文档文本内容
第01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01
考情解码·命题预警
2
02 核心突破·靶向攻坚..............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..............................................................................................................................4
知能解码.............................................................................................................................................4
知识点1 空间几何体的分类及结构特征....................................................................................................4
知识点2 立体几何的直观图.........................................................................................................................5
知识点3 侧面积和表面积公式.....................................................................................................................6
知识点4 体积公式..........................................................................................................................................7
题型破译.............................................................................................................................................7
题型1 基本立体图形的特征.........................................................................................................................7
题型2 立体几何的直观图.............................................................................................................................8
【方法技巧】直观图的注意事项
题型3 立体图形的展开图...........................................................................................................................10
题型4 最短路径问题...................................................................................................................................10
【方法技巧】最短路径问题的处理方法
题型5 多面体的表面积
.......................................................................................................................12
题型6 旋转体的表面积
.......................................................................................................................13
题型7 立体图形的体积（公式法、割补法）
..................................................................................13
题型8 立体图形的体积（等体积法）
..............................................................................................15
【方法技巧】等体积法
题型9 表面积、体积的最值问题
.......................................................................................................15
04 真题溯源・考向感知..........................................................................................................................16
05 课本典例·高考素材............................................................................................................................17
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）柱、锥、台体及
简单组合体的结构特征
（2）表面积和体积的
计算公式
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷T14（5
分）
上海卷T7 （5
分）、T18 （14
分）
全国甲卷T14（5 分）
全国Ⅰ卷T5（5 分）
全国II 卷T7（5 分）
上海卷T17（14 分）
北京卷T14（5 分）
全国甲卷（文）T10（5
分）
全国乙卷（理）T8 （5
分）
全国乙卷（文）T19（12
分）
全国I 卷T12（5 分）、
T14（5 分）
全国 II 卷T14（5 分）
考情分析：
该专题是新高考卷中的常考内容。题型多为选择题、填空题，偶尔作为解答题的一部分，分值约 5 分。难度
整体不大，主要考查柱、锥、台、球及简单组合体的表面积和体积计算公式，重点关注多面体和球体相关计算。
该专题命题稳定，突出对直观想象和逻辑推理素养的考查。有时会涉及体积最值问题，常用函数思想或基本
不等式求解，难度中等偏大。也可能考查与球有关的切、接问题，对空间想象能力要求较高。
复习目标：
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征
描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
知识点1 空间几何体的分类及结构特征
1.多面体
定义
图形
结构特征
棱
柱
一般地，有两个面互相平
行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公
共边都互相平行，由这些面
所围成的多面体
①有两个面互相__________；
②各侧棱都互相__________，
各侧面都是__________
棱
锥
一般地，有一个面是多边
形，其余各面都是有一个公
共顶点的三角形，由这些面
所围成的多面体
①有一个面是多边形；
②其余各面都是有一个
__________的三角形．
棱
台
用一个平行于棱锥底面的平
面去截棱锥，底面与截面之
间的部分
①上底面与下底面是互相
__________的相似多边形；
②侧面都是__________；
③侧棱__________必交于一点
2.旋转体
定义
图形及表示
结构特征
圆
柱
以矩形的一边所在直线为旋
转轴，其余三边旋转形成的
面所围成的旋转体
①圆柱有无数条母线，它们
__________且__________．
②平行于底面的截面是与底面
大小相同的圆．
③圆柱的任何一条母线都平行
于圆柱的轴．
圆
锥
以直角三角形的一条直角边
所在直线为旋转轴，其余两
边旋转形成的面所围成的旋
转体
①圆锥有无数条母线，它们有
公共点即圆锥的__________，
且长度__________．
②平行于底面的截面都是圆．
③过任意两条母线的截面是
__________．
圆
台
用平行于圆锥底面的平面去
截圆锥，底面与截面之间的
部分
①圆台有无数条母线，且它们
相等，__________后相交于一
点．
②平行于底面的截面是圆．
③过轴的截面是全等的
__________．
④过任意两条母线的截面是等
腰梯形．
球
以半圆的直径所在直线为旋
转轴，半圆面旋转一周形成
的旋转体
球是旋转体，球的表面是旋转
形成的曲面，球是球面及其内
部空间组成的几何体．
3.组合体
由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体__________或__________一
部分而成
自主检测（多选）下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
知识点2 立体几何的直观图
1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
第一步
在已知图形中取互相垂直的
轴和
轴，两轴相交于点
.
