文档文本内容
【循环
组合
数列
v s
概率与统计
v s
立体几何】
训练专项01：数列+概率与统计+立体几何 训练专项02：概率与统计+立体几何+数列
训练专项03：立体几何+数列+概率与统计 训练专项04：数列+立体几何+概率与统计
训练专项05：概率与统计+数列+立体几何 训练专项06：立体几何+概率与统计+数列
■→训练专项01 数列+概率与统计+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·广东广州高三下综合测试，13 分，★★]已知数列
的首项
，且满足
．
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）若数列
的前
项和
小于120，求
的最大值．
【解析】（1）令
，则
，于是
，结合已知有
，
所以
，即
．
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．
即数列
为等比数列．
（2）由（1）知，
，则
，
必刷小卷4 解答题强化练[4] 15+16+17 43 分练
则
，
令
，整理得
，而
在
上单调递增，
且
，
所以
，
的最大值为
．
16．[2026·西安第八十五中学一模，15 分，★★]随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步
取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟
角色直播带货后18 个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据
，其中
和
分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得
，
.
（1）求样本
的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额
（单位：万元）和月
份编号
是否线性相关（当
时，即可认为线性相关）；
（2）已知这18 个月中有10 个月的销售金额高于平均数，从这18 个月中随机抽取2 个月的销售金额，
记抽到销售金额高于平均数的月份数为
，求随机变量
的分布列．
附：相关系数
．
【解析】（1）样本
的相关系数为：
由于相关系数
，故销售金额
（单位：万元）和月份编号
具有很强的正相关性；
（2）由题意得：
的可能取值为0，1，2，18 个月中有10 个月的销售金额高于平均数，
所以
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
17．[2026·西南大学附属中学3 月检测，15 分，★★]如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，平面
平面
．
（1）求证：
；
（2）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）取
的中点
，连接
，如图所示：
因为
，所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，由
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
.
（2）由
平面
，
，
所以以点
为坐标原点，
分别为
轴，过点
平行于
的所在直线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知
平面
，
平面
,
所以
，所以
为二面角
的平面角，
又二面角
的大小为
，所以
，又
的中点为
，
，所以
，
在直角三角形
中，
，
所以
，则
，
设点
，由
，所以
，①则
，又
，
所以有
，②
又
，即
，③
联立①②③解得：
，所以
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，由
，
令
，则
，所以
，设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
■→训练专项02 概率与统计+立体几何+数列
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·河南五市第一次质量检测，13 分，★★]某小区物业为提高服务质量，随机调查了100 名男
业主和100 名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
是否满意性别
满意
不满意
合计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
（1）依据
的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
（2）从小区的业主中任选一人，
表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，
表示事件“选到的
人为男业主”，利用该调查数据，给出
，
的估计值．
附：
．
0.05
0.01
0.00
5
3.84
1
6.63
5
7.87
9
【解析】（1）假设
：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异．
因为
，
依据
的独立性检验，所以假设
不成立，
即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．
（2）由题意，
，
，
,
,
则
，
．
16．[2026·四川成都第二次模拟测试，15 分，★★]如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
侧面PAD 为正三角形，侧面
底面ABCD，M 是PD 的中点．
（1）求证：
；
（2）求平面MAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
【解析】（1）因为底面
为正方形，所以
，
又侧面
底面
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
.又
平面
，故
.
因为侧面
为正三角形，
是
的中点，所以
.
又
，
平面
，
，所以
平面
.
又
平面
，所以
.
（2）不妨设
，以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
，
轴，
过
点垂直于平面
的直线
为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则由题设可得
，
，
，
，
.
因为
底面
，得平面
的一个法向量
；
设
是平面
的法向量，则
，
即
，可得平面
的一个法向量
，
则
.
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
17．[2026·湖北孝感楚天协作体3 月联考，15 分，★★★]已知数列
的前项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前
项和为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，即：
．①
当
时，
，又
，所以
．
当
时，
，②
由①－②整理得：
．整理得
，
由累乘法得：
，
代入比值：
，
当
时，
，符合上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）当为偶数时，
，
所以
，为偶数
，由
恒成立，得
，
是偶数，当
时，
有最小值
，所以
；
当为奇数时，
为偶数，
，
所以
，为奇数，
由
恒成立，得
，
又
在
上单调递增，
所以当
时，
有最小值1，所以
．
综上，实数
的取值范围是
■→训练专项03 立体几何+数列+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·甘肃陇南二诊，13 分，★★]如图，在直三棱柱
中，
，
，
D，E，F 分别为棱
，
，
的中点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）过
作平面
的平行平面
，平面
将直三棱柱
截成两部分，其中较大部分体积为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）因为
是直三棱柱，所以
，因为
，所以
，
又
且
，
平面
，所以
平面
，
又
，
分别为棱
，
的中点，所以
，所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）根据面面平行的判定定理作出平面
，如图所示，
平面
与直三棱柱
的截面即为平面
，
显然，平面
将直三棱柱
分成体积比为
的两部分，
所以
，
设
，则
，所以
.
