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事件的相互独立性与条件概率
9-6
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
9-6 事件的相互独立性与条件概率....................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：相互独立事件............................................................................................................................1
2．条件概率...............................................................................................................................................2
3．全概率公式...........................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 条件概率......................................................................................................................................3
题型二 相互独立事件的概率...............................................................................................................4
题型三 全概率公式的应用....................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：相互独立事件
概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
性质：如果事件 ， 互相独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立性，
即若事件 ， ，…， 相互独立，则这 个事件同时发生的概率 ．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，设A，A，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω，且P(A)>0，i＝1,2，…，
1 2 n 1 2 n i
n，则对任意的事件B⊆Ω，有 ．
（1） ；
（2）定理：若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．则对 中的任意事件 ，都有 ，且
．贝叶斯公式
（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
【常用结论总结】
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的
概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．二、分类题型
题型一 条件概率
【例题精析1】 某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱
好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（
）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【例题精析2】 用 五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件 {数字 在 的左边}，事件
{ 与 相邻}，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【例题精析3】 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已
知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【例题精析4】 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据
的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【例题精析5】 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，在取出球的编号互不相同
的条件下，2号红球被取到的概率为 ．
【例题精析6】 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知
该家庭 个小孩中有女孩的条件下， 个小孩中至少有 个男孩的概率为 .
【例题精析7】 为巩固脱贫攻坚成果，推进共同富裕，我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6名农业
专家，并分配到3个村庄进行农业技术指导，要求每个村庄至少分配到1名专家，每名专家只能去1个村
庄，则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下，甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为
．
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
【对点精练1】 某医疗仪器上有 、 两个易耗元件，每次使用后，需要更换 元件的概率为 ，需要更换
元件的概率为 ，则在第一次使用后就要更换元件的条件下， 、 两个元件都要更换的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【对点精练2】 一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现
从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点精练3】 从一个装有 个白球， 个红球和 个蓝球的袋中随机抓取 个球，记事件 为“抓取的球中
至少有两个球同色”，事件 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件 发生
的条件下，事件 发生的概率 ．
【对点精练4】 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够
良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群
中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【对点精练5】 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员
中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况， 表示“抽到的2名成员都是女生”， 表示“抽到的2名
成员性别相同”，则 .【对点精练6】 从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件 为“取到的两个数的和为偶数”，事
件 为“取到的两个数均为偶数”，则 ．
【对点精练7】 芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、
乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为 ，现从这20块芯片中任取一块芯片，若
取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为
【对点精练8】 现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，
设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷山”，则 .
【对点精练9】 在某地A、B、C三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A、
B、C三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是
.
题型二 相互独立事件的概率
【例题精析8】 某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，
如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶
段比赛的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均为 ，且三人每
次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析9】 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个
未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此
时已被涂色的格子数为X，则 .【例题精析10】 甲、乙两人单独解一道题，若甲、乙能解对该题的概率分别是m，n，此题被解对的概率
【例题精析11】 事件A、B是相互独立事件，若 ， ， ，则实数n的值等于
．
【例题精析12】 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4.若甲答错，则由乙答，乙答对的概率为0.5.求
该问题由乙答对的概率.
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【对点精练10】 已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放
回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练11】 在我国长江中下游地区，每年的6月中下旬到7月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多．
这个地区的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是0.8，连续两天为阴雨天气的概率是
0.72，已知某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是 ．
【对点精练12】 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 ， ，两人都成功破译的概
率 .
【对点精练13】 已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过的概率分别为 ，而且这3人之间的考
试互不影响．求：
(1)甲、乙、丙都通过的概率；(2)甲、乙通过且丙未通过的概率．
【对点精练14】 甲､乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影
响.已知甲击中A，B的概率均为 ，乙击中A，B的概率分别为 ， .
(1)求A被击毁的概率；
(2)求恰有1个目标被击毁的概率.
【对点精练15】 2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，
再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答
对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为 ， ，乙答对第一道和第二道题的概率
分别为 ， ，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
(1)求甲，乙都通过考试的概率;
(2)记事件 “甲、乙共答对两道题”，求 ．
【对点精练16】 某地乒乓球协会在年55岁 65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人
一组先进行预赛，选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：
甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，
则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为 ，
各场比赛互不影响且无平局.
(1)求甲进入正式比赛的概率；
(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为 ，求 的分布列与数学期望.
