中点为N，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB 的斜率为
，则双曲线的离
心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，运用中点坐标公式表示点
，由
，以及斜率公式
解方程组可得
，将点A 的坐标代入双曲线的方程，结合
的关系，求得
，即可得离心率.
【详解】由题意，
，设
，
则
，
，
因为原点O 在以线段
为直径的圆上，可得
，
所以
，即
①，
又直线
的斜率
，可得
②，
联立①②可得
，即
，
又点
在双曲线上，可得
，
又
，解得
，所以
.
故选：B.
16．（多选）已知
是双曲线
的右焦点，
为右支上一点，则（ ）
A．双曲线
的虚轴长为
B．
（
为坐标原点）
C．双曲线
的渐近线方程为
D．
为圆
上一点，
的最小值为1
【答案】ABD
【分析】A 利用
之间的关系求出
；B 根据右顶点
是
的中点可判断；C 渐近线方程为
；D 将
转化为
，再结合双曲线的定义即可.
【详解】由题意知
，
，则
，虚轴长为
，A 项正确；
易知右顶点
是
的中点，当点
在右支上运动时，有
，B 项正确；
双曲线
的渐近线方程为
，C 项错误；
易知
为双曲线的左焦点，则
，
则
，D 项正确．
故选：ABD
17．若双曲线
与圆
交于
四点，且这四个点恰为正方
形的四个顶点，则
.
【答案】
【分析】设
，则
，代入双曲线方程可得
，从而可得答案.
【详解】双曲线
与圆
交于
四点，
且这四个点恰为正方形的四个顶点，
设
，则
，
所以
，解得
，
所以
，即
,
故答案为：
.
18．已知双曲线
的焦距为10，左、右焦点分别为
，点
在
上且
轴，
的面积为
，则双曲线
的方程为 ；若点
为双曲线左支上的任意一点，则
的
最小值是 ．
【答案】
【分析】先计算双曲线的标准方程，法一：求得
，
，再根据焦半径公式结合
条件计算即可.法二：由双曲线定义可知
，代入计算即可.
【详解】由题意可知
，设
，即
，代入双曲线方程有
，
又
的面积为
，即
，
所以有
，解得
，
所以双曲线
的方程为
．
方法一 设
，
则
，
则
，
由于
，所以
，因此
，
于是
，故
的最小值是
．
方法二 由双曲线定义可知
，且
，
于是
，
由于
，所以
，
因此
，故
的最小值是
．
故答案为：
；
05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
19．已知双曲线
经过点
，则
的虚轴长为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴
【详解】由点
在双曲线
上，得
，解得
，即双曲线方程为
，
所以
，则
的虚轴长为
．
故选：A
20．在锐角三角形PMN 中，
，
，垂足为Q，
，则点P 的轨迹为（
）
A．长轴长为2 的椭圆的一部分
B．长轴长为
的椭圆的一部分
C．实轴长为2 的双曲线的一部分
D．实轴长为
的双曲线的一部分
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设
，则
，由三角形为锐角三角形得到
，利用
,求出
，根据方程特征即可得到答案.
【详解】以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，MN 的中点为坐标原点，
建立平面直角坐标系，不妨令
，
，设
，则
，
因为
是锐角三角形，所以
，
则|
，
，
，
由
，得
，
整理得
，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为
，
故点P 的轨迹为实轴长为
的双曲线的一部分．
故选：D
21．（多选）已知双曲线
，
为
上四个动点，则四边形
的形状可能为
（ ）
A．菱形
B．等腰梯形
C．正方形
D．矩形
【答案】BD
【分析】根据特例可判断BD 正误，根据渐近线夹角可判断AC 正误.
【详解】不妨令
，
轴；当
时，四边形
为等腰梯形，
当
时，四边形
为矩形，故B，D 正确；
因为
为等轴双曲线，所以
两条渐近线之间的夹角为
，
故四边形
的对角线必不可能相互垂直，
故A，C 错误.
故选：BD.
