数列的递推公式
考点1
专题06 数列
6 大考点概览
题型01 数列的递推公式
题型02 等差数列及其性质
题型03 等比数列及其性质
题型04 数列的前n 项和
题型05 数列与概率等知识的交汇问题
题型06 数列中的新定义问题
1．（2026·山东济宁·一模）已知数列
的首项
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．12
【答案】A
【分析】根据递推关系得
，结合等差数列定义写出
的通项公式，即可得答案.
【详解】由题意可得：
，令
，则可得：
，
所以
是等差数列，公差为2.又因为
，所以
，
所以
.
2．（2026·北京密云·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．35
B．11
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，即
，可知数列
是以首项为
，公差为
的等差
数列，则
，所以
.
3．（2026·山东德州·一模）数列
中，
，对
，有
，若
，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【分析】先根据
求证
为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可．
【详解】令
，可得
，则
是首项
，公差
的等差数列，
通项公式为
，
，解得
．
4．（2026·四川宜宾·一模）已知数列
满足对任意的
，都有
．若
，
则
（ ）
A．8
B．18
C．20
D．27
【答案】C
【分析】根据题意，分别令
和
求得
，
，再求和即可.
【详解】因为数列
满足对任意的
，都有
，
，所以，当
时，
，解得
；当
时，
，解得
；所以
5．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列
满足
，且
，则
满足的关系
式不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用反证法验证D 选项不成立，通过举反例验证A,B,C 选项.
【详解】因为
是递增数列，所以
．又
，所以
，
则
．若
，则
，则
．
由
，得
，即
，矛盾，故
满足的关系式不可能为
．
取
，则
，满足
是递增数列，此时
，
．取
，
，则
，满足
是递增数列，此时
．
6．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码
领域中得到应用．已知大衍数列
满足
，
，则正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．数列
的前20 项和为110
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得
，
，
，
，故A 正确；
对于B，因为
为偶数，所以
，因为
为奇数，
所以
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
为偶数，所以
，又因为
为奇数，
，所以
，所以
，
所以
，故C 错误；
对于D，数列
的前
项的和为
，
所以
，故D 正确.
7．（2026·江西赣州·一模）已知数列
的前
项和为
，满足
，在
数列
中，
，且
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据递推关系
得到另一个式子，作差可求出
，根据
可推
出
，累乘法可求出数列
的通项公式，再通过数列
的递推关系得到另一个式子，作商
可得到
的通项公式，进而求解，要注意所求式子对
的限制.
【详解】因为
，①，所以
，
（若
，则
，
从而得
，与
矛盾），当
时，
，②
①
②得
，移项得
，所以
.由
得
，
解得
，所以
，所以
，
而
也满足上式，所以数列
的通项公式为
.因为
，③
所以当
时，
，④，由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数，
所以③
④得
，即
.
当
时，由
得
，又
所以
，
所以
均满足
，所以数列
的通项公式为
，即数列
是
首项为1，公比为2 的等比数列，所以
.
8．（多选）（2026·青海西宁·一模）已知数列
的前n 项和为
，且
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
，则
为等差数列
B．若
为等差数列，则公差可能为1
C．若
，则当且仅当
时，
取得最小值
D．若数列
是递增数列，则
的取值范围是
【答案】AC
【详解】由
，当
时，
，
当
时，
，
若
，则
，符合
，故
为等差数列，A 正确；
因为当
时，
，所以若
为等差数列，则
的公差为2，故B 错误；
若
，则
，当
时，
，所以
，
，
，又当
时，
，所以当且仅当
时
取得最小值，故C 正确；
当
时，
，故数列
为递增数列等价于
对任意的
，
恒成立，即
，可得
，故D 错误．
9．（多选）（2026·河北承德·一模）已知数列
满足
，
，设
的前n 项和
为
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
中存在最小项
【答案】ABC
【分析】根据数列
的递推公式，利用构造法可得
，从而数列
是以4 为首项，
2 为公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得
，可判断ABC；利用数列的单调性判断D.
【详解】当
时，可得
，又因为
，所以
，故A 正确；
由
，得
，所以
，又
，所以数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，故B 正确；
由B 选项分析可得
，所以
，
所以
，故C 正确；
由C 选项分析可得
，所以
，
所以
恒成立，所以数列
为单调递减
数列，所以数列
中不存在最小项，故D 错误．
10．（多选）（2026·福建泉州·一模）数列
中，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】AD
【分析】对于AB，先根据已知条件判断数列
的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解
通项公式；对于CD，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得.
【详解】对于A 选项，由题意可得
，即
，又
，所以数列
是首项为1
公差为2 的等差数列，所以
，A 正确；
对于B 选项，由题意可得
，
，所以数列
为等比数列，其首项为
，公比
为
，所以
，B 错误；
对于C 选项，由题意可得
，可得
，
，所以数列
为等比数列，其首项为
，公比为
，所以
，所以
，
所以
，C 错误；
对于D 选项，由题意可得
，可得
，
，所以数列
为等比数列，其首项为，公比为
，所以
，所以
，D 正确.
11．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）记数列
的前
项和为
，若
，
且
，则（ ）
A．
B．
是等差数列
C．
D．当
时，
有最小值
【答案】AB
【分析】利用
与
的关系，得到
（
），结合已知条件判断数列
为等差数列，
求出通项公式及前
项和，即可判断选项A、B、C，结合数列的函数性质即可判断选项D.
【详解】选项A：当
时，
，
，故A 正确.
选项B：当
时，
，
则
，即
（
），又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，故B 正确.
选项C：由B 知，
，
，故C 错误.
选项D：由C 知，
，因为
，所以当
或
时，
取最小值，故D 错误.
12．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】由
和
的关系求出数列
为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用
，求出
，故选项C 错误，由
，应用等差数列求和公式计算选项D 正确.
【详解】由题意，当
时，
，解得
.当
时，
，
所以
，即
，所以数列
是以
为首项，
以
为公比的等比数列，
，故选项A 错误，选项B 正确；所以
，
故选项C 错误；
， 故选
项D 正确.
13．（多选）（2026·福建龙岩·一模）已知数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．数列
是等差数列
B．数列
不是单调数列
C．数列
中存在不同的两项，使
是这两项的等比中项
D．记数列
，则数列
的前2026 项的和为4052
【答案】AC
【分析】对A，根据等差数列的定义，验证
是否为常数来判断；对B，先求出数列
的
通项，再通过判断
的符号，或比较相邻项的大小关系来确定单调性；对C，假设存在不同
两项
，根据等比中项的定义列出等式
，结合通项公式分析是否存在正整数
满足等式；对D，先根据
的通项公式化简
，分析
的周期性，再利用周期性计算
前2026 项的和.
