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考向 44 事件的独立性与条件
概率
1. （2022年乙卷理科T8）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， 且 .记该棋手连胜两盘的概率为p，则
A．p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为 ，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为 ，在第
二盘与丙比赛连赢两盘的概率为
由题意
所以 ，
所以 最大，故选D.
2．（2021·新高考1卷T8）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是
2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为 ， ， ， ．则
， ， ．
对于A选项， ；对于B选项， ；对于C选项， ；
对于D选项， ．若两事件 、 相互独立，则 ，
因此B选项正确．
3. （2022·天津卷T11）52 张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为
____________；已知第一次抽到的是 ，则第二次抽到 的概率为____________
【答案】
【解析】
4.（2021·天津卷T14）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜
对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】①. ②.
【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .故答案为： ； .
5．（2022·新高考2卷T19）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下
的样本数据频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 的概率．
（3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区的年龄位于区间 的人口占该地区总人口的
，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 ，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者
年龄位于各地区的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 ）
【答案】（1）47．9岁；（2）0．89；（3）0．0014．
【解析】（1）平均年龄
（岁）
（2）设 ，则
（3）设 ， ，
则由条件概率公式，得6．（2022·新高考1卷T20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯
分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未
患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患
有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该
指标为 ．
（i）证明： ；
（ii）利用该调査数据，给出 的估计值，并利用（i）的结果给出 的估计值．
附： ，
【答案】（1）能；（2）（i）见解析；（ii）6．
【解析】（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异，
则 ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；
（2）（i），得证；
（ii）由调查数据可知 ， ，
则 ， ，所以 ．
1.条件概率的两种求解方法
2.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事
件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同．(2)若事件A ，A ，…，A 相互独立，则P(A A …A )＝P(A )P(A )…P(A )．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立
时，公式才成立．
一、单选题
1．某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医
院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，
“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件
C，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
3．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以
A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑
球”，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且
各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936
5．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷山”，则 （ ）
A． B． C． D．
6．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋
中随机取出一球放入乙口袋，分别以 和 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从
乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件 与事件B相互独立
C． D．
7．一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件
甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相
同．则下列结论正确的是（ ）
A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立
8．从装有 个红球和 个蓝球的袋中( ， 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸
到红球”为 ，“第一次摸球时摸到蓝球”为 ；“第二次摸球时摸到红球”为 ，“第二次摸球时摸到
蓝球”为 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一
次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件A和事件B互为对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋
中随机取出一球放入乙口袋，分别以 ， 和 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从
乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件B相互独立
C． D．
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列
结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
12．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回
去，依此类推，第 次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第 次取出
的球是红球的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
三、填空题
13．已知随机事件M，N， ，则 的值为________．
14．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.记事件A为“抽取到的
两张卡片上的数奇偶性相同”，事件B为“两张卡片上的数字均为偶数”，则 ________.15．已知随机变量 ，则 ___________.
16．产品质量检验过程主要包括进货检验（ ），生产过程检验（ ），出货检验（ ）三个环
节.已知某产品 单独通过率为 ， 单独通过率为 ，规定上一类检验不通过则不进入下
一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各
类检验间相互独立.若该产品能进入 的概率为 ，则 ___________.
四、解答题
17．2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验
者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全
为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，
就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为 次．假设在接受检验的人群中，每个人的
检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．
(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若 ，求3人中恰好有1人检测结
果为阳性的概率；
(2)设X为 个人一组混合检验时所需要的检验总次数．
①当 时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）；
②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为
，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混
检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；
）
18．今年 月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为人民健康负责任的国家，对猴痘病毒防控
提前做出部署.同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（ 年版）》.此
《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期 天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉
保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定的猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察 天，在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病
毒的比例较大.对该国家 个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒
情况，得到下面的列联表：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
接种天花疫苗
(1)是否有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率，现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取 人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有 人感染猴痘病毒的概率.
附： ，其中 .
