文档文本内容
第06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 条件概率
题型02 相互独立事件的判断
题型03 相互独立事件的概率
题型04 全概率公式及其应用
题型05 贝叶斯公式及其应用
题型06 全概率公式与贝叶斯公式综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 条件概率
1．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解
到其中有
的人喜欢吃肠旺面，有
的人喜欢吃丝娃娃，还有
的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃
娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设“喜欢吃肠旺面”为事件
，“喜欢吃丝娃娃”为事件
，由条件求得
，然后由条件概
率的公式求得答案．
【详解】设“喜欢吃肠旺面”为事件
，“喜欢吃丝娃娃”为事件
，则
，
则“喜欢吃肠旺面或丝娃娃”为事件
，“既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃”为事件
，
由题意知，
，
从而
，
因此由条件概率的公式得
．
故选：B．
2．盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色
后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】记事件
两人取出的球颜色相同，事件
两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得
的值.
【详解】记事件
两人取出的球颜色相同，事件
两人取出的球同为蓝色，则
，
则
，
，
由条件概率公式可得
，
故选：C.
3．已知事件
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】计算出
，根据概率的基本性质得到
，从而求出
，
，利用条件
概率求出答案.
【详解】由题意得
，故
，
，
又
，故
，解得
，
所以
，
故
，
由条件概率公式得
.
故选：B
4．设A，B 是一个随机试验中的两个零件，若
，
，
，则
.
【答案】
【分析】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解.
【详解】由
，有
，
又由
，有
，
可得
.
故答案为：
5．从1，2，3，4，5 中任取2 个不同的数，事件A：“取到的2 个数之和为偶数”，事件B：“取到的2
个数均为偶数”，则
.
【答案】
/0.25
【分析】根据条件概率计算公式
求解即可.
【详解】事件A：“取到的2 个数之和为偶数”，则事件A 包含的基本事件个数为
，
又事件B：“取到的2 个数均为偶数”，则事件A 与事件B 同时发生包含的基本事件个数为
，
所以
.
故答案为：
02 相互独立事件的判断
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件
“两次掷出的点数之和是6”，事件
“两次掷出的点数相同”，
事件
“第一次掷出的点数是偶数”，则（ ）
A．
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】C
【分析】根据古典概型的概率计算公式和相互独立的公式即可求解.
【详解】对A：掷两次骰子，基本事件有
个，事件
“两次掷出的点数之和是6”包含：
，
，
，
，
共5 个基本事件，所以
，故A 错误；
对B：事件
都包含基本事件有：
，
，
，
，
，
共6 个，所以
；事件
包含的基本事件有：
，所以
,
因为
，故
与
不相互独立，故B 错误；
对C：事件
：“第一次掷出的点数是偶数”，所以
,事件
包含的基本事件有：
，
，
，所以
，因为
，所以事件
，
相互独立，故C
正确；
对D：因为事件
包含：
，
共2 个基本事件，所以
，因为
，故事件
与
不相互独立，故D 错误.
故选：C
7．一口袋中有3 个红球和3 个白球，从中不放回地取出
个，设事件
：取出的
个球既有红球又有白
球，事件
：取出的
个球最多有一个红球，则（ ）
A．当
时事件
与事件
相互独立，当
时事件
与事件
相互独立
B．当
时事件
与事件
不相互独立，当
时事件
与事件
相互独立
C．当
时事件
与事件
相互独立，当
时事件
与事件
不相互独立
D．当
时事件
与事件
不相互独立，当
时事件
与事件
不相互独立
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得
和
时，事件
对应的概率
，结合
和
的关系，即可得到答案.
【详解】当
时，
，
则
，所以当
2 时，事件
与事件
不相互独立；
当
时，
，
则
，所以当
时，事件
与事件
相互独立.
故选：B.
8．数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件
“两次掷出的点数之和是6”，事件
“第一次掷出的点数是奇数”，事件
“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．
B．A 与
相互独立
C．
与
相互独立
D．A 与
相互独立
【答案】C
【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6 的情况可为
，
由乘法公式可得所以可能情况为
种，所以
，故选项A 错误；
对于选项B：
，
，
，
，故选项B 错误；
对于选项C：
，
，
，
所以
，所以
与
相互独立，故选项C 正确；
对于选项D：
，
，
，
故选项D 错误.
故选：C.