【详解】对于A：首先根据数列前
项和
求通项公式： 当
时，
；
当
时，
，对
也成立，因此通项公式为
，
（常数），因此
是首项为2、公差为2 的等差数列，A 正确；
对于B：设
，判断单调性：
对所有
成立，因此
是单调递减数列，B 错误；
对于C：
，若存在不同两项
使得
，则
，存在正
整数解
（
），满足条件，C 正确；
对于D：化简
：
，设
的前
项和为
，下求前2026
项和： 分组得
，共1013 组，每组和
为2，总和
，D 错误.
14．（多选）（2026·湖南怀化·一模）已知数列
的首项
，且满足
，下
列说法正确的有（ ）
A．
B．数列
为等差数列
C．数列
的前
项和大于4
D．数列
为单调递减数列
【答案】ABD
【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根
据作商法计算可判断D.
【详解】因为
，所以
，
对于A，由题意可得
，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，由等差数列定义可知，数列
是以为首项，为公差的等差数列，故B 正确；
对于C，由B 可知，
，
，
则
，设数列
的前
项和为
，则
，所以数列
的前
项和小
于4，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，因为
，
所以
，则数列
为单调递减数列，故D 正确.
15．（多选）（2026·广东佛山·一模）已知数列
的每一项都是整数．当
为奇数时，有
；当
为偶数时，有
．记
为数列
的前
项和，若
，
，则（ ）
A．数列
为递增数列
B．
的最小值为32
C．若
，则
的最小值为2649
D．若
，则
的最大值为86
【答案】ABC
【分析】当
为奇数时，
；当
为偶数时，
．由此为基础，
可分析A；依次分析
，判断B；利用累加法，可得
的最小值，判断C；分析
，判断D.
【详解】当
为奇数时，有
，即
；
当
为偶数时，有
，即
．所以若
，
，
则当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
．所以数列
为递增数列，
所以
正确.
由题可知，
，
，
，所以
，
，
.所以
的最小值为
.所以B 正确.
由A 项分析知，当
为奇数时，
；当
为偶数时，
．
所以
，
，
，
，……
，
.累加得
，
所以
.所以C 正确.若
，结合C 分析得，当
为奇数时，
，
所以
即
.
，所以D 不正确.
16．（多选）（2026·山东德州·一模）已知数列
满足
，且
，则（ ）
A．存在唯一的实数，使得
为常数列
B．当
时，
为递减数列
C．当
时，的取值范围为
D．当
时，
前
项和为
，则
【答案】BCD
【详解】对于A.由条件可知，
，若
，则
，为常数列，
若
，则
，为常数列，故A 错误；
对于B.因为
，当
时，
，所以
，由
可知，
对所有
，都有
，两边取以10 为底的对数，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
，
，因为
，
且
单调递增，所以数列
单调递减，故B 正确；
对于C.
，
，因为
恒成立，所以
，得
，故C 正确；
对于D.当
时，
，所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
，
，
，而数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，所
以前
项和为
，所以
，故D 正确.
17．（2026·湖北荆州·一模）已知数列
满足
，则
＝______.
【答案】
【分析】利用累加法和等差数列的前
项和公式求解.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
.
18．（2026·山西朔州·一模）已知数列
的前
项和为
，若
，
，则满足
的
的最小值为__________.
【答案】49
【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出
的表达式，接
等差（比）数列及其性质
考点2
着由题设不等式得到
的
的最小值即为所求，利用放缩法求得
和
即可得解.
【详解】由
知，
，所以
，
所以数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，则
，
所以
.则满足
的
的最小值，
即满足
的
的最小值.
令
，易知
为单调递减函数.
又
，令
，解得
.
因为
，
当
时，
，所以
.
当
时，
，
所以
.因此满足不等式的
的最小值为49.
1．（2026·山西晋城·一模）已知等差数列
的公差为
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】 由
，得
，得
，故
．
2．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
和
的等差中项为6，则
（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，由题意得，
，
则
.
3．（2026·甘肃兰州·一模）
为等差数列
的前
项和.若
，则公差
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】设等差数列
的首项为
，由
，则
，解得：
.
4．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
和
的等差中项为6，则
（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，由题意得，
，
则
.
5．（2026·内蒙古赤峰·一模）
为等差数列
的前
项和，若
，且
，则
（ ）
A．12
B．15
C．16
D．18
【答案】B
【详解】由
，得
，即
，即
，所以
，
又
，由等差数列的性质得
，解得
.
6．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】A
【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.
【详解】因为
是等差数列
的前
项和，所以
成等差数列.
所以
，即
.
7．（2026·山东青岛·一模）已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由等差数列性质可得
，结合条件可求
，再由等差数列求和公式及性
质可得
，由此可求结论.
【详解】因为数列
为等差数列，所以
，所以
，
所以
，所以
．
8．（2026·河北唐山·一模）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）
A．11
B．9
C．8
D．5
【答案】A
【详解】等差数列
中，由
，得
，即
，解得
，
而
，则公差
，所以
.
9．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列
的前
项和为
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出
，再结合已知条件，利用基本不
等式求
的最大值．
【详解】由题意得
，解得
，由等差中项的性质可得
，
解得
，
，由题意知
，根据基本不等式
，当且仅当
时等号成立，
的最大值为
．
10．（2026·河南南阳·一模）在等差数列
中，
，当
取得最小值时，
（ ）
A．5
B．6
C．2025
D．2026
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式及二次函数的性质求解即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，
，
.
所以
，所以
.
.当
取得最小值时，
，
此时
.
11．（2026·天津河西·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
．当
取得最大
值时n 的值为k，使得
成立的最大正整数n 的值为m．则
的值为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【答案】B
【分析】由
可知
，结合等差数列的通项公式及前n 项和公式确定
，即可得.
【详解】因为
，所以
，
令数列公差为
，所以
，
所以
是单调递减数列，且
，则
，所以
，
则
取得最大值时对应
，即
，因为
，
，且
，
在开口向下的抛物线上，所以
成立
的最大
，即
，故
.
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90 泥板）上记录的月相变化数
列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240 份，记数列
为
第
天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中
且
）组成的数列，第1 天月球被太
阳照亮部分占满月的
，即
份；第15 天为满月，即
.若在数列
中，前5 项构成
公比为
的等比数列，第5 项到第15 项构成公差为
的等差数列，且
均为正整数，则第10 天
可见部分占满月的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意列方程并结合
均为正整数，求出
的值，由此可求出
，即可求得答案.
