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大题预测模拟05（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，
.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，
的可能取值为
，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为
，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，
的可能取值为
，所以，
,
，
，
.
即
的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望
.
16．如图，在四棱锥
中，棱
平面
，底面四边形
是矩形，
，点
为棱
的中点，点
在棱
上，
.
(1)求证：
；
(2)已知平面
与平面
的交线与直线
所成角的正切值为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为四边形
是矩形，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
因为
为
中点，
，所以
，
因为
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）在矩形
中，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，平面
平面
，所以
.
所以与直线
所成角即为
.
在
中，
，
，
所以
.
以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
所以
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
可得
.
又
为平面
的一个法向量，
所以
.
由图可知，二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
17．已知椭圆
的右焦点为
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
分别为
椭圆
的上、下顶点，四边形
的面积为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为
的直线与椭圆
相交于
两点，直线
与
的交点为
．
①若直线的倾斜角为
，求线段
的长度；
②试问
是否有最大值？如果有，求出
的最大值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)
(2)①
；②有，
【分析】（1）根据条件，建立方程组
，即可求解；
（2）①由题知直线的方程为
，联立直线与椭圆方程，消
得到
，再利用
弦长公式，即可求解；②设直线
，联立椭圆方程，消
得到
，设直线
的斜率分别为
，进而可得
，又
，即可求解.
【详解】（1）由题知
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，
①当直线的倾斜角为
时，直线的方程为
，
由
，消
得到
，
所以
，
所以
.
②由（1）知
，易知
，
设直线
，由
，消
得到
，
所以
，
设直线
的斜率分别为
，且
，
所以
，
得到
，又
，
当且仅当
，即
时，
的最大值为
，
又
，所以
的最大值为
.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线
，联立椭圆方程，消
得到
，由韦达定理知
，设直线
的斜率分别为
，从而得出
，又
，即可求解.
18．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若曲线
上的动点
到直线
距离的最小值为
（为自然对数的底
数）．
①求实数
的值；
②求证：
．
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）对函数求导，结合a 的取值范围分析可得函数
的单调区间；
（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线
的最小值列等式即可求出a 的值；②分
和
两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
因为
，令
，得：
，令
，得：
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）①由（1）知：
．由
，
又
，所以切点
，
由（1）可知，切点在直线
的上方，
所以
，整理得
，
设
，则
，
（也可构造
）
设
，则
在
上恒成立．
所以
在
单调递增．
又
，又
，方程
只有1 解：
．
②依题意：要证
，
当
时，
，令
，
在
上单调递增
，所以不等式成立；
当
时，要证
，即
．
设
，则
．
设
．则
．
当
时，
，所以
．
所以
在
上单调递减．
所以
，即
．
所以
在
上单调递减，
，
即当
时，
成立．
综上：当
时，
在
上恒成立．
19．已知有穷等差数列
的公差d 大于零．
(1)证明：
不是等比数列；
(2)是否存在指数函数
满足：
在
处的切线的交
轴于
，
在
处的
切线的交
轴于
，…，
在
处的切线的交
轴于
？若存在，请写出函数
的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
(3)若数列
中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列
，求出所有可能的m 的取值．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在指数函数
满足条件，理由见解析
(3)3
【分析】（1）计算
，得到证明；
（2）计算切线方程，令
得
，即
，
满足条件.
（3）举例说明
时成立，考虑
时，确定
不可能所有项均为正数或均为负数，
的前三项
即为
中最小的三项，确定
，考虑
，
两种情况，根据等比数列
性质得到
，整理得到
，
，
，验证不成立，得到答案.
【详解】（1）
，故
不是等比数列.
