第01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 常考题型过关练
题型01 平均变化率和瞬时变化率
题型02 “在”型切线和“过”型切线
题型03 切线条数
题型04 公切线问题
题型05 距离最值转化问题
题型06 导数运算
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平均变化率和瞬时变化率
1．若f ( x)= ln 2−x
e
x ，则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
=（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【答案】C
【详解】因为f ( x)=ln 2−x
e
x
，所以f
'( x)=(
2−x
e
x )
'
×e
x
2−x = −e
x−e
x(2−x)
e
2 x
×e
x
2−x = x−3
2−x ，
所以f
' (1)= 1−3
2−1 =−2，
则
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
= f
' (1)=−2.
故选：C.
2．已知函数f (x)= ❑√x，则lim
Δ x→0
f (1+Δ x)−f (1)
2Δ x
=（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】A
【详解】由题f
′ (x)= 1
2 x
−1
2 =
1
2❑√x
，
lim
Δ x→0
f (1+Δ x)−f (1)
2Δ x
= 1
2 lim
Δ x→0
f (1+Δ x)−f (1)
Δ x
= 1
2 f
′(1)= 1
2 × 1
2 = 1
4 ，
故选：A.
3．函数y = x
2在x0到x0+ Δ x之间的平均变化率为k1，在x0−Δ x到x0的平均变化为k2，则k1与k2的大小关
系是 .(填k1>k2，k1 <k2或不确定)
【答案】k1>k2
【详解】因为k1= f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
= (x0+ Δ x)
2−x0
2
Δ x
=2 x0+ Δ x，
k2= f (x0)−f (x0−Δ x)
Δ x
= x0
2−(x0−Δ x)
2
Δ x
=2 x0−Δ x，
且k1−k2=2 Δ x>0，则k1>k2.
故答案为：k1>k2
4．函数y = x
3在区间[0,2)的平均变化率与在x = x0(0≤x0≤2)处的瞬时变化率相同，则正数x0= ．
【答案】2❑√3
3
/2
3
❑√3
【详解】函数y = x
3在区间[0,2)上的平均变化率等于f (2)−f (0)
2−0
= 8−0
2−0 = 4，
因为y
′ =3 x
2，则y = x
3在x = x0时的瞬时变化率为3 x0
2，
则有3 x0
2= 4，解得x0=± 2❑√3
3
，因为0≤x0≤2，所以x0= 2❑√3
3
，
故答案为：2❑√3
3
.
02“在”型切线和“过”型切线
5．函数f (x)=e
x ln x在x =1处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．e+1
【答案】C
【详解】f
′ (x)=e
x ln x +e
x⋅1
x ，故f
′ (1)=e.
故选：C
6．已知曲线y = ln (x +1)在点(0,0)处的切线与曲线y = x
2+ kx相切，则常数k = ．
【答案】1
【详解】对函数y = ln (x +1)求导得y
′ =
1
x +1，所以曲线y = ln (x +1)在原点处的切线斜率为1，
故曲线y = ln (x +1)在点(0,0)处的切线方程为y = x，
联立{
y = x
2+kx
y = x )可得x
2+(k −1) x =0，由题意得Δ=(k −1)
2=0，解得k =1.
故答案为：1.
7．曲线f (x)=e
x
x + xln x在x =1处的切线方程为 .
【答案】y = x +e−1
【详解】f (1)=e，f
′ (x)= (x−1)e
x
x
2
+1+ln x，
f
′ (1)=1，
所以切线方程为y −e= x−1，
即y = x +e−1.
故答案为：y = x +e−1
8．若函数f (x)=ax−3
x 的图象在点(1,f (1)) 处的切线过点(2,4)，则a= ．
【答案】2
【详解】因为f (x)=ax−3
x ，所以f
′ (x)=a+ 3
x
2，则f
′ (1)=a+3，又f (1)=a−3，
所以切线方程为：y −a+3=(a+3)(x−1)，
因为切线方程经过点(2,4)，
所以4−a+3=(a+3)(2−1)，
解得a=2．
故答案为：2
9．过点(0,2)可作曲线y = x
3−3 x +2的切线的条数最多为 .
【答案】1
【详解】设切点坐标为(m,m
3−3m+2)．
因为y = x
3−3 x +2，所以y
′ =3 x
2−3，则切线斜率为3m
2−3，
所以切线方程为y −(m
3−3m+2)=(3m
2−3)(x−m)．
又点(0,2)在切线上，所以2−(m
3−3m+2)=−m(3m
2−3)，解得m=0，
故过点(0,2)可作1条切线与曲线y = x
3−3 x +2相切．
故答案为：1.
