第06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 考情解码・命题预警............................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视...............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚...............................................................................................................................3
知能解码........................................................................................................................................3
知识点1 相互独立事件 ............................................................................................................3
知识点2 条件概率 ....................................................................................................................4
知识点3 全概率公式 ................................................................................................................5
知识点4 贝叶斯公式..................................................................................................................6
题型破译........................................................................................................................................6
题型1 条件概率
....................................................................................................................6
【方法技巧】求条件概率公式
题型2 相互独立事件的判断
...............................................................................................8
【方法技巧】相互独立事件的判断
题型3 相互独立事件的概率
............................................................................................13
题型4 全概率公式及其应用
............................................................................................15
【方法技巧】全概率公式计算
题型5 贝叶斯公式及其应用
............................................................................................18
【方法技巧】贝叶斯公式计算
题型6 全概率公式与贝叶斯公式综合
............................................................................21
04 真题溯源·考向感知............................................................................................................................26
05 课本典例·高考素材............................................................................................................................28
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）条件概率
（2）相互独立
（3）全概率公式
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年天津卷第
13 题，5 分
2025 年上海卷第
13 题，5 分
2024 年天津卷第13
题，5 分
2024 年上海卷第8 题，
5 分
2023 年甲卷（理）第6
题，5 分
2023 年上海卷第19 题
（1），4 分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事
件的关系以对应的概率求解．全概率公式将会是一个新的出题点，思维难度会略大．但整体而言，本节内容在高
考中的难度处于中等偏易．
复习目标：
（1）了解两个事件相互独立的含义．
（2）理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识点1 相互独立事件
对任意两个事件
与
，如果
成立，则称事件
与事件
相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件
、不可能事件
与任意事件相互独立
性质2：如果事件
与
相互独立，则
与
，
与
，
与
也相互独立
则：
，
，
自主检测（多选）现有6 个分别标有数字1，2，3，4，5，6 的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，
每次取1 个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两
次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立
D．丙与丁互斥
【答案】BD
【分析】利用样本空间法，分别计算4 个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立
事件，互斥事件的定义，即可判断选项.
【详解】
，事件丙包含
，共5 个基本事件，所以
，
，所以
，甲与丙不相互独立，故A 错误；
事件丁包含
共6 个基本事件，所以
，
，所以
，甲与丙相互独立，故B 正确；
，
，所以
，乙与丙不相互独立，故C 错误；
事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D 正确.
故选：BD
知识点2 条件概率
1、定义：一般地，设
，
为两个随机事件，且
，我们称
为在事件
发生
的条件下，事件
发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件
与
，若
，则
．我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设
，则
①
；
②如果
和
是两个互斥事件，则
；
③设
和
互为对立事件，则
．
④任何事件的条件概率都在0 和1 之间，即：
.
自主检测1．一个体育队有4 名女运动员和3 名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1 个运动
员，抽出的运动员不再检查，则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的概率公式结合排列组合知识求解.
【详解】用事件
表示“第2 次抽到男运动员”，事件
表示“第1 次抽到女运动员”，
第1 次抽到女运动员包括第1 次女第2 次男：
种，两次均为女
种，
共
种，
从所有运动员中依次取2 名共有
种，
则
，
，则
，
则在第1 次抽到女运动员的条件下，第2 次抽到男运动员的概率为
.
故选：C
知识点3 全概率公式
1、定义：一般地,设
,
,
是一组两两互斥的事件,
,且
，
,则对任意的事件
,有
,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件
的发生有各种可能的原因
（
）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件
是由原因
所引起的，且事件
发生时，
必同时发生，则
与
有关，且等于其总和
.
自主检测某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
，当
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
．已知输入的问题表达不清晰的概率为
．
则智能客服的回答被采纳的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由全概率公式
计算可得．
【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件
，
则
，
，
，
，
根据全概率公式，
．
故选：B．
知识点4 贝叶斯公式
设
,
,
是一组两两互斥的事件,
,且
，
，
则对任意的事件
,
，有
，
.