06 等轴双曲线
22．（多选）已知双曲线
，则（ ）
A．
的取值范围为
B．双曲线
的焦点坐标为
C．当
时，双曲线
的两条渐近线的夹角为
D．当双曲线
为等轴双曲线时，
【答案】AD
【分析】根据双曲线的标准方程即可求解AB；根据双曲线的标准方程，求解渐近线即可判定C；根据等
轴双曲线的定义即可求解D.
【详解】选项A：令
，解得
，A 正确；
选项B：由于
，
，故该双曲线的焦点在
轴上，
而
，得
，所以焦点坐标为
，B 错误；
选项C：当
时，
的标准方程为
，易知渐近线方程为
．
若双曲线
的两条渐近线的夹角为
，则渐近线的斜率为
或
，C 错误；
选项D：当双曲线
为等轴双曲线时，
，解得
，D 正确．
故选：AD
23．等轴双曲线的一个焦点是
，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设方程为
，根据焦点坐标，可求得
，即可得答案.
【详解】设等轴双曲线方程为
，一个焦点是
，则
，则
.
故双曲线的标准方程是
.
故答案为：
.
24．已知曲线
：
是双曲线，曲线
：
是椭圆，其离心率分别是
和
，则
.
【答案】
【分析】可知
轴为曲线
的渐近线，进而可得
，设
，根据题意
整理可得
，结合椭圆定义可得
以及
，即可得结果.
【详解】对于曲线
：
，则
轴为其渐近线，即渐近线相互垂直，
可知该双曲线为等轴双曲线，可得
，
对于曲线
，设曲线
上的点
，
由于将
代入
中，方程不变，故曲线
关于
对称，
由于将
代入
中，方程不变，故曲线
关于
对称，
由此令
，代入到
中，
可得
，该椭圆焦点为
，
由于曲线
：
是椭圆可按
变换得到
，
故按此变换，由
，可取
，
可得
，解得
，
当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，
又因为
，
，
则
，
可知曲线
是以
为焦点的椭圆，则
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：1.根据双曲线渐近线的特征确定双曲线的离心率；
2.利用椭圆定义证明曲线
为椭圆，注意
的取值范围.
25．已知等轴双曲线C 的焦点在x 轴上，且实轴长为
.直线
与C 交于A，B 两点.
(1)求C 的方程；
(2)若点
为线段AB 的中点，求k 的值；
(3)若
，且A，B 两点都位于y 轴的右侧，求k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据等轴双曲线概念，结合条件构造方程组求出
即可；
（2）运用点差法求解即可；
（3）直曲联立，借助韦达定理和根的判别式即可.
【详解】（1）由题可设
，
因为实轴长为
，所以
，即
.
故C 的方程为
.
（2）设
，
则
两式相减得
，整理得
.
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
，
所以直线AB 的斜率
.
（3）由
可得
.
因为直线
与C 的右支交于不同的两点，所以
，
故
，即k 的取值范围为
.
07 双曲线的渐近线
26．已知双曲线C：
（
，
）的一条渐近线方程为
，则C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由题可得
，然后根据离心率公式计算即可.
【详解】由题设得
，所以
.
故选：B．
27．（多选）关于双曲线
的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y 轴上
B．虚轴长为16
C．渐近线方程为
D．离心率为
【答案】ACD
【分析】由
有
，逐项验证即可求解.
【详解】由
有
，所以双曲线的焦点在
轴上，故A 正确；
由
，所以虚轴长为
，故B 错误；
由
得
，故C 正确；由
，所以
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
28．（多选）已知
分别为双曲线
的左，右焦点，
为双曲线右支上一点且满足
，直线
与圆
（
）有公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．
C．的取值范围为
D．过
且与双曲线有一个公共点的直线有 条
【答案】BC
【分析】对于A 由双曲线的标准方程得
即可判断，对于B 设
，由
得
，又
即可解得
，利用数量积的坐标运算即可判断，对于C 先求直线
的方程，利用几何法即可判断，对于D 分直线的斜率存在和不存在讨论， 若直线的斜率存在，可设直线
方程为
，与双曲线方程联立由判别式即可判断.