9．连续抛掷一枚硬币两次，事件
表示“第一次硬币正面朝上”，事件
表示“第二次硬币反面朝上”，
事件
表示“两次硬币都正面朝上”，事件
表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ）
A．
与
相互独立
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相
互独立
【答案】BD
【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得.
【详解】
，
，
，
，
对A：
，
，
故
与
不相互独立，故A 错误；
对B：
，
，有
，
故
与
相互独立，故B 正确；
对C：
， 故
与
不相互独立，故C 错误；
对D：
，
，有
，’
故
与
相互独立，故D 正确；
故选：BD.
10．（多选）甲、乙、丙、丁4 人报名参加周末公益活动，有
，3 个单位需要招志愿者，每个单位
各招1 人，设事件
“
单位招到甲或乙”，事件
“
单位招到甲或丙”，事件
“
单位招到丙
或丁”，事件
“
单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件
相互独立
B．事件
相互独立
C．事件
相互独立
D．事件
相互独立
【答案】BCD
【分析】根据独立事件的概率公式验证即可.
【详解】
，
两个单位招志愿者的不同选法种数为
，
因为事件
所包含的基本事件为（
招甲、
招丙），（
招乙、
招甲），（
招乙、
招丙），
共3 个，
所以
，因为
，所以
为独立事件，故A 项正确；
，同理得
，故B 项错误；
，同理得
，故C 项错误；
因为
为对立事件，所以
，故D 项错误.
故选：BCD
11．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4 的4 个球，除标号外没有其他差异.
(1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率；
(2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件
“第一次摸出球的标号小于3”，事
件
“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件
与事件
是否相互独立.
【答案】(1)
；
(2)事件
与事件
不独立.
【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，
结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件
与事件
所包含基本事件的个数，以及
，利用古典摡型的概率计算公式，结合
，即可得到答案.
【详解】（1）解：记事件
：摸出两球标号互质，
由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为
，共6 个样本点，
其中事件
，共5 个样本点，故
，
所以，摸出两球标号互质的概率为
.
（2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为：
，共12 个样本点，
其中第一次摸出球的标号小于，可得
，
第二次摸出球的标号小于，可得
，
所以
，则
，
，
所以
，所以事件
与事件
不独立.
12．一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，其中有2 个红色球（标号为1 和2），2 个黑色球（标号为3
和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2 个球．设事件
“摸到的2 个球颜色不相
同”，事件
“摸到的2 个球的数字之和大于5”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求
，
；
(2)求
，并说明事件
与
是否相互独立．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，事件
与事件
不独立．
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式即可求得结果；
（2）利用独立事件定义可得
，即可得出结论.
【详解】（1）试验的样本空间为
，
，共12 个基本事件，
而事件
包含的基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，共包含8 个基本事
件，
则可得
，
事件
包含的基本事件有
，
，
，
，共4 个基本事件；
则
．
（2）因为事件
与
同时发生的基本事件有
，
，
所以
．
又因为
，可得
，
所以事件
与事件
不独立．
13．一个袋子中有大小和质地相同的3 个球，其中有2 个黑色球（标号为1 和2），一个白色球（标号为
3），从袋中有放回地依次随机摸出2 个球．设事件
“第一次摸到白色球”，事件
“两次摸到的球
颜色不同”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求
；
(2)求
，并说明事件
与
是否相互独立．
【答案】(1)
，
，
；
(2)
，事件
与事件
不独立．
【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间，由此结合古典概型概率计算公式即可求解；
（2）首先由古典概型概率计算公式求得
，然后验证
是否相等即可.
【详解】（1）试验的样本空间
，共9 个基本事
件，
而事件
包含的基本事件有
，则
，
事件
包含的基本事件有
，
，所以
．
（2）因为事件
与
同时发生的基本事件有
，所以
，
又因为
，
所以事件
与事件
不独立．
14．袋中装有大小完全相同的3 个红球，2 个蓝球，其中有2 个红球和1 个蓝球上面标记了数字1，其他球
标记了数字2．
(1)每次有放回地任取1 个小球，连续取两次，求取出的2 个球恰有1 个红球且两球的数字和为3 的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2 个小球，每次取1 个，记事件
{第一次取到的是红球}，事件
{第二次取到
了标记数字1 的球}，求
，
，并判断事件A 与事件B 是否相互独立．
【答案】(1)
(2)
，
，事件A 与事件B 不相互独立
【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1 蓝2 或者红2 蓝1 的概率和抽到的是蓝2 红1 或者蓝1 红2 的
概率，然后相加即可；
（2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1 的球”的概率，然后通过判断
是否成立来判断相互独立性.
