专题8.6 双曲线（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 双曲线的定义及其应用】..........................................................................................................................4
【题型2 双曲线的标准方程】..................................................................................................................................6
【题型3 曲线方程与双曲线】..................................................................................................................................8
【题型4 求双曲线的轨迹方程】............................................................................................................................10
【题型5 双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】...................................................................................................13
【题型6 双曲线中的焦点三角形问题】................................................................................................................14
【题型7 双曲线的渐近线方程】............................................................................................................................17
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】.......................................................................................................19
【题型9 与双曲线有关的最值问题】....................................................................................................................21
【题型10 双曲线的实际应用】..............................................................................................................................23
1、双曲线
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何
图形和标准方程
(2)掌握双曲线的几何性质(范
围、对称性、顶点、渐近线、
离心率)
(3)了解双曲线的简单应用
2023 年新高考I 卷：第16 题，5
分
2023 年全国甲卷（文数）：第8
题，5 分
2023 年北京卷：第12 题，5 分
2023 年天津卷：第9 题，5 分
2024 年新高考I 卷：第12 题，5
分
2024 年全国甲卷（理数）：第5
题，5 分
2025 年全国一卷：第3 题，5 分
2025 年全国二卷：第11 题，6 分
2025 年北京卷：第3 题，4 分
2025 年天津卷：第9 题，5 分
双曲线的方程及其性质是圆锥
曲线中的重要内容，是高考命题的
重点内容.从近几年的高考情况来
看，主要考查双曲线的定义、方程
与简单几何性质等知识，主要以单
选题、多选题、填空题的形式出
现，难度不大，复习时要加强这方
面的训练.
与向量等知识结合综合考查也
是高考命题的一个趋势，需要学会
灵活求解.
知识点
1 双曲线的方程及其性质
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点
的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
)的点的轨迹叫作双
曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c 的关系
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
图形
标准方程
范围
x≥a 或x≤-a,y∈R
y≥a 或y≤-a,x∈R
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比
，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为
=
，所以e 越大，
越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=
.
知识点
2 双曲线方程的求解方法
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，
b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为
或
，再根据条件求解.
(3)与双曲线
有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为
.
知识点
3 双曲线的焦点三角形
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P 是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角
形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式
，求得面积.
方法二：利用公式
，求得面积.
(3)焦点三角形的常用
结论
若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则
，其
中θ 为
.
知识点
4 双曲线的离心率或其范围的解题策略
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c 的齐次方程
( 或不等式
) ，借助于
消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)求
解.
知识点
5 双曲线中的最值问题的解题策略
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何
法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P 是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则
，
.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为
.
4．与双曲线
有共同渐近线的双曲线方程可表示为
(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（24-25 高二下·河南·阶段练习）双曲线C：x
2
25 −y
2
144 =1上的点A到右焦点的距离为19，则它到
左焦点的距离为（ ）
A．9
B．7
C．9 或29
D．7 或19
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离.
【解答过程】对于双曲线C : x
2
25 −y
2
144 =1，可得a
2=25，则a=5.
设双曲线的左右焦点分别为F1, F2，已知点A到右焦点F2的距离为19，即| A F2|=19.
根据双曲线的定义|| A F1|−| A F2||=2a=10，则有||A F1)−19|=10.
可得|A F1)−19=10或|A F1)−19=−10.
当|A F1)−19=10时，|A F1)=10+19=29；
当|A F1)−19=−10时，A F1=−10+19=9.
所以点A到左焦点的距离为9或29.
故选：C.
【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）双曲线E：x
2
a
2 −y
2
16 =1(a>0)，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2，
M 为E 上一点满足|M F1)=7，则|M F2)=（ ）
A．13
B．1 或13
C．10
D．4 或10
【答案】A
【解题思路】根据双曲线焦距可求出a 的值，结合题意判断M 点位置，利用双曲线定义即可求得答案.
【解答过程】由题意知双曲线E：x
2
a
2 −y
2
16 =1(a>0)，焦距为10，
故2c =10,c =5，则a
2=c
2−b
2=25−18=9,∴a=3，
由||M F1)−|M F2))=2a=6，|M F1)=7，得|M F2)=1或|M F2)=13，
结合|M F1)=7<a+c =8，则M 在双曲线左支上，
由于1<c +a=8，故|M F2)=13，
故选：A.
【变式1-2】（24-25 高二上·云南曲靖·期末）双曲线x
2−y
2
16 =1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么
点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2
B．6
C．2 或6
D．4
【答案】B
【解题思路】根据双曲线的定义求出点P到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值.
【解答过程】双曲线x
2−y
2
16 =1，a=1.
设双曲线的两个焦点为F1，F2，已知| P F1|= 4，由双曲线定义|| P F1|−| P F2||=2a=2×1=2，即
|4−| P F2||=2.
当4−| P F2|=2时，可得| P F2|= 4−2=2；
当4−| P F2|=−2时，可得| P F2|= 4 +2=6.所以| P F2|=6或2.
在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为c−a.
对于双曲线x
2
1
2 −y
2
4
2 =1，可得c =
❑√1
2+ 4
2= ❑√1+16= ❑√17.
那么c−a= ❑√17−1，因为❑√16= 4，❑√17>❑√16，所以❑√17−1>4−1=3>2.
这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2，所以要舍去| P F2|=2这个值.
因此| P F2|=6，即点P到另一个焦点的距离等于6.
故选：B.
【变式1-3】（2024·河北邢台·二模）若点P 是双曲线C：x
2
16 −y
2
9 =1上一点，F1，F2分别为C 的左、右
焦点，则“|P F1)=8”是“|P F2)=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
【答案】D
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】a= 4 ,b=3,c =
❑√4
2+3
2=5，
当点P在左支时，|P F1)的最小值为c−a=1，
当点P在右支时，|P F1)的最小值为a+c =9，
因为|P F1)=8，则点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义|P F2)−|P F1)=|P F2)−8=2a=8，解得|P F2)=16；
当|P F2)=16，点P在左支时，|P F1)=8；在右支时，|P F1)=24；推不出|P F1)=8；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2025·北京海淀·一模）若双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)上的一点到焦点(−❑√5,0)的距离比到焦
点(❑√5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为（ ）
A．x
2
4 −y
2=1
B．x
2
2 −y
2=1
C．x
2−y
2
2 =1
D．x
2−y
2
4 =1
【答案】D
【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c = ❑√5，再结合a
2+b
2=c
2，求出a,b，即可求出结果.
【解答过程】由题知c = ❑√5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a
2+b
2=c
2，
所以5a
2=5，得到a
2=1,b
2= 4，所以双曲线的方程为x
2−y
2
4 =1，
故选：D.
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线C1与双曲线C2：x
2
4 −y
2=1的渐近线相同，且过点
(2,❑√2)，则双曲线C1的方程为（ ）
A．y
2
4 −x
2=1
B．y
2−x
2
4 =1
C．x
2
2 −y
2
2 =1
D．x
2−3
2 y
2=1
【答案】B
【解题思路】利用待定系数法设C1的方程为x
2
4 −y
2= λ，λ≠0，代入(2,❑√2)即可得到答案.
【解答过程】设双曲线C1的方程为x
2
4 −y
2= λ，λ≠0，
代入点(2,❑√2)，则2
2
4 −(❑√2)
2= λ=−1，
则方程为x
2
4 −y
2=−1，即y
2−x
2
4 =1.
故选：B.
【变式2-2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x
2
6 + y
2
2 =1有公共的焦点，且C的离心率是2，
则C 的标准方程是（ ）
A．x
2−y
2
3 =1
B．y
2−x
2
3 =1
C．x
2
4 −y
2
12 =1
D．y
2
4 −x
2
12 =1
【答案】A
【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出a，根据a,b,c关系
求出b
2后即可得解.
【解答过程】椭圆x
2
6 + y
2
2 =1的焦点为(±2,0)，
所以双曲线C的焦点为(±2,0)且焦点在x轴上，即c =2，
因为C的离心率是2，所以e = c
a =2，即a=1，
所以b
2=c
2−a
2=3，故双曲线C的标准方程为x
2−y
2
3 =1.
故选：A.
