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跟踪训练 03 随机事件与概率
一．选择题（共15小题）
1．现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任
取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件
“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件
“两次取得不同花色的扑克牌”，则
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
【解答】解：由题意得，事件甲的概率 ，事件乙的概率 ，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是 ，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为 ，
则事件丙的概率 ，所以事件丁的概率 ，
对于 中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率 ，
所以乙与丙不相互独立，所以 错误；
对于 中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为6，其概率 ，
所以乙与丁不相互独立，所以 错误；
对于 中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率 ，
所以甲与丙不相互独立，所以 错误；
对于 中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率 ，
所以甲与乙相互独立， 正确．
故选： ．
2．若事件 与 互为互斥事件， ，则A． B． C． D．
【解答】解： 事件 与 互为互斥事件， ，
．
故选： ．
3．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子
中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有
种不同的放法，
若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：
①将4个冰墩墩分为3组，有 种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，
有 种情况，则有 种方法，
所以所求的概率为 ．
故选： ．
4．某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每 10个人组成一组对局，若一组对局
中有作弊玩家，则认为这组对局不公平．现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一
次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰有一组对局为不公平对局的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了
同一组对局，记该事件为事件 ，则 ．
故选： ．
5．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小
明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 和 ．如果他第一天去甲影院，那么第二
天去甲影院的概率为 ；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 ．若小
明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设小明第一天去甲影院为事件 ，第二天去甲影院为事件 ，小明第一天去
乙影院为事件 ，第二天去乙影院为事件 ．
故 ，
由 可得 ，
故 ，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为 ．
故选： ．
6．已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ， （B） ，则
（C）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【解答】解：因为随机事件 和 互斥且 ， （B） ，
则 （A） ，又 和 对立，
则 （C） （A） ．
故选： ．
7．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面
接触的面上的数字，得到样本空间 ，2，3，4，5，6，7， ，设 ，2，3，
， ，2，3， ， ，6，7， ，则
A． 与 互斥
B． 与 相互对立
C． 与 相互独立
D．
【解答】解：一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观
察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间 ，2，3，4，5，6，7， ，
则 ，2，3， ，则 ，
，2，3， ，则 ， ，
，6，7， ，则 ，
又 ，2， ，故 与 不互斥，故 错，
又 ，2，3，4，6，7， ，故 与 不对立，故 错，
因为 ，7， ．则 ，且 ，故 与 不独
立，故 错，
又 ，则 ，故 ，故 对．
故选： ．
8．已知随机事件 和 互斥，且 ， （A） ，则事件 的对立事件的
概率为
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解答】解：根据题意，因为 （A） ， ，
所以由 （A） （B） ，
又事件 与 互斥，所以 ，
所以 （B） ，
所以事件 不发生的概率为 ．
故选： ．
9．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调
查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况
下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题 ：
抽到红球，则回答问题 ，且箱子中只有白球和红球．
问题 ：你的生日的月份是否为偶数？（假设生日的月份为偶数的概率为
问题 ：你是否有在校使用手机？
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1000张
有效答卷，其中有270张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手
机的概率是（精确到
A．0.09 B．0.12 C．0.20 D．0.27
【解答】解：从箱子中随机抽一只球，抽到白球的概率为 ，抽到红球的概率为 ，
所以回答问题 的人数是 人，回答问题 的人数是 人，回答 问题中答“是”的人数是 人，
所以回答 问题中答“是”的人数是 人，
所以估计该校学生有在校使用手机的概率是 ．
故选： ．
10．下列说法正确的是
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是 ，因此买100张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是
【解答】解：随机事件的不确定性可以确定 ， 选项错误，
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1， 选项正确；
任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36种情况，点数和是3的倍数的情况有 ，
， ， ， ， ， ，7个基本事件，则点数和是3的倍数的概率是
，故 选项错误．
故选： ．
11．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何
队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的