【详解】（1）记事件C“取出的2 个球恰有1 个红球且两球的数字和为3”
事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1 蓝2 或者红2 蓝1 的
概率：
，
事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2
红1 或者蓝1 红2 的概率
，
则所求的概率为
（2）记3 个红球分别为
，
，
其中
，
表示红球标数字1，
表示红球标数字2，记2 个蓝球分别为
，
其中
表示蓝球标数字1，
表示蓝球标数字2
则从袋中不放回地依次取2 个小球，每次取1 个共有20 个结果的样本空间
其中事件
共12 结果；
其中事件
共12 个结果；
其中事件
共7 个结果，
“第一次取到的是红球”的概率
，
“第二次取到了标记数字1 的球”即取到的是数字2，1 或者1，1 概率
，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1 的球”即抽到的为红1 数字1 或者红2 数字1，
概率
．
因为
成立，所以事件A 与事件B 不相互独立
15．已知一个袋子中有4 个红球（标号为1，2，3，4）、2 个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地
都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用
表示第一次
摸到号球，第二次摸到
号球，样本空间
．记事件
：恰有一次摸到红球；事
件
：至少有一次摸到红球；事件
：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件
相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件
的概率
；
(2)判断事件
与事件
的是否为相互独立？并说明理由．
【答案】(1)样本空间见解析；
(2)相互独立；理由见解析
【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2 个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的
基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件
和事件
的概率，由
，得到事件
与事件
相互独立.
【详解】（1）根据题意，不放回地摸出2 个球有
种不同的摸法，
其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为
，共有16 种情况，
所以事件
的概率为
.
（2）根据题意，不放回地摸出2 个球有
种不同的摸法，
其中至少有一次摸到红球，有
，共有28 种情况，所以
，
第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有
，共有15 种情况，
所以
,
又由事件
中所包含的基本事件空间为
，共有14 种情况，可得
，
所以
，所以事件
与事件
相互独立.
03 相互独立事件的概率
16．已知甲、乙两位射箭运动员射中10 环的概率均为
，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射
箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10 环的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【详解】记“甲射中10 环”为事件
，“乙射中10 环”为事件
，
，
甲、乙两人中至少有一人射中10 环的概率为：
.
故选：D．
17．已知事件
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．A 与
互为对立事件
B．若
，则
C．若A 与
互斥，则
D．若A 与
相互独立，则
【答案】B
【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概念计算判断即可.
【详解】对A，由
，但并未表明事件
是否为互斥事件，所以无法判断A 与
互为对立
事件，故错误；
对B，若
，则
，故正确；
对C，若A 与
互斥，则
，故错误；
对D，若A 与
相互独立，则
，故错误.
故选：B
18．甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1 次，乙再抛1 次，看作1 次操作，然后重复上面的操作．
若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛
掷骰子，则4 次操作后停止抛掷骰子的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3 的概率，结合独立事件和对立的事件的概率公
式可求4 次操作后停止抛掷骰子的概率.
【详解】每次操作共有
种结果，其中甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3 的结果有：
，
，
，
，
，
，共有6 种，
所以每次操作无效的概率为
，
若4 次操作后停止抛掷骰子，则第2 次不是无效操作，第3 次与第4 次是无效操作，
所以所求概率为
．
故答案为：
.
19．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面
试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲乙两名学生通过考核进入面
､
试环节，他们答对第一题的概率分别是
，答对第二题的概率分别是
，则甲乙两人中至少有一人
､
通过面试的概率是 .
【答案】
【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式及对立事件的概率公式得解.
【详解】由题意，甲没有通过面试的概率
，
乙没有通过面试的概率
，
所以甲、乙都没有通过面试的概率为
，
所以甲乙两人中至少有一人通过面试的概率是
､
.
故答案为：
20．已知随机事件
与
对立，
与
相互独立，若
，则
.
【答案】0.18/
【分析】根据对立事件的概率公式求出
，根据独立事件的概率公式求出
．
【详解】因为
与
对立，所以
，
又
与
相互独立，所以
．
故答案为：0.18．
21．某班举办联欢会，甲、乙两名同学组队参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成
语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则
甲、乙二人在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ．
【答案】
/0.95
【分析】方法一、根据题意，设事件
“甲猜对”，
“乙猜对”，
“甲、乙二人至少猜对一个成
语”，则
，根据独立事件乘法公式求解即可；方法二、利用对立事件求解.
