文档文本内容
第06 讲 双曲线及其性质
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 双曲线的定义.......................................................................................................4
知识点2 双曲线的标准方程...............................................................................................4
知识点3 双曲线的简单几何性质.......................................................................................5
题型破译................................................................................................................................................6
题型1 双曲线的定义...........................................................................................................6
【方法技巧】没有绝对值只表示一支
题型2 双曲线的标准方程...................................................................................................7
【方法技巧】谁的系数为正焦点就在对应的轴上
题型3 双曲线的焦点、焦距...............................................................................................9
题型4 双曲线的范围
...................................................................................................10
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴.................................................................................16
题型6 等轴双曲线.............................................................................................................19
题型7 双曲线的渐近线
..............................................................................................22
题型8 双曲线的离心率
..............................................................................................25
【方法技巧】通过几何、定义找abc 的关系
题型9 双曲线的应用
...................................................................................................30
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................34
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................43
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.了解双曲线的定义、
几何图形和标准方程
2.掌握双曲线的几何性
质(范围、对称性、顶
点、渐近线、离心率)
3.了解双曲线的简单应
用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第3
题，5 分
全国二卷，第11
题，6 分
天津卷，第9
题，5 分
北京卷，第3
题，4 分
新课标I 卷，第12 题，
5 分
全国甲卷（理数），第
5 题，5 分
新课标I 卷，第16 题，5
分
全国甲卷（文数），第8
题，5 分
北京卷，第12 题，5 分
天津卷，第9 题，5 分
考情分析：
双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与
性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏
大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.深入理解双曲线的定义，明确其与椭圆定义的区别与联系。能够精准阐述双曲线定义中动点到两定点距离之差
的绝对值为定值（小于两定点间距离）这一关键特征，并能运用定义解决相关问题，如根据给定条件判断点的轨
迹是否为双曲线。
2.全面掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。理解这些性质与双曲线方程之间
的内在联系，例如通过方程判断双曲线的范围，利用对称性简化问题求解过程。能准确求出双曲线的渐近线方
程，并理解渐近线对描绘双曲线形状的重要作用。深入理解离心率的定义及它对双曲线形状的影响，能够根据已
知条件求出离心率的值或范围
知识点1 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数
( 小于
| F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个
定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距.
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c 时，P 点的轨迹是 双曲线；
(2)当a＝c 时，P 点的轨迹是 两条射线；
(3)当a＞c 时，集合P 是 空集
.
自主检测已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，设点
，则
的值为
．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.
【详解】由双曲线的标准方程可得
，
由
满足方程
，知点
在双曲线的右支上，
.
故答案为：4.
知识点2 双曲线的标准方程
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
自主检测（多选）已知曲线
，则（ ）
A．若
，则C 是圆
B．若
，则C 是椭圆
C．若
，则C 是双曲线
D．若
，
，则C 是两条直线
【答案】CD
【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为曲线
：
.
当
时，表示圆；
当
，
且
时，表示椭圆；
当
时，表示双曲线；
当
或
时，表示两条直线.
所以CD 正确.
故选：CD
知识点3 双曲线的简单几何性质
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a 或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1 ( －
a, 0)
，
A2 (
a, 0)
顶点坐标：
A1 (0
，－
a ) ，
A2 (0
，
a )
渐近线
y＝ ± x
y＝ ± x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2 a ；线段B1B2叫做双曲线的 虚
轴，它的长|B1B2|＝ 2 b ； a 叫做双曲线的 实半轴长，b 叫做双曲线的 虚半轴
长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
自主检测（多选）已知曲线
的两个焦点为
，
，
为曲线
上不与
，
共线的点，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
是椭圆，则
B．若
是双曲线，则
C．若
，则
的周长为8
D．若
，则
的离心率为
【答案】BCD
【分析】对于A 由于
的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B 若
是双曲线，则
的焦点在
轴
上即可求解，对于C 若
，则
是椭圆，则
的周长为
，对于D 若
，则
是双曲线
即可求解.
【详解】对于A：若
是椭圆，则
，其焦点可能在
轴上，所以A 错误；
对于B：若
是双曲线，则
的焦点在
轴上，因为
，所以
，故B 正确；
对于C：若
，则
是椭圆.因为
，
，
，所以
的周长为
，故C 正确；
对于D:若
，则
是双曲线.因为
，
，
，所以离心率为
，故D 正确.
