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专题五 解析几何
第2 讲 圆锥曲线的方程与性质
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T3)已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的❑√7倍，则C 的离心率为( )
A.❑√2
B.2
C.❑√7
D.2❑√2
2.(2025·全国Ⅱ卷，T6)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A 在C 上，过A 作C 的准线的垂线，垂足
为B，若直线BF 的方程为y=-2x+2，则|AF|等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP'，P'为垂足，
则线段PP'的中点M 的轨迹方程为( )
A. x
2
16+ y
2
4 =1(y>0)
B. x
2
16+ y
2
8 =1(y>0)
C. y
2
16+ x
2
4 =1(y>0)
D. y
2
16+ x
2
8 =1(y>0)
4.(2024·新课标Ⅰ卷，T12)设双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y
轴的直线交C 于A，B 两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C 的离心率为 .
5.(2024·新课标Ⅱ卷，T10)抛物线C：y2=4x 的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作☉A：x2+(y-4)2=1 的一条切
线，Q 为切点.过P 作l 的垂线，垂足为B.则( )
A.l 与☉A 相切
B.当P，A，B 三点共线时，|PQ|=❑√15
C.当|PB|=2 时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有2 个
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12
分.
【考向预测】一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；
二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主
要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
【典例】1 (1)(2025·永州模拟)已知椭圆E：x
2
4 + y
2
3 =1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E
交于A，B 两点，则△ABF 的周长为( )
A.2❑√3
B.4
C.4❑√3
D.8
(2)(2025·西南名校联盟联考)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过C 上一点A 作其准线的垂线，设垂
足为B，若cos∠BAF=3
5，|AF|=10，则p 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式训练】1 (1)(2025·赤峰模拟)经过点P(-4，0)，Q(0，-2)的椭圆的标准方程为 .
(2)(2025·绍兴适应性考试)已知双曲线Γ：x2- y
2
3 =1 的左焦点为F，点A，B 在Γ 的右支上，且|AB|=6，
则|FA|+|FB|的最小值为( )
A.4
B.6
C.10
D.14
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
【典例】2 (1)(多选)(2025·常州模拟)已知点P 在椭圆C 上，C 的左、右焦点F1，F2在x 轴上，PF1和
PF2分别交C 于另一点A，B，△PAF2的周长为20，C 的左顶点和上顶点之间的距离为❑√41，设离心率
为e，那么( )
A.椭圆C 的焦距为3
B.e=3
5
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.PF1和PF2斜率的乘积为定值
(2)(多选)(2025·安阳模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点，斜率为❑√15且过点
F2的直线交C 的右支于A，B 两点，A 在第一象限，且|A F1|=|AB|，则( )
A.点F1到C 的渐近线的距离为❑√3
B.|AB|=10
C.C 的离心率为2
D.分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为❑√15
【变式训练】2 (1)(2025·合肥质检)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，过顶点A 作C 的一条渐近线
的垂线，交y 轴于点B，且|AB|=❑√a
2+b
2，则C 的离心率为( )
A.3
B.2
C.❑√3
D.❑√2
(2)(多选)(2025·临汾模拟)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B 为椭圆C 上
关于原点对称的两点，且|AB|=|F1 F2|，则( )
A.AF1⊥AF2
B.四边形AF1BF2的周长为4a
C.四边形AF1BF2的面积为b2
D.椭圆C 的离心率的取值范围为[
❑√2
2 ，1)
考点三 抛物线的几何性质
【典例】3 (1)(多选)已知O 为坐标原点，点F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，点P(4，4)，直线l：
x=my+1 交抛物线C 于A，B 两点(不与P 点重合)，则以下说法正确的是( )
A.|FA|>1
B.存在实数m，使得∠AOB<π
2
C.若⃗AF=2⃗FB，则m=±
❑√2
4
D.若直线PA 与PB 的倾斜角互补，则m=-2
(2)(多选)(2025·云南大联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，P 是抛物线C
上异于O 的一点，过点P 作PQ⊥l 于点Q，下列结论正确的是( )
A.线段FQ 的垂直平分线经过点P
B.过点P 且与抛物线C 相切的直线垂直平分线段FQ
C.直线QF 与直线PF 可能垂直
D.若△PQF 是直角三角形，则直线OP 的斜率为±2
【变式训练】3 (多选)(2025·黄山模拟)已知抛物线C：y2=2px 的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过
点F 作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则( )
A.|MN|的最小值为4
B.以线段MN 为直径的圆与直线x=-2 相切
C.当⃗MF=2⃗FN时，则|MN|=9
D.⃗OM·⃗ON=-12
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·温州模拟)双曲线y
2
a
2 -x2=1(a>0)的一个焦点为(0，2)，则a 等于( )
A.❑√3
B.