【详解】方法一、设事件
“甲猜对”，
“乙猜对”，
“甲、乙二人至少猜对一个成语”，
所以
，则
．
由题意知，事件A，B 相互独立，
则
．
方法二、事件
的对立事件
“甲、乙二人一个成语也没有猜对”，即
，
则
．
故答案为：
22．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相
互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
【答案】
/
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可.
【详解】记端午假期甲地降雨为事件
，乙地降雨为事件
，
由题知，
，且
相互独立，所以
相互独立，
所以两地都不降雨的概率为
.
故答案为：
04 全概率公式及其应用
23．设某医院仓库中有10 盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3 盒、2 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生
产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为
，现从这10 盒中任取一盒，再从这盒
中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）
A．0.08
B．0.1
C．0.15
D．0.2
【答案】A
【分析】以
分别表示取得的这盒
光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
表示取得的
光片为次
品，求得
，由全概率公式可得答案.
【详解】以
分别表示取得的这盒
光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
表示取得的
光片为次
品，
，
，
由全概率公式
.
所求概率为
，
故选：A.
24．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，
并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍，现任取一零件，则它是废品的概率为（ ）
A．0.21
B．0.05
C．0.94
D．0.95
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算.
【详解】记
表示第台加工的零件，
表示任取一件为废品，
则
,
所以任取一零件，它是废品的概率
.
故选：B
25．运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自
由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没
有获得奖牌的概率为（ ）
A．0.47
B．0.49
C．0.51
D．0.53
【答案】D
【分析】利用全概率公式及条件概率进行求解.
【详解】设
表示“甲使用自由泳参加比赛”，
表示“甲使用蛙泳参加比赛”，
表示“甲使用仰泳参
加比赛”，
表示“甲没有获得奖牌”，则
.
故选：D
26．已知某次数学测试卷中有8 道4 选1 的单选题，某学生能完整做对其中6 道题，在剩下的2 道题中，
有1 道题有思路，还有1 道完全没有思路，有思路的题做对的概率为
，没有思路的题只好从4 个选项中
随机选一个答案.小明从这8 题中任选1 题，则他做对的概率为 .
【答案】
/0.875
【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.
【详解】设小明从这8 题中任选1 题，且作对为事件A，选到能完整做对的6 道题为事件B，
选到有思路的1 道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则
，
，
，
由全概率公式可得：
.
故答案为：
.
27．某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20 个盲盒，其中有5 个盲盒内有奖品．抽奖者甲先
拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个
盲盒打开，记甲中奖的概率为
，则
．
【答案】
【分析】先计算甲第一次拿的盲盒有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，再计算甲第一次拿的盲盒
没有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，然后根据全概率公式即可求得结果.
【详解】设
表示甲第一次拿的盲盒有奖，
表示甲第一次拿的盲盒无奖，
表示甲最终中奖.
因为共有20 个盲盒，其中5 个盲盒有奖，
所以
，
.
若
发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19 个盲盒，其中4 个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则
；
若
发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19 个盲盒，其中5 个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则
；
根据全概率公式得：
.
故答案为：
.
28．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这
两者是否有关.若从该班级中随机抽取1 名学生，设
“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，
“抽取的学生建立了个性化错题本”，且
，
，
.求
和
.
【答案】
，
【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】根据条件概率计算出结果
因为
，
，
所以
，
，
由于
，
解得
，
所以
.
，
解得
.
29．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5 个白球和3 个黑球，乙箱中有4 个白球和3
个黑球．
(1)若从甲箱中任取2 个小球，求这2 个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2 个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1 个小球，求从乙箱中取出的球是白球的
概率．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）先求出从甲箱中任取2 个小球的事件数，再求出这2 个小球同色的事件数即可得出；
（2）先求出从从甲箱中取出的2 个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.
【详解】（1）从甲箱中任取2 个小球的事件数为
，
这2 个小球同色的事件数为
，
所以这2 个小球同色的概率为
．
（2）设事件A 为“从乙箱中任取1 个小球，取出的这个小球是白球”，
事件
为“从甲箱中取出的2 个小球都是白球”，
事件
为“从甲箱中取出的2 个小球为1 个白球1 个黑球”，
事件
为“从甲箱中取出的2 个小球都是黑球”，
则事件
，
，
彼此互斥．
，
，
，
，
，
，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为
．
05 贝叶斯公式及其应用
30．某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品
率分别是
．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用
，
，
分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解
即可；
（2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）用
，
，
分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以
表示事件取到的产品为次品，则
，
，
，
，
，
，
由全概率公式，得
.