故选：BCD.
题型1 双曲线的定义
例1-1 已知双曲线
的两个焦点分别为
，
，双曲线
上有一点
，若
，则
（ ）
A．9
B．1
C．1 或9
D．11 或9
【答案】A
【分析】根据双曲线定义可求得
，再根据
或
或即可得解.
【详解】根据双曲线定义可得
，又
，
所以
或
，
又
，
，
而
或
，
所以
.
故选：A.
例1-2 设P 是双曲线
上一点，M，N 分别是两圆：
和
上的点，则
的最大值为 ．
【答案】9
【解析】由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P 与M，B 三点共线时使得
取最大
值．
【详解】解：设两圆
和
圆心分别为A，B，
则A，B 正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
方法技巧
（1）双曲线的定义中，常数
应当满足的约束条件：
，这可以借助于三角形中
边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
（2）若去掉定义中的“绝对值”，常数
满足约束条件：
（
），则动点轨迹
仅表示双曲线中靠焦点
的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦
点
的一支；
【变式训练1-1】若点P 是双曲线C：x
2
16 - y
2
9 =1上一点，F1，F2分别为C 的左、右焦点，则“|P F1|=8
”是“|P F2|=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】a= 4 ,b=3,c =
❑√4
2+3
2=5，
当点P在左支时，|P F1|的最小值为c -a=1，
当点P在右支时，|P F1|的最小值为a+c =9，
因为|P F1|=8，则点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义|P F2|-|P F1|=|P F2|-8=2a=8，解得|P F2|=16；
当|P F2|=16，点P在左支时，|P F1|=8；在右支时，|P F1|=24；推不出|P F1|=8；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【变式训练1-2】已知F1，F2分别是双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，|F1 F2|=2c，点P
在C 的右支上，且△P F1 F2的周长为6c，则|P F1|=（ ）
A．3c -a
B．3c +a
C．2c -a
D．2c +a
【解题思路】借助双曲线定义计算即可得.
【解答过程】由双曲线定义可知：|P F1|-|P F2|=2a，
则三角形△P F1 F2的周长为|F1 F2|+|P F1|+|P F2|=2c +|P F1|+|P F1|-2a=6c，
故|P F1|=2c +a.
故选：D.
题型2 双曲线的标准方程
例2-1 若椭圆
与双曲线
的焦点相同，则
的值为（ ）
A．25
B．16
C．5
D．4
【答案】C
【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中
的关系，得到
的值.
【详解】双曲线焦点为
，所以
，
所以
，
故选：C.
例2-2 已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线中
关系和离心率公式即可得到答案.
【详解】由双曲线方程知
，且焦点在
轴上，
所以在椭圆中
，则
，离心率
.
故选：A.
方法技巧
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．
(2)a 与b 没有大小关系．
(3)a，b，c 的关系满足c2＝a2＋b2.
【变式训练2-1】双曲线
的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
，
，焦点坐标为
，
，渐近线方程为
，
，
所以焦点到渐近线的距离
.
故选：B.
【变式训练2-2·变考法】已知方程
表示焦点在
轴上的双曲线，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】由双曲线定义可得
，解不等式组即可.
【详解】因为方程
表示焦点在
轴上的双曲线，
所以
，
即实数
的取值范围为
，
故答案为：
.
题型3 双曲线的焦点、焦距
例3-1（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线
的一个焦点坐标为
，则实数
的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
【详解】解：双曲线
的一个焦点坐标为
，可得
，
可得
故选：D
例3-2 已知双曲线
的一条渐近线的方程为
，则双曲线C 的焦距为（ ）
A．3
B．6
C．4
D．8
【答案】B
【分析】由渐近线的方程可求
，进而可求解；
【详解】由渐近线的方程为
易得：
，得
，
所以
，从而
故选：B
方法技巧
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率
【变式训练3-1】双曲线
和
有（ ）
A．相同焦点
B．相同渐近线
C．相同顶点
D．相等的离心率
【答案】A
【分析】对于已知的两条双曲线，有
，则半焦距相等，且焦点都在
轴上，由此
可得出结论.