19．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，售价为20元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下．
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元/
16 18 22 24
）从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的
是精品果的数量，求X的分布列及数学期望．
20．“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了
有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中
选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答
对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
一、单选题
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有
放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计
0分，记随机变量 表示摸球8次后的总分值，则 （ ）
A．8 B． C． D．16
2．（2022·湖南师大附中三模）某型号的灯泡使用寿命为一年以上的概率为 ，使用寿命两年以上的概率
为 .若一只该型号的灯泡已经安全使用了一年，则能再安全使用一年的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦
程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为 ；女员工中，肥胖者的占比为 ，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该
员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西·模拟预测（理））为了降低成本和节约时间，在进行核酸检测时，常常10人一组进行混
合检测.若每人的核酸检测结果呈阳性的概率为 ，则10人一组的混合核酸检测结果呈阳性的概
率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西西安·二模（理））甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满 局，且每局甲获胜的
概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（ ）
①k=1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 ；
②k=2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 ；
③在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k；
④随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 ．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
6．（2022·河南开封·三模（理））生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个
来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子
d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄
色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的
遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄
色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区
中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（
）去A景区旅游 去B景区旅游 去C景区旅游
甲 0.4 0.2
乙 0.3 0.6
A．0.66 B．0.58 C．0.54 D．0.52
8．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，
甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项
进行学习，每人选择各项运动的概率均为 ，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下
甲同学选择花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏徐州·模拟预测）下列结论中正确的有（ ）
A．运用最小二乘法求得的回归直线必经过样本点的中心
B．若相关指数 的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
C．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则
D．若随机事件 满足 ， ， ，则
10．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ，下列选项是“M，N相互独立”的充分条
件的有（ ）
A．
B．
C．D．
11．（2022·山东师范大学附中模拟预测）感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根
基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有 位志愿者主动到 所山区学校参加支教活
动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有 种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
12．（2022·江苏南京·三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，
且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最
多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B独立
D．记C的对立事件为 ，则
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，
我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小
组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙
也被选出的概率为______.
14．（2022·湖南·模拟预测）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则
如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，
若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计
分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有
命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的
条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.
15．（2022·湖北武汉·模拟预测）奥运吉祥物“雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创作而成，现挂有如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯笼被摘完为
止，则左边灯笼先摘完的概率为________.
16．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））冰壶（Curling）又称掷冰壶，冰上溜石，是以队为单位在
冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被大家喻为冰上的“国际象棋”，某省冰壶队选拔队员，甲、乙两队员
进行冰壶比赛，获胜者加入省队，采用五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场胜者获胜，比赛结束）．根
据以往比赛成绩，甲在前一局获胜的情况下下一局获胜的概率为0.6，在前一局失败的情况下下一局获胜
的概率为0.4，若第一局甲获胜，则最终乙加入省级冰壶队的概率为__．
四、解答题
17．（2022·山东·烟台二中模拟预测）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达
到规定金额的小朋友可参加双人 赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，
在不透明的箱中装有 个号码分别为 、 、 、 、 的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）．
每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）．若双方摸出的两球
号码之差为奇数，则甲被扣除 个积分，乙增加 个积分；若号码之差为偶数，则甲增加 个积分，
乙被扣除 个积分． 游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零， 游戏结束后，若双方的积分不等，则
积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．
(1)设 游戏结束后，甲的积分为随机变量 ，求 的分布列；
(2)以（1）中的随机变量 的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记
正整数 的最小值为 ．
①求 的值，并说明理由；
②当 时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．18．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与
积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续
答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1
班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为 ，且每人答每道题都是相互独立的．
(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为 ，求 的最大值和最大值点 的值；
(2)以（1）中确定的 作为p的值，求“领航队”积分成绩 的数学期望．
19．（2022·青海·模拟预测（理））“数字华容道”是一款流行的益智游戏．n×n的正方形盘中有
个小滑块，对应数字1至 ．初始状态下，所有滑块打乱位置，并保证第n行第n列为空格．游戏规则
如下：玩家经过移动小方块，将“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”（第一行第一列），
如图情况下最少3步即可（“初始”至“移动3”）．假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动．
(1)如图，图1，图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为‘1’的初始位置，将其移动到‘目标
位置’（第一行第一列）所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的空格里填上相应数字；
(2)对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超过7，则获得1积分，
求甲同学三轮之后不低于2分的概率；
(3)对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列初始位置中随机选取
一个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望 ．
20．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有 ， 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用 两种型
号的步枪的命中率分别为 , ；，(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在 两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用 两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶
或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记 为射击的次数，求 的分布列与数学期
望．
1．（2014·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，
连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
2．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相
互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
3．（2015·全国·高考真题（理））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次
投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
4．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，
该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场
取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是
____________．
5．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影
响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
6．（2012·陕西·高考真题（文））假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们
的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率
7．（2014·广东·高考真题（理））随机观测生产某种零件的某工厂 名工人的日加工零件数（单位：
件），获得数据如下： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 ，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
（1）确定样本频率分布表中 、 、 和 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 人，至少有 人的日加工零件数落在区间 的概率.