10．函数f ( x)= x
3−3 x
2的图象上过点(3,0)的切线方程为 ．
【答案】y =0或y =9 x−27
【详解】由f ( x)= x
3−3 x
2得f
′( x)=3 x
2−6 x．设切点为(x0, y0)，则f
′(x0)=3 x0
2−6 x0，
所以切线的方程为y −y0=(3 x0
2−6 x0)⋅(x−x0)，
又切线过点(3,0)，所以0−y0=(3 x0
2−6 x0)⋅(3−x0)，
又y0= f (x0)= x0
3−3 x0
2，得2 x0
3−12 x0
2+18 x0=0，所以x0=0或x0=3，
当x0=0时，切线方程为y =0，当x0=3时，切线方程为y =9( x−3)=9 x−27．
故答案为：y =0或y =9 x−27
11．已知曲线y =e
x，则曲线过原点的切线方程为 .
【答案】y =e x
【详解】由y = f (x)=e
x，则f
′ (x)=e
x，
设切点为(x0, y0)，
所以e
x0= y0−0
x0−0 = y0
x0
=e
x0
x0
，解得x0=1，
所以切点为(1,e)，切线的斜率k = f
′ (1)=e
所以过原点的切线方程为：y −e=e×(x−1)，即y =e x.
故答案为：y =e x
12．过点M (1,0)且曲线y = x
3−x相切的直线的方程为 .
【答案】x + 4 y −1=0或2 x−y −2=0
【详解】设切点为P(t ,t
3−t)，对函数y = x
3−x求导得y
' =3 x
2−1，则切线斜率为3t
2−1，
所以，曲线y = x
3−x在点P处的切线方程为y −(t
3−t)=(3t
2−1)(x −t )，
因为切线过点M (1,0)，则有t −t
3=(3t
2−1)(1−t )，整理可得2t
3−3t
2+1=0，
即(2t +1)(t −1)
2=0，
当t =−1
2时，切线斜率为3×(−1
2)
2
−1=−1
4 ，切线方程为y =−1
4
(x−1)，即x + 4 y −1=0；
当t =1时，切线斜率为3×1
2−1=2，切线方程为y =2(x−1)，即2 x−y −2=0.
故答案为：x + 4 y −1=0或2 x−y −2=0.
03 切线的条数
13．若曲线y =(x +a)e
x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（ ）
A．(−4,0)
B．(−∞,−4)∪(0,+∞)
C．(0,4)
D．(−∞,0)∪(4 ,+∞)
【答案】B
【详解】设切点为A(x0, y0)，
由已知可得y
′ =e
x(x +a+1).
根据导数的几何意义可知，
切线的斜率为k = y
′ =e
x0(x0+a+1).
代入切线方程为y −y0=k (x−x0)，
整理可得y −(x0+a)e
x0=e
x0(x0+a+1)(x−x0).
又切线经过原点，
所以有0−(x0+a)e
x0=e
x0(x0+a+1)(0−x0)，
整理可得x0
2+a x0−a=0.
因为曲线y =(x +a)e
x有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不相等的实数解，
即有Δ=a
2+ 4 a>0，解得a<−4或a>0.
故选：B.
14．已知过点A (a,0)作曲线y = xln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．(
1
e ,+∞)
D．(e,+∞)
【答案】B
【详解】设切点为(x0, y0)，对函数y = xln x求导得y
′ =ln x +1，
所以，切线斜率为k =ln x0+1=
y0
x0−a = x0ln x0
x0−a ，整理得a=
x0
ln x0+1 ，
关于x0的方程a=
x0
ln x0+1 有两个不等的实根.
令函数f (x)=
x
ln x +1 ，由题意可得{
x>0
ln x +1≠0)，解得x>0且x≠1
e ，
所以，函数f (x)的定义域为(0, 1
e)∪(
1
e ,+ ∞)，且f
′ (x)=
ln x
(1+ ln x)
2，
当x∈(0, 1
e)时，f (x)<0，f
′ (x)<0；当1
e < x<1时，f (x)>0，f
′ (x)<0；
当x>1时，f (x)>0，f
′ (x)>0，
所以f (x)在(0, 1
e)上单调递减，在(
1
e ,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.
f (x)极小值= f (1)=1.
作出函数y =a与函数f (x)的图象如下图所示：
由图可知，当a>1时，直线y =a与函数f (x)的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是(1,+ ∞).
故选：B.