【详解】解：对于已知的两条双曲线，有
，
半焦距相等，且焦点都在
轴上，
它们具有相同焦点.
故选：A.
【变式训练3-2】已知双曲线C 与椭圆
有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，
则双曲线C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在
轴上，且
，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，
最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于
及双曲线中
即可求解.
【详解】解：因为椭圆的方程为
，所以椭圆的焦点坐标为
，
由题意，双曲线C 的焦点在
轴上，且
，
设双曲线C 的方程为
，则有
，
其渐近线方程为
，即
，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有
，所以
，
所以双曲线C 的方程为
，
故选：A.
题型4 双曲线的范围
例4-1（2025·辽宁·一模）设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用坐标计算
，再利用
进行消元，解关于
的不等式.
【详解】点
在
上，则
，且
或
，
因
，则
，
，
则
，
解得
，故
或
.
故选：B
例4-2（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系
中，
，
为两个定点，
为动点，且
，
，
成等比数列，记点
的轨迹为
，过
作
的切线，则下列
说法正确的是（ ）
A．
是双曲线
B．若
，则的斜率为
C．存在点
，使得
D．不存在区间
，当
时，
【答案】ABC
【分析】利用等比中项列等式并化简求C 的轨迹方程可判断A；求出M 点的横坐标，利用导数的几何意义
求切线的斜率判断B；当M 是顶点时切线斜率不存在但满足
，当M 点不是顶点时求出切线的斜率，
由两直线垂直斜率之积为
列方程求解M，方程无解，此时不满足条件，判断C；将
代入不等
式求出
的范围，再结合双曲线上点的坐标的范围即可求得
的取值范围，判断D.
【详解】因为
，
，
成等比数列，
所以
，即
，
，进一步化简可得：
，
所以点
的轨迹C 为双曲线，A 正确；
若
，则
，将C 的方程转化为：
，
求导得：
，令
得
，即过点M 的切线的斜率为
，B 正确；
若
，则过点M 的切线l 为
，此时满足
；
若
，则过点
的切线l 的方程为：
，切线l 的斜率为
，如果
，则
，等式不成立.所以存在点
，使得
，C 正确；
将
代入不等式得
，解得
，
结合双曲线
得
，D 错误.
故选：ABC
方法技巧
（1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．
，
为双曲线
的左、右焦点，
为
双曲线上的任一点，
．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练4-1】（2025·重庆·三模）（多选）已知双曲线C：
的右焦点为F，P 是C 右支上的
动点，P 到直线
，
和
的距离分别为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】设点
，根据点到直线的距离公式得到
，
，
，利用圆锥曲线的统一定义得
到
，结合双曲线的离心率及双曲线的范围求解可判断各选项.
【详解】设点
，则有
，
所以
，
，
.
对于A，由双曲线的性质有
，所以
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确，
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，所以当PF 垂直于
时，有最小值为
，
故D 正确.
故选：BCD.
【变式训练4-2·变载体】（多选）已知点
是圆
上一动点，点
，线段
的中
垂线交直线
于点
，若点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．曲线
的方程为
B．线段
中点的轨迹方程为
C．
的最小值为5
D．直线与曲线
只有一个公共点
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题意得
，进而根据双曲线的定义即可判断；对于B，设
是线段
的中点，则
，由点
在圆
上，代入化简即可判断B；对于C，设
，
则
，
，将
表示成
的二次函数，求函数的最小值即可；对于D，分直线
与圆
相切与不相切两类讨论，当
与圆
不相切时，通过三角设元法，设出
的中点为
，
得到直线的方程，再将直线的方程与曲线
方程联立，通过方程组的解的情况即可判断.
【详解】对于A，∵
是
的中垂线上的点，则
，
∴
，
所以点
的轨迹
是以
为焦点的双曲线，其中
，
，
∴曲线
的方程为
，故A 正确；
对于B，设
，线段
中点
，则
，
所以
，即化简为
，故B 正确；
对于C，设
，则
，则
，
，
当
时，
，故C 不正确；
对于D，曲线
的方程为
.