【详解】由题知，
，即
，
所以
，因为
均为正整数，当
时，
，
当
时，
，满足；当
时，
，
所以
，此时月球被太阳照亮部分占满月的
.
13．（多选）（2026·广东中山·一模）数列
是等比数列，公比
，其前
项和为
，则
（ ）
A．当
时，
为递增数列
B．若
，
，则
C．若
，
，
成等差数列，则
，
，
成等差数列
D．若
，
，
成等差数列，则
，
，
成等差数列
【答案】BCD
【详解】对于A，当
时，
时，
为递减数列，故A 错误；
对于B，若
，
，
，
，
成等比数列，则
，故B 正确；
对于C，若
，
，
成等差数列，则
，即
，
即
，即
，即
，所以
，
，
成等差数列，故C 正
确；
对于D，
，
，
成等差数列，所以
，即
，所以
，即
，即
，
所以
，所以
，
，
成等差数列，故D 正确.
14．（2026·河北石家庄·一模）已知数列
满足
，当
时，
，若数列
中存在连续5 项
构成等差数列，则
的最小值是______.
【答案】2
【分析】根据给定条件，正整数
从1 开始取值，结合等差数列性质依次计算确定
的最小值.
【详解】依题意，
，当
时，数列
成等差数列，
则
，由
，得
，则
与
矛盾，
因此
，当
时，数列
成等差数列，
且
，则
，
而
，
，因此
，此时
，公差
，
，
，符合题意，所以
的最小值为2.
15．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0 的等差数列
，其前
项和为
，且
，则
__________．
【答案】
/
【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可
【详解】因为
是等差数列，且
，设
的公差为
，则有
，整理得
，经验证
，则
成立，
，
则
.
16．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
______.
【答案】14
【分析】解法一：因为
，
且
为等差数列，可以得到
，
求解即可.
解法二：因为
为等差数列，所以
为等差数列，设
，则
，
，
三项成等差数
列，再通过等差中项的性质求解即可.
【详解】因为
，且
，则
，于是
，则
，
.
解法2 由于
为等差数列，设
，则
，
，
三项成等差数列，于是
，则
，
，
.
17．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
满足
，且对任意的正整数
，当
时，都
有
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）令
，结合条件化简计算得
，即可证明；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）根据题意，令
，
当
时，
，
，所以
，
且
，则
，所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列；
（2）根据（1）可得
，所以
，
则
，
所以
.
等比数列及其性质
考点3
1．（2026·青海西宁·一模）在等比数列
中，
，
，则
的公比为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【详解】设
的公比为q，由题意，得
，解得
，所以
的公比为3．
2．（2026·河北石家庄·一模）已知数列
是等比数列，公比
，前
项和为
，满足
，
且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】D
【分析】由前
项和的定义及等比数列的通项公式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，即
，
解得
或
，又因为
，所以
.
3．（2026·山东青岛·一模）设公差不为
的等差数列
的前
项和为
，
，若
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】A
【分析】设出公差
，借助等差数列及其前
项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.
【详解】设等差数列
的公差为
，则有
，即
，
由
，
，
成等比数列，则
，即
，化简得
，
由
，则
，即有
，解得
，故
.
4．（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列
的首项为1，前
项和为
，若
，则
（ ）
A．1 或2
B．1 或4
C．2 或4
D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列的前n 项和公式，分
和
两种情况计算可得.
【详解】设等比数列
的公比为
,
当公比
时 等比数列前
项和
，因此
，满足
. 此时
；
当公比
时 等比数列前
项和公式为
，代入得：
,整理得
，令
，则
,解得
（对应
舍去）或
， 因此
.综上所述，
或
.
5．（2026·贵州安顺·一模）记
为各项均不相同的等差数列
的前n 项和，若
，
是
与
的等比中项，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公式求解即
可.
【详解】设等差数列
的公差为
，则由题可得
，即
，
解得
，所以
，故选：A.
6．（2026·陕西铜川·一模）已知
为等比数列，而且
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式的基本量运算求出公比和
，即可求
的值.
【详解】设等比数列
的公比为
.由
可得
，又
，所以
.
又由
可得
解得
.所以
.故选：D
7．（多选）（2026·河北唐山·一模）已知
，
为数列
的前n 项和，则下列结论正确的有
（ ）
A．
是等比数列
B．
C．
是递减数列
D．
中存在连续三项成等差数列
【答案】AC
【详解】对于A，由
，得
，
是等比数列，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，
，
是递减数列，C 正确；
对于D，假定
中存在连续三项成等差数列，分别为
，
则
，即
，整理得
，矛盾，
因此
中不存在连续三项成等差数列，D 错误.
8．（多选）（2026·河北保定·一模）已知等比数列
的公比为
，前
项和为
,
,
.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】先根据条件确定等比数列的公比和通项公式，可判断ABC 的真假，再利用等比数列的求
和公式，可判断D 的真假.
【详解】由
，所以
.故B 正确；
因为
，故A 错误；因为
，故C 正确；
因为
，
，所以
，故D 错误.
9．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比
为整数的等比数列
中，
是数列
的前
项和，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列性质求得
，然后结合
求得
，再求出公比
后可得通项公
式
及前
项和
，然后判断各选项．
【详解】选项A，由等比数列性质得
，由
，解得
或
，
若
，则
，不合题意，若
，则
，满足题意，A 正确；选项
B，由选项A 得
，
，等比数列的通项公式应为
形式，因此
不是等比数列，B 错；
选项C，由选项B 得，
，C 正确；选项D，由上知
，
，
，所以数列
是公差为
的等差数列，D 错．
10．（2026·重庆·一模）已知
是等比数列
的前
项和，
，则
__________．
【答案】381
【详解】由题知，
，且
因为
成等比数列，该等比数列的首项为3，公比
为2，则
.
11．（2026·四川宜宾·一模）等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
________．
【答案】
【详解】设等比数列
的公比为
，当
时，由
，
由
，这与
相矛盾，所以
不成立，
当
时，
，
.
12．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列
满足
，
，则
_______．
【答案】2
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】由
可得
，
又
，所以
，故
，故
，其中
为公比.
13．（2026·广东佛山·一模）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，
成等差数列，则等
比数列
的公比为________．
【答案】
【分析】设出公比，根据题意得到
，化简得到
，从而求出公比.
【详解】设公比为
，由题意得
，即
，
所以
，故
，又
，解得
.