自主检测袋中有4 个红球，6 个白球，不放回地摸两次球，求：
(1)第二次摸到红球的概率；
(2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件
表示“第一次摸到红球＂，事件
表示”“第一次摸到白球”，事件
表示“第
二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解；
（2）利用贝叶斯公式即可求解.
【详解】（1）设事件
表示“第一次摸到红球＂，事件
表示”“第一次摸到白球”，事件
表示“第
二次摸到红球”，
则
由全概率公式有
．
（2）由贝叶斯公式有
．
题型1 条件概率
例1-1 一枚骰子连续抛掷两次，在第一次抛出的点数是6 的情况下，第二次抛出的点数是奇数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件概率公式可得结果.
【详解】设事件
为“第一次抛出的是点数6”，事件
为“第二次抛出的是奇数点”．
则
．
故选：A.
例1-2 一盒子中装有只产品，其中有只一等品、
只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放
回．事件
表示“第一次取到的是一等品”，事件
表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求
．
【答案】
【分析】解法一：记
从
只一等品、
只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古
典概型的概率公式可求得
的值；
解法二：记
从只一等品、
只二等品中取
只所有取法，事件
表示“从只一等品、
只二等
品中取
只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得
的值.
【详解】解法一：样本空间改变法：
从
只一等品、
只二等品中任取只的所有取法，所以
；
解法二：
从只一等品、
只二等品中取
只所有取法，
所以
中所含的基本事件数为
，
事件
表示“从只一等品、
只二等品中取
只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，
所以
中所含的基本事件为
，
事件
表示“从只一等品、
只二等品中取2 只，第一次取只一等品，第二次任取”，
所以
中所含的基本事件为
，故
.
方法技巧 求条件概率
用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算
，
；
（3）代入公式求
．
【变式训练1-1】已知
，
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【答案】C
【分析】由条件概率公式计算可得结果.
【详解】由
，可得
，则
.
故选：C.
【变式训练1-2】在A，B，C 三种活动中，甲、乙、丙、丁、戊五人需每人选择一个活动参加，在3 人选
择了A 活动的条件下，甲、乙选择A 活动的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件概率公式即可求解.
【详解】设事件
表示“3 人选择了
活动”，事件
表示＂甲、乙选择
活动＂，则
．
故选：D.
【变式训练1-3】某体育局计划从某高校的4 名男志愿者和4 名女志愿者中选派6 人参加志愿者培训，事件
A 表示选派的6 人中至少有3 名男志愿者，事件
表示选派的6 人中恰好有3 名女志愿者，则
.
【答案】
【分析】方法一、根据题意求出
，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3 名
男志愿者的情况及恰有3 名女志愿者的情况，再利用古典概型求解.
【详解】从4 名男志愿者和4 名女志愿者中选派6 人，至少有3 名男志愿者的概率
.又
，
根据条件概率的计算公式可知，
.
方法二、从4 名男志愿者和4 名女志愿者中选派6 人，
至少有3 名男志愿者有
（种）情况，
其中有3 名女志愿者有
（种）情况.
根据古典概型的概率计算公式可知，
.
故答案为：
.
题型2 相互独立事件的判断
例2-1 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2 点”，B=“第二次的
点数小于5 点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ）
A．B 与A 不互斥且B 与A 相互独立
B．B 与C 不互斥且B 与C 相互独立
C．C 与A 互斥且C 与A 不相互独立
D．D 与A 不互斥且D 与A 相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可.
【详解】如第一次出现2 点，第二次出现1 点，此时事件A,B 均发生，所以A 与B 不是互斥事件，
依题意
，
，
，
又
，即A 与B 相互独立，故A 正确；
第一次出现5 点，第二次出现4 点，此时事件C,B 均发生，所以C 与B 不是互斥事件，
，即B 与
不相互独立，故B 错误；
，即
与
不相互独立，C 与A 互斥，故C 正确；
，即A 与
相互独立，第一次出现2 点，第二次出现1 点，
此时事件A、
均发生，所以A 与
不是互斥事件，故D 正确；
故选：B.