15．（多选）已知函数f (x)= 4 x +a x
2，若曲线y = f (x)过点P(1,1)的切线有两条，则实数a的值不可能为
（ ）
A．−4
B．−3
C．−2
D．1
【答案】BC
【详解】设切点为(t ,4 t +at
2)，因为f (x)= 4 x +a x
2，则f
′ (x)=2ax + 4，
则切线的斜率为f
′ (t )=2at + 4，故切线方程为y −(4t +at
2)=(2at + 4)(x−t )，
将点P(1,1)的坐标代入切线方程得1−(4 t +at
2)=(2at + 4)(1−t )，整理得at
2−2at −3=0，
因为曲线y = f (x)过点P(1,1)的切线有两条，则关于t的方程at
2−2at −3=0有两个不等的实根，
所以{
a≠0
Δ= 4 a
2+12a>0)，解得a<−3或a>0，
故选：BC.
16．（多选）已知函数f (x)= x
3−x，若过点(a,b)(a>0)可作曲线y = f (x)的切线有三条，则以下有序实数
对中符合条件的(a,b)有（ ）
A．(1,−1
2)
B．(1,0)
C．(2,0)
D．(2,2)
【答案】ACD
【详解】设切点为(x0,f (x0))，则f
′(x0)=3 x0
2−1= f (x0)−b
x0−a
，化简得2 x0
3−3a x0
2+a+b=0，
若切线有三条，则以上关于x0的方程至少要有三个不同的解，
（切点个数不能代表切线条数，此例可以验证三个切点必有三条切线）．
构造函数g(x)=2 x
3−3a x
2+a+b，三次函数g(x)要有三个零点，
等价于g(x)的极大值大于0，极小值小于0，而g
′ (x)=6 x (x−a)(a>0)，
当x<0或x>a时g
′ (x)>0，即g(x)在(−∞,0)、(a,+∞)上单调递增，
当0< x<a时g
′ (x)<0，即g(x)在(0,a)上单调递减，
易知g(x)的极大值和极小值分别是g(0)，g(a)，
所以{
g(0)>0
g(a)<0)，解得−a<b<a
3−a．
对于(1,−1
2)，显然−1<−1
2 <1
3−1=0满足−a<b<a
3−a，
此时，g(x)=2 x
3−3 x
2+ 1
2，则g
′ (x)=6 x( x −1)，
当x<0或x>1时g
′ (x)>0，即g(x)在(−∞,0)、(1,+ ∞)上单调递增，
当0< x<1时g
′ (x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，
且g(0)= 1
2 >0>g(−1
2 )=−1
2，g(
1
2)=0，g(2)= 9
2 >0>g(1)=−1
2，
所以g(x)=0有三个不同的零点，其中一个为1
2，另两个分别位于区间(−1
2 ,0),(1,2)内，
代入f
′ (x)=3 x
2−1必有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，A 对；
对于(1,0)，有−1<0<1
3−1=0，后一个不等关系不成立，不满足−a<b<a
3−a，B 错；
对于(2,0)，有−2<0<2
3−2=6，满足−a<b<a
3−a，
此时，g(x)=2 x
3−6 x
2+2，同理易知g(−3
5)=−74
125 <0<g(−1
2 )= 1
4 ，g(1)=−2<0<g( 3
5 )= 34
125，
g(3)=2>0，
所以g(x)=0有三个不同的零点，分别位于区间(−3
5 ,−1
2 ),( 3
5 ,1),(1,3)内，
代入f
′ (x)=3 x
2−1有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，C 对；
对于(2,2)，有−2<2<2
3−2=6，满足−a<b<a
3−a，
此时，g(x)=2 x
3−6 x
2+ 4，可得x =1,1± ❑√3为函数的三个零点，
代入f
′ (x)=3 x
2−1有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，D 对；
故选：ACD
04 公切线问题
17．已知f ( x)=e
x−1,g( x)= ln x +1，则f ( x)与g( x)的公切线有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【详解】根据题意，设直线l 与f ( x)=e
x−1相切于点(m,e
m−1)，与g( x)相切于点(n,ln n+1)，
对于f ( x)=e
x−1，有f
′( x)=e
x，则直线l 的斜率k =e
m，
则直线l 的方程为y +1−e
m=e
m( x −m)，即y =e
m x +(1−m)e
m−1，
对于g( x)= ln x +1，有g
′( x)= 1
x ，则直线l 的斜率k = 1
n，则直线l 的方程为y −(ln n+1)= 1
n ( x−n)，即
y = 1
n x + ln n，
则¿
可得(1−m)(e
m−1)=0，即m=0或m=1，
则切线方程为y =e x−1或y = x，故f ( x)与g( x)的公切线有2 条．
故选：C.