画直观图时，把它们画成对应的
轴和
轴，两轴相交于点
，且使
__________(或__________)，它们确定的平面表示水平面.
第二步
已知图形中平行于
轴或
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
轴或
轴的线段
第三步
已知图形中平行于
轴的线段，在直观图中保持原长度__________，
平行于
轴的线段，长度为原来的__________
强调注意：
“斜”是指在已知图形的
平面内与
轴垂直的线段，在直观图中均与
轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于
轴的线段长度不变；平行于
轴的线段长度变
为原来的一半．
2.直观图的面积与原图面积之间的关系
①原图面积是直观图面积的__________倍；②直观图面积是原图面积的__________倍.
自主检测用斜二测画法画出平面四边形
的直观图为菱形
，如图所示，其中
，
，则四边形
的面积为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
知识点3 侧面积和表面积公式
几何体
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
棱柱
__________(c 为底面周长)
棱锥
(c 为底面周长)
棱台
__________
(
分别为上、下底面周长)
圆柱
__________
圆锥
圆台
__________
球
__________
自主检测底面边长为2，高为
的正四棱锥的侧面积为 ．
知识点4 体积公式
几何体
体积公式
柱
(S 为底面面积，h 为高)
锥
__________ (S 为底面面积，h 为高)
台
__________ (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，
球
__________ (
为球的半径)
自主检测已知正三棱台的上、下底面的边长分别为，
，体积为
，则其侧棱的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 基本立体图形的特征
【例1】下列关于七棱柱的判断正确的是（ ）
A．七棱柱共有七个顶点
B．七棱柱共有八个面
C．七棱柱共有十四条棱
D．七棱柱共有九个面
【例2】如图，长方体
被截去一小部分，其中
，则截去的几何体
是（ ）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．三棱台
D．五棱柱
【变式1-1】下列说法正确的个数为（ ）
①一个八棱柱有10 个面；②任意
面体都可以分割成
个棱锥；③棱台侧棱的延长线必交于一点；④矩形
旋转一周一定形成一个圆柱．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-2·变考法】如图，在透明塑料制成的长方体
容器中灌进一些水，将容器底面一边
置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，其中正确的命题序号是 ．
①水的形状成棱柱形； ②当容器倾斜如（2）时，水的形状成棱台；
③水面
始终为矩形． ④水面
的面积不变．
题型2 立体几何的直观图
【例3】如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画法画出的直观图，其中
，
，则原四边形
的周长为（ ）
A．12
B．28
C．
D．20
【例4】如图，
是
用“斜二测画法”画出的直观图，
，
，
，则
的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 直观图的注意事项
平面多边形的直观图中的计算需注意两点：
（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x 轴距离的
；
（2）直观图面积是原图面积的
倍.
【变式2-1】如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的直观图，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的周长为5
D．四边形
的面积为3
【变式2-2】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，
轴，
轴，
，
，则
的原图形的面积为 ．
【变式2-3】如图，
是由斜二测画法得到的水平放置的
的直观图，其中
，那么原平面图形中，OA 边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 立体图形的展开图
【例5】下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式3-1】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
【变式3-2】（多选）用一张长为，宽为
的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】若一个几何体的平面展开图如图所示．
（1）该几何体是 ；
（2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ．
题型4 最短路径问题
【例7】圆台上底半径为
，下底半径为
，母线
，
在上底面上，
在下底面上，从
中点
拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短时长为（ ）
A．10cm
B．25cm
C．50cm
D．
cm
【例8】某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥
，其中S 为山顶，A，B，C 为山脚，经测量
，
．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A 处出发，绕山地修建一条
宽的山路，并最终从另一侧返回A 处，预计该山路的面积的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
方法技巧 最短路径问题的处理方法
求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，
使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．
【变式4-1】如图，正三棱锥
中，
，侧棱长为4，过点C 的平面与侧棱AB，AD 相交
于
，则
的周长的最小值为 ．
【变式4-2】如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为
的正
，粮堆母线
的中点
处有一老
鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在
处，它要沿圆锥侧面到达
处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是
.