例2-2 一个箱子里有6 个大小颜色相同的小球，编号为
，从中有放回地抽取2 次（每次取1 个
球）.设事件
：“第一次取出的球的号码大于3”，事件
：“两次取出的球的号码之和为偶数”.
(1)求事件
的概率；
(2)判断事件
与事件
是否相互独立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)事件
与事件
相互独立.
【分析】（1）根据题意求出样本空间
以及事件
的样本点，利用古典概型公式即可求解；
（2）先求事件
与事件
的样本点，进而求
，根据事件的独立性的定义即可求解.
【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，
表示第二次取得小球号码，
表示2 次取得小球号码，
则
共有36 个样本点，
共有
18 个样本点，
所以
；
（2）
共有18 个样本点，
共有个样本点，
所以
，
，所以
，
所以事件
与事件
相互独立.
方法技巧 相互独立事件的判断
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件
，
相互独立⇔
．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当
时，可用
判断．
【变式训练2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事
件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（ ）
A．事件乙和事件丙互斥
B．事件丙和事件丁互为对立
C．事件甲与事件丙相互独立
D．事件乙与事件丁相互独立
【答案】D
【分析】用
表示第一枚骰子向上的点数，
表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对
表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可.
【详解】用
表示第一枚骰子向上的点数，
表示第二枚骰子向上的点数，
则两枚骰子的情况用数对
表示，
则所有可能的情况有：
，
，
，
，
，
，共36 种情况，
对于
：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现
，
所以事件乙和事件丙不互斥，故
错误；
对于
：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，
如事件丙和事件丁不包括
，所以事件丙和事件丁不互为对立，故
错误；
对于
：第一次点数小于3 的情况有
，
，共12 种情况，
所以
，
两次点数之和为8 的情况有
，
共5 种情况，所以
，
第一次点数小于3 且两次点数之和为8 的情况有
，
所以
，
，
所以事件甲与事件丙不相互独立，故
错误；
对于
：第一次点数为偶数的情况有18 种，所以
，
两次点数之和为奇数的情况共有18 种，所以
，
第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9 种，所以
，
，所以事件乙与事件丁相互独立，故
正确.
故选：
.
【变式训练2-2】（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的4 个小球，其中白色小球有2 个，编号为
1，2；红色小球有2 个，编号为3，4.现从该盒中不放回地依次取出2 个小球，事件A 表示“第一次取出的
是白球”，事件B 表示“第二次取出的是红球”，事件C 表示“两次取出的球颜色相同”，事件D 表示
“两次取出的球颜色不同”，则（ ）
A．A 与B 相互独立B．B 与C 相互独立
C．B 与D 相互独立
D．A 与D 相互独立
【答案】BCD
【分析】利用古典概型概率公式求出
，
，
，
，
，逐项判
断可得答案.
【详解】不放回地依次取出2 个小球，基本事件有
12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12 种，
事件A 包含12，13，14，21，23，24，共6 种，
事件B 包含13，14，23，24，34，43，共6 种，
事件C 包含12，21，34，43，共4 种，
事件D 包含13，14，23，24，31，32，41，42，共8 种，
事件AB 包含13，14，23，24，共4 种，
事件AD 包含13，14，23，24，共4 种，事件BC 包含34，43，共2 种，
事件BD 包含13，14，23，24，共4 种，
则
，
，
，
，
.
对于A，因为
，所以A 与B 不相互独立，则A 错误；
对于B，因为
，所以B 与C 相互独立，则B 正确；
对于C，因为
，所以B 与D 相互独立，则C 正确；
对于D，因为
，所以A 与D 相互独立，则D 正确.
故选：BCD.
【变式训练2-3】某商场开展促销活动，每消费调500 元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3 个红球、2 个白
球、1 个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2 个球，若摸出2 个红球，可获
得一等奖；若摸出1 个红球和1 个蓝球，可获得二等奖.
(1)已知甲在该商场消费了500 元，求甲获得一等奖的概率；
(2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000 元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝
球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000 元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件
，
“乙恰好获得一个二等奖”为事件
.判断事件
与
是否相互独立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不相互独立，理由见解析
【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案；
（2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算
，再验证
与
是否相等即可判断.
