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专题10 期末复习（三）一元一次方程 （解析版）
第一部分 教学案
知识点一 一元一次方程的定义
1．（2020秋•公安县期中）关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是
（ ）
A．b≠﹣3 B．b＝﹣3 C．b＝﹣2 D．b为任意数
思路引领：根据一元一次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是1的整式方程是一
元一次方程）解决此题．
解：由a﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝a﹣2．
∵关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，
∴3+b≠0．
∴b≠﹣3．
故选：A．
总结升华：本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关
键．
2．（2022春•射洪市期中）已知（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为
（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．0
思路引领：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知
数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
解：∵（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，
{ m-2≠0
∴ ，
|m|-1=1
解得m＝﹣2．
故选：A．
总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
3．（2022春•射洪市期中）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
1 3x-1 1
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1= ；④ + =0； ⑤x2+3x+1＝0；
x 4 5
⑥x﹣1＝12．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据一元一次方程的定义得出即可．
解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定义，不合题意；
1
③3x+1= ，是分式方程，不合题意；
x3x-1 1
④
+ =0，是一元一次方程，符合题意；
4 5
⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意；
⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关
键．
知识点二 等式的性质
4．（2021秋•天山区校级期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
x y
A．若m+3＝n﹣3，则m＝n B．若 = ，则x＝y
a a
3
C．若a2x＝a2y，则x＝y D．若- k=8，则k＝﹣12
2
思路引领：直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
解：A、若m+3＝n﹣3，则m，n不一定相等，错误，不合题意；
x y
B、若 = ，则x＝y，正确，符合题意；
a a
C、若a2x＝a2y（a≠0），则x＝y，错误，不合题意；
3 16
D、若- k=8，则k=- ，故此选项错误，不合题意．
2 3
故选：B．
总结升华：此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
5．（2022春•新野县期中）下列变形中：
x-12
①由方程 =2去分母，得x﹣12＝10；
5
②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；
x-5 x+3
③由方程2- = 两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；
6 2
2 9 2
④由方程 x= 两边同除以 ，得x＝1；
9 2 9
其中错误变形的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：根据等式的性质，逐项判断即可．
x-12
解：①由方程 =2去分母，得x﹣12＝10，不符合题意；
5
②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝8，符合题意；
x-5 x+3
③由方程2- = 两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，符合题意；
6 22 9 2 81
④由方程 x= 两边同除以 ，得x= ；
9 2 9 4
其中错误变形的有3个：②、③、④．
故选：D．
总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握等式的性质．
6．（2021秋•海门市期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若 x＝y，则 x+5＝y+5 B．若 a＝b，则 ac＝bc
x y a b
C．若 x＝y，则 = D．若 = （c≠0），则 a＝b
a a c c
思路引领：根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等
式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确；
B、若a＝b，则 ac＝bc，此选项正确；
x y
C、若x＝y，当a≠0时 = ，此选项错误；
a a
a b
D、若 = （c≠0），则 a＝b，此选项正确；
c c
故选：C．
总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数
（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），
等式仍成立．
7．（2022春•龙胜县期中）已知方程5y+x＝2，用含y的代数式表示x的形式为 ．
思路引领：将y看作已知数，求出x即可．
解：5y+x＝2，
解得x＝2﹣5y．
故答案为：x＝2﹣5y．
总结升华：此题考查了解一元二次方程，解题的关键是将y看作已知数，求出x．
知识点三 已知一元一次方程的解去求参数
8．（2021秋•玉州区期末）若x＝﹣1是关于x的方程2（x﹣a）+a＝0的解，则﹣2a+1的
值为 ．
思路引领：把x＝﹣1代入方程即可得到一个关于a的式子，然后利用得到的式子把所求
的式子表示出来，即可求解．
解：把x＝﹣1代入方程，得：2（﹣1﹣a）+a＝0，
即a＝﹣2，
则原式＝﹣2×（﹣2）+1＝4+1＝5．