❑√3
3
C.3
D.1
3
2.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知椭圆C：x
2
m
2+ y
2
6 =1 的右焦点为F(2，0)，则C 的长轴
长为( )
A.❑√10
B.2❑√10
C.❑√2
D.2❑√2
3.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：x
2
a
2+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则C 的离心率为(
)
A.1
2
B.3
4
C.
❑√3
4
D.
❑√3
2
4.(2025·河南豫东名校模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过C 的焦点F 的直线交C 于A，B 两点，交C 的准
线于P，且⃗PB=3⃗BF，|AF|=3，则C 的方程为( )
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=6x
5.(2025·烟台、东营模拟)已知A(
p
2 ，m)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，若过点A 且与该抛物线相切的直线
交x 轴于点(-2，0)，则p 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
6.(2025·广州测试)已知点P 在双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上，且点P 到C 的两条渐近线的距离之积等于
a
2
2 ，则C 的离心率为( )
A.3
B.2
C.❑√3
D.❑√2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·乐山检测)设O 为坐标原点，椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，3)为
定点，而点B 在椭圆C 上，且位于第一象限，若|AB|=|AF2|=2|OF2|，则( )
A.a2-b2=3
B.∠F1BF2=60°
C.当△BF1F2的面积为6-3❑√3时，C 的方程为x
2
6 + y
2
3 =1
D.当AB∥x 轴时，C 的离心率e=
❑√3−1
2
8.(2025·锦州质检)某数学研究小组发现，函数y=
❑√3 x
3
+
❑√3
x 的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P 为其
图象上任意一点，则( )
A.直线y=
❑√3
3 x 是它的一条渐近线
B.它的离心率为2❑√3
3
C.点(❑√3，2)是它的一个顶点
D.||PM|-|PN||=2❑√6
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·泰州调研)过抛物线y2=4x 的焦点作斜率为1 的直线l 交抛物线于A，B 两点，则以AB 为直径的圆被
y 轴截得的弦长为 .
10.(2025·承德NT20 名校联合体调研)双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线
PF2⊥x 轴且与双曲线C 在第一象限交于点P.设△F1PF2内切圆的半径为r，若|PF2|≥4r，则双曲线C 的离心
率的取值范围为 .
四、解答题(共26 分)
11.(13 分)(2025·南宁模拟)已知双曲线C 的中心为坐标原点O，且焦点在x 轴上，点P(4，-3)在双曲线C 上，
其一条渐近线方程为❑√3x+2y=0.
(1)求双曲线C 的标准方程；(6 分)
(2)过点Q(0，2)且倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 交于M，N 两点，求△OMN 的面积.(7 分)
12.(13 分)(2025·蚌埠适应性考试)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，点P(3，3
2)在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；(5 分)
(2)过点Q(0，6)的直线(非y 轴)交椭圆于A，B 两点，以AB 为直径的圆经过原点O，求直线AB 的方程.(8
分)
【拓展训练】(每小题6 分，共12 分)
13.(多选)(2025·济宁模拟)若双曲线C：x2- y
2
8 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，过C 的右支上一点P 作圆
(x-3)2+y2=1 的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是( )
A.若⃗P F1·⃗P F2=0，则△PF1F2的面积为9
B.若Q 为圆(x-3)2+y2=1 上的一动点，则|PF2|+|PQ|的最小值为3
C.四边形PAF2B 面积的最小值为❑√3
D.⃗PA·⃗PB的最小值为2❑√2-3
14.(多选)(2025·太原模拟)已知动点P(x，y)到点F(0，1)和直线y=4 的距离和为5，记其轨迹为曲线C.点
M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C 上的两个不同点，点A(0，a)(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A.曲线C 的方程为y=- 1
16x2+5
B.对于任意a∈R，都存在点M，N，使得|AM|=|AN|成立
C.当y1≠y2时，若点M，N 关于点A 对称，则a 的取值范围为[
5
2 ，4)
D.若点M，N 关于点A 对称，则|AM|+|AN|的取值范围为(0，8]