以
为原点，棱
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，令
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
16. [2026·浙江宁波3 月质检，15 分，★★]已知等差数列
的公差
，
是
，
的等比中
项，且
.
（1）求
的通项公式；
（2）给定正整数m，设函数
，求
.
【解析】（1）因为
是
，
的等比中项，所以
，
即
，整理得
，又
，所以
.①
因为
，所以
，即
，即
.②
由①②得
，
，
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
，
所以
.
17． [2026·广东广州高三下综合检测，15 分，★★★]甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标
进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为
（
），乙每次射击命中目标的概率均为
（
），各次射击结果互不影响．
（1）若甲先射击，甲第2 次射击且获胜的概率为
，求
（用
，
表示）；
（2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求
的最小值．
参考公式：若
，则
．
【解析】（1）甲第2 次射击且获胜，即甲第1 次未命中，乙第1 次未命中，甲第2 次命中.
所以
.
（2）设乙先射击并获胜的概率为
，甲获胜的概率为
.
乙获胜的情况为：
乙第1 次射击并命中，概率为
；
第1 轮甲乙均未命中，乙第2 次射击并命中，概率为
；
第2 轮甲乙均未命中，乙第3 次射击并命中，概率为
；
第
轮甲乙均未命中，乙第
次射击并命中，概率为
；
这是一个首项为
，公比为
的无穷等比数列，所以
.
甲获胜的情况为：
第1 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第2 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第3 轮乙未命中，甲命中，概率为
；
第
轮乙未命中，甲命中，概率为
；
这是一个首项为
，公比为
的无穷等比数列，所以
.
由题意知，
恒成立，即
恒成立，
因为
，
，所以
，
所以
恒成立，即
.
因为
，所以
，
，所以
.
所以
的最小值为
.
■→训练专项04 数列+立体几何+概率与统计
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·湖北武汉3 月调研，13 分，★★]在数列
中，
，
，
，且
是
等差数列.
（1）求
；
（2）证明：
.
【解析】（1）设
，则
，
因为
是等差数列，即
是等差数列，
则有
，即
，解得
.
（2）由（1）知，
，则
的公差为2，首项为6，
则
，即
，
当
时，
将各式相加，得
，
即
，即
，而
满足上式，
因此
，
，
则
，
因为
，则
，则
，得证.
16．[2026·广西南宁第二次适应性测试，15 分，★★]在如图所示的几何体中，四边形
是边长为
4 的菱形，
，
平面
，
，且
．
（1）证明：平面
平面
．
（2）若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
．
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
因为四边形
是菱形，所以
，
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）设
与
交于点
，以
为原点，
分别为
轴，过点
平行
为
轴，建立空间
直角坐标系，设
，则
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
，
所以
，取平面
的法向量
，
所以
，解得
，故
.
17．[2026·湖南长沙一模，15 分，★★★]社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第
1 局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并
且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为
，每局比赛没有平局且结
果相互独立.
（1）若
.
（i）求前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率；
（2）若前4 局中甲参与的平均次数不小于
，求
的取值范围.
【解析】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1 局的胜者在第2 局必须输掉，
若第1 局甲胜乙，则第2 局丙必须胜甲，概率为
；若第1 局乙胜甲，则第2 局丙必须胜乙，概率为
，
所以前3 局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为
；
（ii）若第1 局甲胜乙，则第2 局参与的同学是甲和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两
种情形：
①第2 局甲胜丙，第3 局甲胜乙；②第2 局丙胜甲，第3 局丙胜乙.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
若第1 局乙胜甲，则第2 局参与的同学是乙和丙，若第4 局和第2 局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2 局乙胜丙，第3 局乙胜甲；②第2 局丙胜乙，第3 局丙胜甲.
第①种情形概率为
；第②种情形为
.
所以第2 局和第4 局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4 局的参与次数为随机变量
，则
，
，
，
，
所以
由
得
，
令
，则
，整理得
，
解得
，所以
，又
，
所以
的取值范围为
.