故答案是：5．
总结升华：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．9．（2017春•龙海市期中）若方程2x﹣m＝1和方程3x＝2（x﹣2）的解相同，则m的值为
．
思路引领：根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
解：由3x＝2（x﹣2）解得x＝﹣4，
将x＝﹣4代入2x﹣m＝1，得
﹣8﹣m＝1，
解得m＝﹣9，
故答案为：﹣9．
总结升华：本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
10．（2022春•上海期中）如果关于x的方程（m2﹣1）x＝1无实数解，那么m满足的条件
是 ．
思路引领：令未知数的系数为0，即可得出结论．
解：当m2﹣1＝0时，方程无实数解，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
总结升华：本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的
关键．
知识点四 解一元一次方程
11．（2021秋•临泽县校级月考）解方程
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17；
1 1
（2） x- （3﹣2x）＝1
5 2
4-x 2x+1
（3） - =1．
2 3
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17，
移项合并得：2x＝18，
解得：x＝9；
（2）去分母得：2x﹣15+10x＝10，
移项合并得：12x＝25，
25
解得：x= ；
12
（3）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6，
移项合并得：﹣7x＝﹣4，4
解得：x= ．
7
总结升华：此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小
公倍数．
12．（2020秋•罗湖区校级期末）解方程：
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17
4-x 2x+1
（2） - =1．
2 3
思路引领：根据一元一次方程的解法即可求出答案．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17
移项合并得：2x＝18
解得：x＝9
（2）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6
移项合并得：7x＝4
4
解得：x=
7
总结升华：本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，
本题属于基础题型．
知识点五 错解、同解方程
2x-1 x+a
13．（2022春•长泰县期中）在数学课上，冰冰在解方程 +1= 时，因为粗心，
5 2
去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝﹣6，试求a的值，并解
出原方程正确的解．
思路引领：先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方
程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝﹣6代入上式，解得a＝1．
2x-1 x+1
原方程可化为： +1= ，
5 2
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x+1），
去括号，得4x﹣2+10＝5x+5，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣3，
系数化为1，得x＝3，
故a＝1，x＝3．
总结升华：此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的
值叫做一元一次方程的解．x
14．（2021 秋•伊通县期末）已知关于 x 的方程 m+ =4 的解是关于 x 的方程
3
x-m 2x-4 x
- = -1的解的2倍，求m的值．
3 4 6
x x-m 2x-4 x
思路引领：分别解方程m+ =4和方程 - = -1，得到两个含有m的解，
3 3 4 6
x x-m 2x-4 x
根据“关于x的方程m+ =4的解是关于x的方程 - = -1的解的2倍”，
3 3 4 6
列出关于m的一元一次方程，解之即可．
x
解：解方程m+ =4得：
3
x＝12﹣3m，
x-m 2x-4 x
解方程 - = - 1得：
3 4 6
x＝6﹣m，
根据题意得：
2（6﹣m）＝12﹣3m，
解得：m＝0．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程是解题的关键．
15．（2021秋•开福区校级期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两
个方程为同解方程；
（1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值；
（2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；
34 19
（3）若关于x的两个方程5x+ （m+1）＝mn与2x﹣mn=- （m+1）是同解方程，
3 3
求此时符合要求的正整数m，n的值．
思路引领：（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，
建立一个关于m的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方
程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关
于m，n的方程，然后解答．
解：（1）解方程2x＝4得：x＝2，
把x＝2代入mx＝m+1得：2m＝m+1，
解得：m＝1；
a+1
（2）解方程2x＝a+1得：x= ，
2a-2
解方程3x﹣a＝﹣2得：x= ，
3
∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，
a+1 a-2
∴ = ，
2 3
解得：a＝﹣7；
34 3mn-34m-34
（3）解方程5x+ （m+1）＝mn得：x= ，
3 15
19 3mn-19m-19
解方程2x﹣mn=- （m+1）得：x= ，
3 6
34 19
∵关于x的两个方程5x+ （m+1）＝mn与2x﹣mn=- （m+1）是同解方程，
3 3
3mn-34m-34 3mn-19m-19
∴ = ，
15 6
∴mn﹣3m﹣3＝0，
mn＝3（m+1），
∵m，n是正整数，
∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．
总结升华：本题考查了同解方程，正确理解同解方程的定义是解题的关键．
知识点六 一元一次方程的实际应用