【变式2-3】（2025·四川雅安·一模）已知F1, F2为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A
在C上，若|F1 A)=2|F2 A)，∠A F1 F2=30° ,△A F1 F2的面积为6 ❑√3，则C的方程为（ ）
A．x
2
9 −y
2
6 =1
B．x
2
3 −y
2
6 =1
C．x
2
6 −y
2
9 =1
D．x
2
6 −y
2
3 =1
【答案】B
【解题思路】先根据双曲线的定义求出|F2 A),|F1 A)，在△A F1 F2中，利用正弦定理求出A F2 F1，再根
据三角形的面积公式求出a
2，利用勾股定理可求得c
2，进而可求出答案.
【解答过程】因为|F1 A)=2|F2 A)，所以|F1 A)>|F2 A)，
又因为点A在C上，所以|F1 A)−|F2 A)=2a，
即2|F2 A)−|F2 A)=2a，所以|F2 A)=2a,|F1 A)= 4 a，
在△A F1 F2中，由正弦定理得
|A F2)
sin ∠A F1 F2
=
|A F1)
sin ∠A F2 F1
，
所以sin∠A F2 F1=|A F1)sin30°
|A F2)
=1，
又0°<∠A F2 F1<180°，所以∠A F2 F1=90°，故∠F1 A F2=60°，
则S△A F1 F2= 1
2|A F1)|A F2)sin60° =2❑√3a
2=6 ❑√3，所以a
2=3，
则|F1 F2)
2=(2c)
2=|A F1)
2−|A F2)
2=16a
2−4 a
2=12a
2=36，所以c
2=9，
所以b
2=c
2−a
2=6，
所以C的方程为x
2
3 −y
2
6 =1.
故选：B.
【题型3 曲线方程与双曲线】
【例3】（2025·新疆·模拟预测）“m>4”是 “方程x
2
m−1 −
y
2
m−4 =1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即
可.
【解答过程】x
2
m−1 −
y
2
m−4 =1表示双曲线时，
等价于(m−1)(m−4)>0，解得m>4或m<1.
因为由m>4可推出m>4或m<1，但是由m>4或m<1，不能推出m>4，
所以“m>4”是“方程x
2
m−1 −
y
2
m−4 =1表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-1】（24-25 高二上·河南许昌·期末）若方程x
2
m+ 4 +
y
2
m−7 =1表示双曲线，则m的取值范围是
（ ）
A．m<−7或m>4
B．−7<m<4
C．m<−4或m>7
D．−4<m<7
【答案】D
【解题思路】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取
值范围.
【解答过程】若方程x
2
m+ 4 +
y
2
m−7 =1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，则{
m+ 4>0
m−7<0)，解得
−4<m<7；
若方程x
2
m+ 4 +
y
2
m−7 =1表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则{
m+ 4<0
m−7>0)，无解.
综上所述，−4<m<7.
故选：D.
【变式3-2】（24-25 高二上·浙江·期中）对于方程x
2+ y
2tan α =1, α ∈(−π
2 , π
2 )，表示的曲线C，下
列说法正确的是 （ ）
A．曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若α为负角，则曲线C为双曲线
C．若α为正角，则曲线C为椭圆
D．若C为椭圆，则曲线C的焦点在x轴上
【答案】B
【解题思路】对于A，根据α =0的取值，即可判断；对于B 若α为负角，即−π
2 <α <0，结合双曲线标准
方程的形式，即可判断；
对于C，当α =π
4 时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形
式，即可判断选项.
【解答过程】对于A，当α =0，即tanα =0时，曲线C的方程为x
2=1，即x =±1，
此时曲线C为两条平行的直线，故A 错误；
对于B，若α为负角，即−π
2 <α <0，则tanα <0，
此时曲线C为双曲线，故B 正确；
对于C，若α为正角，即0<α <π
2 ，当α =π
4 时，tanα =1，
则曲线C的方程为x
2+ y
2=1，是圆，故C 错误；
对于D，若C为椭圆，当0<tanα <1，
1
tanα >1，又x
2+ y
2tan α =1可变形为x
2+
y
2
1
tan α
=1，
则C为焦点在y轴上的椭圆，故D 错误．
故选：B.
【变式3-3】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线C : x
2
4 + y
2
m =1(m≠0)，则“m∈(0,4)”是“曲线C
的焦点在x 轴上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】若m∈(0,4)，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆；当曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线时
m<0.
【解答过程】若m∈(0,4)，则曲线C : x
2
4 + y
2
m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，故充分性成立；
若曲线C 的焦点在x 轴上，也有可能是m<0，此时曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，故必要性不成立，
故选：A.
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点A ,B的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM，
BM相交于点M，且它们的斜率之积是4
9 ，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
25 −9 y
2
100 =1(x≠±5)
B．x
2
25 −3 y
2
100 =1(x≠±5)
C．y
2
25 −3 x
2
100 =1(x≠±5)
D．y
2
25 −9 x
2
100 =1(x≠±5)
【答案】A
【解题思路】设点M ( x , y),由题意列出方程，化简整理即得点M的轨迹方程.
【解答过程】依题意，设点M ( x , y)，由k AM ⋅k BM =
y
x +5 ⋅
y
x−5 =
y
2
x
2−25
= 4
9 ,( x≠±5)，
可得4 x
2−9 y
2=100,( x≠±5)，即得点M的轨迹方程为x
2
25 −9 y
2
100 =1(x≠±5).
故选：A.
【变式4-1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆C : x
2+ y
2−6 x =0上恰有三个点到直线
ax +by +1=0(a≠0, b≠0)的距离为1，则动点(5a+3, 5b)的轨迹方程是（ ）
A．x
2
4 −y
2
5 =1
B．25
4 (x + 3
5)
2
−5 y
2=1
C．25
4 x
2−5 y
2=1
D．x
2
5 −y
2
4 =1
【答案】A
【解题思路】由圆C上恰有三个点到直线ax +by +1=0的距离为1，得到圆心到直线的距离恰好为2，求得
5a
2−4 b
2+6a+1=0，设{
x =5a+3
y =5b )，得到a= x−3
5
,b= y
5 ，代入方程，即可得到点(5a+3, 5b)的轨迹
方程.
【解答过程】由圆C : x
2+ y
2−6 x =0，可得标准方程为( x−3)
2+ y
2=9，
所以圆心C(3,0)，半径为r =3，
若圆C上恰有三个点到直线ax +by +1=0的距离为1，
则满足圆心到直线的距离恰好为2，即|3a+1)
❑√a
2+b
2 =2，即5a
2−4 b
2+6a+1=0，
设{
x =5a+3
y =5b )，则a= x−3
5
,b= y
5 ，
代入5a
2−4 b
2+6a+1=0，可得5⋅( x−3
5
)
2
−4⋅( y
5 )
2
+6⋅( x−3
5
)+1=0，
整理得x
2
4 −y
2
5 =1，即点(5a+3, 5b)的轨迹方程为x
2
4 −y
2
5 =1.
故选：A.
【变式4-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线x
2−y
2
4 =1与直线l: y =kx +m(k ≠±2)有唯一的公
共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A (x ,0),B (0, y)两点．当点M运动时，点P(x , y)的
轨迹方程是（ ）
A．x
2
4 + y
2=1( y ≠0)
B．x
2
4 −y
2=1( y ≠0)
C．x
2
25 + 4 y
2
25 =1( y ≠0)
D．x
2
25 −4 y
2
25 =1( y ≠0)
【答案】D
【解题思路】根据直线l与双曲线相切，推出m
2+ 4 =k
2，M (−k
m ,−4
m )，再求出x , y,消去k ,m可得结果.
【解答过程】因为双曲线x
2−y
2
4 =1与直线l: y =kx +m(k ≠±2)有唯一的公共点M，
所以直线l与双曲线相切，
联立{
y =kx +m
x
2−y
2
4 =1)
，消去y并整理得(4−k
2)x
2−2kmx −m
2−4 =0，
所以Δ= 4 k
2m
2+ 4(4−k
2)(m
2+ 4)=0，即m
2+ 4 =k
2，
将m
2+ 4 =k
2代入(4−k
2)x
2−2kmx −m
2−4 =0，得−m
2 x
2−2kmx−k
2=0，
得(mx +k )
2=0，因为k ≠±2，m
2+ 4 =k
2，所以m≠0，
所以x =−k
m，y =−k
m ⋅k +m= m
2−k
2
m
=−4
m，即M (−k
m ,−4
m )，
由m
2+ 4 =k
2可知k ≠0，
所以过点M且与l垂直的直线为y + 4
m =−1
k ( x + k
m )，
令y =0，得x =−5k
m ，令x =0，得y =−5
m，
则A(−5k
m ,0)，B(0,−5
m )，
由{
x =−5k
m
y =−5
m)
，得m=−5
y ，k = x
y ，
代入m
2+ 4 =k
2，得25
y
2 + 4 = x
2
y
2，即x
2
25 −4 y
2
25 =1( y ≠0)，
故选：D.