概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮比赛中，甲和乙猜对与互不影响，则“几何
队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设事件 “甲猜对”， “乙猜对”， “‘几何队’至少猜对一
个成语”，所以 ， ， ， ，
则 ，由事件的独立性与互斥性得：
（C） （A） （B） （A） （B） （A） （B）
．
故选： ．
12．赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦
为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类
比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边
三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则
此点取自小等边三角形的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意有： ， ， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
设事件 为”此点取自小等边三角形（阴影部分）“，
由几何概型中的面积型可得： （A） ．
故选： ．
13．已知某抽奖活动的中奖率为 ，每次抽奖互不影响．构造数列 ，使得，记 ，则 的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，可得 ，
抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖，
故 的概率为 ．
故选： ．
14．已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为 0.8，乙中靶概率为0.7，且
两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为
A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94
【解答】解：因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，
所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为 ．
故选： ．
15．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、
礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中
“义”不在首位的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：“仁、义、礼”排成一排的所有可能有：仁义礼；仁礼义；义仁礼；义礼仁
礼仁义；礼义仁．共6种可能；
“义”不在首位：仁义礼；仁礼义；礼仁义；礼义仁，有4种可能．
由古典概型得，“义”不在首位的概率为 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 、存在如下关系， ．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、
乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的
概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【解答】解：设 为第一天去甲餐厅， 为第二天去甲餐厅， 为第一天去乙餐厅，
为第二天去乙餐厅，
所以 ， ， ， ，
因为 ， ，
所以， ， ，
所以有 ，故选项 正确；
第二天去甲餐厅 与第二天去乙餐厅 为对立事件， ，故选项
不正确；
因为 ，故选项 正确；
，故选项 不正确，
故选： ．
17．在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概
率为 ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，
三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，
收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次
收到1，0，1，则译码为
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输
方案译码为0的概率
【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：
，故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为： ，
故 正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为： ，故 错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率 ，
单次传输发送0译码为0的概率 ，，
当 时， ，
故 ，故 正确．
故选： ．
18．下列说法中正确的是
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量 ，且 ，则 ．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个
球．记事件 第一次抽到的是白球 ，事件 第二次抽到的是白球 ，则
D．设随机事件 ， ，已知 （A） ， ， ，则
（B）
【解答】解：对于 ，共有10个数， ，所以数据的第80百分位数为17和20
的平均数，即为18.5，故错误；
对于 ，因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故正确；
对于 ，由题意可知 ，
所以 ， ，故错误；对于 ，因为 （A） ， ，
所以 （A） ，
又因为 （A） ，
所以 ， ，
所以 ，故正确．
故选： ．
19．一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出
一球，现取出2个球，则下列说法正确的是
A．两个都是红球的概率为
B．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为
C．第二次取到红球的概率为
D．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为
【解答】解：对于 ，两个都是红球的概率为 ， 错误；
对于 ，在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为 ， 正确；
对于 ，第二次取到红球的概率为 ， 正确；
对于 ，第一次取得白球，第二次取得红球的概率为 ，
第二次取到红球的概率为 ，
所以第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为 ， 正确．
故选： ．
20．某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件 “只选择甲兴趣班“， “至少选择一个兴趣班”， “至多选择一个兴趣班”，
“一个兴趣班都不选”，则
A． 与 是互斥事件
B． 与 既是互斥事件也是对立事件
C． 与 不是互斥事件
D． 与 是互斥事件
【解答】解：对于 ：事件 “只选择甲兴趣班“， “至多选择一个兴趣班”正
好选甲兴趣班，故 与 不互斥，故 错误；
对于 “至少选择一个兴趣班”， “一个兴趣班都不选”，根据互斥事件和
对立事件的定义， 与 既是互斥事件也是对立事件，故 正确；
对于 “至少选择一个兴趣班”， “至多选择一个兴趣班”，不可能为互斥
事件，故 正确；
对于 “至多选择一个兴趣班”可能一个班也不选， “一个兴趣班都不选”