18．若两曲线y = x
2−1与y =a ln x−1存在公切线，则a的范围是
【答案】(−∞,2e).
【详解】对y = x
2−1求导，y
′ =2 x，设切点(x1, y1)，则切线方程为：y −(x1
2−1)=2 x1(x−x1),
化简得y =2 x1 x −x1
2−1.
对y =a ln x−1求导，y
′ = a
x ，设切点(x2, y2)，
则切线方程为：y −(a ln x2−1)= a
x2
(x−x2)，化简得y = a
x2
x +aln x2−a−1.
则根据公切线可列方程组{
2 x1= a
x2
−x1
2−1=aln x2−a−1)
，消去x1得到−(
a
2 x2)
2
=aln x2−a，
化简得a= 4 x2
2−4 x2
2ln x2.
令f (x)= 4 x
2−4 x
2ln x,(x>0)，求导f
′( x)=8 x−8 xln x−4 x = 4 x(1−2ln x)，
当f
′( x)>0时，4 x(1−2ln x)>0，解得0< x<❑√e，
当f
′( x)<0时，4 x(1−2ln x)<0，解得x>❑√e，
当f
′( x)=0时，4 x(1−2ln x)=0，解得x = ❑√e，
可知f ( x)在(0，❑√e)上单调递增，在(❑√e，+∞)上单调递减，在x = ❑√e出取得最大值，
f (❑√e)= 4(❑√e)
2−4(❑√e)
2ln ❑√e=2e，f ( x)值域为(−∞,2e)，
所以a的范围是(−∞,2e),
故答案为：(−∞,2e).
19．已知曲线y = x
3−x +2的切线与曲线y =ln( x +1)−a也相切，若该切线过原点，则a= ．
【答案】1−ln2
【详解】因为y = x
3−x +2的导数为y
′ =3 x
2−1，设切点为(x1, y1)，
所以切线斜率为k =3 x1
2−1，
所以曲线y = x
3−x +2在(x1, x1
3−x1+2)处的切线过原点，所以k =3 x1
2−1= x1
3−x1+2
x1
，即x1=1，所以
k =2，切线为y =2 x，
又切线y =2 x与曲线y =ln( x +1)−a相切，设切点为(x0, y0)，
因为y
′ =
1
x +1，所以切线斜率为k =
1
x0+1 =2，解得x0=−1
2，
所以y0=2 x0=−1，则−1=ln(−1
2 +1)−a，解得a=1−ln2.
故答案为：1−ln2.
20．若曲线C1:f ( x)= x
2+a和曲线C2: g( x)= 4 ln x−2 x存在有公共切点的公切线，则a= ．
【答案】−3
【详解】由已知可得f ( x)= x
2+a，g( x)= 4 ln x−2 x，定义域为(0,+ ∞)
则有f
′( x)=2 x ,g
′( x)= 4
x −2．
设公共切点的坐标为(x0, y0)，则f
′(x0)=2 x0，g
′(x0)= 4
x0
−2，
f (x0)= x0
2+a，g(x0)= 4 ln x0−2 x0．
根据题意，有{
x0
2+a= 4 ln x0−2 x0
2 x0= 4
x0
−2
x0>0
)
.
由2 x0= 4
x0
−2可得，x0
2+ x0−2=0，解得x0=−2（舍去）或x0=1.
由x0
2+a= 4 ln x0−2 x0可得a=−x0
2+ 4 ln x0−2 x0，
代入x0=1可得，a=−3.
故答案为：−3.
21．已知f (x)=e
x−1（e 为自然对数的底数），g(x)= ln x +1，请写出f (x)与g(x)的一条公切线的方程
.
【答案】e x−y −1=0或x−y =0(写出其中一条即可)
【详解】设公切线与f (x)相切于点(m,e
m−1)，与g(x)相切于点(n,ln n+1)，
∵f
′ (x)=e
x，g
′ (x)= 1
x ，则公切线斜率k =e
m= 1
n，
∴公切线方程为y −e
m+1=e
m(x−m)或y −ln n−1= 1
n
(x−n)，
整理得y =e
m x−(m−1)e
m−1或y = 1
n x + ln n，
所以¿，即¿，
∴(m−1)e
m+1−m=(m−1)(e
m−1)=0，解得m=1或m=0，
∴公切线方程为e x−y −1=0或x−y =0.