【对点精练17】 一个家庭有两个孩子.
(1)已知年龄大的是女孩，求年龄小的也是女孩的概率；
(2)已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率.
【对点精练18】 一个罐子中有大小与质地相同的黑､白､红三个球，不放回地摸球.求：
(1)在第一次没有摸到黑球的条件下，第二次也没有摸到黑球的概率；
(2)两次都没有摸到黑球的概率.
【对点精练19】 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为 ．
甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；
(2)甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.
题型三 全概率公式的应用
【例题精析13】 “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了
之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但
是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊
的原因说谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是 ．最初人们不知道这个小孩诚实与否，
所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【例题精析14】 一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先
后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析15】 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以 表示事件“试验反应为阳
性”，以 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 ， 现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 ，即 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例题精析16】 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒
以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ．
【例题精析17】 现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先
从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球
的概率为 .
【例题精析18】 流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知 三个地区分别
有 的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是 ，现从这三个地区中任意选取1人，
若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是 ．
【例题精析19】 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活
动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 ．求该社区居民遇到一位进行新
冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A(i＝1,2，…，n)；
i
(2)求P(A)和所求事件B在各个互斥事件A 发生条件下的概率P(A)P(B|A)；
i i i i
(3)代入全概率公式计算．
【对点精练20】 甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，
乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.
若用事件 和 分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件 表示从乙袋中取出的球是
红球，则 =（ ）A． B． C． D．
【对点精练21】 根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，
有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送
器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，
则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练22】 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占 ，乙工厂生产的占 .已知甲、乙两工
厂生产的该型号产品的次品率分别为 ， ，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 .
【对点精练23】 设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，
其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为 .
现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【对点精练24】 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如
下关系： ．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳
馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为
0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳
的概率为 ．
【对点精练25】 现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和1个白球，乙盒中有2个红球和2个白球，所有
的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒子，并从中随机摸出2个球观察颜色后放回，此过程为一次试验.
重复以上试验，直到某次试验中摸出2个红球时，停止试验.
(1)求一次试验中摸出2个红球的概率；
(2)在3次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2个红球的概率.
【对点精练26】 在 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有 的人患了流感，假设这三个地
区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【对点精练27】 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.某人先从甲袋中依次取2个球，再从乙袋中取1个球.若在甲袋中取得红球，则放入乙袋；若取得白球，则两袋均不放入.
(1)求从甲袋中第二次取得白球的概率；
(2)求从乙袋取得红球的概率.
【对点精练28】 盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，
并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.求第二次取出的球是白色的概率.
【对点精练29】 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是 ，而它们的良品率分别是
0.96､0.90､0.93.问：该部件的总体良品率是多少？
【对点精练30】 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为
0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少?
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少?
【对点精练31】 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为 ， ， ，现
从这三个地区任选一个地区抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留分数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留分数）
【对点精练32】 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华
文化.为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，李夏作为选手参加.除李夏以外的其他
参赛选手中， 是一类棋手， 是二类棋手，其余的是三类棋手.李夏与一、三、三类棋手比赛获胜
的概率分别是0.2、0.4和0.5.
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛，求李夏获胜的概率；
(2)如果李夏获胜，求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.
【对点精练33】 某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：
次品
元件制造厂 提供元件的份额
率
1 0.01 0.1
2 0.02 0.7
3 0.03 0.2
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志
(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.
【对点精练34】 玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1
和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次
品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件 表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件 表示“箱中恰
好有 只残次品”求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率 ；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率 .