【详解】（1）记三个红球分别为
，
，
，两个白球分别为
，
，蓝球为
，
则6 个球中一次摸出两球的样本空间为：
，
则
，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.
记事件
“甲获得一等奖”，则
，
，
所以
，所以甲获得一等奖的概率为
.
（2）记事件
“乙第次摸得两个红球”，事件
“乙第次摸得一红一蓝两个球”，
事件
“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件
“乙第次未摸到蓝球”，其中
，2.
由（1）知
；
，
；
，
；
，
.
则
，
，
与
相互独立.
所以
.
因为
，且事件
，
，
两两互斥，两次抽奖相互独立，
所以
.
因为
，且
，
互斥，两次抽奖相互独立，
所以
.
所以
，所以事件
与事件
不相互独立.
题型3 相互独立事件的概率
例3-1 如图，某电子元件由A，B，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测
试，A，B，C 三种部件不能正常工作的概率分别为
，
，
，各个部件是否正常工作相互独立．A，B 同
时正常工作或C 正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，
则
，
，而
，
因此
，即该电子元件能正常工作的概率是
.
故选：A
例3-2 某班举办联欢会，甲、乙两名同学组队参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个
成语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，
则甲、乙二人在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ．
【答案】
/0.95
【分析】方法一、根据题意，设事件
“甲猜对”，
“乙猜对”，
“甲、乙二人至少猜对一个成
语”，则
，根据独立事件乘法公式求解即可；方法二、利用对立事件求解.
【详解】方法一、设事件
“甲猜对”，
“乙猜对”，
“甲、乙二人至少猜对一个成语”，
所以
，则
．
由题意知，事件A，B 相互独立，
则
．
方法二、事件
的对立事件
“甲、乙二人一个成语也没有猜对”，即
，
则
．
故答案为：
【变式训练3-1】已知随机事件
与
对立，
与
相互独立，若
，则
.
【答案】0.18/
【分析】根据对立事件的概率公式求出
，根据独立事件的概率公式求出
．
【详解】因为
与
对立，所以
，
又
与
相互独立，所以
．
故答案为：0.18．
【变式训练3-2】天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两
地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
【答案】
/
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可.
【详解】记端午假期甲地降雨为事件
，乙地降雨为事件
，
由题知，
，且
相互独立，所以
相互独立，
所以两地都不降雨的概率为
.
故答案为：
【变式训练3-3】由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共
进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为
，乙猜对丙未猜对的概率为
，丙和甲都猜对的
概率为
，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是
．
【答案】
【分析】依据对立事件的概率及独立事件性质得到三个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率.
【详解】设事件
“甲猜对”，事件
“乙猜对”，事件
“丙猜对”，由题意，得
，解得
，
故乙、丙都猜对的概率为
．
故答案为：
.
题型4 全概率公式及其应用
例4-1
生物的性状是由遗传因子决定的．每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状
的为显性遗传因子，用大写字母（如D）来表示；决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如d）
来表示．如图，在孟德尔豌豆试验中，
的基因型为Dd，子二代
的基因型为DD，Dd，dd，且这三种
基因型的比为
.如果在子二代中任意选取2 颗豌豆进行杂交试验，则子三代（
）中高茎的概率为
．
【答案】
/0.75
【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可.
【详解】子二代基因配型有6 种情况，分别记为事件
,
“子三代基因型为高茎”记为事件
，则
事件
配型
.
故答案为：
例4-2 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有
的学生每天玩手机超过1h，这些人
近视率约为80%，其余学生的近视率约为50%，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是
.
【答案】
【分析】由全概率公式代入数据求解即可.
【详解】设事件A 为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B 为“任意调查一名学生，该学生
近视”，
则
，
，
，
，
∴
.
故答案为：
方法技巧 全概率公式计算
全概率公式
在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的
概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
【变式训练4-1】在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角
色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏
后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，
0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为 ．
【答案】0.26/
【分析】由全概率公式计算求解.