设
是圆
的两条切线，切点分别为
，
当
与
(或
)重合时，
的中垂线经过点
，且∥
，
直线的方程为：
，直线为曲线
的渐近线；
当
不与
重合时，
由选项B 知，线段
中点的轨迹方程为
，
故可设
中点
，
若
，则
，
当
，即
时，
此时中垂线
，与
相切，即直线与曲线
只有一个公共点；
当
，即
时，
此时中垂线
，与
相切，即直线与曲线
只有一个公共点；
若
，则
，
∴
，
即
，
若
，即
，此时直线过原点，则
与
（或
）重合，
故
.
联立
，即
，
得
，
化简得
，
则
，即此时
，解得
.
所以
只有一组实数解，
即直线与曲线
相切，只有一个公共点，故D 项正确.
故选：ABD.
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴
例5-1（多选）过双曲线
的一个焦点的直线
与
的一条渐近线平
行，且与
交于点
，则（ ）
A．
的实轴长为
B．
的离心率为
C．
到
的右焦点的距离为
D．
的一个顶点坐标为
【答案】BC
【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的
得双曲线标准方程，然后判断各选项．
【详解】直线
与坐标轴的交点分别为
和
，
因此双曲线的一个焦点为
，即
，
又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以
，
由
，解得
，
选项A，实轴长为
，A 错；
选项B，离心率为
，B 正确；
选项C，双曲线方程为
，由
解得
，即
，
右焦点为
，则
，C 正确，
选项D，曲线
的顶点坐标为
，D 错误；
故选：BC．
例5-2（多选）已知直线
与双曲线
的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为
，
左、右焦点分别为
，若
是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线
和直线
的斜率的乘积为
D．
【答案】ABD
【分析】联立直线与双曲线方程，由
，求得
，即可判断A；将
代入双曲线方程，求得
，即可判断B；由
，即可判断C；由三角形
的面积，可求得
，即可判断D.
【详解】解：将
代入
，
整理得
，
，
解得
，故A 正确；
将
代入双曲线方程得：
，
可得
，即
，故B 正确；
，易得
.
，C 故错误；
由题意可知双曲线的焦距为
，
则
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式训练5-1】已知双曲线
，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用双曲线中的关系式
，结合
，即可求解
.
【详解】由题意得：
，
，
，
联立可解得：
，即实轴长为
故选：C.
【变式训练5-2】（多选）已知点
，
分别为双曲线
的左、右顶点，点
，
是
右支上不同两点，若
且
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．点
为
的重心
C．
D．
为等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据等轴双曲线求得渐近线判断A；根据重心的向量形式判断B；设
，
，根据
重心坐标性质得
，
关于
轴对称，进而求得
，根据
的面积求得
判断C，结合选项C
求得
，根据对称性可得
为等边三角形判断D.
【详解】由于双曲线
是等轴双曲线，故其渐近线为
，故A 正确；
由
知点
为
的重心，故B 正确；
设
，
，
，
，
由点
为
的重心知
，
，
故
，
关于
轴对称且
，
，
故
的面积
，解得
，故C 错误；
由C 可知，
，
关于
轴对称且
，
，
所以
，所以
，所以
，
因此
为等边三角形，故D 正确.
故选：ABD.
【变式训练5-3】若方程
表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
【答案】
【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长.
【详解】显然
，将
化为
，
若该方程表示双曲线，则
，
且双曲线的标准方程为
，
即
，虚轴长
.
故答案为：
.
题型6 等轴双曲线
例6-1 已知等轴双曲线
的左､右焦点分别为
，半焦距为，过点
的直线
与
的两条渐近线从左到右 依次交于
两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等轴双曲线的几何形式，能够确定
是等腰三角形，即可求解.
【详解】由题意得
的渐近线方程为
，得
（
为坐标原点），
由
，得
，则
，
所以
.
故选：C
例6-2 已知双曲线
，左、右顶点分别为
，
，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，
且
，则
．
【答案】0
【分析】根据双曲线的标准方程，表示出直线
，
的斜率之间的关系，再利用诱导公式可求
，
进而求
的值.
【详解】如图：
设
，则
，即
.
设
，则
，
根据三角形的外角定理，可得
，
所以
，
，所以
.
所以
，且
，
均为锐角，
所以
，
所以
，即
.
故答案为：0
方法技巧
(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
【变式训练6-1】反比例函数
的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
【答案】
（或
）
【分析】结合双曲线性质，计算双曲线
的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标.