故答案为：e x−y −1=0或x−y =0<(写出其中一条即可)
05 距离最值转化问题
22．曲线y =ln x上的点到直线x−y +1=0的最短距离是（ ）
A．❑√2
B．2
C．❑√2e
D．
❑√2
2 e
【答案】A
【详解】因为y
' = 1
x ，所以当切点(x0,ln x0)满足k =1时，曲线y =ln x上的点到直线x−y +1=0的距离是
最短距离，
所以1
x0
=1，所以切点为(1,0)，所以点到直线x−y +1=0的距离是
|1−0+1)
❑√1+(−1)
2 = ❑√2，
所以曲线y =ln x上的点到直线x−y +1=0的最短距离是❑√2.
故选：A.
23．已知点P是曲线y = x
2−3ln x上任一点，则P到直线x + y + 3
2 =0的距离的最小值是（ ）
A．7
4
B．7 ❑√2
4
C．3 ❑√2
2
D．7
8
【答案】B
【详解】设P(x0, y0)，因为y = x
2−3ln x，则y
′ =2 x−3
x ，由题有2 x0−3
x0
=−1，
解得x0=1或x0=−3
2（舍），所以P(1,1)，
此时P(1,1)到直线x + y + 3
2 =0的距离为d =
1+1+ 3
2
❑√2
= 7 ❑√2
4
，
故选：B.
24．实数a，b满足1
a
3 e
a
2−b+2a
2=6lna+2b+1，c∈R，则(a−c)
2+(b+c)
2的最小值是 ．
【答案】2
【详解】1
a
3 e
a
2−b+2a
2=e
a
2−b−3 ln a+2a
2=6lna+2b+1⇒
e
a
2−b−3ln a+2(a
2−b−3 ln a)−1=0.
对于f (x)=e
x+2 x−1，f
′ (x)=e
x+2>0，则f (x)在R 上单调递增，
又f (0)=0，则a
2−3 ln a=b，故(a−c)
2+(b+c)
2=(a−c)
2+(a
2−3 ln a+c)
2，
表示函数g(x)= x
2−3 ln x，x>0图象上一点到直线y =−x上一点距离的平方，
则最小值为函数g(x)图象与直线y =−x平行切线上一点到直线y =−x的距离的平方.
g
′ (x)=2 x−3
x ，令2 x−3
x =−1⇒x =1，
则与直线y =−x平行切线对应的切点为：(1,1)，其到直线y =−x距离为2
❑√2 = ❑√2.
则最小值为2.
故答案为：2
25．已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，定义d AB= ❑√(x1−y2)
2+(x2−y1)
2为A ,B的“镜像距离”．若点A ,B在
曲线y = ln( x−a)+2上，且d AB的最小值为2，则实数a的值为 .
【答案】1+ ❑√2
【详解】由函数y =ln(x−a)+2可得y −2=ln(x−a)，即x =e
y −2+a,
所以y =ln(x−a)+2的反函数为y =e
x−2+a,
由点B(x2, y2)在曲线y =ln(x−a)+2上可知点B1( y2, x2)在其反函数y =e
x−2+a上，
所以d AB= ❑√(x1−y2)
2+(x2−y1)
2相当于y =e
x−2+a上的点B1( y2, x2)到曲线y =ln(x−a)+2上点A(x1, y1)
的距离，
即d A B1=d AB= ❑√(x1−y2)
2+(x2−y1)
2，
利用反函数性质可得y =e
x−2+a与y =ln(x−a)+2关于y = x对称，
所以可得当A B1与y = x垂直时，d A B1=d AB取得最小值为2，
因此A ,B1两点到y = x的距离都为1，
过点A ,B1的切线平行于直线y = x，斜率为1，即y
′ =
1
x−a =1，
可得x =a+1, y = ln (a+1−a)+2=2，即A (a+1,2)，
A点到y = x的距离d =|a+1−2)
❑√2
=1，解得a=1± ❑√2，
当a=1−❑√2时，y =ln(x−a)+2=ln(x−1+ ❑√2)+2与y = x相交，不合题意；
因此a=1+ ❑√2，
故答案为：1+ ❑√2
06 导数的运算
26．求下列函数的导数.
(1)y =2 x
3−9 x
2+12 x +7
(2)y = x
2sin x；
(3)y = ln x
x ；
(4)y = x tan x
【答案】(1)y
' =6 x
2−18 x +12
(2)y
' =2 x sin x + x
2cos x
(3)y
' = 1−ln x
x
2
(4)y
' = tan x +
x
cos
2 x
【详解】（1）y
′ =6 x
2−18 x +12.
（2）y
′ =(x
2)
′ sin x + x
2(sin x)
′ =2 x sin x + x
2cos x.
（3）y
′ = (ln x)
′ x−ln x
x
2
= 1−ln x
x
2
.