14．（2026·宁夏银川·一模）在等比数列
中，
，
，
，若数列
的
前
项和
，则
______.
【答案】
【详解】设等比数列
的公比为
，因为
，所以由
，
所以
，因为
，
所以
.
15．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
___________．
【答案】
【分析】求出等比数列
的公比，利用等比数列的求和公式可求得
的值.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，故
，
所以
.
16．（2026·广东广州·一模）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若数列
的前
项和
小于120，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令
，得
，代入已知条件整理即可得证；
数列的前n 项和
考点4
（2）根据（1）中结论可得数列
的通项，应用分组求和及等差等比的前n 项和公式求
，
利用单调性及
能成立求参数的最大值.
【详解】（1）令
，则
，于是
，结合已知有
，
所以
，即
．因为
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．即数列
为等比数列．
（2）由（1）知，
，则
，
则
，
令
，整理得
，而
在
上单调递增，
且
，所以
，
的最大值为
．
1．（2026·山东威海·一模）已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．65
B．105
C．210
D．230
【答案】B
【分析】根据题意证明数列
为等差数列，公差为
，首项为，进而求得通项公式，再计算对
应项并求和即可.
【详解】因为
，所以
，即
，又因为
，所以
，
，所以
，即数列
为等差
数列，公差为
，首项为，所以
，
，所以
，
，
，
，
，
所以
故选：B.
2．（2026·山东东营·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，且满足
则
（ ）
A．30
B．60
C．90
D．120
【答案】D
【分析】先应用等差数列项的性质计算得出
，再结合等差数列求和公式计算求解.
【详解】因为
是等差数列，且
，又
，所以
，
解得
，则
.
3．（2026·湖北襄阳·一模）已知数列
为等差数列，首项
（m 为整数），公差
，前
项和
，则满足题意的
的所有取值的和为（ ）
A．3720
B．4320
C．2940
D．1736
【答案】D
【分析】通过等差数列前
项和公式，
的取值是700 的因数求解.
【详解】
，
，
所以n 的取值为
的所有因数，所以所求和为
．
故选D
4．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列
的前n 项和为
，且点
，
，在直线
上，则
______．
【答案】
【分析】由题意得到
，通过作差法即可求解.
【详解】因为点
在直线
上，因此得关系：
，当
时，
，解得
，当
时，可得
，两式相减得
，化简得
，因此
是首项为
公比为
的等比数列，所以
，
.
5．（2026·河北承德·一模）设数列
，
满足
，
，
，设
为数列
的前n 项和，则
________．
【答案】392
【分析】由题可得
，
，令
，解得
，
，利用分组求和即可求解.
【详解】由
得
，即
，又
，
所以
，同理得
，
由
得
，令
，则
，且
，
所以
，所以
，
所以
，则
．
6．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面
内，已知10 架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10 的数列
，该数列的前4
项成等比数列，后7 项成等差数列，且
，
，
，则
______，数列
所有
项的和为______．
【答案】 144 1073
【分析】先利用
和
前
项求出前
项等比数列的公比，再利用
和
求出后
项等差数列的公
差，进而分别计算出
及数列各项的和.
【详解】设前
项构成的等比数列公比为
，则
，即
，解得
；
设后
项构成的等差数列公差为
，则
分别是第一项和第六项，所以
，
即
，解得
；因为
是等差数列的第四项，所以
；
因为
是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项，
则数列
所有项的和可看作前项等比数列与后
项等差数列的和，
所以
【点睛】这道题的核心是分段数列的衔接处理：以公共项
为桥梁，分别用等比数列通项公式求
公比、等差数列通项公式求公差，再分段求和得到结果.
7．（2026·福建泉州·一模）将10 个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为
30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________.
【答案】7
【详解】
，所以
，所以这列数的中位数等于
8．（2026·山东烟台·一模）已知等差数列
的公差不为0，
，且
成等比数列，则
的前
项和的最大值为___________．
【答案】36
【分析】先根据
成等比数列求等差数列的公差，进而确定数列
的通项公式，根据
确定
最大时
的值，再利用等差数列的求和公式求
.
【详解】设数列
公差为
，由
成等比数列，
得
，又
，所以
.
所以
.由
.
所以
的前
项和取得最大值，且
.
9．（2026·山东聊城·一模）已知数列
满足
.
(1)求
的前n 项和
；
(2)记数列
的前n 项和为
，若
．
（i）证明数列
为等差数列，并求出
的通项公式；
（ii）求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，
；（ii）
【分析】（1）分
、
两种情况结合等差数列的求和公式求解即可；
（2）（i）结合题设及
与
的关系可得
，即可求证，再求解通项公式即可；
（ii）先得到
，再结合分组求和、裂项相消法求解即可.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
显然
满足上式，则
.
（2）（i）由
，当
时，
，即
；
当
时，
，则
，即
，则
，即
，所以数列
是以
为首项，以2 为公差的等差数列，
则
，即
.由（1）知，
，
由（i）知，
，
则
，
所以
.
10．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的前
项和
；
(2)记
，数列
的前
项积为
，求
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前
项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前
项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，根据题意列方程：
由
得：
，
由
得：
，联立解得：
，
，
则由等差数列前
项和公式可得
；
（2）由
，
，可得等差数列
的通项公式为：
，
则
，即数列
的前
项积为：
，
因此：
，令
，
，
因为函数
是关于的单调递增函数，因此最小时，
取得最小值，
因为的最小值在
时取得，即
，
代入可得：
,即
的最小值为
.
11．（2026·河北衡水·一模）已知集合
中元素的个数为
.
(1)若
，
，求
.
(2)若
，
均为等差数列且
，
，
，证明：
也为等差数列.
(3)若
，
，且
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）根据数列的新定义列举即可求得；
（2）根据数列的新定义，结合等差数列的定义即可证明；
（3）先根据数列递推式构造等比数列
，求出
，再由数列的新定义推出
的通项公式，
再进行分组求和，借助于等比数列求和公式即得.
【详解】（1）若
，
，则
，
，
则满足
的整数为
，0，1，…，8，共有10 个，故
；
（2）因为
，
，所以
，
所以
.因为
，
均为等差数列，所
以可设
，
，则
为常数，故
是以
为首项，
为公差的等差数列.
（3）由
，得
，即
，则数列
是
为首
项，公比为2 的等比数列，则
，则
.
当
时，
，
，
.
当
时，
，
，
.
当
时，
，因
，所以
，故大于
的最小整数为
，
又
为整数，则
.
当
时，
符合上式；当
时，
，故
当
时，
，
又
，所以
.