【详解】由双曲线
的渐近线为
轴与
轴，对称轴为
，且其焦点在
上，
联立方程
，解得
或
，
即其两顶点坐标分别为
，
，可知其实半轴长为
，
且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线，
故其虚半轴长为4，可知其半焦距为
，
故其焦点坐标分别为
，
.
故答案为：
（或
）.
【变式训练6-2】
为双曲线
右支上两不同点，则
取值范围是 .
【答案】
【分析】方法一：利用向量数量积的坐标表示，再求最值即可；
方法二：设
，利用向量数量积的坐标表示，再通过三角恒等变形化简，再求
最值即可；
方法三：设出直线AB 方程，直曲联立消元，由韦达定理代入向量数量积的坐标表示，再求最值即可；
方法四：双曲线图像与函数
图像全等，由
，再求最值即可.
【详解】方法一：因为
为双曲线
右支上两不同点，
设
，则
，
，
则
，
取等号条件是
，显然该式可以取到无限大，
所以
取值范围是
.
方法二：设
，
则
，所以
，
取等号条件是
，所以
取值范围是
.
方法三：设直线AB 方程为
与双曲线右支交于
两点
，
联立得
，
设
，
则
即
取值范围是
.
方法四：双曲线图像与函数
图像全等，
在
上取两点
，
可知
，
时
，取等号条件为
，
所以
取值范围是
.
题型7 双曲线的渐近线
例7-1（多选）已知双曲线
的一条渐近线过点
，
为
的右焦点，则
下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的离心率为
B．曲线
的渐近线方程为
C．若
到曲线
的渐近线的距离为
，则曲线
的方程为
D．设
为坐标原点，若
，则
【答案】AC
【分析】根据待定系数法，求出双曲线参数
之间的关系，求出离心率和渐近线方程，判断A，B 的正
误，根据焦点到渐近线的距离为短轴长，求出双曲线的方程，再根据两点间的距离公式和双曲线的性质求
出三角形的面积，判断C，D 的正误.
【详解】由题意设双曲线的渐近线方程为
，代入点
，
解得
，则双曲线的离心率
，故A 正确；
由
得双曲线的渐近线方程为
，即
，故B 错误；
若
到渐近线的距离为
，则
，
，则双曲线的方程为
，故C 正确；
设
，则由
，可得
，
解得
，
三角形
的面积
，故D 错误．
故选：AC．
例7-2（2025·上海·模拟预测）双曲线
的一条渐近线方程为
，则
．
【答案】16
【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为值，
，
所以
，得
，
.
故答案为：16
方法技巧
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为
，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为
，则可设双曲线方程为
，根据已知条件，求出
即
可．
（3）与双曲线
有公共渐近线的双曲线
与双曲线
有公共渐近线的双曲线方程可设为
（
，焦点在
轴上，
，焦点在y 轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
．
【变式训练7-1】已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设双曲线方程为
，将
代入，求出
，可求双曲线的标准方程．
【详解】因为双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，
所以设双曲线方程为
，
将
代入，可得
，则
，
所求双曲线的标准方程是
．
故选：D．
【变式训练7-2】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与
的左､右两支分别交于点
，若
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得出四边形
为矩形，利用双曲线定义求出
，进而在直角
中利用勾股定理
求出
，从而求出
即可求解.
【详解】设
的右焦点为
，由题意知四边形
为平行四边形.
因为
，所以
，故四边形
为矩形，
由双曲线定义得，在直角
中，
，
由
，得
，解得
，
所以
，
所以
的渐近线方程为
.
故选：A.
【变式训练7-3】（25-26 高三上·云南·阶段练习）双曲线
的左顶点为
，右焦点
为
，点
在
上，且
，
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合双曲线方程求出
的坐标，由
列方程找出
的关系，即可得渐近线方程.
【详解】由题知，
，
又
，则
的横坐标为，
根据对称性不妨设
在
轴上方，
由
，解得
，则
，
于是
，故
，
即
，
，化简可得
，
于是
，即
，
故渐近线方程为：
.
故选：B
题型8 双曲线的离心率
例8-1（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角
为
的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可.
【详解】因为过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以
，化简得
，解得
，故C 正确.