【变式4-3】（2025·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点M (x , y)与定点F (c ,0)的距离和它与定直线l
：x = a
2
c 的距离的比是常数c
a
(0<a<c)，则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F (❑√3,0)的距离和它
与定直线l：x =
❑√3
3 的距离的比是❑√3，则点M的轨迹方程为（ ）
A．y
2
2 −x
2=1
B．x
2−y
2
2 =1
C．x
2
2 −y
2=1
D．y
2−x
2
2 =1
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，列出方程并化简得答案.
【解答过程】设M ( x , y)，依题意，
❑√( x−❑√3)
2+ y
2
| x−
❑√3
3 |
= ❑√3，化简整理得x
2−y
2
2 =1，
所以点M的轨迹方程为x
2−y
2
2 =1.
故选：B.
【题型5 双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】
【例5】（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线x
2
5 −y
2
m =1的一个焦点坐标为(−3,0)，则实数m的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答过程】解：双曲线x
2
5 −y
2
m =1的一个焦点坐标为(−3,0)，可得m+5=9，
可得m= 4.
故选：D.
【变式5-1】（2025·江西新余·一模）双曲线x
2
6 −y
2
16 =1的实轴长为（ ）
A．❑√6
B．4
C．2❑√6
D．8
【答案】C
【解题思路】根据双曲线方程直接确定实轴长.
【解答过程】由双曲线方程知a= ❑√6，则实轴长为2a=2❑√6.
故选：C.
【变式5-2】（2025·广东广州·三模）已知双曲线C：x
2
9 −y
2
b
2 =1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2
作C 其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线A F2交另一渐近线于点B，若|AB)=b，则双曲线C 的焦距
为（ ）
A．3 ❑√2
B．6 ❑√2
C．6
D．12
【答案】D
【解题思路】由双曲线的性质可得F2到渐近线距离为b，结合几何性质可得∠F2OA =60°，从而b
a = ❑√3
，最后由a,b,c的关系可得焦距.
【解答过程】如图所示，∵F2到渐近线距离为b，故△BO F2为等腰三角形，∴∠F2OA =60°，
故b
a = ❑√3,b=3 ❑√3，c =6，∴焦距为12.
故选：D.
【变式5-3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2c，且
a:b:c =1:2:❑√5，则下列说法正确的是（ ）
A．C的实轴长为2
B．C的渐近线方程为y =± 1
2 x
C．C的离心率为❑√5
D．C的右焦点的坐标为(❑√5,0)
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，结合双曲线渐近线、离心率逐项判断得解.
【解答过程】对于AD，由a:b:c =1:2:❑√5，取a=2，则c =2❑√5，C的实轴长4，右焦点(2❑√5,0)，AD
错误；
对于B，由a:b=1:2，得C的渐近线方程为y =±2 x，B 错误；
对于C，由a:c =1:❑√5，得C的离心率e = ❑√5，C 正确.
故选：C.
【题型6 双曲线中的焦点三角形问题】
【例6】（2025·江西·二模）过双曲线C : x
2
2 −y
2=1的中心作直线l与双曲线C交于P、Q两点，设双曲线C
的右焦点为F，已知∠PFQ = 2π
3 ，则△PFQ的面积为（ ）
A．
❑√3
3
B．1
C．❑√2
D．❑√3
【答案】D
【解题思路】设双曲线的左焦点为F
′，连接P F
′、Q F
′，根据双曲线的对称性得到S△PFQ= S△PF F
′，设
|P F
′)=m，|PF)=n，结合双曲线的定义及余弦定理求出mn，再由面积公式计算可得.
【解答过程】设双曲线的左焦点为F
′，连接P F
′、Q F
′，由双曲线的对称性可知四边形P F
′QF为平行四
边形，
由∠PFQ = 2π
3 ，则∠F
′ PF =π
3 ，
不妨设P在双曲线的右支上，设|P F
′)=m，|PF)=n，又|F F
′)=2c =2❑√3，
由双曲线的定义可得|P F
′)−|PF)=m−n=2a=2❑√2，
在△FP F
′中由余弦定理可得，|F F
′)
2=|P F
′)
2+|PF)
2−2|P F
′)⋅|PF)cosπ
3 ，
即12=m
2+n
2−mn=(m−n)
2+mn=(2❑√2)
2+mn，解得mn= 4，
所以S△PFQ= S△PF F
′= 1
2|P F
′)⋅|PF)sinπ
3 = 1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3.
故选：D.
【变式6-1】（2025·河南安阳·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，且|A F2):|B F2):|A F1)=1:2:3，若△AB F1的周长为20，则
C的实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及△AB F1的周长，求出a的值，进而得到双
曲线C的实轴长.
【解答过程】设| A F2|=m，因为| A F2|:|B F2|:| A F1|=1:2:3，所以|B F2|=2m，
| A F1|=3m.
根据双曲线的定义：平面内到两个定点F1, F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<| F1 F2|）的点
的轨迹为双曲线.
对于点A在双曲线右支上，有| A F1|−| A F2|=2a，即3m−m=2a，可得2m=2a ①.
对于点B在双曲线右支上，有|B F1|−|B F2|=2a，则|B F1|=|B F2|+2a=2m+2a .
已知△AB F1的周长为20，△AB F1的周长L=| A F1|+|B F1|+| AB|，而
| AB|=| A F2|+|B F2|=m+2m=3m.
所以L=3m+(2m+2a)+3m=20，即8m+2a=20 ②.
将①2m=2a代入②8m+2a=20中，得到4×2a+2a=20，即10a=20，解得a=2.
根据双曲线的性质，双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的实轴长为2a.
把a=2代入，可得实轴长为2×2= 4.
故选：C.
【变式6-2】（2025·青海海南·一模）已知双曲线C：x
2−y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的
右支上，且|P F1)=1+ ❑√7，则△P F1 F2的面积为（ ）
A．❑√7−1
B．6
C．3
D．❑√7+1
【答案】C
【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得|P F2)，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而
可求其面积.
【解答过程】点P 在双曲线右支上，a=1,b= ❑√3,c =2
由双曲线的定义可得|P F1)−|P F2)=2，
又|P F1)=1+ ❑√7，两式联立得|P F2)= ❑√7−1.
又|F1 F2)= 4，
所以|P F1)
2+|P F2)
2=|F1 F2)
2=16，即△P F1 F2为直角三角形，
所以S△P F1 F2= 1
2|P F1)|P F2)=3.
故选：C.
【变式6-3】（2025·广东·一模）如图，F1、F2是双曲线x
2
9 −y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与
双曲线分别交于点A、B，若△AB F2为等边三角形，则△B F1 F2的面积为（ ）
A．8 ❑√3
B．9 ❑√3
C．18 ❑√3
D．27 ❑√3
【答案】C
【解题思路】由双曲线的定义，可得|B F1)=2a，|B F2|=)B F1)+2a= 4 a，由三角形面积公式
S = 1
2 absinC，即可求出△B F1 F2的面积．
【解答过程】在双曲线中：a
2=9，所以a=3，
根据双曲线的定义，可得|A F1|−) A F2)=2a=6，
∵△AB F2是等边三角形，即|A F2)=|AB)
∴|A F1|−|AB)=)B F1)=2a
又∵|B F2|−)B F1)=2a，
∴|B F2|=)B F1)+2a= 4 a=12，
∴△B F1 F2的面积为S = 1
2 |B F1|⋅|B F2|⋅sin120
∘= 1
2 ×6×12×
❑√3
2 =18 ❑√3．
故选：C．
【题型7 双曲线的渐近线方程】
【例7】（2025·河北·一模）双曲线E: y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，则E的渐近线方程为（ ）
A．y =± ❑√3 x
B．y =±
❑√3
3 x
C．y =±2 x
D．y =± 1
2 x
【答案】B
【解题思路】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为y =± a
b x，再结合条件及a,b,c间的关系，即可求
解.