【详解】设事件
“玩家触发神秘宝藏”，事件
“玩家选择战士”，事件
“玩家选择法师”，
事件
“玩家选择猎人”，
根据题意，有
，
根据全概率公式，得
，
因此，随机选择一名玩家，该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为0.26．
故答案为: 0.26
【变式训练4-2】
设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
.
【答案】
/0.5
【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式列出方程求解.
【详解】由
，得
；由
，得
，而
，
由
，得
，
即
，解得
.
故答案为：
【变式训练4-3】在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0 或
1 有可能被错误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.8 和0.2；发送信号1
时，接收为1 和0 的概率分别为0.9 和0.1．假设发送信号0 和1 是等可能的，则接收信号为1 的概率是
．
【答案】0.55
【分析】由条件概率和全概率公式计算.
【详解】设
“发送的信号为0”，
“接收到的信号为0”，则
“发送的信号为1”，
“接收
到的信号为1”．由题意得
，
，
，
，
，
．
故选：0.55.
题型5 贝叶斯公式及其应用
例5-1 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为
四个外观相同的空箱子中随机选择一
个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打
开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知
甲先选择了号箱子，则在主持人打开
号箱子的情况下，奖品在
号箱子的概率为 .
【答案】
【分析】用
表示号箱有奖品，用
表示主持人打开号箱子，根据条件求出
，
，
，
，利用全概率公式，即可求解
，再利用贝叶斯
公式，即可求解
.
【详解】用
表示号箱有奖品，用
表示主持人打开号箱子，
由题知
，
，
，
又
，
所以
，
又
.
故答案为：
.
例5-2 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一
人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲
每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是
甲、乙的概率各为
.已知在第2 次投篮的人是乙的情况下，第1 次投篮的人是甲的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意，设第
次是甲投篮为事件
，投篮命中为事件
，再利用贝叶斯公式和条件概率
公式计算即可.
【详解】设第
次是甲投篮为事件
，投篮命中为事件
，
所以
，
，
，
则
，
，
所以第2 次投篮人是甲的概率为
，
在第2 次投篮的人是乙的情况下，第1 次投篮的人是甲的概率为
．
故答案为：
.
方法技巧 贝叶斯公式计算
贝叶斯概率公式反映了条件概率
，全概率公式
及乘法公式
之间的关系，即
．
【变式训练5-1】假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的
，
，
，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格
率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试
剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为 .
【答案】0.5/
【分析】根据全概率公式求出事件“任取一个试剂，其纯度不合格”的概率，再利用贝叶斯概率公式即可
求解.
【详解】记甲、乙、丙分别为第1，2，3 个实验室，
为事件“化学试剂为第
个实验室制
备”，则
，
，
，
记
为事件“任取一个试剂，其纯度不合格”，故由全概率公式得
，
由贝叶斯概率公式得
.
故答案为：0.5.
【变式训练5-2】科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单
一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每
天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性
训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为 ；在大文已经
出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为 .
【答案】
【分析】先设事件再利用全概率公式和贝叶斯公式即可计算求解；
【详解】设大文进行有氧运动为事件
，进行力量训练为事件
，
进行平衡性训练为事件
，大文出现运动损伤为事件
，
由题意知
，
，
，
，
，
.
由全概率公式知
.
由贝叶斯公式知，
，
故答案为：
；
.
【变式训练5-3】某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每
次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情
况如何，甲每次投篮的命中率均为
，乙每次投篮的命中率均为
.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次
投篮的人是甲、乙的概率各为
.第2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2 次投篮的人是乙的情况
下，第1 次投篮的人是甲的概率为 .
【答案】
【分析】设第
次是甲投篮为事件
，投篮命中为事件
，根据已知及条件概率，应用全概率公式、
条件概率公式求
、
.
【详解】设第
次是甲投篮为事件
，投篮命中为事件
，
所以
，
，
，则
，
，
所以第2 次投篮人是甲的概率为
，
在第2 次投篮的人是乙的情况下，第1 次投篮的人是甲的概率为
.