16．（2020秋•雨花区期末）绿叶水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种
不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的 2倍多15千克，甲、乙两种
苹果的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/千克） 5 8
售价（元/千克） 10 15
（1）绿叶水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）绿叶水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量
不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第
二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，求第二次乙种苹果按原价打几折
销售？
思路引领：（1）设水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购
进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝795，解得：x＝40，
∴2x+15＝95（千克）．
答：绿叶水果店第一次购进甲种苹果95千克，乙种苹果40千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
y
依题意，得：（10﹣5）×95+（15× -8）×40×3＝595，
10
解得：y＝6．
答：第二次乙种苹果按原价打6折销售．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
17．甲乙两地相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为每小时80千米，从乙站开出一
列快车，速度为每小时120千米．
（1）若两车同时开出，背向而行，经过多长时间两车相距540千米．
（2）若两车背向而行，甲车开出1小时后，乙车开出，乙车开出多长时间两车相距540
千米．
（3）若两车同时开出，同向而行（快车在后），经过多长时间快车可追上慢车．
（4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长时间两车相距300千米．
思路引领：（1）设若两车同时开出，背向而行，经过x小时两车相距540千米，由于是
背向行驶，所以依甲的路程+乙的路程＝540﹣240为等量关系列出方程求出x的值；
（2）设若两车背向而行，甲车开出1小时后，乙车开出，乙车开出x小时两车相距540
千米．由于是背向行驶，所以依甲的路程+乙的路程＝540﹣240为等量关系列出方程求
出x的值；
（3）设两车同时开出，同向而行（快车在后），经过x小时快车可追上慢车，相遇时
快车比慢车多行240千米，依相遇时乙的路程﹣甲的路程＝240为等量关系列出方程求
解；
（4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长x小时两车相距300千米，依
据乙所走的路程﹣甲所走的路程＝300﹣240为等量关系，列出方程求解即可．
解：（1）设经过x小时两车相距540千米，
由题意得：80x+120x＝540﹣240，
3
解得：x= ．
2
3
答：经过 小时两车相距540千米；
2
（2）设乙车开出x小时两车相距540千米．
80（x+1）+120x＝540﹣240，
11
解得：x= ．
1011
答：乙车开出 小时两车相距540千米；
10
（3）设经过x小时快车可追上慢车：
由题意得：120x﹣80x＝240，
解得：x＝6．
答：经过6小时快车可追上慢车；
（4）设经过x小时，两车相距300千米．
由题意得；120x﹣80x＝300﹣240．
3
解得：x= ．
2
3
答：经过 小时两车相距300千米．
2
总结升华：本题主要考查的是一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量
关系列出方程求解．注意区分“背向”和“同向”的区别．
第二部分 配套作业
1．（2022春•方城县期中）下列变形正确的是（ ）
7
A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得x=-
4
1
C．由3＝x﹣2，得x＝3+2 D．由 y=0，得y＝2
2
思路引领：根据等式的性质即可求解．
解：A根据等式的性质1可知，由3+x＝5，两边同时减3，得x＝5﹣3，则A选项不符
合题意；
4
B根据等式的性质2可知，由7x＝﹣4两边同时除以7，得x=- ，则B选项不符合题
7
意；
C根据等式的性质1可知，由3＝x﹣2两边同时加2，得x＝3+2，则C选项符合题意；
1
D根据等式的性质2可知，由 y=0两边同时乘2，得y＝0，则D选项不符合题意；
2
故选：C．
总结升华：本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2021秋•西工区校级月考）如果有理数m，n满足|m|﹣n＝0，那么m，n的关系是（
）
A．互为相反数 B．m＝±n且n≥0
C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值
思路引领：已知等式变形得到|m|＝n，利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关
系．
解：根据题意得：|m|＝n，则m＝±n且n≥0．
故选：B．
总结升华：此题考查了有理数的减法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握绝对值的代数
意义是解本题的关键．
3．（2021秋•龙口市期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax+3＝b的解，则6a﹣3b+2
的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．7 D．11
思路引领：把x＝2代入方程ax+3＝b得出2a+3＝b，求出2a﹣b＝﹣3，变形后代入，即
可求出答案．
解：把x＝2代入方程ax+3＝b得：2a+3＝b，
即2a﹣b＝﹣3，
所以6a﹣3b+2
＝3（2a﹣b）+2
＝3×（﹣3）+2
＝﹣9+2
＝﹣7，
故选：B．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解和求代数式的值，能求出 2a﹣b＝﹣3是解此题的
关键．
4．（2022秋•丰台区校级期中）若x3﹣2a+2a＝4是关于x的一元一次方程，则a＝ ．
思路引领：把只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1的整式方程称为一元一次方程，
根据一元一次方程的概念即可完成解答．
解：由题意得：3﹣2a＝1，
解得a＝1，
故答案为：1．
总结升华：本题考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三点：