故选：C
例8-2（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，过点
且垂直于x 轴的直线与C 交于点M，
与C 交于点N，设
，若
，则C
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定
的坐标，由
的坐标结合
求得
的坐标，根据
在双曲线上，得出
和
离心率的关系，进而得解.
【详解】
由题可得
，
，根据对称性设点M 在第一象限，可得
，
设
，由
，得
，所以
，
解得
，即
，
因为点N 在双曲线C 上，所以
，
所以
，解得
.
因为
，所以
，则
，
所以
，又
.所以
.
故选：B
方法技巧 （1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．
，
为双曲线
的左、右焦点，
为
双曲线上的任一点，
．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练8-1】如图，直角坐标系中有4 条圆锥曲线
（
1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4 条
圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.
【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在
之间，则
都大于
，
根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故
，
根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故
，
综上
，
故选：C.
【变式训练8-2·变考法】（多选）已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，
为
的左顶点，过
且斜率存在的直线与
的左支分别交于
，
两点，设
，
分别为
，
的内切圆的圆心，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的渐近线方程为
B．直线
轴
C．双曲线
的方程为
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】对于选项A，根据离心率以及双曲线的性质可求出双曲线的渐近线方程；对于选项B，根据
这一性质以及线段之间的关系即可证明；对于选项C，根据
这一条件以及离
心率即可求出
的值，从而求出双曲线方程；假设选项D 正确，然后根据图象进行推导。结果发现直
线垂直于
轴时才取到最小值的结论.
【详解】对于选项A：
因为离心率
，
，所以
.
化简得：
，所以
.
所以双曲线
的渐近线方程为
，故A 错误.
对于选项B：
过点
作
，因为
是内切圆的圆心，
所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
①.
又
②，①②联立解得
，所以
重合，
所以
轴，故B 正确.
对于选项C：
根据题意可知，
，由选项B 知
，
所以化简得
，所以
，又
，
所以解得
，从而
.
所以双曲线
的方程为
，故C 正确.
根据选项B 中的内容，按照同样的方法即可证明
轴.
由选项C 求出的双曲线方程可知，
.
那么根据基本不等式的性质，
，
当且仅当
时，
取最小值.
通过图象可以发现，当
时，即
和
的内切圆半径相等，
所以
与
全等，
因为
与
全等，
与
全等，
所以
，根据双曲线对称的性质可知，直线
轴.
此时点
，
此时直线
没有斜率，不合题意，
故
，
取不到最小值，故D 错误.
故选：BC.
【变式训练8-3】（2025·广东湛江·二模）已知双曲线
的离心率为
，则
．
【答案】3
【分析】利用双曲线方程中
的关系结合离心率
，列式计算即可求得
的值.
【详解】由双曲线
，得
，所以
双曲线C 的离心率为
，
所以
，解得
故答案为：.
题型9 双曲线的应用
例9-1 已知曲线
，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线
与直线
无公共点
B．曲线
与圆
有三个公共点
C．曲线
关于直线
对称
D．曲线
上的点到直线
的最大距离是
【答案】D
【分析】分类讨论方程表示曲线的类型，画出曲线
的图象，再逐项判断.
【详解】对于A 选项，联立
，将
代入
，得
，
所以曲线
与直线
无公共点，A 选项正确；
下面分析曲线
的图象：
曲线
，当
时，曲线方程可化为
；
当
时，曲线方程可化为
，不符合；
当
时，曲线方程可化为
；
当
时，曲线方程可化为
.
由此画出曲线的图象如下图所示：
对于B 选项，圆
的圆心为
，半径是，
与圆弧
(
）的圆心距为
，所以圆
与
圆
相内切，切点为
.
结合图象可知曲线
与圆
有三个公共点，B 选项正确；
对于C 选项，点
满足
直线
对称的对称点是
，
将点
代入
得
，整理得
，
所以曲线
关于直线
对称，C 选项正确；
对于D 选项，由图可知，曲线
上的点到直线
的最大距离是，
即圆弧
(
)的半径，所以D 选项错误.
故选：D.
例9-2
年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用
粒子轰击
厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望
粒子能够通过金箔，就像子
弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分
粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的
粒子遵循双
曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果
粒子的路径经过点
，则该粒子路径的
顶点距双曲线的中心 cm.
【答案】
【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为
，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果.