8．（2013·福建·高考真题（理））某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲
的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 ,求 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分
的数学期望较大？
9．（2013·陕西·高考真题（理））在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名
观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷,
他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5
号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
10．（2019·全国·高考真题（理））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交
换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的
概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人
又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
11．（2020·全国·高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者
被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者
下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人
最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
12．（2013·山东·高考真题（理））甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随
即结束．除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．假设各局比赛结果相互
独立．
（Ⅰ）分别求甲队以 胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为求 或 ，则胜利方得 分，对方得 分；若比赛结果为 ，则胜利方得 分、
对方得 分．求乙队得分 的分布列及数学期望．
13．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯
分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未
患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
14．（2018·全国·高考真题（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ；
（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品
的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
15．（2012·山东·高考真题（理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得
分，没有命中得 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得 分，没有命中得 分.该射手
每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 .
16．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到
如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】A
【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为 ，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5的
概率 .
故选：A.
2．【答案】C
【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有 个
基本事件，它们等可能．
事件A含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，
事件AB含有的基本事件数为 ，则
事件AC含有的基本事件数为 ，则
，
即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，故A、B不正确；
， ，
故选：C．
3．【答案】C【解析】：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，故选项A正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
因为 ，所以 ，故选项D正确.
故选：C.
4．【答案】D
【解析】该同学通过测试的概率为 ，
故选：D
5．【答案】C
【解析】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为 ，
事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ，
事件 与事件 的交事件 为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”
事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ，
即 .
故选：C.
6．【答案】D
【解析】由题意得 ，所以A错误；
因为 ，
，所以，即 ，
故事件事件 与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
7．【答案】B
【解析】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时，事件甲与事件
丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率 ，事件乙的概率
，事件丙的概率 ，事件丁的概率 ， ，
故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的概率 ，故C项错误；因为事件甲与事件丙
同时发生的事件为甲事件，且 ，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误．
故选：B．
8．【答案】D
【解析】由题意可知， ， ，
，
，
从而 ，故AC正确；又因为 ， ，
故 ，故B正确；
，
故 ，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．【答案】ACD
【解析】【解析】选项A： .判断正确；
选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；
选项C： ，则 .判断正确；
选项D： ，又 ， ,
则有 成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.
故选：ACD
10．【答案】AC
【解析】由题意得可知 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确；
， ，，故C正确；
由
事件 与事件B不独立，故B、D错误；
故选：AC
11．【答案】ACD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件 ，
则 ， ，
对于A选项，2个球都是红球为 ，其概率为 ，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为 ，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为 ，故D选项正确．
故选：ACD．
12．【答案】AC
【解析】依题意 ，
设第 次取出球是红球的概率为 ，则白球概率为 ，
对于第 次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为 ，②从白箱取出的概率为 ，对应 ，即 ，故B错误；
所以 ，
令 ，则数列 为等比数列，公比为 ，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ， 故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为 ，第2次取出球是红球的概率为 ，
第3次取出球是红球的概率为 ，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是 ，
故D错误；
故选：AC．
三、填空题
13．【答案】
【解析】依题意得 ，所以
故 ．故答案为： ．
14．【答案】
【解析】 ，
故答案为：15．【答案】
【解析】因为 ，所以 .