故 错误．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4
个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5
个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率
为 ．【解答】解：设装变形金刚玩具的盒子分别为 ， ， ， ，装积木玩具的盒子为 ，
则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共10种不同方法，
恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有 ， ， ， ，
共4种不同方法，
故所求概率 ．
故答案为： ．
22．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式
当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；
当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；
当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传
给乙．初始时，球在甲手中，投掷 次骰子后 ，记球在甲手中的概率为 ，则
； ．
【解答】解：由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：
①：甲 甲 甲 甲，其概率为 ，
②：甲 甲 乙 甲，其概率为 ，
③：甲 乙 甲 甲，其概率为 ，
④：甲 乙 丙 甲，其概率为 ，
所以投掷3次后，球在甲手中的概率为 ，
记当投掷 次骰子后，球在甲手中的概率为 ，再三次投掷后，即投掷 次，球仍在甲手中的概率为 ，
则 ，
即 ，即 ，
又因为 ，
当 ， 时， ；当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
所以 ．
故答案为： ； ．
23．某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立新产品研发项目，组件甲、乙两个
新产品研发小组，且两个小组独立开展研发工作．已知甲小组研发成功的概率为 ，乙小
组研发成功的概率为 ．则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为
．
【解答】解：设事件 为“新产品研发成功”，则 （A） ，
事件 为“甲小组研发成功”，则 （B） ，则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为 ．
故答案为：
24．李明参加中央电视台《中国诗词大会》的选拔赛，在已知备选的 10道题中，李明能答
对其中的6道，若规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选，
则李明入选的概率为 ．
【解答】解： 在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，
规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
李明入选的概率为：
．
故答案为： ．
25．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击
一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击
一次击中的概率均为 ，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率
是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
【解答】解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2
次甲未击中，故概率是 ；
第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击
中，第2次乙也未击中，
故概率是 ．
故答案为： ； ．
四．解答题（共3小题）26．已知 ， ， ， 四个袋，每个袋中都有1个黑球和1个白球共两个球，这些球
除颜色外完全相同．现有 ， 两个空盒，甲同学从 ， 两袋中各随机取出1个球，
放入 盒中；乙同学从 ， 两袋中各随机取出1个球，放入 盒中．
（1）求： 盒中是两个黑球的概率， 盒中是一个黑球和一个白球的概率， 盒中是两
个白球的概率；
（2）接下来丙同学从 ， 两盒各随机取出1个球，记录下颜色后，放回原盒；随后丁
同学从 ， 两盒各随机取出1个球，记录下颜色后，放回原盒．
求：丙同学取得两个白球的概率；
在 ， 两盒中无任何一盒是两个白球的条件下，求丙、丁两位同学都取得两个白球
的概率．
【解答】解：（1） 盒中是两个黑球的概率为 ，或 ；
盒中是一个黑球和一个白球的概率为 ，或 ；
盒中是两个白球的概率为 ，或 ．
（2） 丙同学取得两个白球的概率为 ，
或 ．
法一：在 ， 两盒中无任何一盒是两个白球的条件下，丙、丁两位同学都取得两个
白球的概率为 ．法二： ， 两盒中无任何一盒是两个白球的概率为 ．
， 两盒中无任何一盒是两个白球且丙、丁两位同学都取得两个白球的概率为
．
从而在 ， 两盒都不是两个白球的条件下，丙、丁两位同学都取得两个白球的概率为
．
27．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为
， ， ，有2个黑球，编号分别为 ， ，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续
取两次．
（1）试写出该试验的样本空间；
（2）设事件 ：“第一次摸到红球”，事件 ：“第二次摸到黑球”，求事件 和事件
发生的概率．
【解答】解：（1）由题意得，试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本
空间为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ；
（2）由（1）知样本空间中基本事件总数为20，
符合事件 ：“第一次摸到红球”的样本空间为： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共12个基本事件，
，
符合事件 ：“第二次摸到黑球”的样本空间为： ， ， ， ， ， ，， ， ，
故事件 和事件 发生的概率分别为 ， ．
28．某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，
已知甲每轮射中的概率为 ，乙每轮射中的概率为 ．在每轮比赛中，甲和乙射中与否互
不影响，各轮比赛结果也互不影响．
（1）求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；
（2）求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率．
【解答】解：（1）设 ， 分别表示甲、乙在第 ，2，3， 轮射中，
则 ， ．
设 表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，
则 ，
所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率为 ．
（2）设 ， ， ， 分别表示甲在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，
， ， ， 分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，
表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次．
，
，
，
，
所 以故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为 ．