（2）
在
处的切线方程为
，
令
得
，因此，欲使
满足条件，只需使
，
令
，则
，满足条件， 故存在指数函数
满足条件．
（3）取
，则
成等比数列，故
满足条件．
考虑
，
首先，
不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列
的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而
即为等比数列，不可能．
其次，因为
是等比数列，所以
也是等比数列，不妨设
严格增，
则
的前三项即为
中最小的三项，
则一定对应于
中的连续三项
，
不妨设
，则
．
①若
，则
，则
成等比数列，不可能；
②若
，则
，则
成等比数列，
，即
，得
，
，
，
而除了这三项外，
最小值为
或
，
但
和
均无法与
构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的
的值是3．
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和
综合应用能力，其中根据特殊例子确定
满足条件，再考虑
时不成立，是解题的关键.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，
分别为内角
的对边，且
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）若
，试判断
的形状．
【答案】
，等腰三角形
【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得
，在利用余弦定理，求解
，即可
求解角
的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得
，即可求解
的最大值.
试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得
即
，由余弦定理得
故
，
（2）由（1）得：
故当
时，
取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.
考点：正弦定理；余弦定理.
16．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y＝x－2 上一动点，过点M 作抛物线C：x2＝y 的两条切线MA，
MB，切点分别为A，B，N 为AB 的中点．
(1)证明：MN⊥x 轴．
(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线AB 过定点
.
【分析】（1）根据函数切线的几何意义，结合中点坐标公式进行求解证明即可；
（2）根据中点公式，结合斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）设
，由
，
所以切线MA 的斜率为
， 因此切线MA 的方程为：
，
M 为直线y＝x－2 上一动点，设
，
因此有
，
同理可得：
，因此
是方程
的两个根，
所以
，
因为N 为AB 的中点，所以
，因此MN⊥x 轴；
（2）因为
，
所以
，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t
，
所以直线AB 过定点
．
17．如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，平面
平面
，点
在
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得
，后结合平面
平面
，可得
，后结合
可得结论；
（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的法向量，即可
得答案．
【详解】（1）
，
，
由余弦定理得
，
在
中，
，
平面
平面
，平面
平面
平面
，
平面
．
平面
，
，
∵四边形
是菱形，
，
又
，且
平面
平面
，
平面
．
（2）在平面
内，过点
作
的垂线，垂足为
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
又∵四边形
是菱形，
，
，
均为等边三角形，
以点
为坐标原点，
,
及过点
平行于
的直线分别为
轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则
，
由（1）
平面
，
为平面
的一个法向量，
设平面
的法向量为
，则
即
，
令
，可得
，
，
∴平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
18．已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值点；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
有三个不同的极值点
、
、
，且
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.
（2）由
分离常数
，利用构造函数法，结合导数来求得
的取值范围.
（3）首先根据
有个不同的极值点求得
的一个范围，然后化简不等式
，利用构造函数法，结合导数求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
，
时，
，
所以函数在区间
单调递增，在区间
单调递减，
所以函数在
处取得极大值，函数的极值点为1；
（2）函数
的定义域为
，不等式
恒成立，
即
在
上恒成立，
记
，则
，
得到
在区间
上
单调递减，
在
上
单调递增，
则
，即
在区间
上恒成立，
分离变量知：
在
上恒成立，则
，
，
由前面可知，当
时，
恒成立，即
，
所以
在区间
上
单调递减，
在区间
上
单调递增，
所以
，所以
．
（3）
，
设曲线
图象上任意一点
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
将
代入得
，故切点为
，
过
的切线方程为
，
所以直线
和曲线
相切，并且切点坐标为
，
所以当且仅当
时，方程
有两个不相等的实根
，
，并且
，
从而当
时，
有三个极值点
，
，
，并且
，
，
，
取对数知：
，
，即
，
，
则
．
构造
，
在
时恒成立，
则
在区间
上单调递增，且
，
从而
的解为
，
综上所述
．
【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单
调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方
法来进行求解.
19．已知数列
为等差数列，
，其前
项和为
，数列
为等比数列，且
对任意的
恒成立.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)是否存在
，
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件的
，
；若不存在，
说明理由；
(3)是否存在非零整数
，使不等式
对一切
都成立？若
存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
；
(2)不存在，理由见解析；
(3)存在，
.