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是乙厂生产的概率为
.
31．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一
类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占
，那么：
(1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？
(2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？
【答案】(1)0.26
(2)
【分析】（1）设事件
表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件
表示“易出事故的人”，事件
表示“比较谨慎的人”，利用全概率公式即可求解；
（2）利用贝叶斯公式即可求解.
【详解】（1）设事件
表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件
表示“易出事故的人”，事件
表示“比较谨慎的人”，
则
，
所以
．
（2）所以
．
32．已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的
，
.已
知三人生产产品的次品率分别为
.
(1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10 件产品，再从这10 件产品中不放回地任取两件进行检测，记
事件
“第一次取出的产品是乙生产的”，
“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求
；
(2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解；
（2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解.
【详解】（1）抽出的10 件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4 和3 件，
事件
“第一次取出的产品是乙生产的”，
“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，
所以
；
（2）分别记事件A、B、C 表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件
：抽取的一个零件为次
品，
由题意可得
，
，
由全概率公式可得
，
所以
，
即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为
.
33．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三个厂的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三
个厂供应的产品数之比为2：3：5，将三个厂的产品混合在一起现取到一件产品为正品，问它是由甲、
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
【答案】这件产品由丙厂生产的可能性最大
【分析】设事件A 表示“取到的产品为正品”，事件
，
，
分别表示“产品由甲、乙、丙厂生
产”， 由全概率公式和贝叶斯公式得解.
【详解】解：设事件A 表示“取到的产品为正品”，事件
，
，
分别表示“产品由甲、乙、丙厂生
产”．
由题意知
，
，
，
，
，
．
由全概率公式得
．
由贝叶斯公式得
，
，
．
所以这件产品由丙厂生产的可能性最大．
34．某品牌汽车厂今年计划生产10 万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生
产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本
为500 元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600 元/件和800 元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使
用配件M 的平均成本控制为640 元/件．
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的
配件M 是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000 元，若维修
费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分
别为多少？
【答案】(1)需要从甲厂订购配件M 的数量为5 万个；从乙厂订购配件M 的数量为3 万个
(2)0.028
(3)甲厂应承担的费用为
元，乙厂应承担的费用为
元，本厂应承担的费用为
元
【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M 的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进
而求出数量；
（2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可；
（3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用.
【详解】（1）设使用甲厂生产的配件M 的比例为a，则使用乙厂生产的配件M 的比例为0.8-a，
由已知可得
，解得a＝0.5．
所以需要从甲厂订购配件M 的数量为10 0.5＝5 万个；
从乙厂订购配件M 的数量为
＝3 万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M 的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率为0.028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件
”，
“配件M 来自甲厂”，
“配件M 来自乙厂”，
“配件M 来自本厂”．由（2）可知
．
该次品配件M 来自甲厂的概率为：
，
该次品配件M 来自乙厂的概率为：
，
该次品配件M 来自本厂的概率为：
，
所以甲厂应承担的费用为
元，
乙厂应承担的费用为
元，
本厂应承担的费用为
元．
35．临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者
占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果
该市癌症患者数约占居民总数的4‰，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；
(2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用贝叶斯公式求解.
【详解】（1）解：设事件
是试验结果是阳性反应，事件
是被检查者患有癌症，
则
，
，
，
，
，
，
由贝叶斯公式得
.
（2）
.
06 全概率公式与贝叶斯公式综合
36．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一
棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位
置
第一棒
第二棒
第三棒
第四棒
出场率
0.2
0.3
0.3
0.2
比赛胜
率
0.6
0.8
0.7
0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率.
【答案】(1)0.71
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件
，“甲跑第二棒”为事件
，“甲跑第三棒”为事件
，
“甲跑第四棒”为事件
，“运动队获胜”为事件
.
则
.
（2）
.
37．采购员要购买10 个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3 个，如果这3 个元件都是
好的，他才买下这一包．假定含有4 个次品的包数占
，而其余包中各含1 个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4 个次品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
“取到的一包含4 个次品”，
“取到的一包含1 个次品”，
“采购员拒绝购
买”，求出
，
，
，
，根据全概率公式求出
；
（2）求出
.