【解答过程】由题知e = c
a = ❑√
1+ b
2
a
2 =2，得到b
a = ❑√3，
所以双曲线E的渐近线方程为y =± a
b x =±
❑√3
3 x，
故选：B.
【变式7-1】（2025·四川成都·一模）双曲线x
2
2 −y
2
8 =1的渐近线方程为（ ）
A．2 x ± y =0
B．x ±2 y =0
C．4 x ± y =0
D．x ± 4 y =0
【答案】A
【解题思路】根据渐近线方程直接进行求解.
【解答过程】x
2
2 −y
2
8 =1的渐近线方程为y =± b
a x =± 2❑√2
❑√2 x =±2 x，
即2 x ± y =0.
故选：A.
【变式7-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知双曲线y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a,b>0)的离心率为
❑√21
3
，则此双曲线的
渐近线方程为（ ）
A．y =±
❑√2
2 x
B．y =±
❑√3
2 x
C．y =±
❑√5
2 x
D．y =±
❑√6
2 x
【答案】B
【解题思路】由双曲线的离心率得出a
2
b
2即可求解渐近线方程．
【解答过程】由离心率得b
2
a
2 = c
2
a
2 −1= 21
9 −1= 4
3 ⇒a
2
b
2 = 3
4 ，
所以此双曲线的渐近线方程为y =±
❑√3
2 x，
故选：B．
【变式7-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1, F2分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的左、右焦点，直线l过
F1与C交于A ,B两点，若| AB|=|B F2|，3⃗F2 F1=⃗F2 A +2⃗F2B，则C的渐近线为（ ）
A．y =± 2❑√3
3
x
B．y =± 4
3 x
C．y =± 8
3 x
D．y =± 2❑√6
3
x
【答案】A
【解题思路】由题意求得|B F1|=a，| A F1|=2a，|B F2|=3a，| A F2|= 4 a，结合余弦定理
a
2+ 4 c
2−9a
2
2⋅a⋅2c
=−4 a
2+ 4 c
2−16a
2
2⋅2a⋅2c
求得b
2
a
2 = 4
3 即可.
【解答过程】
由3⃗F2 F1=⃗F2 A +2⃗F2B，即⃗F2 F1= 1
3⃗F2 A + 2
3⃗F2B，可得⃗F1 A =2⃗B F1．
设|B F1|=t，a>0，b>0，根据上述条件及双曲线的定义，可知
| A F1|=2t，|B F2|=2a+t，| A F2|=2a+2t．
又因为| AB|=|B F2|，所以t =a，
故|B F1|=a，| A F1|=2a，|B F2|=3a，| A F2|= 4 a．
在△AB F2中，由cos∠B F1 F2=−cos∠A F1 F2，
得a
2+ 4 c
2−9a
2
2⋅a⋅2c
=−4 a
2+ 4 c
2−16a
2
2⋅2a⋅2c
，得c
2
a
2 = 7
3，即a
2+b
2
a
2
= 7
3，
得b
2
a
2 = 4
3 ，故C的两条渐近线方程为y =± b
a x =± 2❑√3
3
x．
故选：A．
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】
【例8】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的❑√7倍，则C 的离心率为（ ）
A．❑√2
B．2
C．❑√7
D．2❑√2
【答案】D
【解题思路】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a
2+b
2=c
2和离心率公式求解
【解答过程】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，
由题知，b= ❑√7 a，
于是a
2+b
2=c
2=a
2+7a
2=8a
2，则c =2❑√2a，
即e = c
a =2❑√2.
故选：D.
【变式8-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y =2 x，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．1
2
B．
❑√5
5
C．2
D．❑√5
【答案】D
【解题思路】由题意可得b
a =2，则e = c
a = ❑√
1+(
b
a)
2
，即可得出答案.
【解答过程】因为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y =± b
a x，
所以b
a =2，所以双曲线的离心率为e = c
a = ❑√
1+(
b
a)
2
=
❑√1+2
2= ❑√5.
故选：D.
【变式8-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的左、右焦点，直线l过
F1与C交于A，B两点，若|AB)=|B F2)，⃗A F1=2⃗F1B，则C的离心率为（ ）
A．8
3
B．5
3
C．
❑√21
3
D．
❑√33
3
【答案】C
【解题思路】设|⃗A F1|=2|⃗F1B|=2n，结合双曲线的定义及|AB)=|B F2)得a=n，再由
cos∠B F1 F2+cos∠A F1 F2=0和余弦定理得到齐次式，即可得离心率.
【解答过程】设|⃗A F1|=2|⃗F1B|=2n，则|B F2|−|B F1|=| A F2|−| A F1|=2a，
所以|B F2|−n=| A F2|−2n=2a，则{
|B F2|=n+2a
| A F2|=2n+2a)，
由|AB)=|B F1|+| A F1|=|B F2)，则3n=n+2a，故a=n，
综上，|B F1|=a,|B F2|=3a,| A F1|=2a,| A F2|= 4 a，
由∠B F1 F2+∠A F1 F2=π，则cos∠B F1 F2+cos∠A F1 F2=0，
所以a
2+ 4 c
2−9a
2
4 ac
+ 4 a
2+ 4 c
2−16a
2
8ac
=0，可得3c
2=7a
2，
所以e = c
a = ❑√
7
3 =
❑√21
3
.
故选：C.
【变式8-3】（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆
M :( x +2)
2+( y −6)
2= 4上存在点P 使得P F2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．[3,+∞)
C．(1,2]
D．(1,3]
【答案】B
【解题思路】设P( x0, y0)为圆M上一点，得到P F2的中点Q( x0+2
2
, y0
2 )，求得y0=± b
a ( x0+2)，结合直
线y =± b
a ( x +2)与圆M有公共点，得到
|−6)
❑√( b
a )
2
+1
≤2
，求得b
2
a
2 ≥8，进而求得双曲线的离心率的取值范
围.
【解答过程】因为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的右焦点为F2(2,0)，则c =2，即a
2+b
2= 4，
且双曲线C的渐近线方程为y =± b
a x，
设P( x0, y0)为圆M :( x +2)
2+( y −6)
2= 4上一点，且圆心为M (−2,6)，半径r =2，
则P F2的中点Q( x0+2
2
, y0
2 )在其渐近线上，可得y0
2 =± b
a ( x0+2
2
)，
即y0=± b
a ( x0+2)，所以点P在直线± b
a x−y ± 2b
a =0上，
因为圆心M (−2,6)到直线的距离为d =|± b
a ×(−2)−6± 2b
a )
❑√(± b
a )
2
+(−1)
2
=
|−6)
❑√( b
a )
2
+1
，
因为圆M上存在点P满足条件，所以直线y0=± b
a ( x0+2)与圆M有公共点，
所以d ≤2，即
|−6)
❑√( b
a )
2
+1
≤2
，可得
36
( b
a )
2
+1
≤4
，可得( b
a )
2
+1≥9，所以b
2
a
2 ≥8，
又因为双曲线的离心率e
2= c
2
a
2 = a
2+b
2
a
2
=1+ b
2
a
2 ≥9，所以e≥3，
所以双曲线C的离心率的取值范围为[3,+∞).
故选：B.