故答案为： .
16．【答案】
【解析】设 ：第 次通过 ， ：第 次通过 .
由题意知 ，
即 ，
解得 或 （舍去）.
故答案为： .
四、解答题
17．【答案】(1)0.243；(2)①见解析；② ；89900.
【解析】（1）设3人中恰好有1人检测结果为阳性为事件 ， .
（2）① 的值可取1，11，
， ，
1 11
.
② ，所以进行“10合1混采检测”，10万人所需检测的平均次数大概为
，
这样混检比一人一检大约少使用 份检测试剂.
18．【答案】(1)没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关
(2)
【解析】（1）由表格数据得： ，
没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关.
（2）由频率估计概率，该地区每名密切接触者感染猴痘病毒的概率 ，
用 表示抽取的 人中感染猴痘病毒的人数，
，
即至多有 人感染猴痘病毒的概率为 .
19．【答案】(1) ；
(2)从采购商的角度考虑，应该采用方案1；
(3)分布列见解析， .
【解析】（1）设“从100个水果中随机抽取1个，抽到礼品果”为事件A，则 ，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为 ，则 ，
∴恰好抽到2个礼品果的概率 ．
（2）设方案2中1 水果的售价为Y，则．
∵ ，
∴从采购商的角度考虑，应该采用方案1．
（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个．
易知X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．
，
， ，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴ ．
20．【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A，
因为甲答对每个题的概率均为 ，所以甲答错每个题的概率均为 .
则甲答了3题都错，被淘汰的概率为 ；
甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为 ；
甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为 .
所以选手甲被海的概率 .
（2）易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则 ，
，
.
X的分布列为
X 3 4 5
P(X)
则 .
一、单选题
1．【答案】D
【解析】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红
球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试
验，用 表示取到红球的个数，则 故：
又因为 根据方差的性质可得：
故选：D
2．【答案】D
【解析】设事件A={灯泡使用寿命1年以上}，事件B={灯泡使用寿命2年以上}，则 ， ，，所以 ，
故选：D.
3．【答案】D
【解析】设公司男、女员工的人数分别为 和 ，
则男员工中，肥胖者有 人，
女员工中，肥胖者有 人，
设任选一名员工为肥胖者为事件 ，肥胖者为男性为事件 ，
则 ， ，
则 .
故选：D.
4．【答案】C
【解析】因为每人的核酸检测结果呈阳性的概率为p，则每人的核酸检测结果不是阳性的概率为 ，
所以这10人核酸检测结果都不是阳性的概率为 ，
于是至少有1人核酸检测结果呈阳性的概率为 ，
故选:C.
5．【答案】B
【解析】 时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 ，故①错误；
时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，
其概率为 ，同理，乙赢得比赛的概率也为 ，
所以②正确；在2k局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布 ，其期望值为 ，所以③正确；
随着 的增大，比赛平局的概率 趋近于0，
所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近 ，故④正确.
故选：B
6．【答案】B
【解析】因为子一代中遗传因子为 ，取两粒叶子为黄色的豌豆并要子二代是绿色，
所以子一代父本、母本只能取 型基因，取出两粒都是满足题意的子一代豌豆概率为 ，
因为子二代叶子是绿色的，故基因为 ，所占概率为 ，
所以由相互独立事件同时发生的概率为 .
故选：B
7．【答案】A
【解析】由题可得甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：
去A景区旅游 去B景区旅游 去C景区旅游
甲 0.4 0.2 0.4
乙 0.1 0.3 0.6
故甲、乙去同一景区旅游的概率为 ，
故甲、乙去不同景区旅游的概率为 .
故选：A.
8．【答案】D
【解析】记事件 为“至少有两人选择花样滑冰”，事件 为“甲同学选择花样滑冰则”，
， ，
所以， ．故选：D.
二、多选题
9．【答案】ACD
【解析】对选项A，回归直线必经过样本点的中心 ，故A正确.