【对点精练35】 芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，
我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一
型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．
已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%．
(1)求任取一个芯片是正品的概率；
(2)如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率．
【对点精练36】 假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是 ，若甲厂产品的合格率是
，乙厂产品的合格率是 ，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为 ；如果买
到的零件是次品，那么它是乙厂产品的概率为 （结果精确到 ）．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）设 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生， （A） ， （B）
，给出下列各式，其中正确的是
A． （A） B．
C． （B） D． （B）
2．（2023•衡水二模）某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团，甲、
乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件 为“五名同学所选项目各不相同”，事件 为“只有甲同学选篮球”，则
A． B． C． D．
3．（2023•成都模拟）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全
相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件 ：“这3个球的颜色各不相同”，事件 ：“这3个球中
至少有1个黑球”，则
A． B． C． D．
4．（2023•顺庆区校级模拟）盒子里有1个红球与 个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2
次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为 ，则
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2023•武侯区校级模拟）已知 为正方形，其内切圆 与各边分别切于 ， ， ， ，连接
， ， ， ．现向正方形 内随机抛掷一枚豆子，记事件 ：豆子落在圆 内，事件
：豆子落在四边形 外，则
A． B． C． D．
6．（2023•宛城区校级三模）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南
天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件 ：甲和乙选择的景点不同，事
件 ：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率
A． B． C． D．7．（2023•浠水县校级模拟）如果 不是等差数列，但若 ，使得 ，那么称
为“局部等差”数列．已知数列 的项数为4，记事件 ：集合 ， ， ， ，2，3，4，
，事件 为“局部等差”数列，则条件概率
A． B． C． D．
8．（2023•周至县三模）羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每
局比赛中获胜的概率均为 ，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概
率为
A． B． C． D．
9．（2023•贵州模拟）某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4名男医生（含一名主任医
师）、5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派
的条件下，两名主任医师都被选派的概率为
A． B． C． D．
10．（2023•定远县校级模拟）为弘扬社会主义核心价值观，传承中华优秀文化，某县举行“诵读经典，
相约《论语》”的诵读活动．某校初步推选出甲乙2名教师和6名学生共8名朗诵爱好者，并从中随机选
取5名组成学校代表队参加汇报演出，则代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为
A． B． C． D．
11．（2023•上海模拟）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用 表示事件
“抽到两名同学性别相同”， 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知 事件发生的情况下 事件发生的概率即
A． B． C． D．
12．（2023•琼海校级模拟）东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与
人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河
塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件 ：甲和乙至少一人选择
映翠湖，事件 ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率
A． B． C． D．
13．（2023•武鸣区校级二模）【理科】甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事
件 “四名同学所报比赛各不相同”，事件 ”甲同学单独报一项比赛”，则
A． B． C． D．
14．（2023•琼山区校级三模）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是 ，患感冒的
概率是 ，鼻炎和感冒均未患的概率是 ，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为
A． B． C． D．
15．（2023•浙江模拟）设集合 ，且 （A） ， （B） ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
16．（2023•河南三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，
晋级到 决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若
获得小组第一，则 决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则 决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该
队小组出线的条件下，其 决赛获胜的概率为A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9
17．（2023•连云港模拟）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100
名患者中有20名的年龄位于区间 ， 内．已知该地区这种疾病的患病率为 ，年龄位于区间 ，
内人口占该地区总人口的 ．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 ， 内，则此人患该
疾病的概率为
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
18．（2023•南宁二模）现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，
若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为
A． B． C． D．
19．（2023•小店区校级模拟）考察下列两个问题：①已知随机变量 ，且 ， ，
记 ；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设 表示“甲、乙、丙
所去的景点互不相同”， 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记 ，则
A． B． C． D．
20．（2023•合肥模拟）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试
剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病
毒感染率为 ，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为 ．若该地全员参加核酸检测，
则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
A． B． C． D．
21．（2023•浙江模拟）临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片
放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸
到自己写的祝福卡片的概率为（ ）A． B． C． D．
22．（2023•大观区校级三模）在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽
签的方式决定发言顺序，事件 表示“第 位发言的是女同学”，则
A． B． C． D．
23．（2023•岳阳县模拟）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任
医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选
派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为
A． B． C． D．
24．（2023•包河区校级模拟）某学校高三1班至4班举办研学游活动，有4个地方可供选择，且每班只能
去一个地方．设事件 “4 个班去的地方各不相同”， “1 班独自去一个地方”，则
A． B． C． D．
25．（2023•佛山模拟）已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，
现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，
第三张为奇数的概率为
A． B． C． D．
26．（2023•芝罘区三模）为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身
体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学生体质健康标
准》评定等级，经过统计，甲校有 的学生的等级为良好，乙校有 的学生的等级为良好，丙校有
的学生的等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为 ．从甲、乙、丙这
三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，则该学生的等级为良好的概率为
A．0.40 B．0.47 C．0.49 D．0.55
27．（2023•呼和浩特模拟）从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是
A． B． C． D．
28．（2023•沙坪坝区校级模拟）重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中， 级旅游点最多，资源
最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备
从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家 级旅游景区中随机选
择其中一个景区游玩．记事件 ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件 ：甲和乙选择的景区不同，则
条件概率
A． B． C． D．
