文档文本内容
两个计数原理
9-1
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
9-1 两个计数原理....................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：两个计数原理............................................................................................................................1
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................2
题型一 分类加法计数原理....................................................................................................................2
题型二 分步乘法计数原理....................................................................................................................3
题型三 两个计数原理的综合应用......................................................................................................4
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................5一、主干知识
考点1：两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
【常用结论总结】
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加 分步、相乘
每步依次完成才算完成这件事情
不同点 每类方案中的每一种方法
(每步中的每一种方法不能独立完
都能独立完成这件事
成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可二、分类题型
题型一 分类加法计数原理
【例题精析1】 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到
丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同
的走法？
【例题精析2】 书架上放有6本不同的数学书和5本不同的语文书．从中任取一本，有多少种不同的取法？
分类标准的选择
(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两
种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．【对点精练1】 从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有5条小路可走，又从甲地不经过乙地到丙地
有3条水路可走．
(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【对点精练2】 某校确定的优秀毕业生候选人中，一班有3人，二班有5人，三班有2人．
(1)从三个班中评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？
(2)从三个班中各评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法？
题型二 分步乘法计数原理
【例题精析3】 某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子．若取其中的一件上衣和一条裤子
配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？
【例题精析4】 4名学生分别报名参加学校的足球队、篮球队和棒球队，每人限报其中的一支．问：有多少
种不同的报名方法？
【例题精析5】 判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题.( )
（2）分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( )
（3）分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( )
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题．( )
利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，
整个事件才算完成．
【对点精练3】 用1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？
【对点精练4】 一个三层的书架上共放有9本书，其中第一层放有4本不同的语文书，第二层放有3本不同
的数学书，第三层放有2本不同的外语书．若从书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取
法？
题型三 两个计数原理的综合应用
｛实际问题中的计数问题｝
【例题精析6】 李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选
择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有( )
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
【例题精析7】 某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不
能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【例题精析8】 现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两
个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种｛代数中的计数问题｝
【例题精析9】 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”
和“费马猜想”已经分别在 年和 年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想
仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于 的
自然数中，除了 和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过 的质数中，随机选取两个不同的
数，其和为奇数取法有 种．
｛几何计数问题｝
【例题精析10】 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”
和“费马猜想”已经分别在 年和 年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想
仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于 的
自然数中，除了 和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过 的质数中，随机选取两个不同的
数，其和为奇数取法有 种．
｛数字排列问题｝
【例题精析11】 用 ， ， ， 四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【例题精析12】 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）．
A．42个 B．48个 C．54个 D．120个
｛涂色问题｝
【例题精析13】 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如
果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ）
A．192 B．420 C．210 D．72
【例题精析14】 某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有
6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花
卉，则不同的布置方案有（ ）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种
｛其它计数问题｝
【例题精析15】 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 五个
座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐
法有 种.
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．
【对点精练5】 现有天平及重量为1，2，4的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平
的左边或者右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右
边，则这样的放法共有（ ）种.
A．15 B．13 C．11 D．10
【对点精练6】 某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台
阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步
均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10 B．9 C．8 D．12
【对点精练7】 某校数学课外活动小组有高一学生 人，高二学生 人，高三学生 人．
(1)选其中 人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每一年级各选 名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选出其中 人去外校参观学习，要求这 人来自不同年级，有多少种不同的选法？【对点精练8】 某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个
公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣
传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序）
【对点精练9】 有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位
不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是
【对点精练10】 正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法
【对点精练11】 用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻
（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有 .
【对点精练12】 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现
在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂
色方案共有 种（用数字作答）.
【对点精练13】 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，
且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有 .
【对点精练14】 从0､1､2､3､4､5六个数字中任取四个数字，可以组成多少个没有重复数字、且为奇数的四位
数？
三、分层训练：课堂知识巩固1．（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 ．在电脑上绘
画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为
A． B．27 C． D．6
2．（2023•泸县校级模拟）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、
丙不相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
3．（2023•涪城区校级模拟）从10人（含甲、乙）中选出4人参加某项公益活动，要求甲、乙二人中至少
有1人参加，则不同选法有
A．210 B．168 C．180 D．140
4．（2022•武汉模拟）某旅游景区有如图所示 至 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的
黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为
A．288 B．336 C．576 D．1680
5．（2022•广州三模）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，
在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数
为A．480 B．600 C．720 D．840
6．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每
日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不
相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
7．（2022•辽宁二模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底
同火不同，汤通油不通”．它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度．其锅
具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）
“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．
现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现
将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同
放法
A．108 B．36 C．9 D．68．（2022•仁寿县校级模拟）将5个不同的球装入3个不同的盒子中（每个盒子都不空），则不同的装法
有
A．25种 B．60种 C．125种 D．150种
9．（2022•安徽模拟）某单位从甲、乙、丙、丁、戊五名职工中选取3人负责一个地区的扶贫攻坚工作，
其中甲、乙两人中至少要选取1人，甲、丙两人不能同时入选，则不同的选法总数为
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2022•临澧县校级模拟）某项实验，要先后实施6个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，
程序 和 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
11．（2021•信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、
牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依
次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位
同学选取礼物都满意，则选法有
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
12．（2020•青羊区校级模拟）由数字0，1，2，3组成的无重复数字的四位数中，比2019大的数的个数为
A．10 B．11 C．12 D．13
13．（2020•吉林模拟）一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，沿着正四面体 的棱爬行，
每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点 ，第4秒后又回到 点的不同爬行路线
有A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
14．（2020•上海）已知 ， ， ，0，1，2， ， 、 ，则 的情况有 种．
15．（2022•山西自主招生）如图，用四种不同颜色给图中的 ， ， ， ， ， ， ， 八个点涂
色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 种．
16．（2022•萍乡二模）在 的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个
球，每球占一格，则不同的放法种数为 ．（结果用数字作答）
17．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、 口语、阅读、 手工、阅读、 口语、阅读、 音乐、口语、
体育、编程 编程、美术 科技、体育 体育、编程 美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 1 4 种．（用数值表示）
18．（2021•金东区校级模拟）现有六人排成一列，每人在红，黄，蓝，白，黑五种颜色的球中选一个
（每种颜色的球足够多）．要求任意相邻两人所选的球或者同色，或者至少有一个为白色，则满足要求的
选球方式数为 ．