对选项B， 的值越接近1，表示回归模型的拟合效果越好，故B错误.
对选项C， ， ， ，
所以 ，故C正确.
对选项D， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
选ACD．
10．【答案】BCD
【解析】对于选项A，由 可得 ，即事件 ， 互斥，但是
不能得到 ， 相互独立，故A错误；
对于选项B，依题意可得 ，即 与 相互独立，所以 ， 也相
互独立，故B正确；
对于选项C，依题意可得 ，因此可得 ， 相互独立，故C正确；
对于选项D，由 得 ，整理得
，即 ， 相互独立，故D正确．
故选:BCD
11．【答案】AC【解析】对于A选项，将 位志愿者分成 组，每组至少一人，每组人数分别为 、 、 或 、 、 ，
再将这三组志愿者分配给 个地区，不同的安排方法种数为 种，A对；
对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排 人或 人，
则不同的安排方法种数为 种，B错；
对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为 或 或 ，
由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为 ，C对；
对于D选项，记事件 小晗被安排到甲校，事件 甲学校安排两人，
则 ， ，
由条件概率公式可得 ，D错.
故选：AC.
12．【答案】BCD
【解析】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；
选项B： ，正确；
选项C： ，
故A与B独立，正确；
选项D： ， ，正确；
故选：BCD．
三、填空题
13．【答案】
【解析】设“甲同学被选出”记为事件 ，“乙同学被选出”记为事件 ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率 .
故答案为：
14．【答案】
【解析】记事件 ：“李好第一枪击中目标”，事件 ：“李好第二枪击中目标”，事件 ：“李好第三
枪击中目标”，事件 ：“目标被击中”，则
， ， .
故答案为：
15．【答案】
【解析】根据题意可知每次摘左边的灯笼和右边的灯笼的概率都是 ，
要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2，3，4次，
若2次先摘完左边的灯笼，则概率为 ，
若3次先摘完左边的灯笼，则概率为 ，
若4次先摘完左边的灯笼，则概率为 ，
所以左边灯笼先摘完的概率为 .
故答案为： .
16．【答案】0.3072
【解析】第一局甲获胜，最终乙取得胜利有两种情况：①在第二至第四局中乙都获胜，则乙取得胜利的概
率 ；
②在第二至第四局中乙获胜两局，最后一局乙获胜，则乙取得胜利的概率为，
故第一局甲胜，最终乙取得胜利的概率 ．
四、解答题
17．【答案】(1)答案见解析(2)① ；理由见解析；②
【解析】（1）记“一局游戏后甲被扣除 个积分”为事件 ，“一局游戏后乙被扣除 个积分”为事件 ，
由题可知 ，则 ，
当三局均为甲被扣除 个积分时， ，
当两局为甲被扣除 个积分，一局为乙被扣除 个积分时， ，
当一局为甲被扣除 个积分，两局为乙被扣除 个积分时， ，
当三局均为乙被扣除 个积分时， ，
所以， ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列为
－6
P
（2）①由（1）易得 ，
显然甲、乙双方的积分之和恒为零，
当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需 ，
所以， ，即正整数 的最小值 ；②当 时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件 ，则 ，
由题设可知若甲获得“购书券”奖励则甲被扣除积分的局数至多为 ，
记“甲获得“购书券”奖励”为事件 ，易知事件 为“甲恰好有一局被扣除积分”，
则 ，所以， ，
即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为 ．
18．【答案】(1) 在 处取得最大值，最大值 (2) ．
【解析】（1） ， ，
当 时， 在区间 内单调递增；
当 时， 在区间 内单调递减．
故 在 处取得最大值，最大值 ．
（2）“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则 ，所以“领航队”积分成绩X的数学期望
，
每个成员积分成绩Y的可能取值为 ，1，5，9，
记第i道题目答对为事件 ，
则 ，
，
，．
Y的分布列为
Y 1 5 9
P
则 ，
故 ．
19．【答案】(1)表格中填写的数字见解析；(2) ；(3)分布列见解析，数学期望为14.