【点睛】本题考查数列的新定义与数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
12．（2026·黑龙江·一模）数列
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
，满足____．数
列
满足
，且
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
，
；
②
，
，
，
成等差数列；
③
，
；
(1)分别求出数列
与
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前10 项和
．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
【答案】(1)选择任一条件都有
，
(2)
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列
的基本量，
进而求出通项公式.
（2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n 项和公式求出
.
【详解】（1）若选①，设
的公比为
，则
，且
，
解得
，
，因此
，由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，所以
．
若选②，设
的公比为
，由
成等差数列，得
，解得
，因此
由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，所以
．
若选③，设
的公比为
，则
，解得
，因此
，
由
，得
，而
，
则数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，所以
．
（2）数列
满足
，则
，
所以
．
13．（2026·山西临汾·一模）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用降序相减求解即可；
（2）利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）
①，当
时
②，
①-②得
，当
时，
，符合上式，综上：
，
.
（2）
，
则
.
14．（2026·河北保定·一模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
(2)若
，求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）由题意可知数列
是以首项为
，公差为
的等差数列，结合等差数列的通
项公式运算求解；
（2）根据
与
之间的关系可得
，进而可得
，结合裂项相消法运算求
解.
【详解】（1）因为
，且
，可知数列
是以首项为
，公差为
的等差数
列，则
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
当
时，则
，且
符合上式，所以
，
可得
，设数列
的前n 项和为
，
则
，
所以数列
的前n 项和为
.
15．（2026·河北保定·一模）已知等差数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求
的前2n 项和
及其最小值．
【答案】(1)
(2)
，最小值为9
【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解；
（2）由分组求和法和并项求和法求出
，再利用其单调性即可得出最小值.
【详解】（1）设
的公差为d，因为
，所以
，
整理得
，所以
，解得
，故
的通项公式为
．
（2）由（1）
，则
易得
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，所以当
时，
取得最小值，最小值为
．
16．（2026·山西运城·一模）设正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式;
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n 项和公式求得
，即可证明.
【详解】（1）依题意，当
时，
，
，则
；
当
时，
，
，两式相减，
整理可得
，又
为正项数列，故
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，所以
.
（2）证明：由（1）可知
，所以
，显然
，
当
，则
，即
，
此时
，综上，
成立.
17．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列
，
满足
，且
．
(1)求
，
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)在数列
的前20 项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列
中的项的概率．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据递推关系得出
是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可
求
的通项公式；
（2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案；
（3）利用古典概率的求法可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，所以
，所以
，
是首项为0，公差为2 的等差数列，所以
，
由
，得
，所以
，所以
，
故
，所以
是等比数列，首项为，公比为3，所以
，
所以
的通项公式为
．
（2）
，
，
令
，则
，
上两式相减，得
，
所以
，又
，
所以
．
（3）因为
，
的前20 项分别为
，由
得
，又
是偶数，所以在
的前20 项中有4 项是
中的项，所以所求概率
．
18．（2026·天津河西·一模）已知数列
是等差数列，前n 项和为
，数列
是递增等比数列，
且
，
，
．
(1)求
、
的通项公式；
(2)求
；
(3)将数列
的前
项
重新排列后，得到新数列
，
，…，
，设
的最大值为
，求证：
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解，
（2）先利用并项求和可得
，进而利
用错位相减法求和即可，
（3）先用反证法证明
取最大值时，
，
，
，…，
中不存在连续3 项递增或递减，进而
得
，即可利用放缩法以及裂项相消法求证.
【详解】（1）因为数列
是等差数列，前n 项和为
，数列
是等比数列
所以设公差为d，公比为q，因为
，
，
．
所以
，得
或
，
又因为数列
是递增等比数列且
，所以
，所以
，
．
（2）因为
所以
设
，
，所以
所以
（3）由已知得
，
，2，3，…，
，
，不妨设
，
首先证明
取最大值时，
，
，
，…，
中不存在连续3 项递增或递减：
假设
，
，
，…，
中存在连续3 项递增或递减，即存在
使得
或者
，所以
此时
则将
调换到
之前
因此
时，
取最大值必有
，
，…，
此时
所以
取最大值时
，
并且
，
数列与函数等知识的交汇问题
考点5
此时
当
时，
当
时，
因为
，所以
．综上
．
1．（2026·福建泉州·一模）已知
，
，
成等差数列，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据等差数列转化角的关系，再联立方程组求解即可.
【详解】因为
，
，
成等差数列，所以
，则
.设
，
，则
，
，
.又
，
，
所以
，整理得
，
即
， 所以
，即
.
2．（2026·山西临汾·一模）已知
，数列
满足：
，则
为（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4052
【答案】B
【分析】根据给定函数
，得
，再利用倒序相加法求
和即可.
【详解】由函数
，得
，令
，
则
，两式相加得
，
所以
，解得
.
3．（多选）（2026·河北张家口·一模）若数列
的前n 项和为
，且
，在数列
的前
（
）项中任取两项都是正数的概率记为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定的递推关系求出通项
，再按
为奇数、偶数分类求出
并逐项求解判断.
【详解】数列
中，
，当
时，
，则
，
而
，解得
，所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列，
，
当
时，数列
的前
项中，有
个正数，
个负数，任取两项都是正数的
概率为
，当
时，数列
的前
项中，有
个正数，
个负数，任取两项都是正数的概率为
，
对于A，
，A 正确；对于B，
，B 错误；
对于C，
，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列
的首项
，若数列
是递增数列，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】整理构造等比数列，得到
的通项公式，然后利用递增性
，得到关于
的不等
式，通过讨论奇偶求出最值，限定
的范围.
【详解】因为
，整理得
，
由于
，可得数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
则
.因为数列
是递增数列，所以
，
即
对任意的正整数
都成立.
当
为偶数时，
恒成立，所以
，
由
单调递减，可得
，则
；
当
为奇数时，
恒成立，所以
，由
单调递增，可
得
，则
，则
的取值范围是
.
5．（2026·重庆·一模）若方程
的三个根
成等比数列，则公比为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】分离参数，转化问题为直线
与
图象的交点问题，结合导数作出函数图象，
进而求解即可.
【详解】由
，得
，所以
.设
.方程
的根
等价于直线
与
图象的交点的横坐标.因为函数
的导数为
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，又
时，
，
时，
，作出
的大致图象，如下图：
则
（*），因为
成等比数列，设公比为
，所以
，
，代入（*）式得
，由
，得
，
即
，所以
，解得
，代入
，可得
，整理得
，解得
或
（舍去），则公比为
.