【题型9 与双曲线有关的最值问题】
【例9】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线Γ: x
2−y
2
3 =1的左焦点为F，点A ,B在Γ的右支上，且
|AB)=6，则|FA)+|FB)的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．14
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的定义，将| FA |与| FB|进行转化，再结合三角形三边关系求出| FA |+| FB|
的最小值．
【解答过程】对于双曲线x
2−y
2
3 =1，根据双曲线的标准方程x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0,b>0），可得a
2=1，
b
2=3．则a=1．
设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则| FA |−| F2 A |=2a=2，即
| FA |=| F2 A |+2；
同理，点B在双曲线的右支上，则| FB|−| F2B|=2a=2，即| FB|=| F2B|+2．
所以| FA |+| FB|=(| F2 A |+2)+(| F2B|+2)=| F2 A |+| F2B|+ 4．
根据三角形三边关系，| F2 A |+| F2B|≥| AB|，当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立．
又| AB|=6，则| F2 A |+| F2B|+ 4≥| AB|+ 4 =6+ 4 =10，即| FA |+| FB|≥10．
所以| FA |+| FB|的最小值为10．
故选：C．
【变式9-1】（2025·河北石家庄·一模）设点P为双曲线x
2
5 −y
2
11 =1右支上的动点，F为该双曲线的右焦
点，已知点Q(7,2)，则| PF |+| PQ|的最小值为（ ）
A．2❑√5
B．3 ❑√5
C．4 ❑√5
D．5 ❑√5
【答案】B
【解题思路】根据双曲线的定义将|PF)+|PQ)转化成|P F1)+|PQ)−2a，数形结合求得|P F1)+|PQ)最值
得解.
【解答过程】如图，设双曲线的左焦点为F1，
由双曲线的定义得|PF)+|PQ)=|P F1)+|PQ)−2a≥|Q F1)−2❑√5=5 ❑√5−2❑√5=3 ❑√5，
所以|PF)+|PQ)的最小值为3 ❑√5.
故选：B.
【变式9-2】（2025·山东济南·三模）双曲线C : x
2
4 −y
2
5 =1的左焦点为F，点A(0,4)，若P 为C 右支上的
一个动点，则| PA |+| PF |的最小值为
．
【答案】9
【解题思路】利用双曲线的定义将| PF |进行转化，再结合三角形三边关系求| PA |+| PF |的最小值；
【解答过程】设双曲线C : x
2
4 −y
2
5 =1的右焦点为F2.
对于双曲线C : x
2
4 −y
2
5 =1，可得a
2= 4，则a=2.
因为点P在双曲线的右支上，所以| PF |−| P F2|=2a= 4，即| PF |=| P F2|+ 4.
则| PA |+| PF |=| PA |+| P F2|+ 4.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA)+|P F2|≥) A F2)，当且仅当A，P，F2三点共线时
取等号.
已知F2(3,0)，A(0,4)，根据两点间距离公式，可得| A F2|=
❑√(3−0)
2+(0−4)
2=5.
所以|PA)+|PF)=|PA)+|P F2|+ 4≥) A F2)+ 4 =5+ 4 =9，即| PA |+| PF |的最小值为9.
故答案为：9.
【变式9-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知F是双曲线C : x
2
2 −y
2
4 =1的右焦点，P是C左支上一点，M
是圆D: x
2+( y −2❑√3)
2=2上一点，则| MP|+| PF |的最小值为
.
【答案】4 ❑√2
【解题思路】利用双曲线定义，将| MP|+| PF |转化为| MP|+| P F1|+2a，结合圆的性质求解即可.
【解答过程】设双曲线C的左焦点为F1，连接P F1，PD.
由题知，实轴长2a=2❑√2, F1(−❑√6,0), D(0,2❑√3)，
由双曲线定义知，|PF)=2a+|P F1)=2❑√2+|P F1)，
则| MP|+| PF |≥| PD|+| PF |−❑√2=| PD|−❑√2+2❑√2+|P F1) =| PD|+|P F1)+ ❑√2，
当P，D，F1三点共线时，| MP|+| PF |取得最小值，
且最小值为|D F1)=
❑√|O F1)
2+|OD)
2= ❑√6+12+ ❑√2= 4 ❑√2.
故答案为：4 ❑√2.
【题型10 双曲线的实际应用】
【例10】（24-25 高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y
2
9 −x
2
m =1的
图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为3 米时，水面宽AB为4 ❑√3米，则当水面宽度为4 ❑√6米时，拱顶
M到水面的距离为（ ）
A．3 米
B．(6 ❑√2−3)米
C．(2❑√6−3)米
D．(3 ❑√7−3)米
【答案】D
【解题思路】将A (−2❑√3,−6)代入双曲线得到m= 4，当x =−2❑√6得到y =−3 ❑√7，进而求得拱顶M到水
面的距离，即可判断.
【解答过程】根据题意，M (0,−3)，A (−2❑√3,−6)，故36
9 −12
m =1，解得m= 4，即y
2
9 −x
2
4 =1，
则当水面宽度为4 ❑√6米时，即x =−2❑√6时，解得y =−3 ❑√7，( y <0)，
因此，拱顶M 到水面的距离为3 ❑√7−3.
故选：D.
【变式10-1】（24-25 高二上·江苏泰州·期中）3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件
为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒
为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为❑√5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到
的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6 ❑√2cm，下底直径为9 ❑√2cm，喉部
（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）
A．27
2 cm
B．18cm
C．27 ❑√2
2
cm
D．9 ❑√2cm
【答案】D
【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，
设A 与B分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，
由双曲线的离心率为❑√5，得
❑√a
2+b
2
a
= ❑√5，则b
2= 4 a
2，
由喉部（中间最细处）的直径为8cm，得2a=8,a= 4，
所以双曲线的方程为x
2
16 −y
2
64 =1，设点A( x A , y A),B( xB, yB)，
由x A =3 ❑√2, xB= 9 ❑√2
2
，得y A =2❑√2, yB=−7 ❑√2，所以该塔筒的高为y A−yB=9 ❑√2.
故选：D.
【变式10-2】（2025·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正
北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心
的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为340 m /s3，相关各点均
在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离680 ❑√10 m
B．东偏南45°方向，距离680 ❑√10 m
C．西偏北45°方向，距离680 ❑√5 m
D．东偏南45°方向，距离680 ❑√5 m
【答案】A
【解题思路】以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系；设A、B、C分
别是西、东、北观测点，写出A、B、C点的坐标，设P( x , y)为巨响生成点，由双曲线定义知P点在以A
、B为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．
【解答过程】解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．
设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A (−1020,0)，B (1020,0)，C (0,1020)，
设P(x , y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA)=|PC)，故P在AC的垂直平分线PO上，PO
的方程为y =−x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，
故|PB)−|PA)=340×4 =1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 ＝1上，依题意得
a=680，c =1020，∴b
2=c
2−a
2=1020
2−680
2=5×340
2，
故双曲线方程为x
2
680
2 −
y
2
5×340
2 =1，将y =−x代入上式，得x =±680 ❑√5，∵|PB)>|PA)，
∴x =−680 ❑√5，y =680 ❑√5 ，即P(−680 ❑√5，680 ❑√5)
故PO =680 ❑√10 .
故巨响发生在接报中心的西偏北45
°距中心680 ❑√10 m处．
故选：A.
【变式10-3】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光
线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，从F2
发出的光线经过图2 中的A，B 两点反射
后，分别经过点C和D，且cos∠BAC =−3
5 , AB⊥BD，则E的离心率为( )
A．
❑√5
2
B．
❑√17
3
C．
❑√10
2
D．❑√5
【答案】B
【解题思路】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设|B F2)=m，用|B F2)表示|B F1),|A F1),|AB)，先
在Rt△AB F1中由|AB)
2+|B F1)
2=|A F1)
2求出m= 2
3 a，再在Rt△B F1 F2中由|B F2)
2+|B F1)
2=|F1 F2)
2
即可求解.
【解答过程】由题意可知直线CA，DB都过点F1，如图，
则有AB⊥B F1，cos∠BA F1= 3
5，
设|B F2)=m，则|B F1)=2a+m，
所以tan ∠BA F1=
❑√1−cos
2∠BA F1
cos∠BA F1
=
4
5
3
5
= 4
3 ，故|AB)= 3
4|B F1)= 3
4
(2a+m)，
所以|A F2)= 3
2 a−1
4 m，
因此|A F1)=2a+|A F2)= 7
2 a−1
4 m，
在Rt△AB F1，|AB)
2+|B F1)
2=|A F1)
2，
即9
16
(2a+m)
2+(2a+m)
2=(
7
2 a−1
4 m)
2
，
整理得3m
2+16am−12a
2=0即(3m−2a)(m+6a)=0，解得m= 2
3 a，
所以|B F1)= 8
3 a,|B F2)= 2
3 a，
令双曲线半焦距为c，
在Rt△B F1 F2中，|B F2)
2+|B F1)
2=|F1 F2)
2，即(
2
3 a)
2
+(
8
3 a)
2
=(2c)
2，
解得c
a =
❑√17
3
，
所以E的离心率为
❑√17
3
.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）双曲线x
2−4 y
2= 4的离心率为（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√5
2
C．5
4
D．❑√5
【答案】B
【解题思路】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．
【解答过程】由x
2−4 y
2= 4得，x
2
4 −y
2=1，所以a
2= 4 ,b
2=1,c
2=a
2+b
2=5，
即a=2,c = ❑√5，所以e = c
a =
❑√5
2 ，
故选：B．
2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C : x
2−y
2
m =1的一条渐近线的方程为2 x−y =0，则m=
（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
【答案】A
【解题思路】根据渐近线的斜率列方程即可得解.