【解析】（1）“数字华容道”位置关于中间斜道（正方形的左上角到右下角）对称，则数字填写如图：
0 5 9
5 7 9
9 9
（2）由（1）知，3阶华容道，最少移动次数不超过7的概率 ，即甲同学获得1积分的概率为 ，
甲同学玩三阶华容道3轮获得的积分为 ，则 ，
所以甲同学三轮之后不低于2分的概率为 .
（3）A，B各自独立地从3阶华容道中间列随机选取初始位置，概率均为 ，
3阶华容道中间列的数字从上到下为5，7，9，则X的所有可能值为：10，12，14，16，18，
， ， ，
， ，
所以X的分布列为：
10 12 14 16 18数学期望 .
20．【答案】(1) (2)分布列见解析； 的数学期望为 .
【解析】（1）甲击中5次的概率为 ，甲击中4次的概率为 ，
甲击中3次的概率为 ，
所以甲获得精美礼品的概率为 .
（2） 的所有可能取值为2,3,4,5,
，
，
，
，
所以 的分布列为：
2 3 4 5
所以 .
1．【答案】A【解析】记 “一天的空气质量为优良”， “第二天空气质量也为优良”，由题意可知
,所以 ，故选A.
2．【答案】B
【解析】：判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
3．【答案】A
【解析】该同学通过测试的概率为 ，故选A．
4．【答案】0.18
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜的概率是
5．【答案】
【解析】】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .故答案为： ； .
6．【答案】（1） ；（2） .
7．【答案】（1） ， ， ， ；（2）详见解析；（3） .
【解析】（1）根据题干中的数据以及频率分布表中的信息求出 、 、 和 的值；（2）根据频率分布
表中的信息求出各组的 的值，以此为相应组的纵坐标画出频率分布直方图；（3）先确定所取的 人
中日加工零件数了落在区间 的人数所服从的相应的概率分布（二项分布），然后利用独立重复试验
与对立事件求出题中事件的概率.
试题解析：（1）由题意知 ， ， ， ；
（2）样本频率分布直方图为：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间 的概率 ，
设所取的 人中，日加工零件数落在区间 的人数为 ，则 ，
，
所以 人中，至少有 人的日加工零件数落在区间 的概率约为 .
8．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大
【解析】(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响,
记“这2人的累计得分 ”的事件为A,则A事件的对立事件为“ ”,
,
这两人的累计得分 的概率为 .
(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 ,则这两人选择方案
甲抽奖累计得分的数学期望为 ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为
由已知: ,,
,
他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
9．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙未选中3号歌
手的概率为 ，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
.
(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为 ，观众乙选中3号歌手的概率为
，则观众丙选中3号歌手的概率也为 ，则
, ,
, .
则X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
.
10．【答案】（1） ；（2）0.1【解析】(1)由题意可知， 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知， 包含的事件为“前两球甲乙各得 分，后两球均为甲得分”
所以
11．【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
12．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为 负局次分别为（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为
所以乙队得分 的分布列为
解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件 ，“甲队以3：1胜利”为事件 ，“甲队以3：2胜利”为
事件 ，由题意，各局比赛结果相互独立，
故 ，
，所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是 ， ， ；
（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件 ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
,
,
,
故 的分布列为
0 1 2 3
所以 ．
13．【答案】（1） ；（2）（i） ；（ii）应该对余下的产品作检验.
【解析】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有 件不合格品的概率为 .
因此 .
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 ；［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ．
，当且仅当 ，
即 可得所求．
（2）由（1）知， .
（i）令 表示余下的 件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即
.所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于 ，故应该对余下的产品作检验.
14．【答案】： （Ⅰ） （Ⅱ）分布列见解析；
【解析】（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件 ；“该射手射击甲靶命中”为事件 ；“该射手第一
次射击乙靶命中”为事件 ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件
由题意知， ， ，
由于 ，根据事件的独立性与互斥性得
（Ⅱ）根据题意， 的所以可能取值为 ．
根据事件的独立性和互斥性得
，
，
，故 的分布列为
所以 ．
考点：独立性事件的概率，数学期望.