①只含一个未知数，即一元；②未知数的次数是1，即一次；③方程两边都是整式．
5．（2022春•原阳县月考）已知（k﹣3）x|k﹣2|﹣2021＝2022是关于x的一元一次方程，则
k＝ ．
思路引领：根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
解：∵（k﹣3）x|k﹣2|﹣2021＝2022是关于x的一元一次方程，
{ k-3≠0
∴ ，
|k-2|=1
解得k＝1．
故答案为：1．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫
一元一次方程．
6．（2021秋•蓬江区校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一
次方程，则k的值为 ．
思路引领：根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0且k﹣2≠0，然后求解即可得出答案．
解：∵关于x的方程（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一次方程，
{|k|-2=0
∴
k-2≠0
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0
且k﹣2≠0是解此题的关键．
7．（2021春•南安市期中）方程|x﹣k|＝1的一个解是x＝2，那么k＝ ．
思路引领：根据一元一次方程的解的定义，得到方程|2﹣k|＝1，根据绝对值的性质求出
k的值即可．
解：由题意得，|2﹣k|＝1，
则2﹣k＝1或2﹣k＝﹣1，
解得，k＝1或k＝3．
故答案为：1或3．
总结升华：本题考查的是一元一次方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未
知数的值叫做一元一次方程的解．
8．（2021秋•灵武市期末）解方程：
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17；
4-x 2x+1
（2） - =1．
2 3
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17，
移项合并得：2x＝18，
解得：x＝9；
（2）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6，
移项合并得：7x＝4，
4
解得： ．
7
总结升华：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未
知数系数化为1，求出解．
9．（2020秋•罗湖区校级期末）解方程：（1）3﹣（5﹣2x）＝x+2．
4-x 2x+1
（2） - =1
2 3
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）3﹣5+2x＝x+2
2x﹣x＝2﹣3+5
x＝4；
（2）3（4﹣x）﹣2（2x+1）＝6
12﹣3x﹣4x﹣2＝6
﹣3x﹣4x＝6+2﹣12
﹣7x＝﹣4
4
x= ．
7
总结升华：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把 x
系数化为1，求出解．
10．（2012秋•绵阳校级期中）已知|5﹣2x|+（5﹣y）2＝0，x，y分别是方程ax﹣1＝0和2y
1
﹣b+1＝0的解，求代数式（5a﹣4）2011（b﹣10 ）2012的值．
2
思路引领：先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入方程ax﹣1＝0和2y﹣b+1＝0求
出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
解：∵|5﹣2x|+（5﹣y）2＝0，
5
∴5﹣2x＝0，5﹣y＝0，解得x= ，y＝5．
2
∵x，y分别是方程ax﹣1＝0和2y﹣b+1＝0的解，
5 2
∴ a﹣1＝0，10﹣b+1＝0，解得a = ，b＝11，
2 5
1 1 1
∴原式＝（2﹣4）2011（11﹣10 ）2012＝（﹣2）2011•（ ）2012＝（﹣2× ）2011
2 2 2
1 1
× =- ．
2 2
总结升华：本题考查的是二元一次方程的解，熟知非负数的性质及有理数乘方的法则是
解答此题的关键．
m-2
11．（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=- 的解比方程5（x﹣
2
1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．思路引领：（1）首先去括号，移项、合并同类项可得x的值；
m-2
（2）根据（1）中x的值可得方程2（x+1）﹣m=- 的解为x＝3+2＝5，然后把x
2
的值代入可得关于m的方程，再解即可．
解：（1）5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
m-2
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=- 的解为x＝3+2＝5，
2
m-2
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m=- 得：
2
m-2
2（5+1）﹣m=- ，
2
m-2
12﹣m=- ，
2
m＝22．
总结升华：此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相
等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
12．（2021秋•开福区校级期中）（1）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果
两人合做8天后，余下的工作再由甲独做多少天完成？
（2）甲一天能加工A种零件50个或加工B种零件20个，1个A种零件与2个B种零件
配成一套，那么甲30天时间安排多少天做A种零件，多少天做B种零件，才能使得所
有零件都刚好配套？
思路引领：（1）根据完成的工作量为1列出方程解答即可．
（2）设x天制作A种零件，根据等量关系列出方程解答即可．
1 8 8
解：（1）设余下的工作再由甲独做x天完成，根据题意可得： x+ + =1，
18 18 24
解得：x＝4，
答：余下的工作再由甲独做4天完成；
（2）设x天制作A种零件，可得方程：2×50x＝20（30﹣x），
解得：x＝5，
30﹣5＝25，
答：甲30天时间安排5天做A种零件，25天做B种零件，才能使得所有零件都刚好配
套．
总结升华：此题考查了一元一次方程的应用，把工作总量看作“1”，利用工作总量、
工作效率、工作时间三者之间的关系解决问题．
13．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上三点 A，B，C表示的数分别为﹣12，﹣5，5，P，Q两点分别从A，C两点同时出发，相向而行，点P的速度为4个单位/秒，点Q的
速度为6个单位/秒．
（1）点A与点C之间的距离为 ；