6．（2026·贵州安顺·一模）已知数列
满足
，
．若对于任意
，都有
成立，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，
，且对于任意
，都有
成立，
则
，可得
，由
可得
，即得
，即
.
又由
及
可得
，则
，易知
为递增数列，则
，
且
，因函数
在
上为增函数，则
，
由题意可知数列
单调递增且有上界2，故极限存在，设
，则
.
对
取极限得
，即
.函数
在
上单调递增，
故
，解得
，故实数c 的取值范围是
.
7．（多选）（2026·山西晋城·一模）记
为数列
的前
项和，已知
（
为常数），
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．设
，则
D．设
，则
【答案】BCD
【详解】 对于A，当
时，
，于是
，故A 错误；
对于B,
，两式相减得
，
可知
是首项为2，公比为2 的等比数列，故B 正确；
对于C，因为
，
所以
，故C 正确；
对于D，令
，则
在
上恒成立，
因此
在
上单调递增，所以
，即可得当
时，
，
于是
，故
，故D 正确．
8．（多选）（2026·山东东营·一模）已知数列
满足
，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列
为递增数列
B．
，
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用归纳法结合数列单调性的定义判断A，利用数列的单调性和
判断B，构造函
数并结合导数判断C，D 即可.
【详解】对于A，由题意得当
时，
，满足
，成立，假设当
时，
，
当
时，由已知得
，可得
，因为
，所以
，
令
，可得
，且
，则
在
上单调递增，得到
，故
，综上可得，对于任意
，
，因为
，所以
，可得数列
为递增数列，故A 正确，
对于B，因为
，且数列
为递增数列，所以
，
，故B 正确，
对于C，欲证
，则证
，即证
，故证
即可，令
，则
，
令
，则
，则
在
上单调递减，且
，得到
，即
，故
在
上单调递增，而
，可得
，
则
，即
，故C 正确，
对于D，欲证
，则证
，即证
，故证
即可，令
，则
，令
，
则
，可得
在
上单调递减，且
，
，
则
，由零点存在性定理得存在
作为
零点，即
零点，令
，
，令
，
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，而
，
，则
，此时不满足
，故D 错误.
9．（2026·江西赣州·一模）一自动运动的小车连续运行
次，每次以相同概率随机选择向前或向后
运动，记未连续出现2 次向后运动的概率为
，则
的值为__________.
【答案】
【分析】根据题意可知
，再推导出
为定值即可求解．
( )
h x
(0,π)
(
0
π)
h
( )
0
h x
( )
0
g x
( )
g x
(0,π)
(0)
0
g
( )
0
g x
2
0
1
(π 1)
sin
2
n
n
n
a
a
a
2
1
1
π
2
n
n
n
a
a
a
1
2
1
2
π
n
n
a
a
2
sin
1
2
π
n
n
n
a
a
a
2
sin
2
π
n
n
a
a
2
sin
0
π
2
n
n
a
a
2
2
( )
sin
π
m x
x
x
2
( )
cos
π
m x
x
2
cos
π
n x
x
sin
0
n x
x
( )
n x
(0,π)
2
0
1
0
π
n
2
π
1
0
π
n
0
π
0
n
n
0
(0,π)
x
( )
n x
( )
m x
( )
0
m x
0
(
,π)
x
x
( )
0
m x
0
(0,
)
x
x
( )
m x
0
(0,
)
x
0
(
,π)
x
0
(0)
2
m
(π)
0
m
0
(
)
(π)
0
m x
m
2
sin
2
π
n
n
a
a
n
*
nP nN
2027
2026
2024
P
P
P
1
8
1
2
1
1
2
4
n
n
n
P
P
P
3
2
n
n
n
P
P
P
【详解】根据题意，小车向前或向后运动的概率为
，未连续出现2 次向后运动的概率为
，则第
次可能向前或向后运动，当第
次是向前运动时，只要前
次未连续出现2
次向后运动，其概率为
；当第
次是向后运动时，则第
次只能向前运动，且前
次未
连续出现2 次向后运动，其概率为
；
，
，
，即
，由②得
代入①，
，即
，
．
10．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列
中，
，当
时，
为
的展开式
第3 项的二项式系数.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由二项式定理写出数列
的通项公式；
（2）应用裂项相消法求
，结合单调性证明结论.
【详解】（1）由题意，
时
为
的展开式第3 项的二项式系数，
所以
，且
，故
；
1
2
*
nP nN
n
n
1
n
1
1
2
nP
n
1
n
2
n
2
1
4
nP
1
2
1
1
2
4
n
n
n
P
P
P
*
3,
n
n
N
1
2
3
1,
4
P
P
3
2
1
2
1
1
1
1
1
,
2
4
2
4
n
n
n
n
n
n
P
P
P
P
P
P
①
②
1
2
1
2
2
n
n
n
P
P
P
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2
4
2
8
n
n
n
n
n
n
P
P
P
P
P
P
3
2
1
8
n
n
n
P
P
P
2024
2027
2026
2024
2024
1
1
8
8
P
P
P
P
P
na
1
1
a
2
n
na
*
(1
)n
x
n
N
na
nb
1
n
n
b
a
nb
n
nT
1
3
nT
1,
1
(
1) ,
2
2
n
n
a
n n
n
na
nT
2
n
na
*
(1
)n
x
n
N
2
(
1)
C
2
n
n
n n
a
1
1
a
1,
1
(
1) ,
2
2
n
n
a
n n
n
（2）由（1）
，
当
时，
，
因为
满足上式，所以
对
恒成立，易知
在
上单调递增，
，
，所以
.
11．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人
命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为
（
），乙
每次射击命中目标的概率均为
（
），各次射击结果互不影响．
(1)若甲先射击，甲第2 次射击且获胜的概率为
，求
（用
，
表示）；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求
的最小值．
参考公式：若
，则
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断出甲第2 次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可.
（2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可.
【详解】（1）甲第2 次射击且获胜，即甲第1 次未命中，乙第1 次未命中，甲第2 次命中.
所以
.