故答案为：
；
.
题型6 全概率公式与贝叶斯公式综合
例6-1
飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部
门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为
0.8，0.7，0.75，0.9.求：
(1)首先应该搜索哪个区域？
(2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？
【答案】(1)丙区域
(2)飞机落入甲区域的概率为
，落入乙区域的概率为
，落入丙区域的概率为
，落入丁区域的概率为
【分析】（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解；
（2）设事件A 为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件
为“飞机坠落在甲区域”，事件
为“飞机
坠落在乙区域”，事件
为“飞机坠落在丙区域”，事件
为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及
贝叶斯公式逐个计算即可.
【详解】（1）应首先搜索丙区域.
理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为
；
搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为
；
搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为
；
搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为
.
故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大.
（2）设事件A 为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件
为“飞机坠落在甲区域”，事件
为“飞机
坠落在乙区域”，事件
为“飞机坠落在丙区域”，事件
为“飞机坠落在丁区域”，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
所以
.
同理
，
，
.
所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为
，落入乙区域的概率为
，落入丙区域
的概率为
，落入丁区域的概率为
.
例6-2
春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了
流感，这三个地区分别有
的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为
，现从这三个
地区中任意选取一个人．
(1)求这个人患流感的概率；
(2)设
是一组两两互斥的事件，
，且
，对任意的事件
，证明：
；
(3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)此人来自甲地区的可能性最小
【分析】（1）应用全概率公式计算求解；
（2）应用条件概率公式计算证明；
（3）应用贝叶斯公式计算求解.
【详解】（1）设
“选取的人患流感”，用
，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区，
则
，
所以
由全概率公式得
（2）根据乘法公式
条件概率得
所以
；
（3）由（2）知：
，
，
，
所以
，
答：此人来自甲地区的可能性最小
方法技巧 全概率公式与贝叶斯公式区别
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如
果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已
知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式．
【变式训练6-1】假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush 喜欢你的概率是25%；如果ta 喜欢你，第
一次能约出来的概率是70%；如果ta 不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%.
(1)如果第一次能约出来，ta 有多大可能喜欢你呢？
(2)如果第一次约会后crush 喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta 不喜欢你，则第二次能约出
来的概率为5%.如果crush 连着两次都能约出来，ta 有多大可能喜欢你呢？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果.
（2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果.
【详解】（1）设事件A 为“ta 喜欢你”，事件B 为“第一次能约出来”，则
又因为ta 喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta 不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故
,
根据全概率公式可得
,
则根据贝叶斯公式：
,
（2）设事件C 为“第二次能约出来”,设事件D 为“crush 连着两次都能约出来”，
因为第一次约会后crush 喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta 不喜欢你，则第二次能约出来
的概率为5%.故
,
根据全概率事件
,
而事件
,则
,
,
根据全概率公式：
,
根据贝叶斯公式：
.
【变式训练6-2】现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1 号球，一个2 号球与一个3
号球；Ⅱ号袋内装有两个1 号球与一个3 号球；Ⅲ号袋内装有三个1 号球与两个2 号球.第一次先从Ⅰ号袋
内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)求第二次取1 号球的概率；
(2)若第二次取到1 号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由古典概型的概率计算，利用全概率公式，可得答案；
（2）利用条件概率，可得答案.
【详解】（1）记事件
表示第一次取到i 号球，
，
表示第二次取到1 号球，
依题意
，
，
两两互斥，其和为Ω，并且
，
，
，
，
，
应用全概率公式，有
.
（2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同.
则
.
【变式训练6-3】已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、
乙两个厂家提供的零件份额比为
，零件的优质品率分别为0.9 和0.8.
(1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率；
(2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质
品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件
:“零件由甲厂提供”，事件
:“零件由乙厂提供”，事件
为“零件为非优质
品”，根据题意，求得
，
，结合全概率公式，即可求解；
（2）解：设事件
为“非优质品零件可修复为优质品零件”，
方法一，根据题意，求得
，
，进而得到
结合条件概率的计
算公式，即可求解；
方法二 ，根据题意，求得
，
，利用贝叶斯公式，得到
和
，再利用全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：设事件
:“零件由甲厂提供”，事件
:“零件由乙厂提供”，事件
为“零件为非优质
品”,
根据题意，可得
，
，
，
故
，
，
由全概率公式，得
，
所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14.