【解答过程】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条渐近线方程为y =2 x，
所以
❑√m
1 =2，解得m= 4.
故选：A.
3．（2025·北京·三模）“k = 1
2”是“直线y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得k的值，
从而可进行判断.
【解答过程】∵直线与y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点，
∴联立方程组{
y =k (x−4)
x
2
4 −y
2=1)
，消去y得，(1−4 k
2) x
2+32k
2 x −64 k
2−4 =0，
当1−4 k
2=0，即k =± 1
2时，直线方程为y =k (x−4)=± 1
2
(x−4)，
∵双曲线x
2
4 −y
2=1的渐近线方程为y =± 1
2 x，
∴此时直线y =± 1
2
(x−4)与渐近线y =± 1
2 x平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当1−4 k
2≠0，即k ≠± 1
2时，Δ=(32k
2)
2−4(1−4 k
2)(−64 k
2−4)=192k
2+16>0，
此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；
∴当且仅当k =± 1
2时，直线与y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点，
∴由k = 1
2能推出直线y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点，
反之，当直线y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点时不能推出k = 1
2，
∴“k = 1
2”是“直线y =k (x−4)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·北京海淀·二模）已知A (−2,0),B (2,0)．若动点P满足|PA)−|PB)=2，则P的轨迹的方程为
（ ）
A．x
2−y
2
3 =1
B．x
2−y
2
3 =1(x ≤−1)
C．y
2
3 −x
2=1
D．x
2−y
2
3 =1(x ≥1)
【答案】D
【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案.
【解答过程】∵A (−2,0),B (2,0)，动点P满足|PA)−|PB)=2<| AB|= 4，
∴动点P的轨迹为双曲线且为右支，|PA)−|PB)=2=2a⇒a=1，c =2，b= ❑√3，
∴P的轨迹的方程为x
2−y
2
3 =1(x ≥1)，
故选：D.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为(5,0)，一条渐近线方程为
y = 4
3 x，则C的实轴长为（ ）
A．3
B．6
C．4
D．8
【答案】B
【解题思路】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出a,b即可得解.
【解答过程】由题意设双曲线C的方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，则{
b
a = 4
3
a
2+b
2=25)
，
解得{
a=3
b= 4)，故所求实轴长为2a=6.
故选：B.
6．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线C : x
2
3 −y
2=1的左右焦点分别为
､
F1, F2，以F1 F2为直径的圆与双
曲线在第一三象限的交点分别为
､
M , N，则△M F1 N的周长为（ ）
A．8+2❑√5
B．8
C．4+2❑√5
D．8+2❑√3
【答案】C
【解题思路】设|M F2)=n,|M F1)=m，根据圆的性质可知M F1⊥M F2，利用勾股定理结合双曲线的定
义可得mn=2,(m+n)
2=20，得m+n=2❑√5即可求解.
【解答过程】设|M F2)=n,|M F1)=m，由M在以F1 F2为直径的圆上可得M F1⊥M F2，
所以|M F1)
2+|M F2)
2=|F1 F2)
2，四边形M F1 N F2为矩形，则|MN )=|F1 F2)=2c，
由双曲线C : x
2
3 −y
2=1，得a
2=3,b
2=1,c
2=a
2+b
2= 4，
所以m
2+n
2=16，又由双曲线的定义有m−n=2a=2❑√3，
所以m
2−2mn+n
2=12，得mn=2，
所以(m+n)
2=m
2+2mn+n
2=16+ 4 =20，
即m+n=2❑√5，而|MN )=|F1 F2)=2c = 4，
所以m+n+|MN )= 4 +2❑√5，所以△M F1 N的周长为4+2❑√5.
故选：C.
7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P
满足P F1⊥P F2，|P F1)⋅|P F2)= 4，则C的方程为（ ）
A．y
2−x
2
4 =1
B．y
2−x
2
2 =1
C．4 y
2−x
2
4 =1
D．4 y
2−x
2
2 =1
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.
【解答过程】由题意设双曲线方程为y
2
a
2 −x
2
b
2 =1，
由题意可知a= 1
2，
由于P F1⊥P F2，|P F1)⋅|P F2)= 4，故{
|P F1)⋅|P F2)= 4
|| P F1|−| P F2||=2a=1
|P F1)
2+|P F2)
2= 4 c
2 )
，解得c = 3
2，
故b=
❑√c
2−a
2= ❑√2，
故双曲线方程为4 y
2−x
2
2 =1，
故选：D.
8．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1, F2, A是双曲线
C上一点，B为线段A F1的中点.若|F1 F2)=|A F2)=2|B F2)，则C的离心率为（ ）
A．❑√3+1
B．2
C．
❑√3+1
2
D．❑√2
【答案】C
【解题思路】根据题意设|F1 F2)=|A F2)=2|B F2)=2c，由几何关系得| A F1|=2❑√3c，再根据双曲线定
义知| A F1|=2c +2a，联立即可求出离心率e = c
a.
【解答过程】由题意设|F1 F2)=|A F2)=2|B F2)=2c，
因为B为线段A F1的中点，所以A F1⊥B F2，
又|B F2|=c，所以|B F1|= ❑√3c，则| A F1|=2❑√3c，
根据双曲线定义知| A F1|=| A F2|+2a=2c +2a，所以2❑√3c =2c +2a，
解得c
a =
❑√3+1
2
，故双曲线的离心率为
❑√3+1
2
.
故选：C.
二、多选题
9．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知点P在双曲线x
2
16 −y
2
9 =1上，F1, F2分别是左、右焦点，若
△P F1 F2的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为20
3
B．|P F1)+|P F2)= 50
3
C．△P F1 F2为钝角三角形
D．∠F1 P F2=π
3
【答案】BC
【解题思路】设点P(xP, y P)，根据S△P F1 F2= 1
2 ×2c|y P)=20求得|y P)判断A；求出点P的坐标，利用两点
距离求出|P F2)，根据双曲线定义求出|P F1)，即可判断B；结合B 选项，利用余弦定理求得
cos∠P F2 F1<0，则∠P F2 F1为钝角，即可判断C；由S△P F1 F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
得
tan ∠F1 P F2
2
= 9
20 ≠
❑√3
3 ，即可判断D．
【解答过程】设点P(xP, y P)．
因为双曲线C : x
2
16 −y
2
9 =1，所以a= 4，b=3，c = ❑√16+9=5，F2(5,0)．
对于A，S△P F1 F2= 1
2 ×2c|yP)= 1
2 ×10×|yP)=20，所以|y P)= 4，
所以点P到x轴的距离为4，错误．
对于B，将|y P)= 4代入x
2
16 −y
2
9 =1得xP
2
16 −4
2
9 =1，则|xP)= 20
3 ．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为(
20
3 ,4)，得|P F2)= ❑√(
20
3 −5)
2
+ 4
2= 13
3
．
由双曲线的定义得|P F1)=|P F2)+2a= 13
3 +8= 37
3 ，所以|P F1)+|P F2)= 37
3 + 13
3 = 50
3 ，正确．
对于C，结合B 选项，在△P F1 F2中，|P F1)= 37
3 >|F1 F2)=2c =10>|P F2)= 13
3 ，
且cos∠P F2 F1=|P F2)
2+|F1 F2)
2−|P F1)
2
2|P F2)⋅|F1 F2)
<0，则∠P F2 F1为钝角，
所以△P F1 F2为钝角三角形，正确．
对于D，由S△P F1 F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
，得tan ∠F1 P F2
2
= 9
20 ≠
❑√3
3
，且∠F1 P F2
2
∈(0,π
2 )，
所以∠F1 P F2
2
≠π
6 ，所以∠F1 P F2≠π
3 ，错误．
故选：BC.