（2）设乙先射击并获胜的概率为
，甲获胜的概率为
.乙获胜的情况为：
乙第1 次射击并命中，概率为
；
1,
1
1
2
1
1
2
,
2
(
1)
1
n
n
n
b
n
a
n n
n
n
2
n
1
1
1
1
1
2
1
2 1
3
2
2
3
1
nT
n
n
n
1
1
T
2
3
nT
n
*
nN
2
3
nT
n
*
nN
2
1
2
n
n
2
0
n
n
1
3
nT
0
1
0
1
p
p
0
1
q
2
3
0
1
1
1
i
i
q
q
q
q
q
1
1
p
1
2
1
1
p
P乙
P甲
数列中的新定义问题
考点6
第1 轮甲乙均未命中，乙第2 次射击并命中，概率为
；
第2 轮甲乙均未命中，乙第3 次射击并命中，概率为
；
第
轮甲乙均未命中，乙第
次射击并命中，概率为
；
这是一个首项为
，公比为
的无穷等比数列，所以
.
甲获胜的情况为：第1 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第2 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第3 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第
轮乙未命中，甲命中，概率为
；
这是一个首项为
，公比为
的无穷等比数列，所以
.
由题意知，
恒成立，即
恒成立，
因为
，
，所以
，
所以
恒成立，即
.
因为
，所以
，
，所以
.所以
的最小值为
.
1．（2026·江西·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一
个数列
本身不是等差数列，但从数列
中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数
1
1
2
1
1
L
n
1
n
1
1
n
1
1
1
1
1
P
乙
1
1
1
1
2
1
1
1
L
n
1
1
1
1
n
1
1
1
1
1
1
1
P
甲
P
P
乙
甲
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1 1
2
1
1
0
1 1
2
1
2
1
2
na
na
列
（则称数列
为一阶等差数列），或者
仍旧不是等差数列，但从数列
中的第二项
开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列
为二阶等差数列），依次类推，可以
得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列
为二阶等差数列，
且
，则
（ ）
A．35
B．36
C．37
D．38
【答案】B
【分析】利用二阶等差数列的定义，借助列举法求出
.
【详解】依题意，
，数列
，数列
，数列
，所以
.
2．（2026·天津和平·一模）已知
，各项均为正数的数列
的前
项和为
，数列
的前
项积为
，且
成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，由
；
当
时，
，由
；
当
时，
，由
；
当
时，
，由
；
当
时，
，由
；
nb
na
nb
nb
nc
na
na
1
2
1,
2
a
a
*)
2
1(
N
nc
n
n
6a
6a
1
2
1
1
1
,
,
1
n
n
n
n
n
n
b
a
a
c
b
b b
a
a
{ }:1,3,5,7,9,11,
nc
{
1,2,5,
1
}:
10, 7,26,
nb
{
1,2,4,9
,
}:
,19 36,62,
na
6
36
a
*
N
n
na
n
n
S
n
S
n
n
G
1
1
2
n
n
S
G
6a
1
30
1
42
1
56
1
72
1
n
1
1
G
S
1
1
1
1
2
S
S
1
2
3
S
2
n
2
1
2
2
2
3
G
S S
S
2
2
1
2
1
2
3
S
S
2
3
4
S
3
n
3
1
2
3
3
1
2
G
S S S
S
3
3
1
1
1
2
2
S
S
3
4
5
S
4
n
4
1
2
3
4
4
2
5
G
S S S S
S
4
4
1
2
1
2
5
S
S
4
5
6
S
5
n
5
1
2
3
4
5
5
1
3
G
S S S S S
S
5
5
1
1
1
2
3
S
S
5
6
7
S
当
时，
，由
.
所以
.故选项C 正确.
3．（多选）（2026·山东菏泽·一模）已知数列
中至少含有5 项，从该数列中任意取出三项构成
的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余两项的积，则称该子列为数列
的“
”子列.
则下列说法正确的有（ ）
A．数列
的所有“
”子列的个数为4
B．若
，则数列
不存在“
”子列
C．数列
的所有“
”子列的个数为
D．若
是公差为
的等差数列，
，则
存在“
”子列的充要条件是
或
【答案】ABC
【分析】根据“
”子列的定义，列举法判断A；反证法结合指数幂运算判断B；通过指数幂运算
分类讨论后可判断C；举反例可判断D.
【详解】对于A，从数列
中，找出所有满足“一项等于另两项乘积”的三元组合：
、
、
、
，共4 个，故A 正确.
对于B，
，假设数列
中存在“
”子列
，
则
，化简得
，左边是3 的整数次幂，不可能等于2，矛盾，因此假设不
成立，即不存在“
”子列，故B 正确.
对于C，设数列
中的“
”子列为
，则
，所以
，
6
n
6
1
2
3
4
5
6
6
2
7
G
S S S S S S
S
6
6
1
2
1
2
7
S
S
6
7
8
S
6
6
5
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8
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S
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2,3,4,6,8,12
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d
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12
2 3n
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,
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(2 3 )(2 3 )
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,
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k
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i
j
k
2
2 2
k
i
j
k
i
j
当
时，
可取2 到
中的任意一个数，共
个“
”子列；
当
时，
可取3 到
中的任意一个数，共
个“
”子列；
；
当
时，
可取
，
中的任意一个数，共2 个“
”子列，
综上，共有
个“
”子列，故C 正确.
对于D，
，若
，则
，满足
，即
构成一个
“
”子列，但
不是
，因此充要条件不成立，故D 错误.
4．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列
，给出以下定义：对于任意的
，都有
，则称数列
为“友好数列”；特别地，对于任意的
，都有
，则称数列
为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若数列
满足
，且前n 项和为
，则数列
为“友好数列”
B．若数列
满足
，
，且数列
为“超越友好数列”，则
C．若数列
为“超越友好数列”，
且
，则数列
没有最小项
D．若数列
为“友好数列”，则对于任意的
，当
时，总有
成立
【答案】ABD
【分析】对于A，判断数列为“友好数列”，满足
即可；对于BC 选项，关键是利用
题设得到
，再结合条件求解判断即可；对于D，关键是利用题设得到
1
i
j
4
1
n
4n
J
2
i
j
4n
4
2
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n
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2
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1
n
n
n
n
a
a
a
a
，再利用累加法，结合放缩法进行判断即可.
【详解】对于A，由
，则
，对于任意的
，都有
，故
，所以数列
是“友
好数列”，故A 正确；
对于B，因为数列
为“超越友好数列”，所以对于任意的
，都有
，
即
，又
，
，则
，即
，
所以
，故B 正确；
对于C，因为数列
为“超越友好数列”，
，所以对于任意的
，都有
，即
，设
，则数列
为单调递增数列，且
，
所以
，因为
，
所以
，所以存在
，
时，
，
，
当
时，
，数列
为递减数列；当
时，
，数列
为递增数
列.