（4）y
′ = tan x + x(
sin x
cos x)
′
= tan x + x⋅cos
2 x +sin
2 x
cos
2 x
= tan x +
x
cos
2 x
.
27．求下列函数的导数：
(1)y =2022；
(2)y = 1
3√x
2；
(3)y =3
x；
(4)y = log5 x．
【答案】(1)y
′ =0
(2)y
′ =−2
3 x
−5
3
(3)y
′ =3
x ln3
(4)y
′ =
1
x ln5
【详解】（1）因为y =2022，所以y
′ =(2022)
′ =0．
（2）因为y = 1
3√x
2 = x
−2
3，所以y
′ =−2
3 x
−2
3 −1
=−2
3 x
−5
3．
（3）因为y =3
x，所以y
′ =3
x ln3．
（4）因为y = log5 x，所以y
′ =
1
x ln5．
28．求下列函数的导数：
(1)y = x ln (x +1)；
(2)y =sin
2(2 x)+2
x+1．
【答案】(1)y
′ = ln (x +1)+
x
x +1；
(2)y
′ =2sin(4 x)+2
x ln 2
【详解】（1）解：因为y = x ln (x +1)，
所以y
′ = ln (x +1)+ x⋅
1
x +1 = ln (x +1)+
x
x +1
（2）解：因为y =sin
2(2 x)+2
x+1，
所以y
' =2sin(2 x)⋅(sin 2 x)
' +2
x ln 2
= 4 sin(2 x)⋅cos(2 x)+2
x ln 2
=2sin(4 x)+2
x ln 2.
29．求下列函数的导数：
(1)y = x
3e
x；
(2)y = x−sin x
2 cos x
2；
(3)y = x
2+ log3 x；
(4)y =e
x+1
e
x−1
．
【答案】(1)x
2(3+ x)e
x
(2)1−1
2 cos x
(3)2 x +
1
x ln3
(4) −2e
x
(e
x−1)
2
【详解】（1）y
′ =(x
3)
′e
x+ x
3(e
x)
′ =3 x
2e
x+ x
3e
x = x
2(3+ x)e
x．
（2）∵y = x−1
2 sin x，
∴y
′ = x
′−1
2
(sin x)
′ =1−1
2 cos x.
（3）y
′ =(x
2+ log3 x)
′ =(x
2)
′ +(log3 x)
′ =2 x +
1
x ln3．
（4）y ′ = (e
x+1)
′(e
x−1)−(e
x+1)(e
x−1)
′
(e
x−1)
2
=e
x(e
x−1)−(e
x+1)e
x
(e
x−1)
2
= −2e
x
(e
x−1)
2.
1．若曲线f ( x)= 1
3 cos3 x在x = x1与x = x2处的切线互相垂直，且两条切线的交点P在直线y =a上，则a的
值可能是（ ）．
A．π
3
B．2π
C．π
D．7π
6
【答案】D
【详解】函数f ( x)= 1
3 cos3 x，求导得f
′( x)=−sin3 x,
曲线f ( x)在x = x1与x = x2处的切线斜率分别为f
′( x1)=−sin3 x1,f
′( x2)=−sin3 x2，
由两条切线互相垂直，得f
′( x1)f
′( x2)=sin3 x1sin3 x2=−1，而sin3 x1,sin3 x2∈[−1,1]，
当且仅当sin3 x1,sin3 x2中一个取1，另一个取−1时，它们的积为−1，不妨令sin3 x1=1，
sin3 x2=−1，
则3 x1=π
2 +2k1π,3 x2=−π
2 +2k2π,k1,k2∈Z，即x1=π
6 + 2k1π
3
, x2=−π
6 + 2k2π
3
,k1,k2∈Z
，
此时,f ( x1)= 1
3 cos(2k1π+π
2 )=0,f ( x2)= 1
3 cos(2k2π−π
2 )=0，
如图，设P( x0,a), A( x1,0),B( x2,0)，则△ABP是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
由图知，x1−x2= 2(k1−k2)π
3
+π
3 ,k1,k2∈Z，
则|a|=| x1−x2|
2
=|( k1−k2
3
+ 1
6 )π|,k1,k2∈Z，
对于A，由k1−k2
3
+ 1
6 =± 1
3，得k1−k2=±1−1
2不成立，A 不是；
对于B，由k1−k2
3
+ 1
6 =±2，得k1−k2=±6−1
2不成立，B 不是；
对于C，由k1−k2
3
+ 1
6 =±1，得k1−k2=±3−1
2不成立，C 不是；
对于D，取k1−k2=3，|a|= 7π
6 ，D 是.
