文档文本内容
空间向量与立体几何
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
空间向量
与立体几
何
2024 全国新高考
I 卷5、17
2024 全国新高考
Ⅱ卷7、17
2023 全国新高考
I 卷12、14、18
2023 全国新高考
Ⅱ卷9、14、20
2022 全国新高考
I 卷4、8、19
2022 全国新高考
Ⅱ卷7、11、20
关于空间向量与立体几何的考查，题量维持
在2-3 道，必有一道主观题.应注意以下几个
方面的问题：
1.几何体的结构特征及面积、体积的计算；
2.多面体、旋转体与球的切、接问题，综合
考查几何体结构特征、面积或体积的计算，
以及线面关系的应用；
3.空间点线面位置关系的判断，包括各种角
的简单计算；
4.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线
面或面面关系，求线面角的函数值；
5.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线
面或面面关系，求二面角的函数值；
6.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线
面或面面关系，根据线面角或二面角求其它
量；
7.适当注意距离的计算问题.
空间几何体点线面位置关系
以及夹角问题，表面积体积
以及圆锥对应面积的运算一
直是高考的热门考点，要加
以重视，另外台体的表面积
体积应该重点复习
几何体内切球外接球问题是
高考立体几何中的难点，近
两年考查比较少，但是应掌
握长常规的空间几何体的外
接球内切球的简单技巧
空间几何体容易与其他知识
点相结合构成新的情景类问
题也是近年来高考新改革的
一个重要方向
题型一 旋转体的结构特征，表面积与体积
1．（2025 高三·全国·专题练习）底面半径为3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高
为1 的圆锥，所得圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·福建莆田·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为
，
则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为
，则此圆台的表面积与
其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2 倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（
）
A．
B．
C．
D．2
6．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2 和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，
则这个球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的
绝对值为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
8．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为
的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二 多面体的结构特征，表面积与体积
1．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为
，下底面边长为
，侧棱
长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3 倍，则第二
个正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知正四棱台
，
，
分别是棱
，
的中点，平面
将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）在正四棱锥
中，
，二面角
的大小为
，则该
四棱锥的体积为（ ）
A．4
B．
C．1
D．
4．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是
.
5．（2025·湖南邵阳·二模）已知正六棱锥的高为
，它的外接球的表面积是
．若在此正六棱锥内放一
个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ．
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知正三棱台
中，
，
，侧棱
，则该
棱台的体积为 ．
7．（2025 高一·全国·专题练习）四面体
的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过点E 作其外接球的截面，
则截面面积的最小值是 .
8．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱
中，
分别为侧棱
上的点，且
，
过
的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ）
A．2
B．
C．
D．
9．（24-25 高三下·河北邢台·阶段练习）（多选）如图，在正三棱柱
中，
，
，
是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
与平面
成
角B．若
，则平面
平面
C．若
，则
D．若
，则三棱柱有内切球
10．（24-25 高三下·天津蓟州·开学考试）在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是BC，
的中点，
在线段
上，则下面说法中不正确的是（ ）
A．
平面
B．直线EF 与平面ABC 所成角的余弦值为
C．直三棱柱
的外接球半径为
D．直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为
11．（2025·江苏·模拟预测）（多选）六氟化硫（
）分子结构为正八面体（可看作是将两个棱长均相等
的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图，正八面体
的棱长为
，下列说法中正确的有
（ ）
A．异面直线AE 与BF 所成的角为45°
B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为
C．若点P 为棱
上的动点，则
的最小值为
D．若点
为四边形
的中心，点
为此八面体表面上动点，且
，则动点
的轨迹长度为
题型三 几何体与球的切接问题
1．（2025 高一·全国·专题练习）在四棱锥
中，
平面
，
，且二面角
的大小为
，
．若点
均在球O 的表面上，则球O 的体积的最小值为
.
2．（2025·黑龙江·一模）已知正四棱柱
的所有顶点均在球
的球面上，若该四棱柱的体
积为1，则球
的表面积的最小值为 ．
3．（24-25 高二下·广东阳江·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为
，若该正三棱柱的外接
球的体积为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知棱长为
的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平
面的交线都为一个面积为
的圆，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川广安·二模）已知正方形
的中心为
，
，现将其沿对角线
翻折，使得
在
面
内的射影为
的中点，且
，
，
，再将
绕直线
旋转
一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为 .