【分析】（1）法1，由题设可得
，
，
，利用等差、等比数列的
通项公式列方程求基本量，进而可得
、
的通项公式；法2：作差法可得
，令
，结合等差、等比数列的性质求参数，即可得通项公式.
（2）假设存在
，
满足条件，则
，根据左侧的奇偶性确定
，进而求
，即可
确定存在性.
（3）由
，设
，不等式转化为
，作商法
判断
单调性，讨论
的奇偶性结合恒成立求
的范围，进而可判断存在性.
【详解】（1）法1：设数列
的公差为
，数列
的公比为
.
∵
，
令
，2，3 得：
，
，
，又
，
∴
，即
，解得：
或
.
经检验
，
符合题意，
不合题意，舍去.
∴
.
法2：由
①，
则
②，
①②得，
，又
，也符合上式，
∴
，
由于
为等差数列，令
，则
，
∵
为等比数列，则
（为常数），即
恒成立，
∴
，
，又
，则
，
故
；
（2）假设存在
，
满足条件，则
，化简得
，
由
得，
为奇数，故
为奇数，故
.
∴
，即
，可得
，这与
矛盾，
∴不存在满足题设的正整数
，
；
（3）由
，得
，
设
，则不等式等价于
，
由
，则
，数列
单调递增.
假设存在这样的实数
，使得不等式
对一切
都成立，则
①当
为奇数时，得
；
②当
为偶数时，得
，即
.
综上，
，由
是非零整数，则存在
满足条件.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用反证思想，假设存在参数使题设条件成立，进而求得参数，判断是否
有矛盾即可；第三问，构造新数列并应用作商法判断其单调性，最后讨论n 的奇偶性求新数列的最值求参
数的范围.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）设
，在
和
中由余弦定理可求出
，
，再代入三角形的面积
公式即可求出
，进而求出
的周长.
【详解】（1）由正弦定理得:
，
整理得
，
即
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）设
，则
，
在
中，由
，
，得
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，则
，
所以
的周长为
.
16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，
，
，
，点M 为棱PD 上一点，
，O 为AC 的中点.
(1)证明：平面
平面MAC.
(2)已知
，
，点N 在棱BC 上，且
，若直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由面面垂直的判定定理，先证明
平面PBD 即可；
(2)先证明 BD，AC，PO 两两相互垂直，以O 为原点，OB，OC，OP 所在直线分别为x，y，z 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，设
，利用向量法求解线面角列出方程，解方程即可.
【详解】（1）证明：连接BO，DO，
因为
，
，所以
，
，
所以B，O，D 三点共线，即
，
因为
，所以
，因为PO，
平面PBD，
且
，所以
平面PBD，
因为
平面MAC，所以平面
平面MAC.
（2）由题意得
，所以
，因为
，所以
，
又因为
，
，所以
，即
，
由（1）知
，
，所以BD，AC，PO 两两相互垂直，
以O 为原点，OB，OC，OP 所在直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，则
，
因为
，所以
，则
，
设
，所以
，则
，
设
为平面MAC 的一个法向量，则
即
取
，得
，
，则
，
设直线PN 与平面MAC 所成角为
，则
，
整理得
，解得
或
（舍去），
所以
.
17．已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)若存在两个不同的
，
满足
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得导函数，再按实数
分类讨论函数
的单调性即可；
（2）结合（1）讨论可得当且仅当
时
有两个零点，令
，求
导研究函数的单调性，进而证得结果.
【详解】（1）
的定义域为
，且
，
①当
时，由
，得
，由
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，
恒成立，故函数
在
上单调递增；
③当
时，由
，得
，由
，得
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
④当
时，由
，得
，由
，得
或
，
所以函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
综上：当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
，
上单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
，所以
不可能有两个零点；
当
时，
，所以
不可能有两个零点；
当
时，
在
上单调递增，所以
不可能有两个零点；
若要
有两个零点，当
时，
，此时
（舍），
，不符合题意故舍去，当且
仅当
，所以
，
设
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
所以
，又
，所以
，
因为
，
，由（1）知
在
上单调递增，
所以
，即
.