故选：D
2
．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次
代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程
2 x
3+3 x
2+ x +1=0的近似解，先用函数零点存在定理，令f (x)=2 x
3+3 x
2+ x +1，f (−2)=−5<0，
f (−1)=1>0，得(−2,−1)上存在零点，取x0=−1，牛顿用公式xn= xn−1−f (xn−1)
f
′(xn−1)
反复迭代，以xn作为
f (x)=0的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以(−2,−1)为初始区间，用二分法计算两次
后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【答案】 −21
13 −11
8
【详解】已知f (x)=2 x
3+3 x
2+ x +1，则f
′ (x)=6 x
2+6 x +1．
迭代1 次后，x1=−1−f (−1)
f
′ (−1)
=−1−1
1 =−2；
选代2 次后，x2=−2−f (−2)
f
′ (−2)
=−2−−5
13 =−21
13；
用二分法计算第1 次，区间(−2,−1)的中点为−3
2，f(−3
2)=−1
2 <0，f(−3
2)f (−1)<0，所以近似解在
区间(−3
2 ,−1)上；
用二分法计算第2 次，区间(−3
2 ,−1)的中点为−5
4 ，f(−5
4)= 17
32 >0，f(−3
2)f(−5
4)<0，所以近似解
在区间(−3
2 ,−5
4)上，取其中点值−11
8 ，
故所求近似解为−11
8 ．
故答案为：−21
13，−11
8
3．
已知函数f ( x)= x
2−x，对抛物线C : y = f ( x)持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点(2,f (2))处作C 的切线，交x 轴于(x1,0)；
在点(x1,f (x1))处作C 的切线，交x 轴于(x2,0)；
在点(x2,f (x2))处作C 的切线，交x 轴于(x3,0)；
……
由此能得到一个数列{xn)，称{xn)为“牛顿数列”，则x1的值为 ；若an= ln
xn
xn−1，则n
2
an
的最大值
为 ．
【答案】 4
3
9
8 ln 2
【详解】由f ( x)= x
2−x可得f
′ (x)=2 x−1，且f (2)= 4−2=2，f
′ (2)=3，
则切线方程为y −2=3(x−2)，令y =0可得−2=3(x−2)，解得x = 4
3 ，即x1= 4
3 ，
f (x)在点(xn,f (xn))处的切线斜率为f
′(xn)=2 xn−1，
则切线方程为y −f (xn)=(2 xn−1)(x−xn)，
因为切线交x轴于(xn+1,0)，令y =0，则−f (xn)=(2 xn−1)(xn+1−xn)，
即−(xn
2−xn)=(2 xn−1)(xn+1−xn)，即xn+1−xn=−xn
2−xn
2 xn−1，
则xn+1= xn−xn
2−xn
2 xn−1 = 2 xn
2−xn−xn
2+ xn
2 xn−1
=
xn
2
2 xn−1，
则
xn+1
xn+1−1 =
xn
2
2 xn−1
xn
2
2 xn−1 −1
=
xn
2
xn
2−2 xn+1
=(
xn
xn−1)
2
，
因为an= ln
xn
xn−1，所以an+1= ln
xn+1
xn+1−1 = ln(
xn
xn−1)
2
=2ln
xn
xn−1 =2an，
且a1= ln
x1
x1−1 = ln
4
3
4
3 −1
= ln 4，
所以数列{an)是以ln 4为首项，以2为公比的等比数列，
则an= ln 4×2
n−1，
设bn= n
2
an
=
n
2
2
n−1⋅ln 4
，则bn+1−bn= (n+1)
2
2
nln 4
−
n
2
2
n−1ln 4
= −n
2+2n+1
2
nln 4
，
当n=1时，b2−b1= −1+2+1
2ln 4
>0，
当n=2时，b3−b2= −4+ 4+1
4 ln 4
>0，
当n≥3时，−n
2+2n+1=−(n−1)
2+2<0，即bn+1−bn<0，
所以b1<b2<b3,b3>b4>⋯，且b3=
9
4 ln 4 =
9
8ln2，
即n
2
an
的最大值为
9
8ln2.
故答案为：4
3 ；
9
8 ln 2.
