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大题预测模拟05（ABC 三维题组限时训练）
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
16．如图，在四棱锥
中，棱
平面
，底面四边形
是矩形，
，点
为棱
的中点，点
在棱
上，
.
(1)求证：
；
(2)已知平面
与平面
的交线与直线
所成角的正切值为
，求二面角
的余弦值.
17．已知椭圆
的右焦点为
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
分别为
椭圆
的上、下顶点，四边形
的面积为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为
的直线与椭圆
相交于
两点，直线
与
的交点为
．
①若直线的倾斜角为
，求线段
的长度；
②试问
是否有最大值？如果有，求出
的最大值；如果没有，说明理由．
18．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若曲线
上的动点
到直线
距离的最小值为
（为自然对数的底
数）．
①求实数
的值；
②求证：
．
19．已知有穷等差数列
的公差d 大于零．
(1)证明：
不是等比数列；
(2)是否存在指数函数
满足：
在
处的切线的交
轴于
，
在
处的
切线的交
轴于
，…，
在
处的切线的交
轴于
？若存在，请写出函数
的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
(3)若数列
中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列
，求出所有可能的m 的取值．
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．在
中，
分别为内角
的对边，且
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）若
，试判断
的形状．
16．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y＝x－2 上一动点，过点M 作抛物线C：x2＝y 的两条切线MA，
MB，切点分别为A，B，N 为AB 的中点．
(1)证明：MN⊥x 轴．
(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
17．如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，平面
平面
，点
在
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
18．已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值点；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
有三个不同的极值点
、
、
，且
，求实数a 的取值范围.
19．已知数列
为等差数列，
，其前
项和为
，数列
为等比数列，且
对任意的
恒成立.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)是否存在
，
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件的
，
；若不存在，
说明理由；
(3)是否存在非零整数
，使不等式
对一切
都成立？若
存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
（建议用时：60 分钟，满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分、18 题17 分、19 题17 分）
15．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，
，
，
，点M 为棱PD 上一点，
，O 为AC 的中点.
(1)证明：平面
平面MAC.
(2)已知
，
，点N 在棱BC 上，且
，若直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值为
，求
的值.
17．已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)若存在两个不同的
，
满足
，证明：
.
18．已知抛物线
的焦点为F，O 为坐标原点，点M 在C 上且在第一象限，
，
的面积为2.
(1)求C 的方程.
(2)A，B 是C 上异于M 的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积为1，证明：直线AB 过定点.
(3)点M 关于x 轴的对称点为N，分别过M，N 作C 的两条切线，这两条切线的交点G 恰好在x 轴上，
，过S 作C 的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN 交于点T，求
面积的
最大值.
19．定义：在数列
中，随着
的增大，
的个数按照一定的规律逐渐增加，则称
为“个
数发散数列”.记数列
的前n 项和为
，
，
，
，
.
(1)当
，4，5 时，求
，并验证
是否为“个数发散数列”；
(2)当
时，在所有
中随机抽取3 个数列，记
的
的个数为X，求X 的分布列及
；
(3)当
，
时，求
.