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知F (2,0)是双曲线C : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的右焦点，P为右支上一点，
则（ ）
A．双曲线C的虚轴长为2❑√3
B．|OP)≥|PF)（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为y =±
❑√3
3 x
D．M为圆E:(x +2)
2+ y
2=1上一点，|PM )−|PF)的最小值为1
【答案】ABD
【解题思路】A 利用a,b,c之间的关系求出b；B 根据右顶点A (1,0)是OF的中点可判断；C 渐近线方程为
y =± b
a x；D 将|PM )转化为|PE)−1，再结合双曲线的定义即可.
【解答过程】由题意知a=1，c =2，则b= ❑√3，虚轴长为2b=2❑√3，A 项正确；
易知右顶点A (1,0)是OF的中点，当点P在右支上运动时，有|OP)≥|PF)，B 项正确；
双曲线C的渐近线方程为y =± ❑√3 x，C 项错误；
易知E (−2,0)为双曲线的左焦点，则|PE)−|PF)=2，
则|PM )−|PF)≥|PE)−1−|PF)=1，D 项正确．
故选：ABD.
11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右
顶点分别为A1，A2，以F1 F2为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且∠N A1 M = 5 π
6 ，则
（ ）
A．∠A1 M A2= π
6
B．|M A1)=2|M A2)
C．C 的离心率为❑√13
D．当a= ❑√2时，四边形N A1 M A2的面积为8 ❑√3
【答案】ACD
【解题思路】由平行四边形的性质判断A；由F1 M ⊥F2 M且|MO)=c结合M在渐近线上可求M的坐
标，从而可判断B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B 的结果可得
c
2=13a
2，计算后可判断C 的正误，或者利用|M A2)
|A1 A2)
= b
2a = ❑√3并结合离心率变形公式即可判断；结合
BC 的结果求出面积后可判断D 的正误.
【解答过程】不妨设渐近线为y = b
a x，M在第一象限，N在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得A1 M A2 N为平行四边形，故∠A1 M A2=π−5π
6 =π
6 ，
故A 正确；
对于B，方法一：因为M在以F1 F2为直径的圆上，故F1 M ⊥F2 M且|MO)=c，
设M (x0, y0)，则{
x0
2+ y0
2=c
2
y0
x0
= b
a )
，故{
x0=a
y0=b)，故M A2⊥A1 A2，
由A 得∠A1 M A2=π
6 ，故|M A2)=|M A1)×
❑√3
2 即|M A1)= 2❑√3
3 |M A2)，故B 错误；
方法二：因为tan∠MO A2= b
a，因为双曲线中，c
2=a
2+b
2，
则cos∠MO A2= a
c ，又因为以F1 F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM =c，
则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则|OH )=c⋅a
c =a=|O A2)，则点H与A2(H )重合，则M A2⊥x
轴，则|M A2)=
❑√c
2−a
2=b，
方法三：在△OM A2利用余弦定理知，|M A2)
2=|OM )
2+|O A2)
2−2|OM )|O A2)cos∠MO A2，
即|M A2)
2=c
2+a
2−2ac⋅a
c =b
2，则|M A2)=b，
则△A1 A2 M为直角三角形，且∠A1 M A2= π
6 ，则2|M A2)= ❑√3|M A1)，故B 错误；
对于C，方法一：因为⃗MO = 1
2 (⃗M A1+⃗M A2)，故4⃗MO
2=⃗M A1
2+2⃗M A1⋅⃗M A2+⃗M A2
2，
由B 可知|M A2)=b,|M A1)= 2❑√3
3
b，
故4 c
2=b
2+ 4
3 b
2+2×b× 2❑√3
3
b×
❑√3
2 = 13
3 b
2= 13
3 (c
2−a
2)即c
2=13a
2，
故离心率e = ❑√13，故C 正确；
方法二：因为|M A2)
|A1 A2)
= b
2a = ❑√3，则b
a =2❑√3，则e = c
a = ❑√
1+ b
2
a
2 =
❑√1+(2❑√3)
2= ❑√13，故C 正确；
对于D，当a= ❑√2时，由C 可知e = ❑√13，故c = ❑√26，
故b=2❑√6，故四边形N A1 M A2为2S△M A1 A2=2× 1
2 ×2❑√6×2❑√2=8 ❑√3，
故D 正确，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·上海·三模）双曲线x
2
4 −y
2
3 =1的焦距为
．
【答案】2❑√7
【解题思路】根据给定的双曲线方程直接求出焦距.
【解答过程】双曲线x
2
4 −y
2
3 =1的实半轴长a=2，虚半轴长b= ❑√3，因此半焦距c =
❑√a
2+b
2= ❑√7，
所以所求焦距为2❑√7.
故答案为：2❑√7.
13．（2025·北京大兴·三模）若双曲线y
2
m −x
2=1（m>0）的一条渐近线方程为y = ❑√3 x，则m=
．
【答案】3
【解题思路】由焦点落在y轴上的双曲线方程渐近线为y =± a
b x，即可得y = ❑√3 x = ❑√m x，即可求得m的
值.
【解答过程】由双曲线y
2
m −x
2=1（m>0）可知双曲线焦点在y轴上，则y = ❑√3 x = ❑√m x，得m=3.
故答案为：3.
14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过
F1的直线交双曲线左支于A，B两点，|AB)=|A F2)，cos∠A F2B = 2
3，则双曲线的离心率为
．
【答案】
❑√21
3
【解题思路】设| A F1|=m，则| AB|=m+2a，|B F1|=2a，|B F2|= 4 a，在等腰△A F2B中应用诱
导公式、二倍角余弦公式可得cos∠F2 AB = 1
9，在△A F2B、△A F1 F2中应用余弦定理求参数值，并得
到双曲线参数的齐次式，即可得.
【解答过程】设| A F1|=m，则| AB|=|A F2)=m+2a，|B F1|=2a，故|B F2|= 4 a，
在等腰△A F2B中，cos∠A F2B = 2
3，则cos∠F2 AB =cos(π−2∠A F2B)=−cos2∠A F2B
=1−2cos
2∠A F2B = 1
9，
又cos∠F2 AB =| AB|
2+| A F2|
2−|B F2|
2
2| AB|| A F2|
=1−
8a
2
(m+2a)
2 = 1
9，可得
a
2
(m+2a)
2 = 1
9，
所以m=a，则| A F1|=a，| A F2|=3a，
在△A F1 F2中cos∠F2 AB =| A F1|
2+| A F2|
2−| F1 F2|
2
2| A F1|| A F2|
= 10a
2−4 c
2
6a
2
= 1
9，可得14 a
2=6c
2，
所以e = c
a = ❑√
7
3 =
❑√21
3
.
故答案为：
❑√21
3
.
四、解答题
15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2❑√5，离心率为❑√5．
(1)求C 的方程；
(2)若A 是C 的左顶点，直线l: y =3 x−3与C 交于P，Q 两点，求△APQ的面积．
【答案】(1)x
2−y
2
4 =1；
(2)24
5 .
【解题思路】（1）根据给定条件，求出a,b,c即可.
（2）求出点A到直线l的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.
【解答过程】（1）依题意，双曲线C的半焦距c = ❑√5，由离心率e = c
a = ❑√5，解得a=1，b
2=c
2−a
2= 4，
所以双曲线C的方程为x
2−y
2
4 =1.
（2）由（1）知双曲线C的左顶点A(−1,0)，点A到直线l:3 x−y −3=0的距离d =
6
❑√10，
由{
y =3 x−3
4 x
2−y
2= 4)消去y得5 x
2−18 x +13=0，解得x1=1，x2= 13
5 ，
则|PQ)=
❑√1+3
2| x1−x2|= 8 ❑√10
5
，所以△APQ的面积S△APQ= 1
2 | PQ|⋅d = 24
5 .
16．（24-25 高二上·河南驻马店·期末）曲线C :
x
2
m+2 −
y
2
2−m =1
(1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
(2)当m=1时，点P在曲线C上，F1(−2,0)，F2(2,0)，P F1⊥P F2，求点P的横坐标.