6．（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为
，且该圆锥内切球（球与圆锥的
底面和侧面均相切）的半径为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上
盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）四棱锥
的底面
为正方形，
平面
，且
，
．四棱锥
的各个顶点均在球O 的表面上，
，
，则该四棱锥外接球
半径为 ；直线l 与平面
所成夹角的范围为 ．
题型四 空间中的角度问题（小题）
1．（2025·宁夏石嘴山·一模）正四棱台
的体积为
，
，
，则直线AB1与
直线BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·上海·阶段练习）在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，则点
到平面
的距离等于 .
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
是圆锥的顶点，
是底面圆的直径，
是底面圆周上一点，
是
线段
的中点，
，则
．
4．（24-25 高二下·全国·开学考试）如图．在二面角
中，
，
，
，
，
，
，且
，
，则二面角
的大小为 ．
5．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，D，E，F 分别是棱
，BC，
的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为
．
6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷
中，
，其体积为
，E，F 分别为AB，BC 的中点，则异面直线
所成角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥
底面边长为2，其内切球的表面积为
，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五 立体几何开放题
1．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左
右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些
建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，
高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（ ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺）
A．1265.5
B．1897.5
C．2846.5
D．3795.5
2．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不
容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截.
如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图（1），其横
截面为圆面，最大纵截面是由曲线
与两直线
围成的平面区域，如图（2），
根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）利用祖暅原理，可以计算抛物体的体积：在
坐标系中，设抛物线
的
方程为
，将曲线
围绕
轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得
该抛物体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二上·辽宁·期中）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角
度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为
，则其各个顶点的曲率均为
.若正四棱锥
的侧面与底面所成角的正切值为
，则四棱锥
在顶点处的
曲率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·江西景德镇·阶段练习）攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的
建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为6m，高为4m，则该屋顶的面积约
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是
的几何体，左边是圆柱挖去
一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面
的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为
，截得半球的截面面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系不确定
7．（23-24 高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为
，
高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，
则得到的圆柱体的最大侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一下·北京东城·阶段练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理
坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其
中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30°，若
将地球看成近似球体，其半径约为
，则北纬30°纬线的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，
潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：
），那
么该壶的容积约为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·云南·模拟预测）我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱
台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28 升（一升为一立方分米），上底边长为4
分米，下底边长为2 分米，则该方斗的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六 空间位置关系的证明与线面角（解答题）
1．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）如图，在多面体
中，
为正三角形，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
分别为
与
的重心.
(1)求证：
，且平面
平面
；
(2)若
，
，直线
与平面
所成的角为
，求
到平面
的距离.
2．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）如图，在多面体
中，
为正三角形，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
分别为
与
的重心.
(1)求证：
，且平面
平面
；
(2)若
，
，直线
与平面
所成的角为
，求
到平面
的距离.
3．（2025·湖北武汉·一模）已知四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
，
，
，
.
(1)求三棱锥
外接球的表面积.
(2)设
为线段
上的点.
（i）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
（ii）平面
过点
，
，且
平面
，探究：是否存在点
，使得平面
与平面
之间所成角的正
切值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
4．（24-25 高三下·甘肃白银·开学考试）如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
为线段
上一点．
(1)求证：
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
5．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在三棱柱
中，
，
，
(1)求证：
；
(2)侧棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，确定点
的位
置；若不存在，说明理由.
6．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，
与
相交于点
，点
在
上，且
，
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)点
是线段
上的一动点，是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，
指出点
的位置；若不存在，请说明理由.
7．（2025 高三·全国·专题练习）如图，平面四边形
中，点
是线段
上一点，
，
，
沿着
将
折叠得到四棱锥
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)若
，且
，
，折叠后
．
①求平面
与平面
夹角的余弦值的最大值．
②若三棱锥
的四个顶点均在以
为球心的球上，试问三棱锥
的外接球的体积是否存在最
小值？若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
8．（2025·河南焦作·二模）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所
组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫
做球面三角形的一个内角.如图（1），球
的半径
为球
的球面上的四点.
(1)若球面三角形
的三条边长均为
，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球
的内接三棱锥
中，
平面
，直线
与平面
所成
的角为
.
（i）若
分别为直线
上的动点，求线段
长度的最小值；
（ii）如图（2），若
分别为线段
的中点，
为线段
上一点（与点
不重合），当平面
与平面
夹角的余弦值最大时，求线段
的长.