【详解】（1）设
“取到的一包含4 个次品”，
“取到的一包含1 个次品”，
“采购员拒绝购
买”，
，
，
，
，
由全概率公式得到
．
（2）
.
38．设甲袋中有4 个白球和2 个红球，乙袋中有2 个白球和2 个红球．
(1)现从甲袋中任取2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取2 个球．求从乙袋中取出的是2 个红球的概率；
(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2 个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球
是白球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可.
【详解】（1）记事件
：从甲袋中取出2 个红球，
：从甲袋中取出2 个白球，
：从甲袋中取出1 个
白球和1 个红球，B：从乙袋中取出2 个红球．
显然，
，
，
两两互斥，且
正好为“从甲袋中任取2 个球”的样本空间
．
由全概率公式，得
．
答：从乙袋中取出的是2 个红球的概率为
．
（2）设“取出的是甲袋”为事件
，“取出的是乙袋”为事件
，“第一次取出的球是红球”为事件
B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则
，
，
，
故
，
所以
答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为
．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是识别全概率公式运用的条件.
39．一个袋子中有10 个大小相同的球，其中黄球6 个，红球4 个，每次从袋中随机摸出1 个球，摸出的球
不再放回.
(1)求第2 次摸到红球的概率；
(2)对于事件
，当
时，证明：
；
(3)利用（2）中的结论，求第
次都摸到红球的概率.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”
，则第2 次摸到红球的事件为
，
由题意可得，
，
所以
；
（2）因为
，
所以
，得证；
（3）由题意可知，
，
由（2）中结论
，
可得
.
40．假设有两箱零件，第一箱内装有
件，其中有
件次品；第二箱内装有
件，其中有件次品.现从两
箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1 个零件.
(1)求取出的零件是次品的概率；
(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可得解；
（2）根据条件概率公式可得解.
【详解】（1）设事件
“从第箱中取一个零件”
，
事件
“取出的零件是次品”，
则
，且
互斥，
则
，
，
所以
，
，
所以
，
所以取出的零件是次品的概率为
；
（2）取出的是次品是从第一箱取出的概率
，
所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为
.
41．在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为
的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并
将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个
箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空
的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择
打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖
人第一次选择了1 号箱.
(1)求主持人打开的空箱子是3 号箱的概率；
(2)若主持人打开的空箱子是3 号箱，请问抽奖人是坚持选择1 号箱，还是改选2 号箱？请你给出建议，并
说明理由.
【答案】(1)
(2)建议抽奖人改选2 号箱,理由见解析
【分析】（1）设
“奖品在第号箱子里”
，2，
，
“主持人打开3 号箱”，由全概率公
式有
，然后结合题意即可求解；
（2）利用条件概率求出
，
即可得解．
【详解】（1）设
“奖品在第号箱子里”
，2，
，
“主持人打开3 号箱”，
由全概率公式，得
；
（2）因为
，
，
所以
，
即建议抽奖人改选2 号箱．
1．
（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B 发生的概率分别为
，且
则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断.
【详解】若
，则
，
若
，则
不一定成立，则
不一定成立，
如
，
时，
，满足
，但不满足
，
若
，则
，故
，即
，
所以
是
的必要不充分条件，
故选：B.
2．（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）已知事件
，且
，则（ ）
A．事件
与事件
互为对立事件
B．若事件
与事件
互斥，则
C．若事件
与事件
互斥，则
D．若
，则事件
与事件
相互独立
【答案】BD
【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可.
【详解】对于A,由于对立事件概率和为1，但
，A 错误，
对于B、C,由事件
与事件
互斥，
，
,
所以B 正确 ,C 错误
对于D,因为
，
，故事件
与事件
相互独立，所以事件
与事件
相互独立,D 正确.
故选:BD
3．
（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）记事件
中的样本点个数为
．对于一个古典概
型试验的样本空间
和事件
，已知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则（ ）
A．
与
互斥
B．
与
互斥
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】BC
【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解.
【详解】A 选项：
，
，
，所以
，
所以
与
不互斥；
B 选项：
，
，
，所以
，
所以
与
互斥；
C 选项：
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
与
相互独立；
D 选项：
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
与
不相互独立.
故选：BC.