【答案】(1)−2<m<2
(2)±
❑√15
2
【解题思路】（1）由题意，(m+2)(2−m)>0，即可求m的取值范围.
（2）当m=1时，曲线C : x
2
3 −y
2=1为双曲线，设P(s,t )，则s
2
3 −t
2=1，因为P F1⊥P F2，所以
⃗
P F1⋅⃗P F2=0，求出点P的横坐标.
【解答过程】（1）曲线C :
x
2
m+2 −
y
2
2−m =1表示双曲线，则(m+2)(2−m)>0，
即(m+2)(m−2)<0，解得−2<m<2.
（2）当m=1时，曲线C : x
2
3 −y
2=1为双曲线，
点P在曲线C上，设P(s,t )，则s
2
3 −t
2=1，所以t
2= s
2
3 −1，
因为P F1⊥P F2，
所以⃗P F1⋅⃗P F2=(−2−s,−t )⋅(2−s,−t )= s
2−4 +t
2= s
2−4+ s
2
3 −1=0，
解得s=±
❑√15
2
，故点P的横坐标为±
❑√15
2
.
17．（2025·河北保定·三模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y = ❑√3 x，且点
(❑√2,❑√3)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知双曲线C的右焦点为F，点A (0,1)，斜率为1 的直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且B为线
段PQ的中点，若AF ⊥BF，求直线l的方程.
【答案】(1)x
2−y
2
3 =1
(2)x−y −8=0
【解题思路】（1）根据渐近线得b
a = ❑√3，再结合点在双曲线上得基本量，故可得双曲线方程；
（2）设直线l的方程为y = x +m，，联立直线方程和双曲线方程消元后得中点坐标，结合垂直关系可求m
，故可得直线方程.
【解答过程】（1）双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一个渐近线方程为y = ❑√3 x，
得b
a = ❑√3，即b= ❑√3a，
因为点(❑√2,❑√3)在双曲线C上，所以2
a
2 −3
b
2 =1，即2
a
2 −3
3a
2 =1，
解得a
2=1，b
2=3，
所以双曲线C的方程为x
2−y
2
3 =1.
（2）由（1），得F (2,0).
设直线l的方程为y = x +m，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
联立{
x
2−y
2
3 =1,
y = x +m, )
消去y，得2 x
2−2mx−m
2−3=0，Δ= 4 m
2−8(−m
2−3)=12m
2+24>0，
所以x1+ x2=m，y1+ y2= x1+ x2+2m=3m，即B(
m
2 , 3m
2 ).
因为AF ⊥BF，所以⃗AF ⋅⃗BF =0，又⃗AF =(2,−1)，⃗BF =(2−m
2 ,−3m
2 )，
所以(2,−1)⋅(2−m
2 ,−3m
2 )=0，即2(2−m
2)+(−1)(−3m
2 )=0，解得m=−8，
所以直线l的方程为y = x−8，即x−y −8=0.
18．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM 相交于点M，且
它们的斜率之积为3．
(1)求点M 的轨迹方程C；
(2)若直线l 与C 交于P，Q 两点，且⃗OP⋅⃗OQ =0（点O 为坐标原点），求|PQ)的取值范围．
【答案】(1)x
2−y
2
3 =1( x≠±1)
(2)[❑√6,+∞)
【解题思路】（1）设点M ( x , y)，由k MA⋅k MB=3可得轨迹方程；
（2）当直线l 斜率不存在，可得|PQ)= ❑√6；当直线l 斜率存在，设其方程为y =kx +m，设P(x1, y1)，
Q(x2, y2)，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合⃗OP⋅⃗OQ =0，可得3k
2+3=2m
2，据此可得|PQ)关
于k的表达式，然后可得取值范围.
【解答过程】（1）设点M ( x , y)，x≠±1，则k MA =
y
x +1，k MB=
y
x−1，
所以
y
x +1 ×
y
x−1 =3，化简得x
2−y
2
3 =1，
所以点M 的轨迹方程为x
2−y
2
3 =1( x≠±1)．
（2）当直线l 斜率不存在时，可设P(x p, y p)，Q(x p,−y p)．
则⃗OP =(x p, y p)，⃗OQ =(x p,−y p)，
将其代入双曲线方程得xP
2 −yP
2
3 =1，
又⃗OP⋅⃗OQ = xP
2 −y P
2 =0，解得y P=±
❑√6
2 ，此时| PQ|=2|y P)= ❑√6，
当直线l 斜率存在时，设其方程为y =kx +m，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
联立{
y =kx +m
x
2−y
2
3 =1)
⇒(3−k
2) x
2−2kmx −m
2−3=0，3−k
2≠0，Δ=12(m
2−k
2+3)>0.
由韦达定理：x1+ x2= 2km
3−k
2，x1 x2= −m
2−3
3−k
2 .
则⃗OP⋅⃗OQ = x1 x2+ y1 y2= x1 x2+(k x1+m)(k x2+m)
=(1+ k
2) x1 x2+ km(x1+ x2)+m
2=(1+ k
2) −m
2−3
3−k
2 +km 2km
3−k
2 +m
2=0，
化简得3k
2+3=2m
2，此时Δ=6(k
2+9)>0，
所以| PQ|= ❑√1+k|x1−x2)=
❑√1+k
2⋅❑√(x1+ x2)
2−4 x1 x2
=
❑√1+ k
2❑√(
2km
3−k
2)
2
−4 −m
2−3
3−k
2 =
❑√1+ k
2❑√
12(m
2−k
2+3)
(3−k
2)
2
= ❑√6 ❑√
k
4+10k
2+9
k
4−6 k
2+9
= ❑√6 ❑√
1+
16 k
2
k
4−6 k
2+9
，
当k =0时，此时| PQ|= ❑√6，当k ≠0时，此时| PQ|= ❑√6⋅❑
√
1+
16
k
2+ 9
k
2 −6 ，
∵3−k
2≠0，∴k
2+ 9
k
2 >2❑√
k
2⋅9
k
2 =6，故
16
k
2+ 9
k
2 −6
>0
，
因此| PQ|= ❑√6⋅❑
√
1+
16
k
2+ 9
k
2 −6
>❑√6，综上可得| PQ|∈[❑√6,+ ∞)．
19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知F1，F2分别为双曲线C：3 x
2−y
2= λ(λ>0)的左、右焦点，过F2的
直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点．当l 与x 轴垂直时，△AB F1面积为12．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D．试判断|D F2)
|AB)
是否为定值．若是，请求出该
定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)x
2−y
2
3 =1
(2)|D F2)
|AB)
是定值1
【解题思路】（1）根据△AB F1面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可；
（2）设直线l 的方程为x =ty +2(t ≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定
理，根据弦长公式求解即可.
【解答过程】（1）双曲线3 x
2−y
2= λ可化为
x
2
λ
3
−y
2
λ =1
S△AB F1= 1
2|F1 F2)⋅|AB)= 1
2(2× 2❑√3 λ
3 )× 2 λ
❑√3 λ
3
= 4 λ=12，即λ =3
双曲线C 的标准方程为x
2−y
2
3 =1．
（2）设直线l 的方程为x =ty +2(t ≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立双曲线C 与直线l：{
3 x
2−y
2=3
x =ty +2 )消去x 可得：(3t
2−1) y
2+12ty +9=0，
Δ=(12t )
2−4×9(3t
2−1)>0，则Δ=t
2+1>0恒成立，
又直线与双曲线交于右支两点，故y1+ y2= −12t
3t
2−1，y1 y2=
9
3t
2−1
>0，即t
2> 1
3，
进而可得x1+ x2=
−4
3t
2−1，即AB 中点M 为(
−2
3t
2−1
, −6t
3t
2−1)，
线段AB 的中垂线为y +
6t
3t
2−1
=−t(x +
2
3t
2−1)，
则D(
−8
3t
2−1
,0)，即|D F2)=|2+
8
3t
2−1)=|
6t
2+6
3t
2−1)．
|AB)=
❑√1+t
2❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2=
❑√1+t
2❑√(
−12t
3t
2−1)
2
−4×
9
3t
2−1
=|
6t
2+6
3t
2−1)．
即|D F2)
|AB)
为定值1．