【变式4-3】如图所示，圆台母线AB 长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB 的中点M
拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．
(1)求这条绳长的最小值；
(2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离．
题型5 多面体的表面积
【例9】已知正方体
的棱长为2，过点
，B，C 的平面把该正方体分割成两个几何体，
则这两个几何体的表面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】（ 2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒
尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.
如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的
正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的
正切值为
，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】现有一块棱长为4 的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，
若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知正六棱锥
底边
，体积为
则该正六棱锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2 倍，则此正四棱锥的体积为 .
【变式5-4】已知正四棱台的高为
，上、下底面边长分别为2 和4，其顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为 ．
题型6 旋转体的表面积
【例11】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】若圆台的轴截面是底角为
的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其中将轴截面为等腰直角三角形的
圆锥称为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积是它的体积的
倍，则该直角圆锥的母线长为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式6-2】已知圆台的上、下底面面积分别为
和
，其侧面积为
，则圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，S 是圆锥顶点，
，
是底面圆周上两点，且
，若
的面积为
，则该圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2 倍，则球的体
积与圆柱的体积的比值是 ．
题型7 立体图形的体积（公式法、割补法）
【例13】我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正
方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28 升（一开为一立方分米），上底边长为4 分米，下底边长为2
分米，则该方斗的表面积为 平方分米．
【例14】如图1，在直角梯形ABCD 中,
,
,
,
,
,E 为线段BC 上的一点,
,过E 作AB 的平行线交AD 于F,将矩形ABEF 翻折至与梯形ECDF 垂直得到六面体ABCDFE,如图2,
则六面体ABCDFE 的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4 和6，则该圆台的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】如图，在正方体
中，
为线段
的中点，过点
的平面把正方体
分成体积为
的两个几何体，则
．
【变式7-3】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看
作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为
则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为
.
【变式7-4】已知
中，
，将顶点
绕棱AB 旋转到
，当
时，三棱锥
的体积为 .
题型8 立体图形的体积（等体积法）
【例15】如图，各棱长均为2 的直三棱柱
中，D 为
的中点，点
到平面
的距离为
（ ）．
A．
B．2
C．
D．
【例16】正方体
中，
是AB 的中点，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 等体积法
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采
用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一
种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
【变式8-1】棱长为2 的正方体
中，E，F 分别是
的中点，则点
到平面
的
距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】在正方体
中，三棱锥
的体积为9，则正方体
的棱
长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
题型9 表面积、体积的最值问题
【例17】（ 2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥
的体积为
，则PA 的最小值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【例18】高中某DIY 社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥
的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为
cm，则该正四棱柱侧面积的最
大值为 cm².
【变式9-1】已知三棱锥
的四个顶点满足：
，
分别是圆柱
的上，下底面的两条直径，
且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为
的圆柱，则此圆柱侧面
积的最大值为
【变式9-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵
中，
，
，则堑堵
体积的最大值为 .
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台
的体积为 ．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为
,下底面半径均为
，圆台的母线长分
别为
,
，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
7．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
．
8．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱
中，
，则该正四棱柱的
体积为 ．
1．如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A．
B．
C．
D．
2．如图，以
的一边AB 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几
何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.
3．一个菱形的边长为4cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法
画出这个菱形的直观图。
4．若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm 和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
5．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正
方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
6．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm 的水槽中装有200000
的水，现放入一个直径为50cm 的
木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