【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为
，
即可得
，因此离心率为
；
设双曲线的方程为
，将
代入计算可得
，
解得
；
所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心
cm.
故答案为：
；
；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出
实半轴长.
【变式训练9-1】由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．
已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过
右支上一点
作双曲线
的切
线交
轴于点
，交
轴于点
，过点
作
，垂足为
，
为原点，求
．
【答案】2
【分析】由双曲线的光学性质结合
，可得
垂直平分
，利用三角形中位线及双曲线的定
义即可求出
.
【详解】由双曲线的光学性质知，
平分
，延长
与
的延长线交于点E，
由
，得
为
的中点，又
是
中点，
所以
.
故答案为：2
【变式训练9-2】某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部
斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB 宽4cm，底部CD 宽5cm，
，底部离最窄处
垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB 平行，则其长度为 cm.
【答案】
【分析】以
所在直线为
轴，垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令
，可
求结论.
【详解】以
所在直线为
轴，垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意
，
，所以
，
因双曲线的焦点在
轴上，所以设双曲线的方程为
，
又点
在双曲线
上，所以
，解得
，
所以双曲线方程为
，因为斧高12cm，
令
，得
，所以
，解得
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【变式训练9-3】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预
计到达区域安排了三个救援中心（记为
、
、
），
在
的正东方向，相距
；
在
的北偏西
方向，相距
；
为航天员的着陆点.某一时刻，
接收到
的求救信号，由于
、
两地比
距
远，
后
、
两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为
，则在
处测得
的
方向角为（ ）
A．北偏东
B．北偏东
C．北偏西
D．北偏西
【答案】A
【分析】分析可知，
在以
、
为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将
线段
的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点
的坐标，可求出直线
的斜率及倾斜角，即可
得出结论.
【详解】因为
、
同时接到信号，所以，
，则点
在线段
的垂直平分线上，
因为
、
比
处同时晚
收到信号，所以有
，
从而
在以
、
为焦点的双曲线的右支上，所以，
，
，则
，
如图，以线段
的中点
为坐标原点，
的垂直平分线为
轴，正东方向为
轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
，
，
所以，双曲线的方程为
，
线段
的垂直平分线的方程为
，即
，
联立
，解得
，即点
，
从而
，所以，直线
的倾斜角为
，
则在
处测得
的方向角为北偏东
，
故选：A.
1．（2025·天津·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，以右焦点
为焦点
的抛物线
与双曲线交于第一象限的点P，若
，则双曲线的离心率
（ ）
A．2
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出
，根据勾股定理从而确定P 的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设
，双曲线的半焦距为，
，则
，
过
作
轴的垂线l，过
作l 的垂线，垂足为A，显然直线
为抛物线的准线，
则
，
由双曲线的定义及已知条件可知
，则
，
由勾股定理可知
，
易知
，即
，
整理得
，∴
，即离心率为2.
故选：
2．（2025·北京·高考真题）双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出
，即可求出离心率．
【详解】由
得，
，所以
，
即
，所以
，
故选：B．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中
的关系，结合
和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为
，
由题知，
，
于是
，则
，
即
.
故选：D
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距
，结合双曲线定义计算可得
，即可得离心率.
【详解】由题意，设
、
、
，
则
，
，
，
则
，则
.
故选：C.
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线
的左、右焦点分别是
，左、
右顶点分别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M、N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由
且
结合
在渐近线上可求
的坐标，从而
可判断B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B 的结果可得
，
计算后可判断C 的正误，或者利用
并结合离心率变形公式即可判断；结合BC 的结果求出
面积后可判断D 的正误.
【详解】不妨设渐近线为
，
在第一象限，
在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得
为平行四边形，故
，
故A 正确；
对于B，方法一：因为
在以
为直径的圆上，故
且
，
设
，则
，故
，故
，
由A 得
，故
即
，故B 错误；
方法二：因为
，因为双曲线中，
，
则
，又因为以
为直径的圆与
的一条渐近线交于
、
，则
，
则若过点
往
轴作垂线，垂足为
，则
，则点
与
重合，则
轴，
则
，
方法三：在
利用余弦定理知，
，
即
，则
，
则
为直角三角形，且
，则
，故B 错误；
对于C，方法一：因为
，故
，
由B 可知
，
故
即
，
故离心率
，故C 正确；
方法二：因为
，则
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，由C 可知
，故
，
故
，故四边形
为
，
故D 正确，
故选：ACD.