（2）解：设事件
为“非优质品零件可修复为优质品零件”，
方法一 由已知，得
，
，
故
，
，
所以
，
所以
.
所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为
.
方法二 由已知，得
，
，
由贝叶斯公式，得
，
同理，
，
故
，
所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为
.
1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为
，事件B 发生的概率
为
，则事件
发生的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】根据独立事件的概率公式可求
.
【详解】因为
相互独立，故
，
故选：B.
2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有
3 种题库，
题库有5000 道题，
题库有
4000 道题，
题库有3000 道题．小申已完成所有题，已知小申完成
题库的正确率是0.92，
题库的正
确率是0.86，
题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知，
题库的比例为：
，
各占比分别为
，
则根据全概率公式知所求正确率
．
故答案为：0.85．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年
龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)
岁；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，根据对立事件的概率公式
即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设
“一人患这种疾病的年龄在区间
”，所以
．
（3）设
“任选一人年龄位于区间[40,50)”，
“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，此人患这种疾病的概率为
．
1．掷两枚质地均匀的骰子，设
“第一枚出现偶数点”，
“第二枚出现奇数点”，则
与
的关系
为（ ）
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．相等
【答案】C
【分析】根据事件的定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果.
【详解】对于AB，
，即事件
与
可以同时发生，
与
不是互斥、对立事件，AB 错误；
对于C，
，
，
，
，
与
相互独立，C 正确；
对于D，
与
不是同一事件，
与
不相等，D 错误.
故选：C.
2．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第1 枚正面朝上”，事件
“第2 枚正面朝上”，事件
“2 枚硬币朝上的面相同”，
中哪两个相互独立？
【答案】A 与B，A 与C，B 与C 都相互独立
【解析】分别计算出
,进而求得
.由独立事件概率性质即可判断
中哪两个相互独立.
【详解】可求
所以
由独立事件概率性质可知A 与B,A 与C,B 与C 都相互独立.
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题.
3．在
、
、
三个地区爆发了流感，这三个地区分别有
、
、
的人患了流感假设这三个地区的
人口数的比为
，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自
地区的概率.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）记事件
选取的这个人患了流感，记事件
此人来自
地区，记事件
此人来自
地
区，记事件
此人来自
地区，
则
，且
、
、
彼此互斥，
由题意可得
，
，
，
，
，
，
由全概率公式可得
；
（2）由条件概率公式可得
.
4．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
、
、
，其中
为显性基因，
为隐性基因，且这三
种基因型的比为
.如果在子二代中任意选取
颗豌豆作为父本母本杂交，那么子三代中基因型为
的
概率是多大？
【答案】
【分析】记事件
子三代中基因型为
，记事件
选择的是
、
，记事件
选择的是
、
，
记事件
选择的是
、
，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件
子三代中基因型为
，记事件
选择的是
、
，记事件
选择的是
、
，
记事件
选择的是
、
，
则
，
，
.
在子二代中任取
颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是
、
，则子三代中基因型为
的概率为
；
②若选择的是
、
，则子三代中基因型为
的概率为
；
③若选择的是
、
，则子三代中基因型为
的概率为
.
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为
的概率是
.
5．在数字通信中心信号是由数字0 和1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错
误地接收为1 或0．已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为0.9 和0.1；发送信号1 时，接收为1 和
0 的概率分别为0.95 和0.05．假设发送信号0 和1 是等可能的．
(1)分别求接收的信号为0 和1 的概率；
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1 的概率．
【答案】(1)0.475，0.525
(2)
【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算．
（2）由条件概率公式计算．
【详解】（1）设
“发送的信号为0”，
“接收到的信号为0”，则
“发送的信号为1”，
“接
收到的信号为1”．由题意得
，
，
，
，
．
；
．
（2）
．