【详解】对于A，双曲线标准方程为
.
，虚轴长
，故A 错误；
对于B，由题意可设
，
，
，由
可得
，两边平方可得
①
因点
在双曲线上，所以
②
联立①②可得
，解得
或
（舍去），
，
所以点
坐标为
和
.
. 故B 正确；
对于C，若
为
，则直线
的方程为
，即
，
故圆心
到直线
的距离
，故
.故C 正确；
对于D，若直线的斜率不存在， 显然满足题意；
若直线的斜率存在，可设直线方程为
，联立直线方程与双曲线方程，
消去
得
，
若
，
满足题意；若
，则当
时满足题意，解得
.
综上，过
且与双曲线有一个公共点的直线有4 条，故D 错误.
故选：BC.
08 双曲线的离心率
29．（多选）已知椭圆
，两个焦点分别为
，则（ ）
A．a 的取值范围为
B．椭圆C 与双曲线
有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若
，则C 的焦距为6
D．若
，则C 的离心率为
【答案】BCD
【分析】对于A 由题意有
解出即可判断，对于B 由已知解出
即可判断，对于C 由
，
计算即可判断，对于D 由
，计算，根据离心率公式即可判断.
【详解】对于A：由题意可
知，可得
，故A 错误；
对于B：由
，则
，虚轴长为2，故B 正确；
对于C：若
，则C 的焦距为
，故C 正确；
若
，则C 的离心率为
，故D 正确．
故选：BCD.
30．（多选）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过左焦点
的直线与双曲线
的左支
相交于
两点（
在第二象限），点
与
关于坐标原点对称，点
的坐标为
，则下列结论正
确的是（ ）
A．记直线
、
的斜率分别为
、
，则
B．若
，则
C．
的最小值为6
D．
的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，若直线与渐近线平行时，说明此时
即可判断；对于B，由题意
，
故只需验算
即可；对于C，由双曲线的几何形状判断即可；对于D，由题意
，结
合
即可判断.
【详解】由已知，
，若直线与渐近线平行时，
根据对称性不妨取直线方程为
，
联立
，得
，
设
，
，
，
由于
两点均在双曲线的左支上，所以
，
，
，
对于A：直线
、
的斜率分別为
、
，
则
，
均在双曲线上，
，所以
，
所以，
，A 错误.
对于B：由
知，
，
由对称性得，
，则四边形
为矩形，则
，
设
，
，则在
中，
由余弦定理得
，
即
，
即
，
，
则
，
则
，B 正确；
对于C，
，
当
，
，
三点共线时，
，
，则直线
，
联立
，解得
，即
与
矛盾，故C 错误；
对于D，
，
又
，所以，
结合，
得，
的取值范围是
，故D 正确.
故选：BD.
31．已知双曲线
上存在点
，使得直线PA，PB（点A，B 为双曲线的左、右顶
点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设点
的坐标，根据点
在双曲线上，结合点
，
的坐标得到直线PA，PB 的斜率之积，利用
基本不等式得到
，从而得到双曲线离心率的取值范围．
【详解】设点
，其中
，易知点
，且有
，
则
.
因为
，所以
在第一或第三象限，由双曲线的对称性，
不妨令点
在第一象限，则
，
则
，且
，
由基本不等式可得
，
所以存在点
，使得直线PA，PB 的斜率之和为
，
即
，所以
．
故答案为：
．
32．已知双曲线
的离心率为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)设斜率为
且不经过点
的直线交
于
两点，记直线
的斜率分别为
，
，若
，
证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得
，即可求解；
（2）设直线的方程为
，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得
，即可判断定点.
【详解】（1）因为点
在双曲线
上，所以
，
由离心率为
可得
，解得
，
所以
的方程为
．
（2）如图，设直线的方程为
，
，
联立
得
，
由题意可得
，且
，
化简得
，
由韦达定理得
．
因为
，
所以
，
整理得
，
即
，
化简得
，因为直线不经过点
，所以
，
此处需要排除当直线经过点
时满足的参数关系．
所以
，即
，满足
，
所以直线的方程为
，即直线过定点
．
09 双曲线的应用
33．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材
料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离
心率为
的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表
面计算）的上底直径为
，下底直径为
，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高
为（ ）
A．
B．18cm
C．
D．
【答案】D
【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点
为原点，建立平面直角坐标系，
设A 与
分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为
，
由双曲线的离心率为
，得
，则
，
由喉部（中间最细处）的直径为
，得
，
所以双曲线的方程为
，设点
，
由
，得
，所以该塔筒的高为
.