（2）P，Q在数轴上的相遇位置对应的数是 ；
（3）设点P运动时间为t（s），当点B到点Q的距离是点B到点P距离的2倍时，求t
的值；
（4）当点P到A、B、C三点的距离之和为20个单位长度时，点P立即调头返回．速度
不变．当P，Q两点在数轴上相遇时，相遇位置对应的数是 ．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式解答；
（2）根据路程和等于相距路程列出方程可得方程，解方程可得答案；
（3）分别用含t的代数式表示出QB和PB，再列方程解答即可；
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，根据题意分
情况解答即可．
解：（1）A，B两点之间的距离为：5﹣（﹣12）＝17．
故答案是：17；
（2）设运动时间为x秒，
由题意得，4x+6x＝5﹣（﹣12），
解得x＝1.7，
﹣12+4×1.7＝﹣5.2，
答：P，Q在数轴上表示﹣5.2的点处相遇；
故答案为：﹣5.2；
（3）由题意得，t秒时，点P表示的数是﹣12+4t，点Q表示的数是5﹣6t，
∴QB＝|（5﹣6t）﹣（﹣5）|＝|10﹣6t|，BP＝|（﹣12+4t）﹣（﹣5）|＝|4t﹣7|，
12
解得 或t＝2．
7
12
答：当QB＝2BP时，t的值是 或2；
7
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，
当P在AB之间时，
由题意得7+17﹣4m＝20，
解得m＝1，
由5﹣6（n+1）＝﹣8﹣4n，可得n＝3.5，
∴﹣8﹣4×3.5＝﹣22，
当P在BC之间时，
由题意得17+4m﹣7＝20，
解得m＝2.5，
由5﹣6（n+2.5）＝﹣2﹣4n可得n＝﹣4，此时P，Q不能相遇．
综上，点P，Q能在数轴上相遇，相遇点是﹣22．
总结升华：本题考查一元一次方程是实际应用，熟练掌握行程问题中的等量关系并列出
方程是解题关键．
14．（2022秋•邓州市期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 300元，领带
每条定价50元．厂方在国庆节期间开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的九折付款．
（1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案
购买较为合算．
（2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
①若该客户按方案一购买需付款 元（用含x的代数式表示）；
②若该客户按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
③当x＝ 时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
思路引领：（1）利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可分别求出选
项两种优惠方案所需费用，比较后即可得出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示
出选择方案一所需费用；
②利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选
择方案二所需费用；
③根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
结论．
解：（1）选择方案一所需费用为300×20+50×（30﹣20）＝6500（元），
选择方案二所需费用为300×0.9×20+50×0.9×30＝6750（元）．
∵6500＜6750，
∴选择方案一购买较为合算；
（2）①若该客户按方案一购买，需付款300×20+50（x﹣20）＝（5000+50x）（元），
故答案为：（5000+50x）；
②若该客户按方案二购买，需付款300×0.9×20+50×0.9x＝（5400+45x）（元），
故答案为：（5400+45x）；
③依题意得：5000+50x＝5400+45x，
解得：x＝80，
∴当x＝80时，两种优惠方案所付的钱数相同．
故答案为：80．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的
关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出选项两种优惠方案所需费用；（2）①②根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出需付款金额；③找准等量关系，正确列
出一元一次方程．
15．（2022秋•思明区校级期中）如图1是2022年1月的月历．
（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方
框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？如果可以，请写出这三个数．
（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则：
①t能否等于92，请通过列式计算说明理由．
②t是否存在最大值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）同一列的三个数，相邻的数相差7，可设中间的数为x，则另外两个数
分别为x﹣7，x+7，列出方程求解即可；
（2）①根据“7”字型框中的数的规律，可设这四个为分别为 m，m+1，m+1+7，
m+1+7+7，列出方程求出m的值是否存在即可；
②设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，则t＝4m+24，要保证m的存在，则
当m＝15时，t出现最大值．
解：（1）可以，
设中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7，x+7，根据题意有，
x﹣7+x+x+7＝36，解得：x＝12，
∴x﹣7＝12﹣7＝5，x+7＝12+7＝19，
∴这三个数为：5，12，19；
（2）①t不能等于92，
根据“7”字型框中的数的规律，可设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，根
据题意有，
m+（m+1）+（m+1+7）+（m+1+7+7）＝92，解得：m＝17，
∴m+1+7+7＝17+1+7+7＝32，
∵日历里面不存在32这个数，
∴t不能等于92；
②设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，
∴t＝m+（m+1）+（m+1+7）+（m+1+7+7）＝4m+24，
根据日历，m能取得最大值为m＝15，当m＝15时，t＝4m+24＝15×4+24＝84，
∴t是存在最大值，最大值为84．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用，根据日历中数的规律列出合适的方程是解本题
的关键，综合性较强，难度适中．