4．
（多选）（2025·浙江绍兴·二模）某考试有20 道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道
了这20 道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照
“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n 题的概率是
．则下列说法正确的是（ ）
A．P（猜对第n+1 题|猜对第n 题）
B．P（猜对第n+1 题|猜错第n 题）
C．
D．全部猜对的概率为
【答案】AC
【分析】用
表示第
题答对，设每道题的选项为
，在第
题的正确答案为
的假设下列举即可判
断A 选项；在第
题的正确答案为
，第
题的正确答案为
的假设下列举即可判断B 选项；列出
即可求出数列
是各项均为
的常数列，进而判断C 选项；利用
即可判断D 选项.
【详解】用
表示第
题答对，则
表示第
题答错，
，
设每道题的选项为
，
不妨设第
题的正确答案为
，
则在猜对第
题的条件下，该同学第
题可能选择
或
两种情况，
又由没有连续相同的选项可知，第
题的正确答案必为
中的一个，
则
，故A 选项正确；
由于没有连续相同的选项，不妨设第
题的正确答案为
，第
题的正确答案为
，
则在该同学第
题答错的条件下，
该同学这两道题的选项可能为
，
其中第
题答对的是
，
故
，故B 选项错误；
容易得出
，则
，
又
，则
，则数列
是各项均为
的常数列，
则
，故C 正确；
全部猜对的概率
，故D 错误.
故选：AC
5．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1 分，败方得0 分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若
，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若
，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1 时，
．
【答案】(1)
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出满足题意的所有事件，根据概率的加法公式即可求解；
（2）根据概率公式分别求得选方案一和方案二时甲获胜的概率，作商比较大小即可求解．
【详解】（1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为：
：甲贏第1，3，4 局，乙赢第2 局，
：甲赢第2，3，4 局，乙赢第1 局，
：乙赢第1，3，4 局，甲赢第2 局，
：乙赢第2，3，4 局，甲赢第1 局，
对应概率：
；
（2）设事件
：甲最终获胜，事件
：甲乙在前两局结束后得分相同．
记使用方案一，二时甲胜出的概率分别为
．
对于方案一，根据条件概率公式：
，
因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲，乙各胜出一局达到同分的条件下，甲从第三局开始出现
优先超过乙两分的概率恰为
，即
，
故
，
从而
．
对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每局胜者按照“甲乙甲
乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律．
从而甲获胜的概率
，
显然
，令
，
有
，即
，
因为
，所以
所以应选择方案二．
6．
（2025·云南·模拟预测）有
个编号分别是
的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同
的糖果.第1 个罐子中装有3 颗红色糖果和2 颗绿色糖果，其余罐子中都装有2 颗红色糖果和2 颗绿色糖果.
现先从第1 个罐子中随机取出一颗糖果放入第2 个罐子，再从第2 个罐子中随机取出一颗糖果放入第3 个
罐子，依此类推，直至从第
个罐子中随机取出一颗糖果.设事件
表示从第
个罐子中取出红
色糖果，记事件
发生的概率为
.
(1)求
的值；
(2)求
的值，并证明：当
时，
；
(3)求
（用含
的式子表达）.
【答案】(1)
；
(2)
，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案；
（2）由题意及全概率公式可得答案；
（3）设
，由（2）可知
，然后通过构造等比数列可得答案.
【详解】（1）在第一个罐子中共有糖果
颗，其中红色糖果有3 颗，根据古典概型概率公式，
（2）由（1）知，
，
所以
，
当
时，由全概率公式，得
所以
即
；
（3）记
，由（2）知递推关系式
，变形为
，
又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
则
即
.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有
的同学爱好滑冰，
的同学爱好滑雪，
的
同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.5
D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为
，
记“该同学爱好滑雪”为事件
,记“该同学爱好滑冰”为事件
，
则
，
所以
.
故选:
.
2．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5 个项
目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3 个项目.假设每人
参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3 个项
目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5 个项目分别编号为
,从五个活动中选三个的情况有：
,共10 种情况，
其中甲选到
有6 种可能性：
，
则甲参加“整地做畦”的概率为：
；
乙选
活动有6 种可能性：
，
其中再选择
有3 种可能性：
，
故乙参加的3 个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为
.
解法二：
设甲、乙选到
为事件
，乙选到
为事件
，
则甲选到
的概率为
；
乙选了
活动，他再选择
活动的概率为
故答案为：
；
3．（2022·天津·高考真题）52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为
；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽
到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C,
则
.
故答案为：
；
.