故选：D
34．如图所示，双曲线
，又
，已知
，
，若由
射至
的光线被双曲
线
反射，反射光通过
，则
．
【答案】
【分析】利用双曲线的光学性质，反射后的光线反向延长线经过另一个焦点，从而确定反射光线的路径，
进而求出
的值.
【详解】
入射线
反射后得到的光线
的反向延长线定过双曲线的另一个焦点
，
．
故答案为：
35．舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°方向，且与B 相距4 km，它们准备围捕某海洋动
物．在某时刻A 发现动物信号，4 s 后，B，C 同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传
播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置．
【答案】海洋动物的位置在舰A 的北偏东30°方向，且离舰A 的距离为10 km．
【分析】根据题意，取AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系，
得A，B，C 三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2
)，且点P 在线段BC 的垂直平分线上，由于
A，B 两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6，于是点P 在双曲线
的右支上，联
立方程即可求解.
【详解】解 取AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系，
易知A，B，C 三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2
)，
设动物所在位置为点P 处，连接PB，PC．由于B，C 同时发现动物信号，因此|PB|＝|PC|，
于是点P 在线段BC 的垂直平分线上，
线段BC 的垂直平分线PD 的方程为x－
y＋7＝0，
连接PA，由于A，B 两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6，
于是点P 在双曲线
的右支上，
解方程组
得直线x－
y＋7＝0 与双曲线右支的交点P(8，5
)，所以|AP|＝10，∠PAx＝60°．
因此，海洋动物的位置在舰A 的北偏东30°方向，且离舰A 的距离为10 km．
36．如图，某苗圃有两个入口
、
，
，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗
放在苗圃外的
处，已知
，
，以
所在直线为
轴，
中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至
处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将
处树苗运送到苗圃内点
处时，发现从两个入口
、
运输的最近距离相等，求出的点
所有
可能的位置．
【答案】(1)经过
入口运送较近，理由见解析
(2)点
所有可能的位置是
在苗圃内所对应的点．
【分析】
由题意可得
，
的坐标，计算
，
，比较
与
即可求解的结论；
设点
，由
，可得
，可得点
所有可能的位置是以
、
为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出
，
的值即可得出双曲线方程，从而可得结论．
【详解】（1）由题意可得
，
，
，
，
，
经过
口时最短距离：
，
经过
口时最短距离：
．
因为
,
所以经过
入口运送较近．
（2）设点
，已知
，可得
所以点
所有可能的位置是以
、
为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则
，即
，又因为
，
，
所以点
所有可能的位置是
在苗圃内所对应的点．
37．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点
，
，它们距离城市中心
的距离均为
，
是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心
的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建
设，规划中的道路
如图所示，道路MN 段上的任意一点到景点
的距离比到景点
的距离都多
4km，其中道路起点
到东西方向主干道的距离为6km，线路NP 段上的任意一点到
的距离都相等，以
为原点、线段AB 所在直线为
轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路
的曲线方程；
(2)现要在
上建一站点
，使得
到景点
的距离最近，问如何设置站点
的位置?（即确定点
的坐标）
【答案】(1)
：
，
:
(2)
【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路
所在的曲线是以定点
为左右焦点的双曲线的右
支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路
所在的曲线为以
为圆心，
为半径的圆，求得
此圆的方程，即可得到答案；
（2）根据题意，分点
在线路
与线路
上两种情况讨论，分别求得
的最小值，比较大小，得出
最小值，以及点
的坐标.