因此，数列
存在最小项为
，故C 错误；
对于D，因为
为“友好数列”，所以对任意的
，都有
，即
，
所以对于任意的
，当
时，
总有
，
2
1
1
n
n
n
n
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a
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A
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2026
2026
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a
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所以
.又
，
所以
.由于
，故
，故D 正确.
5．（2025·山东青岛·一模）设
是关于x 的方程
的正实数根．记
，
其中
表示不超过x 的最大整数，设数列
的前n 项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题需要先求解方程的正实数根 ，再根据
得到数列
的通项，最后利用分组
求和法求前 2025 项和.
【详解】设
，则
，记
，显然
在
上单调递增，且
，
．所以
，
当
，
时，
，则
；
当
，
时，
，则
，
则
故选：
．
6．（2026·陕西榆林·一模）已知数列
的首项为0，从第2 项起，每一项减其前一项的差为1 或
2，记
的前n 项和为
，则使
一定成立的正整数k 的最大值为（ ）
1
2026
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m
m
m
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2
1012 1013.
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2
2
2
B
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na
n
S
10
2
kS
S
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【分析】把握数列的递推关系，对极端情形下不等式的最大值最小值构造.
【详解】由
，得
，要求使该式一定成立的
的最大值，
就要考虑尽量＂严格＂的情况，即要
尽可能大，
尽可能小，令不
等号前面后一项减前一项的差尽可能多的为2，不等号后面后一项减前一项的差尽可能多的为1．
当
时，若前6 项为0，2，4，6，8，10，则后4 项为11，12，13，14，此时前6 项之和为
30，后4 项之和为50，符合条件；若前6 项为0，2，4，6，8，9，则后4 项为10，11，12，13，
此时前6 项之和为29，后4 项之和为46，符合条件．因此，
可以使
一定成立．当
时，若前7 项为0，2，4，6，8，10，11，则后3 项为12，13，14，此时前7 项之和为41，
后3 项之和为39，不符合条件．因此，
不能使
一定成立．综上，满足条件的
的最
大值为6．
7．（2026·山东淄博·一模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得
数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，3，2；
第2 次得到数列1，4，3，5，2；…；第
次得到数列
，记
，则
________.
【答案】
【详解】依题意，
，
，
因此
，即
，而
，
则数列
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
，所以
.
10
2
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8．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的
数列.初始数列
经过
次扩充后的新数列记为
，项数记为
，所有项的和记为
.现若扩
充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列
经过一次扩充后得到数列
，
，
.已知初始数列
，则
______；
______.
【答案】
【分析】根据已知可得
的关系，推出
是等比数列，从而可得
，由
的关系，
推出
是等比数列，即可求解
.
【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，
所以经第
次扩充后增加的项数为
，因此
，所以
，
因为
，所以可得数列
是以4 为首项，公比为2 的等比数列，所以
，
即
；设第n 次扩充后数列的各项为
，
则
．因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
，
又
，所以
是首项为3，公比为3 的等比数列，故
，
综上，
，
.
9．（2026·江苏扬州·一模）定义：
是不大于x 的最大整数，
是不小于x 的最小整数，设函数.
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S
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在定义域
上值域为
，记
元素个数为
，则
________．
【答案】
【分析】分别求出
，
，
时，
的值域，可得
，
，
，推得
，
，利用累加法求出
，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数
在定义域
上的值域为
，记
中元素的个数为
，
当
时，
，可得
，
，
，即
，
当
时，
，可得
或，
或
，
或1 或2，即
，
当
时，
，可得
或1 或2，
或
或
，
或1 或2 或4 或5 或
6，即
，当
时，函数
在定义域
上的
值域为
，记
中元素的个数为
，当
时，函数
在定义域
上
的值域为
，记
中元素的个数为
，设
，则
，
，
所以
，
则可得递推关系：
，
所以
,
当
时，
成立，则
，则
，
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所以
，
10．已知数列
满足
，则
___________；记数列
的前
项和为
，则
___________．
【答案】
【分析】根据条件，结合等比数列的定义，可得
表达式，即可得
的值，根据题意，整理变形，
可得
裂项之后的表达式，进而可得
表达式，代入数据，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，又
，所以
是首项为
，
公比为
的等比数列，所以
，所以
，则
；
设
，则
，
解得
，所以
，所以
，所以
．
11．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
中，记
，若
为等差数列，则称
为
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二阶等差数列．
(1)若
，判断
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
满足
，
，
．
①求数列
的通项公式；
②若不等式
对
恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①
；②
.
【分析】（1）求出数列
的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可；
（2）①求出等差数列
的通项公式，再利用累加法可求得数列
的通项公式；
②由
可得
，令
，分析数列
的单调性，求出该数列最大项的值，
即可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，故数列
为等差数列，
故数列
为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得
，
，
因为数列
为等差数列，故数列
的公差为
,
所以等差数列
的首项为
，故
，所以
，
当
时，
，
，
，
，
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上述等式相加得
，故
，
也满足
，故对任意的
，
；
②由题意可知
，
，即
，可得
，
令
，则
，
当
且
时，
，可得
；当
时，
；
当
且
时，
，可得
，
所以数列
的最大项为
，故
，所以实数
的取值范围是
.
12．（2026·天津和平·一模）已知
，等比数列
的前
项和为
，正项等差数列
的首项为5，且
成等比数列．
(1)求数列
与数列
的通项公式：
(2)设
，
，
．求证：若
，满足
，且
有序实数对
，则
．
(3)设
，求集合
的所有元素之和
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
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【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项.
（2）结合（1）的结论，先明确
和
的表达式，再利用反证法进行证明.
（3）先分析集合
中元素的特征，表示出元素和
.
方法一：利用错位相减求和法求和；
方法二：先化简得
，利用错位相减求和法求
，利用公式法求
，
即可得
.
【详解】（1）设等比数列公比为
，故
．
设等差数列公差为
，由已知有
，
解得
，即
，则
或
（舍），则
.
（2）不妨先设
，
，可知
时也成立，
假设
，即
成立，若
，不妨设
，
则
等价于
，
因等式左侧不是3 的倍数，等式右侧为3 的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，
所以假设不成立，此时
．同理
时，
；
若
，则
，不妨设
，因为
，
故
．同
理
时，
．
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综上当
时，
．
（3）先证取不同的
的值各不相同，不妨设
，
所以
，而
，
所以
，由（2）可知，对不
同的
取值，
均不相同．故
．
考虑
中含有
个
个
个
，因此
．
法（一）
，
两式相减得：
，
所以，
．
法（二）
，
设
，
，
两式作差，
，
所以，
，又
，
所以，
.
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