4．已知函数f (x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)(a>0)，设曲线y = f (x)在点(xi,f (xi))处切线的斜率为
ki(i=1,2,3)，若x1, x2, x3均不相等，且k2=−3，则k1+9k3的最小值为 ．
【答案】48
【详解】由函数f (x)=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)(a>0)，
即为f (x)=a[x
3−x
2(x1+ x2+ x3)+ x(x1 x2+ x2 x3+ x1 x3)−x1 x2 x3)，
可得f (x)的导数为f
′ (x)=a[3 x
2−2 x(x1+ x2+ x3)+(x1 x2+ x2 x3+ x1 x3))，
则k2=a[3 x2
2−2 x2(x1+ x2+ x3)+(x1 x2+ x2 x3+ x1 x3))=a(x2−x1)(x2−x3)=−3，
由a>0，可得(x1−x2)(x2−x3)>0，
k1=a(x1−x3)(x1−x2)= 3(x1−x3)
x2−x3
，
k3=a(x3−x1)(x3−x2)= 3(x1−x3)
x1−x2
，
则k1+9k3= 3(x1−x3)
x2−x3
+ 27(x1−x3)
x1−x2
=3(x1−x3)(
1
x2−x3
+
9
x1−x2)
=3(x1−x2+ x2−x3)(
1
x2−x3
+
9
x1−x2)=3(
x1−x2
x2−x3
+ 9(x2−x3)
x1−x2
+10)
≥3(2❑√9+10)= 48，当且仅当x1−x2
x2−x3
= 9(x2−x3)
x1−x2
时，取得等号．
所以k1+9k3的最小值为48.
故答案为：48.
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线y = ln| x|过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
【答案】 y = 1
e x y =−1
e x
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln x0)，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
解： 因为y = ln|x)，
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
′ = 1
x ，所以y
′|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y −ln x0= 1
x0
(x−x0)，
又切线过坐标原点，所以−ln x0= 1
x0
(−x0)，解得x0=e，所以切线方程为y −1= 1
e (x−e)，即y = 1
e x；
当x<0时y = ln (−x)，设切点为(x1,ln(−x1))，由y
′ = 1
x ，所以y
′|x = x1= 1
x1
，所以切线方程为
y −ln(−x1)= 1
x1
(x−x1)，
又切线过坐标原点，所以−ln(−x1)= 1
x1
(−x1)，解得x1=−e，所以切线方程为y −1= 1
−e
(x +e)，即
y =−1
e x；故答案为：y = 1
e x；y =−1
e x
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当x>0时y = ln x，设切点为(x0,ln x0)，由y
′ = 1
x ，所以y
′|x = x0= 1
x0
，所以切线方程为
y −ln x0= 1
x0
(x−x0)，
又切线过坐标原点，所以−ln x0= 1
x0
(−x0)，解得x0=e，所以切线方程为y −1= 1
e (x−e)，即y = 1
e x；
因为y = ln|x)是偶函数，图象为：
所以当x<0时的切线，只需找到y = 1
e x关于y 轴的对称直线y =−1
e x即可.
2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线y =( x +a)e
x有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)
【详解】∵y =( x +a)e
x，∴y
′ =( x +1+a)e
x，
设切点为(x0, y0),则y0=(x0+a)e
x0,切线斜率k =(x0+1+a)e
x0,
切线方程为：y −(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(x−x0),
∵切线过原点，∴−(x0+a)e
x0=(x0+1+a)e
x0(−x0),
整理得：x0
2+a x0−a=0,
∵切线有两条，∴Δ=a
2+ 4 a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+ ∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)
3．（2023·天津·高考真题）已知函数f (x)=(
1
x + 1
2)ln (x +1)．
(1)求曲线y = f (x)在x =2处的切线斜率；
【答案】(1)1
3 −ln3
4
【详解】（1）f ( x)= ln( x +1)
x
+ ln( x +1)
2
，则f
′( x)=
1
x( x +1) +
1
2( x +1) −ln( x +1)
x
2
，
所以f
′(2)= 1
3 −ln3
4 ，故x =2处的切线斜率为1
3 −ln3
4 ；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
【答案】(1)(ln 2) x + y −ln 2=0；
【详解】（1）当a=−1时，f (x)=(
1
x −1)ln (x +1)，
则f
′ (x)=−1
x
2 ×ln (x +1)+(
1
x −1)×
1
x +1，
据此可得f (1)=0,f
′ (1)=−ln2，
函数在(1,f (1))处的切线方程为y −0=−ln 2(x−1)，
即(ln 2) x + y −ln 2=0.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数f ( x)=e
x ln(1+ x)．
(1)求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
【答案】(1)y = x
【详解】（1）解：因为f ( x)=e
x ln(1+ x)，所以f (0)=0，
即切点坐标为(0,0)，
又f
′( x)=e
x(ln(1+ x)+
1
1+ x )，
∴切线斜率k = f
′(0)=1
∴切线方程为：y = x