【详解】（1）根据题意，线路
段上的任意一点到景点
的距离比到景点
的距离都多
，
则线路
所在的曲线是以定点
为左右焦点的双曲线的右支上，
且
，所以
，
所以方程为
，
又
点纵坐标为6，代入方程可得M 点横坐标为
，
所以道路
所在的曲线方程为
，
又由线路
段上的任意一点到
的距离都相等，则线路
所在的曲线为
以
为圆心，
为半径的圆，其方程为
，
故道路
曲线方程为
段：为
，
段：
.
（2）当
点在线路
上，设
，
又由
，则
，
由（1）可得
，则
，
可得当
时，
有最小值，且
，
当
点在线路
上，设
，
又由
，则
，
由（1）可得
，则
，
可得当
时，
有最小值，且
，
因为
，所以
有最小值为
，此时
，则
，
则点
的坐标为
，此时
到
的距离最小.
1．已知椭圆
的短轴长为4，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2 或4
【答案】B
【分析】根据题意，分焦点在
轴与
轴两种情况进行求解.
【详解】由
的短轴长为4，得
，即
，则
．
若
，则
，显然矛盾；
若
，则
．
故选：B.
2．
2024 年10 月22 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号
、
、
卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平
三号
卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3 万千米，卫星运动
至近地点距离地球表面高度约1.35 万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35 万千米，则天平三号
卫星运行的轨迹方程可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可得
，
，进而可求
，即可得椭圆方程.
【详解】由题意知，
卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题可知，
，即
．
因为天平三号
卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35 万千米，地球半径约为0.65 万千米，
所以
，可得
，
因此
，结合选项可知A 满足．
故选：A.
3．（多选）在平面直角坐标系
中，过抛物线
的焦点
的直线与抛物线交于
两点，
直线
分别交抛物线的准线于
两点，则下列说法正确的有（ ）
A．
轴
B．
C．以
为直径的圆与抛物线的准线恒相交
D．
面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】由题意设直线
，
，联立方程写出韦达定理：
．求出点
，即可判断A；同法求得点
，由向量数量积为0
即可判断B；由抛物线的焦半径公式和梯形中位线定理可得以AB 为直径的圆与抛物线的准线恒相切判断
C；先计算
，计算并化简
，即可判断D.
【详解】如图，由题意可知，抛物线的焦点为
，准线为
，
显然直线AB 的斜率可以不存在，但不为0，此时直线AB 与抛物线必相交于两点，
设直线
设
，
，联立方程
消去
可得
，可得
．
对于A，直线
，令
，可得
，
即
，所以
轴，A 正确；
对于B，由A 项同理可得
则
轴，则
，
可得
，所以
，B 正确；
对于C，由上述分析可知
，由梯形中位线可知，
以AB 为直径的圆的圆心到准线的距离为
，
即圆心到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线恒相切，C 错误；
对于D，因为
，
所以
的面积
，
当且仅当
时，等号成立，此时直线
与
轴垂直，故
面积的最小值为
，D 正确.
故选：ABD.
4．已知A，B 为双曲线
上的两点，且A，B 关于直线
对称，则线段AB 中点的坐
标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设线段AB 的中点为
，利用点差法即可得到直线OM 的方程，再与直线联立即可
得到中点坐标.
【详解】由题意可知直线
的斜率
，可知直线AB 的斜率
．
设
，线段AB 的中点为
，则
，
可得
，
．
因为A，B 为双曲线
上的两点，
所以
，两式相减整理得
，
即
，解得
，所以直线
，
因为线段AB 的中点在直线上，又在直线OM 上，故两直线交点即为中点
联立得
，
解得
，可知线段AB 中点的坐标为
．
故答案为：
.
5．
古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为
圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB 为底面圆的直径，
为PB 的中点，某同学用平行于母线PA 且过点
的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高
，底面半径
，则该抛物线的焦点到
准线的距离为 ．
【答案】
【分析】先利用中位线计算
，结合对称性判断抛物线以
为对称轴，焦点在
上，再以顶点
为原点建立坐标系，设抛物线标准方程
，根据点在抛物线上求得参数p 即得结果.