■→训练专项05 概率与统计+数列+立体几何
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·广西南宁第二次适应性测试，13 分，★★]中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广
西多地将1000 米跑（男）、800 米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进
行1000 米跑（男）、800 米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下
列联表：
男生
女生
合计
达标
24
18
42
不达标
11
7
18
合计
35
25
60
（1）试估计该班的达标率；
（2）根据小概率值
的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关．
参考公式：
，
．
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）该班的达标率为
（2）零假设
：成绩是否达标与学生性别无关，
，
根据“显著性水平
的独立性检验，我们推断没有充分证据拒绝原假设
，即认为成绩是否达
标与学生性别无关．
16．[2026·河南五市第一次质量检测，15 分，★★]已知数列
的前
项和为
，且
，
，
成等
差数列，数列
满足
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）是否存在正整数
，
使得
？如果存在，请求出
，
的值；如
果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题
，
，
成等差数列，所以
，①
当
时，
，②
①②得：
，即
，所以
，
当
时，
，解得
，所以
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，即
，又
满足上式，
因此
，从而
．
综上：
，
．
（2）由（1）得，
，
，
从而
．
由于
，
为正整数，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
综上只有当
，
时满足条件，
因此存在
，
使得原等式成立．
17．[2026·安徽合肥“校集团”一模，15 分，★★]如图，圆台的下底面圆
的半径为
，
为
圆
的内接正方形．
为上底面圆
上两点，
为
的中点，且平面
平面
，
．
（1）求证：
；
（2）若
，求
与平面
所成角正弦值的最大值．
【解析】（1）证明：取
的中点G，连
交AF 于H.在正方形
中，由于F 为
的中点，
可得
，则
，
因为
，所以
，得到
，即
因为
平面
，
所以
平面
，又
平面
，故
由于平面
平面
，平面
平面
，
，故
平面
，又
平面
，则
.
因为
，
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
则
，又点G 是
的中点，故
.
（2）由于圆O 的半径为
，则正方形
的边长为2，又
，则
.
以O 为坐标原点，过点O 作
平行的直线分别为x 轴，y 轴，
所在的直线为z 轴建立如图空间直角坐标系.
则
，
易求上底面圆的半径为1，故
.
故
，
，
.
设平面
的法向量为
，由
， 得
取
，
，故
，
设
与平面
所成角为
，则
，
，
令
得
，
，
所以
在
上单调递增，
故
.
所以
与平面
所成角正弦值的最大值为
．
■→训练专项06 立体几何+概率与统计+数列
（建议用时：30 分钟 满分43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．[2026·江苏南师附中、苏州中学等九校一模联考，13 分，★★]如图，已知
是圆锥
的轴
截面，
，
.
（1）求圆锥
的外接球的表面积；
（2）若
为弧
的中点，求二面角
的正切值.
【解析】（1）因为
是圆锥
的轴截面，所以
平面
.
又
平面
，所以
.
在
中，
，
，所以
.
设圆锥
的外接球的球心为
，半径为
，
结合圆锥的定义及对称性易知球心
在
上.
在
中，
，则
，整理得
，解得
.
所以圆锥
的外接球的表面积
.
（2）因为
为弧
的中点，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
.又
，
所以可以
为原点，以
，
，
所在直线为，
，轴建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
，令
，则
，
，所以
.
因为
，
，
，所以
平面
，
则
即为平面
的一个法向量，
.
设二面角
的平面角为，
则
，
，所以
.
故二面角
的正切值为
.
16. [2026·青海西宁一模，15 分，★★]为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于
保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中
学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体
育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到
“通知”要求．
高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
（1）已知高一学生有600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有
达到“通知”要求；
（2）从被调查的高三年级8 名学生中，随机选取3 人，记这3 人中每天综合体育活动时间达到通知要
求的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8，
已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800，
而综合体育活动时间五天内低于10 小时的人数，高一、高二高三占比分别为
，
，
，
由
，
，
，
因此，估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，
400，500．
（2）由题可知，每天综合体育活动时间达到通知要求的，高三有3 人，另5 人没有达到要求，
所以
的可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
，
．
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以
．
17．[2026·山西运城模拟测试，15 分，★★]设正项数列
的前n 项和为
，且
．
（1）求
的通项公式;
（2）若
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【解析】（1）依题意，当
时，
，
，则
；
当
时，
，
，两式相减，
整理可得
，又
为正项数列，故
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
.
（2）证明：由（1）可知
，所以
，显然
，
当
，则
，即
，
此时
，
综上，
成立.