18．已知抛物线
的焦点为F，O 为坐标原点，点M 在C 上且在第一象限，
，
的面积为2.
(1)求C 的方程.
(2)A，B 是C 上异于M 的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积为1，证明：直线AB 过定点.
(3)点M 关于x 轴的对称点为N，分别过M，N 作C 的两条切线，这两条切线的交点G 恰好在x 轴上，
，过S 作C 的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN 交于点T，求
面积的
最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）设
，根据
的面积列式求得
的面积，根据焦半径公式得
，代入抛
物线方程求得
，即可得解；
（2）设直线AB 的方程为
，与抛物线方程联立，韦达定理，利用两点式斜率公式结合
列式化简得
，即可求解直线AB 过定点
；
（3）利用判别式法求出直线GM 的方程为
，直线
，且
，设直线
，与抛物线方程联立韦达定理求得
，即可得直线
，与直线
联
立求得
，从而利用两点距离公式求得
，利用点到直线距离公式求得点
到
直线
的距离为
，进而求得
，最后利用二次函数性质求得最值即可.
【详解】（1）设
，则
的面积为
，所以
，
根据抛物线的定义，得
，所以
，
所以
，解得
，即C 的方程为
.
（2）由（1）知
，设
，
，直线AB 的方程为
，
则
且
，联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，
，同理
，
又因为
，所以
，
整理得
，所以
，即
，
所以
，即直线AB 过定点
；
（3）因为
，所以
，
设直线GM 的方程为
，
由
可得
，
则
，解得
，
所以直线GM 的方程为
，且
，同理可得直线
，
设
，因为
，所以
即
，
由
得
，设直线
，
由
可得
，
由
，可得
或
，
当
时，直线
，与直线GM 的方程一样，舍去，故
，所以直线
，即
，与直线
联立求得
，
点
到直线
的距离为
，
又
，
所以
的面积为
，
因为
，所以当
时，
面积取到最大值为8.
19．定义：在数列
中，随着
的增大，
的个数按照一定的规律逐渐增加，则称
为“个
数发散数列”.记数列
的前n 项和为
，
，
，
，
.
(1)当
，4，5 时，求
，并验证
是否为“个数发散数列”；
(2)当
时，在所有
中随机抽取3 个数列，记
的
的个数为X，求X 的分布列及
；
(3)当
，
时，求
.
【答案】(1)答案见解析
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）先对已知等式变形化简，得出递推关系，再根据递推关系分情况确定数列，最后根据不同
值确定数列个数判断是否为“个数发散数列”；
（2）通过组合数计算随机变量
取不同值的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算期望；
（3）根据数列的递推关系判断数列的性质，通过分类讨论
的值来计算数列的前
项和
.
【详解】（1）已知
，
所以
，
进一步整理得
，
所以
或
，
当
时，由
，
，
，
所以
或
；
确定不同
时数列个数：
时，已知
，若
，则
；
若
，则
，有
个数列，分别为：1，3，5；1，3，
；
时，按上述规则继续推导，有
个数列，分别为：1，3，5，7；1，3，5，
；
1，3，
，
；1，3，
，3；
时，同理可得有
个数列，分别为：1，3，5，7，9；1，3，5，
，
；
1，3，5，
，5；1，3，5，7，
；1，3，
，
，1；1，3，
，3，5；
1，3，
，3，
；
随着
增大，数列
的个数增多，所以
是“个数发散数列”；
（2）当
时，
的情况有3 种：1，3，5，
，
；1，3，
，
，1；1，3，
，3，
；
所以
的取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
则
分布列为：
0
1
2
3
根据期望公式
；
（3）当
，由
及
，可得
，则
，
由
及
，可得
，所以
，
由
及
，可得
，所以
满足题意；
即当
，若
，必有
成立，
由
及
，可得
，所以
，
由
及
，可得
，所以
，
由
及
，可得
，所以
，
这与
矛盾；
所以当
时，若
，则
不成立，
即当
时，
；
分类讨论计算
：
若
，则
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
；
若
，则
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
；
则数列
的前
项和
.