【详解】因为
为底面圆的直径，，
，
，所以
，则
，
所以
，则
都是等腰直角三角形.
因为M 是PB 的中点，O 是AB 的中点，则
，
，
截圆锥平面平行于母线PA 且过母线PB 中点M，故O 在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为
，焦点在
上，
建立以M 为原点，
为x 轴，过M 点的垂线为y 轴，
设抛物线与底面交点为E，则
，
设抛物线为
，则
，解得
，
即该抛物线焦点
到准线
的距离为p，即为
.
故答案为：
6．已知双曲线
的实轴长为
，且过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)过双曲线
的右焦点
作斜率为1 的直线l，l 与双曲线
交于A，B 两点，求｜AB｜；
(3)若
是坐标原点，M，N 是双曲线
上不同的两点，且直线MN 的斜率为2，线段MN 的中点为
，求直
线OP 的斜率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得
，则
．将点
的坐标代入
，求出
即可；
（2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为
，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，
弦长公式求解即可；
（3）用点差法，设
，
，则
两式相减后整理得即
，即
，即可求出直线OP 的斜率.
【详解】（1）根据题意可得
，则
．
将点
的坐标代入
，得
，解得
，故双曲线
的方程为
．
（2）由（1）得
，即
，则
，则直线的方程为
．
设
，由
得
，
，
所以
．
（3）设
，
则
两式相减得
．
设
，则
所以
，
即
，所以
，即
，
所以直线OP 的斜率
．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得
，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；
故选：D.
2．（2004·北京·高考真题）双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.
【详解】双曲线
的渐近线方程为
.
故选：A.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作
平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出
，结合双曲线第一定义求出
，即可得到
的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
得
，即
，故
，
，
又
，得
，解得
，代入
得
，
故
，即
，所以
.
故答案为：
4．（上海·高考真题）双曲线
的渐近线方程为
【答案】
【分析】令双曲线
右边为
，再求解关于
与
的关系式，从而得到渐近线方程.
【详解】
故答案为：
.
5．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若以
为斜率的直线与双曲线
相交于两个不同的点M，N，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴
围成的三角形的面积为
，求k 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
的取值范围是
【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线
的方程．
（2）设出直线的方程，代入双曲线
的方程，利用判别式及根与系数的关系求出
的中点坐标，从而
得到线段
的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式
大于0，求得
的取值范围．
【详解】（1）解：设双曲线
的方程为
．
由题设得
，解得
，所以双曲线方程为
．
（2）解：设直线的方程为
．
点
，
，
，
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是
，且△
．
整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
，
满足
，
．
从而线段
的垂直平分线方程为
．
此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
．
由题设可得
．
整理得
，
．
将上式代入③式得
，整理得
，
．
解得
或
．
所以
的取值范围是
．
6．（重庆·高考真题）如图，
和
是平面上的两点，动点P 满足：
．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)若
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
，
，
，
【分析】由已知，可根据椭圆的定义，判断点P 的轨迹为椭圆，设出椭圆方程，利用待定系数法，分别求
解出
即可；
由已知，由
可得：
，将这个式子代入到
中，利用余弦定理得到
中，可得：
，从而判断点P 的轨迹满足双曲线，求解出双曲线的方程，令椭圆和双曲线方程联立，
即可求解坐标.
【详解】（1）由已知，
和
是平面上的两点，
动点P 满足：
，
所以由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以
和
为焦点，长轴为
的椭圆，
设椭圆方程为：
，
由已知可得：半焦距
，长半轴
，所以
，
所以点P 的轨迹方程为：
.
（2）由
，得
，①
又因为
，所以点P 不为椭圆长轴的顶点，
故点P、点M、点N 三点组成三角形，
在
中，
，
，
由余弦定理可知：
，②
将①代入②得：
，
所以
，即
，
故点P 的轨迹是以
和
为焦点，实轴为
的双曲线，
设双曲线方程为：
，
由已知可得：
，
，
所以点P 的轨迹方程为：
.
又因为点P 又满足椭圆方程：
，
所以由方程组：
解得：
，
所以点P 的坐标为：
，
，
，
.