6．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数
与
，则两函
数图象有唯一交点，分
、
与
进行讨论，当
时，计算函数定义域可得
或
，计
算可得
时，两函数在
轴左侧有一交点，则只需找到当
时，在
轴右侧无交点的情况即
可得；当
时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数
的零点问题转化为函数
与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的
直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)当
时，
；
(3)
的最大值为
.
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出
即可；
（2）如图，易知
为钝角，则
，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设
，
：
，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标
表示建立关于
的方程，得
，结合
即可求解.
【详解】（1）由双曲线的方程知
，
，
因为离心率为2，所以
，得
.
（2）当
时，双曲线
，且
.
因为点
在第一象限，所以
为钝角.
又
为等腰三角形，所以
.
设点
，且
，则
得
，所以
.
（3）由双曲线的方程知
，且由题意知
关于原点对称.
设
，则
.
由直线
不与
轴垂直，可设直线
的方程为
.
联立直线与双曲线的方程得
消去
，得
，
且
，即
，得
.
，
由
，得
，
所以
，即
，
整理得
，
所以
，
整理得
，所以
.
又
，所以
，解得
，
所以
，又
，
故
的取值范围是
，故
的最大值为
.
【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，
运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向
量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系.
1.与圆
及圆
都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上
B．双曲线上的一支上C．抛物线上
D．圆上
【答案】B
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置
关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】由圆
可知，圆心
，半径
，
圆
化为标准方程
，
圆心
，半径
，
因此圆心距
，所以两圆相离，
设与两圆都外切的圆的圆心为
，半径为
，
则满足
，所以
，
即圆心
的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，
根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，
即圆心在双曲线的一支上.
故选：B.
2.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），
可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为
55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．
【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，设双曲线方程为
，利用已知条件确定
的值，
从而可求得双曲线的方程.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为
，
因为
，点
的横坐标分别为25，13，
所以设
（
），
所以
，解得
，
因为高为55 米，
所以
，即
，
得
，
所以所求双曲线方程为
.
3.指出双曲线
的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率．
【答案】答案详见解析
【分析】根据双曲线的知识求得正确答案.
【详解】双曲线
的焦点在
轴上，
所以范围：
或
；
.
对称性：关于
轴、
轴、原点对称.
顶点：
.
渐近线：
.
实轴：
，虚轴：
.
离心率：
，其中
.
4.动点
与定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
，求动点M 的轨迹.
【答案】点M 轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为6、虚轴长为
的双曲线
.
【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹.
【详解】设d 是点M 到直线l 的距离，
根据题意，动点M 的轨迹就是点的集合
，则
.
将上式两边平方，并化简，得
，即
.
所以，点M 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为6、虚轴长为
的双曲线
.
5.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是
，且双曲线经过点
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，求出
结合焦点位置得出双曲线方程；
（2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出
，即可得出双曲线方程.
【详解】（1）由已知得
5，
．因此
，且
．
又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程是
．
（2）由已知得双曲线的焦点在y 轴上，且
，所以另一个焦点坐标为
.
因为点
在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值为
，
因此
，从而
．
因此，所求双曲线的标准方程是
．
6.已知双曲线
的焦点为
，
，点M 在双曲线上，且
轴，求
到直线
的距离.
【答案】
【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可.
【详解】
由题可得，
，
所以
,
设
，则
，解得
,
由于对称性，不妨取
，所以
根据双曲线的定义可得，
，解得
，
设
到直线
的距离为
，
在直角三角形
中，
，
所以
.
7.如图，已知动圆M 与两个定圆
和
分别外切，则动圆圆心M 的轨迹是什么图形？
【答案】答案见详解
【分析】就两圆半径的大小关系分类讨论，再根据曲线的定义可得相应的轨迹.
【详解】设圆
的半径为
，圆
的半径为
，动圆
的半径为，
因为动圆M 与两个定圆
和
分别外切，故
，
，
若
，则
，故
的轨迹为
的中垂线.
若
，则
，
故
的轨迹为以
、
为焦点的双曲线的右支.
若
，则
，
故
的轨迹为以
、
为焦点的双曲线的左支.
